精品解析：福建省南平市光泽县2026-2027学年九年级上学期第一次阶段测试数学试题

2026-2027学年（上）第一次综合练习 九年级数学 一、单项选择题： 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 3，， B. 3，，1 C. 3，2，1 D. 3，2， 【答案】B 【解析】 【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，，1． 2. 下列函数中，二次函数是（　　） A. y＝﹣4x+5 B. y＝x（2x﹣3） C. y＝ax2+bx+c D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的定义判断即可． 【详解】A、y＝﹣4x+5是一次函数，故选项A不合题意； B、y＝x（2x﹣3）是二次函数，故选项B符合题意； C、当a＝0时，y＝ax2+bx+c不是二次函数，故选项C不合题意； D、不是二次函数，故选项D不合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的定义，熟练掌握二次函数的概念是解题的关键． 3. 已知是关于的方程的一个根，则的值为（ ） A. 5 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】将已知根代入原方程，即可得到关于参数的一元一次方程，解出即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入原方程，得， 整理得， 移项得， 两边同除以，得． 4. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：原方程为， 移项得， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方得， 由完全平方公式整理得． 5. 下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程有两个相等的实数根，计算各选项的判别式即可判断． 【详解】解：A、对于方程，，方程没有实数根，不符合题意； B、对于方程，，方程有两个相等的实数根，符合题意； C、对于方程，，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； D、对于方程，，方程有两个不相等的实数根，不符合题意． 6. 对于抛物线，以下说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴为直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，随的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线顶点式的性质，分别判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性，即可得到正确选项． 【详解】解：∵抛物线解析式为 ∴ ∴抛物线开口向上，故A错误 对称轴为直线，故B正确 顶点坐标为，故C错误 ∵抛物线开口向上，对称轴为直线 ∴当时，随的增大而增大，故D错误． 7. 2026年9月10日是我国第42个教师节，我县教育系统为庆祝教师节正在开展教职工篮球友谊赛，如果每两支参赛队伍之间都要进行一场比赛，累计比赛总场次会多达45场．设共有个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据单循环比赛的规则，计算总比赛场数列方程，用到的是计数去重的思路，即可得到符合题意的方程． 【详解】解：∵共有个队参加比赛，每两支参赛队伍之间都要进行一场比赛，每支队伍需要和除自身外的支队伍比赛， ∴． 8. 已知实数a，b满足，则的值为（ ） A. 5或 B. 或2 C. 5 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】采用换元法简化原方程，结合平方数的非负性舍去不符合题意的根即可得到结果． 【详解】解：设， 原方程可化为， 整理得， 因式分解得， 解得，（舍去）， ∴， ∴． 9. 已知三个点，，都在二次函数（，为常数）的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由二次函数解析式可得对称轴为直线，且故抛物线开口向下，点离对称轴越近函数值越大，计算各点横坐标与对称轴的距离，比较即可． 【详解】解：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴到对称轴的距离越大函数值越小， ∵点，，与对称轴的距离分别为：，，， ∴． 10. 函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与一次函数的图象问题，根据二次函数的图象与一次函数的图象特点逐一排除即可，掌握二次函数的图象与一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，符合题意； 、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意； 、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意； 、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意； 故选：． 二、填空题 11. 已知二次函数y=（m-3）x2的图象开口向下，则m的取值范围是___ 【答案】m<3 【解析】 【分析】根据图象的开口方向得到m-3＜0，从而确定m的取值范围． 【详解】解：∵二次函数y=（m-3）x2的图象开口向下， ∴m-3＜0， ∴m＜3， 故答案为：m＜3． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次项系数决定了开口方向，大于零开口向上，小于零开口向下． 12. 如果函数是关于x的二次函数，则_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：函数是关于x的二次函数， 且， ． 13. 将抛物线向左平移2个单位长度，则平移后的抛物线函数解析式为_________ 【答案】 【解析】 【详解】解：抛物线向左平移2个单位长度， 平移后的抛物线函数解析式为． 14. 把二次函数化成的形式是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考考查了将二次函数的一般式转换为顶点式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 利用配方法来凑完全平方式，即可把一般式转化为顶点式． 【详解】解：将二次函数配方：， 即化成的形式是． 故答案为：． 15. 已知二次函数图象上的部分点的坐标对应值列表如下： x … 1 3 … y … 4 … 则关于x的方程的解为：________． 【答案】， 【解析】 【分析】将方程的解等价转化为二次函数中时对应的的值是解题关键，先根据表格数据求出抛物线的对称轴，再利用对称性得到时对应的所有的值即可． 【详解】解：由表格可知，二次函数经过点，，， 点与点纵坐标相等， 抛物线的对称轴为直线， 设点关于对称轴的对称点横坐标为， 则， 解得，即对称点坐标为， 当时，的值为或， 即关于的方程的解为，． 16. 如图，与关于轴对称，且，一条平行于轴的直线与和共有四个交点，从左到右依次记为，当时，则___________． 【答案】3 【解析】 【分析】设点的纵坐标为，先分别求出点的坐标，再根据求出的值，由此即可得． 【详解】解：由题意，设点的纵坐标为， 令得：， 解得或， ∴，， ∴， ∵与关于轴对称， ∴点与点关于轴对称，点与点关于轴对称， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 三、解答题 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ，，， ， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，． 18. 已知抛物线的顶点为，且经过点，求这条抛物线的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】设顶点式，利用待定系数法求二次函数解析式即可． 【详解】解：∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． 19. 为突破半导体技术壁垒、建设科技强国，某国产芯片企业持续加大自主研发投入．该企业2025年研发投入32亿元，计划2027年研发投入要达到50亿元，如果每年增长率保持不变，那么这两年研发投入的平均年增长率为多少？ 【答案】这两年研发投入的平均年增长率为 【解析】 【分析】设研发投入的平均年增长率为，根据该企业2025年研发投入32亿元，计划2027年研发投入要达到50亿元，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设研发投入的平均年增长率为，根据题意得： ， 解得：，（舍去）． 答：这两年研发投入的平均年增长率为． 20. 如图，抛物线（b，c是常数）与y轴交于点A，已知点B和点C分别是抛物线和x轴上的点，四边形是正方形且边长为2． （1）求b，c的值； （2）若将该抛物线向下平移个单位长度，使其顶点落在正方形内（不包括边上），求m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质及正方形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及正方形的性质是解题的关键； （1）由题意易得点，，然后根据待定系数法可进行求解； （2）由（1）可知抛物线为，则有抛物线的顶点为，然后根据题意可得，进而问题可求解． 【小问1详解】 解：∵正方形的边长为2，即． ∴点，． 把点A，B的坐标代入，得： ， 解得． 【小问2详解】 解：由（1）可知抛物线为． ∵， ∴抛物线的顶点为． 又∵正方形的边长为2，且将该抛物线向下平移个单位长度，使其顶点落在正方形内（不包括边上）， ∴． ∴m的取值范围是． 21. 如图，抛物线经过坐标原点，并与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）若抛物线上有一点B，且，求点B的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式： （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出，进而根据三角形面积计算公式得到，据此求出时x的值即可得到答案． 【小问1详解】 解；把代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，当时，此时方程无解， 在中，当时，解得或， ∴点B的坐标为或． 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k取何实数，方程有两个实数根； （2）若直角三角形的两直角边，的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，求k的值． 【答案】（1）证明：， ， 无论k取何实数，方程有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）计算根的判别式，得出恒为非负数的形式即可证明结论； （2）设，，根据根与系数的关系及勾股定理得关于k的方程，解方程验证即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：两直角边，的长是这个方程的两个实数根， 设，， ，，且，， ， ，即， ， 解得（不合题意，舍去）， 当时，方程为， 解得，经检验符合题意， 综上所述，k的值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年（上）第一次综合练习 九年级数学 一、单项选择题： 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 3，， B. 3，，1 C. 3，2，1 D. 3，2， 2. 下列函数中，二次函数是（　　） A. y＝﹣4x+5 B. y＝x（2x﹣3） C. y＝ax2+bx+c D. 3. 已知是关于的方程的一个根，则的值为（ ） A. 5 B. C. 1 D. 4. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 6. 对于抛物线，以下说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴为直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，随的增大而减小 7. 2026年9月10日是我国第42个教师节，我县教育系统为庆祝教师节正在开展教职工篮球友谊赛，如果每两支参赛队伍之间都要进行一场比赛，累计比赛总场次会多达45场．设共有个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数a，b满足，则的值为（ ） A. 5或 B. 或2 C. 5 D. 2 9. 已知三个点，，都在二次函数（，为常数）的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 已知二次函数y=（m-3）x2的图象开口向下，则m的取值范围是___ 12. 如果函数是关于x的二次函数，则_________． 13. 将抛物线向左平移2个单位长度，则平移后的抛物线函数解析式为_________ 14. 把二次函数化成的形式是________． 15. 已知二次函数图象上的部分点的坐标对应值列表如下： x … 1 3 … y … 4 … 则关于x的方程的解为：________． 16. 如图，与关于轴对称，且，一条平行于轴的直线与和共有四个交点，从左到右依次记为，当时，则___________． 三、解答题 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 已知抛物线的顶点为，且经过点，求这条抛物线的解析式． 19. 为突破半导体技术壁垒、建设科技强国，某国产芯片企业持续加大自主研发投入．该企业2025年研发投入32亿元，计划2027年研发投入要达到50亿元，如果每年增长率保持不变，那么这两年研发投入的平均年增长率为多少？ 20. 如图，抛物线（b，c是常数）与y轴交于点A，已知点B和点C分别是抛物线和x轴上的点，四边形是正方形且边长为2． （1）求b，c的值； （2）若将该抛物线向下平移个单位长度，使其顶点落在正方形内（不包括边上），求m的取值范围． 21. 如图，抛物线经过坐标原点，并与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）若抛物线上有一点B，且，求点B的坐标． 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k取何实数，方程有两个实数根； （2）若直角三角形的两直角边，的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，求k的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $