精品解析：福建省南平市光泽县2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题

2023-2024学年（上）第一次综合练习 九年级数学 （练习时间：120分钟） 一、选择题 1. 将方程改写成的形式，则，，的值分别为（　　） A. 2，4，7 B. 2，4， C. 2，，7 D. 2，， 2. 若方程的一个根是-3，则k的值是（ ） A. -1 B. 1 C. 2 D. -2 3. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 与x轴有两个交点 4. 若，是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解方程时，变形结果正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值是（ ） A. 1 B. 4 C. D. 7. 把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（ ） A. y=﹣2（x+1）2+2 B. y=﹣2（x+1）2﹣2 C. y=﹣2（x﹣1）2+2 D. y=﹣2（x﹣1）2﹣2 8. 已知m，n是方程的两根，则代数式的值是（ ） A. B. 12 C. 3 D. 0 9. 我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样的一个问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中长与宽和为60步，问长比宽多多少步？若设长比宽多步，则下列符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，已知抛物线．若，，为抛物线上三点，且总有，则的取值范围可以是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 方程的实数解是___________． 12. 一元二次方程根的判别式的值是______． 13. 若是关于的二次函数，则的值为_______． 14. 已知抛物线，且经过点，，试比较和的大小：_________ (填“>”“<”或“=”)． 15. 加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：）满足函数表达式，则最佳加工时间为________． 16. 已知：如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作正方形ABCD．则正方形的边长A B的最小值是___________． 三、解答题 17. 解方程： （1） （2）． 18. 已知抛物线． （1）求抛物线的对称轴； （2）将该抛物线向右平移个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求的值． 19. 已知关于x的一元二次方程 ． （1）求证：无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个根为p和q，且满足，求m的值． 20. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 21. 如图，已知抛物线经过点． （1）求出此抛物线的解析式； （2）当时，直接写出的取值范围． 22. 已知一个二次函数的图象以为顶点，且过点． （1）求该函数的解析式； （2）设抛物线与x轴分别交于点C，D，与y轴交于点E，则的面积为__________． 23. 阅读下列材料： 方程两边同时除以，得，即．因为，所以． 根据以上材料解答下列问题： （1）已知方程，则_____；_____． （2）若m是方程的根，求的值． 24. 某商店销售乌馒头，通过分析销售情况发现，乌馒头的日销售量(单位：盒)是销售单价(单位：元/盒)的一次函数，销售单价、日销售量的部分对应值如下表，已知销售单价不低于成本价且不高于元，每天销售乌馒头的固定损耗为元，且成本价为元/盒，日销售量为盒． 销售单价/(元/盒) 日销售量/盒 （1）求乌馒头的日销售量与销售单价的函数解析式； （2）端午节期间，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，在顾客获得最大实惠的前提下，当乌馒头每盒降价多少元时，商店日销售纯利润为元； （3）当销售单价定为多少时，日销售纯利润最大，并求此日销售最大纯利润． 25. 如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）． （1）求抛物线的表达式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年（上）第一次综合练习 九年级数学 （练习时间：120分钟） 一、选择题 1. 将方程改写成的形式，则，，的值分别为（　　） A. 2，4，7 B. 2，4， C. 2，，7 D. 2，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，掌握“任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式（）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项，是一次项系数；叫做常数项”是解题的关键． 【详解】解：∵可化为， ∴它的二次项系数，一次项系数和常数项分别为2，，7， 故选：C． 2. 若方程的一个根是-3，则k的值是（ ） A. -1 B. 1 C. 2 D. -2 【答案】B 【解析】 【分析】把代入，即可得出的值. 【详解】 方程的一个根是-3， ， ， . 故选：B. 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，掌握“使一元二次方程的左右两边相等的未知数的值是方程的解”是解题的关键. 3. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 与x轴有两个交点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据抛物线解析式可求得其开口方向、对称轴、顶点坐标及与轴交点个数，则可得出答案． 【详解】解：二次函数解析式为，且， 二次函数图象开口向上，故A项错误，不符合题意； 对称轴是直线，故B项错误，不符合题意； 顶点坐标是，故C项错误，不符合题意； 当时，有，解得，， 二次函数图象与x轴有两个交点，故D项正确，符合题意； 故选：D． 4. 若，是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，直接利用根与系数的关系对各选项进行判断即可，若，是方程的两个根， 则，． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， 故选：D． 5. 用配方法解方程时，变形结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是解题的关键．根据配方法的步骤先把常数项移到等号的右边，再在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，配成完全平方的形式，从而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选：A． 6. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值是（ ） A. 1 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程有两个相等的实数根则根的判别式是解题的关键． 根据题意以及根的判别式列出关于m的方程求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，解得：． 故选A． 7. 把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（ ） A. y=﹣2（x+1）2+2 B. y=﹣2（x+1）2﹣2 C. y=﹣2（x﹣1）2+2 D. y=﹣2（x﹣1）2﹣2 【答案】C 【解析】 【详解】解：把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后， 所得函数的表达式为y=﹣2（x﹣1）2+2， 故选C． 8. 已知m，n是方程的两根，则代数式的值是（ ） A. B. 12 C. 3 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】利用一元二次方程的解及根与系数的关系，即可得出，，再将其代入，计算即可．本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解的定义是解决本题的关键． 【详解】解：，是关于的方程的两根， ，，． ． 故选：B 9. 我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样的一个问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中长与宽和为60步，问长比宽多多少步？若设长比宽多步，则下列符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，设长比宽多步，则长为步，宽为步，再根据矩形面积公式，根据题意列出一元二次方程即可，弄懂题意得到宽与长是关键． 【详解】解：设长比宽多步， 由题意得，， 故选B． 10. 在平面直角坐标系中，已知抛物线．若，，为抛物线上三点，且总有，则的取值范围可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据抛物线求得对称轴，再结合抛物线上的点离对称轴的距离越小，纵坐标越小得不等式求解，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系． 【详解】解：∵， ∴抛物线对称轴为直线，抛物线开口向上， ∵，， ∴两点位于对称轴左侧，点位于对称轴右侧，且点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∴， 解得：， 故选：． 二、填空题 11. 方程的实数解是___________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 通过因式分解法求解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， 或， 解得，． 故答案为：，． 12. 一元二次方程根的判别式的值是______． 【答案】17 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．利用一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：17 13. 若是关于的二次函数，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数且）的函数是二次函数，据此可得，解之可得答案． 【详解】解；∵是关于的二次函数， ∴， 解得， 故答案为；． 14. 已知抛物线，且经过点，，试比较和的大小：_________ (填“>”“<”或“=”)． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质．由可得抛物线开口方向，由二次函数解析式可得抛物线的对称轴，进而求解． 【详解】解：， 抛物线对称轴为直线，开口向上， ， 离对称轴较近， ． 故答案为：． 15. 加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：）满足函数表达式，则最佳加工时间为________． 【答案】3.75 【解析】 【分析】根据二次函数的对称轴公式直接计算即可． 【详解】解：∵的对称轴为（min）， 故：最佳加工时间为3.75min， 故答案为：3.75． 【点睛】此题主要考查了二次函数性质的应用，涉及求顶点坐标、对称轴方程等，记住抛物线顶点公式是解题关键． 16. 已知：如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作正方形ABCD．则正方形的边长A B的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质得到AB=AC，再将抛物线解析式整理成顶点式形式，当正方形的边长AB的最小时，即AC的值最小． 【详解】∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠B=90° ∴AC= ∴AB=AC， ∵y=x2-4x+6 =（x-2）2+2， ∴当x=2时，AC有最小值2， 即正方形的边长AB的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，将抛物线解析式整理成顶点式形式求解更简便． 三、解答题 17. 解方程： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用直接开平方法计算即可． （2）利用因式分解法求解即可． 本题考查了直接开平方法，因式分解法求方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵, ∴ ∴或， 解得． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 解得． 18. 已知抛物线． （1）求抛物线的对称轴； （2）将该抛物线向右平移个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象的平移： （1）将一般式转化为顶点式，即可得出结果； （2）根据平移规则，求出新的抛物线的解析式，将原点坐标代入求解即可． 【小问1详解】 解：， ∴对称轴为直线； 【小问2详解】 ∵将该抛物线向右平移个单位长度， ∴新的抛物线的解析式为：， 把代入，得：， 解得：（负值舍去）． 19. 已知关于x的一元二次方程 ． （1）求证：无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个根为p和q，且满足，求m的值． 【答案】（1）证明详见解析 （2）的值为或 【解析】 【分析】本题考查的一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解法： （1）先计算，从而可得结论； （2）由根与系数的关系可得，再代入，建立方程求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 解：由根与系数的关系，得， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴的值为：或． 20. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈； （2） 解：不能，理由如下： 由题意，得． 化简，得． ∵， ∴一元二次方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到． 【解析】 【分析】（1）设矩形的边，则边，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解． 【小问1详解】 解：设矩形的边，则边． 根据题意，得． 化简，得． 解得，． 当时，； 当时，． 答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键． 21. 如图，已知抛物线经过点． （1）求出此抛物线的解析式； （2）当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质： （1）抛物线经过点，可得，求解即可得到答案； （2）抛物线的对称轴：，开口向下，可知当时，随的增大而减小，据此即可求得答案． 【小问1详解】 解：抛物线经过点，可得 ． 解得：． 所以，抛物线的解析式为． 【小问2详解】 抛物线的对称轴：，开口向下，可知 当时，随的增大而减小． 当时，． 当时，． 所以，当时， 的取值范围为． 22. 已知一个二次函数的图象以为顶点，且过点． （1）求该函数的解析式； （2）设抛物线与x轴分别交于点C，D，与y轴交于点E，则的面积为__________． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与坐标轴的交点问题，解题的关键是∶ （1）设顶点式，然后把代入求出a的值即可； （2）根据抛物线解析式求得线段的长度和点E的坐标，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解∶设函数解析式为， 把代入，得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解∶令，则，解得，， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∴的面积为， 故答案为：6． 23. 阅读下列材料： 方程两边同时除以，得，即．因为，所以． 根据以上材料解答下列问题： （1）已知方程，则_____；_____． （2）若m是方程的根，求的值． 【答案】（1）4，18 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，完全平方公式，分式的求值： （1）仿照题意求解即可； （2）根据一元二次方程解的定义得到，进而得到，再仿照题意求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4；18； 【小问2详解】 解：∵m是方程的根， ∴， ∴（时不满足原方程）， ∴， ∴， ∴， ∴． 24. 某商店销售乌馒头，通过分析销售情况发现，乌馒头的日销售量(单位：盒)是销售单价(单位：元/盒)的一次函数，销售单价、日销售量的部分对应值如下表，已知销售单价不低于成本价且不高于元，每天销售乌馒头的固定损耗为元，且成本价为元/盒，日销售量为盒． 销售单价/(元/盒) 日销售量/盒 （1）求乌馒头的日销售量与销售单价的函数解析式； （2）端午节期间，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，在顾客获得最大实惠的前提下，当乌馒头每盒降价多少元时，商店日销售纯利润为元； （3）当销售单价定为多少时，日销售纯利润最大，并求此日销售最大纯利润． 【答案】（1） （2）每盒降价元 （3）当销售单价定为元盒时，最大纯利润为元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数，一元二次方程，二次函数在销售利润中的应用，求二次函数的最大值，掌握销售问题中的等量关系式是解题的关键． （1）设，根据表格代入即可求解； （2）根据：销售量单件利润损耗费用销售总利润，列出方程即可求解； （3）设日销售纯利润为元，根据：销售量单件利润损耗费用销售总利润，列出函数关系式，并在范围内求最值即可． 【小问1详解】 解：设， 由题意得：， 解得：， ； 【小问2详解】 解：日销售量为盒， 把代入， 得：， 解得：， 即原来日销售单价为元， 设当日销售单价为元时，销售利润为元， 根据题意得：， 解得：，， 为了使顾客获得最大实惠，销售单价应该定为元， 降价为：（元）， 答：当乌馒头每盒降价元时，商店每天获利为元； 【小问3详解】 解：设日销售纯利润为元，由题意得： ， ，， 当时，有最大值元， 答：当销售单价定为元盒时，日销售纯利润最大，最大纯利润为元． 25. 如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）． （1）求抛物线的表达式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2 (2)存在，P1（，4），P2（，），P3（，﹣） (3)当点E运动到（2，1）时，四边形CDBF的面积最大，S四边形CDBF的面积最大=． 【解析】 【分析】（1）将点A、C的坐标分别代入可得二元一次方程组，解方程组即可得出m、n的值； （2）根据二次函数的解析式可得对称轴方程，由勾股定理求出CD的值，以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于P1；以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点P2，P3；作CH垂直于对称轴与点H，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论； （3）由二次函数的解析式可求出B点的坐标，从而可求出BC的解析式，从而可设设E点的坐标，进而可表示出F的坐标，由四边形CDBF的面积=S△BCD+S△CEF+S△BEF可求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论． 【详解】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过A（﹣1，0），C（0，2）． 解得：， ∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2； （2）∵y=﹣x2+x+2， ∴y=﹣（x﹣）2+， ∴抛物线的对称轴是x=． ∴OD=． ∵C（0，2）， ∴OC=2． 在Rt△OCD中，由勾股定理，得 CD=． ∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形， ∴CP1=CP2=CP3=CD． 作CH⊥x轴于H， ∴HP1=HD=2， ∴DP1=4． ∴P1（，4），P2（，），P3（，﹣）； （3）当y=0时，0=﹣x2+x+2， ∴x1=﹣1，x2=4， ∴B（4，0）． 设直线BC的解析式为y=kx+b，由图像，得 ， 解得：， ∴直线BC的解析式为：y=﹣x+2． 如图2，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，﹣a+2），F（a，﹣a2+a+2）， ∴EF=﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a2+2a（0≤x≤4）． ∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD•OC+EF•CM+EF•BN， =××2+a（﹣a2+2a）+（4﹣a）（﹣a2+2a）， =﹣a2+4a+（0≤x≤4）． =﹣（a﹣2）2+ ∴a=2时，S四边形CDBF的面积最大=， ∴E（2，1）． 【点睛】1、勾股定理；2、等腰三角形的性质；3、四边形的面积；4、二次函数的最值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $