精品解析：北京市第一七一中学2026-2027学年上学期九年级10月学情自测数学试题

北京市第一七一中学教育集团 2026-2027学年秋季学期10月月考 初三数学 一、单选题（每题2分，共16分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形；将一个平面图形绕某个点旋转后仍能与原图形重合，这个图形就叫做中心对称图形；根据轴对称图形和中心对称图形的定义一一判断即可． 【详解】解：选项中的图形是中心对称图形不是轴对称图形，不符合题意； 选项中的图形是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意； 选项中的图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； 选项中的图形是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的顶点式的性质，根据二次函数的顶点式写出顶点坐标是解题的关键． 首先明确抛物线已经是顶点式，再结合抛物线的顶点坐标为，直接写出顶点式即可． 【详解】解：∵是顶点形式，其中，， ∴顶点坐标为， 故选：A． 3. 若点，都在抛物线上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴． 4. 若的直径为，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在外 B. 点P在上 C. 点P在内 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】先根据的直径求出半径，再比较点P到圆心的距离和半径的大小，根据点与圆的位置关系判断即可． 【详解】解：∵的直径为， ∴的半径为． ∵，且，即点P到圆心的距离大于圆的半径， ∴点P在外． 5. 相关数据显示，近年来高科技制造业日新月异，呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年9月产值达到万元，预计月产值将增至万元．设该公司，两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：设该公司，两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为． 6. 如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ） A. 水温从加热到，需要4min B. 水温下降过程中，与的函数关系式是 C. 在一个加热周期内水温不低于的时间为 D. 上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法确定函数解析式、灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．根据题意和图象，先求得函数的解析式，进而反比例函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、∵开机加热时每分钟上升， ∴水温从加热到，所需时间为：，故A选项说法正确，不合题意； B、由题可得，在反比例函数图象上， 设反比例函数解析式为， 代入点可得，， ∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是，故B选项说法正确，不合题意； C、当水温升至时，用时， 当水温降至时，，解得：， ∴在一个加热周期内水温不低于的时间为，故C选项说法错误，符合题意； D、在中，令，则， 即：每20分钟，饮水机重新加热， ∴上午10点接通电源，当天时饮水机是第二次加热， 把代入，得：， 即：时的水温为，不低于，故D选项说法正确，不合题意； 故选：C． 7. 设a、b是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. -3 B. 5 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求式子降次，再结合一元二次方程根与系数的关系计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴，整理得， 将代入得： 原式， ∵，是方程的两个根， 根据一元二次方程根与系数的关系，得， ∴原式． 8. 如图，直线与抛物线相交于点，．下面四个结论： ①； ②当时，； ③方程的解为，； ④当时，函数值随着x的增大而减小． 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】通过观察图象判断函数值的大小关系，以及利用抛物线的对称性确定对称轴和增减性． 【详解】判断结论①：： 观察直线的图象，从左往右看，直线是下降的，即y随x的增大而减小，根据一次函数的性质，当图象呈下降趋势时，． 所以，结论①正确． 判断结论②：当时，： 不等式的几何意义是：抛物线的图象在直线的图象下方，观察图象，在内，抛物线的图象位于直线的下方． 所以，结论②正确． 判断结论③：方程的解为，： 方程的解，对应的是抛物线与x轴交点的横坐标，观察图象，抛物线与x轴的一个交点是，所以是方程的一个解； 另一个交点在x轴负半轴，但点B的坐标是，点B在第二象限，并不在x轴上，因此，不是抛物线与x轴交点的横坐标，即不是方程的解． 所以，结论③错误． 判断结论④：当时，函数值随着x的增大而减小： 设抛物线与x轴的另一个交点为，根据抛物线的对称性，对称轴为直线． ∵点在点右侧， ∴， ∴． 对于开口向上的抛物线，在对称轴左侧，y随x的增大而减小， ∵的区域完全位于对称轴的左侧， ∴当时，函数值y随x的增大而减小． 所以，结论④正确． 综上所述，正确的结论是①、②、④． 二、填空题（每题2分，共16分） 9. 函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可. 【详解】解：依题意，得， 解得：， 故答案为． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 10. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为______． 【答案】k≤ 【解析】 【分析】根据根的判别式大于或等于零求解即可． 【详解】解：由题意得 ∆=9-4k≥0， 解得k≤． 故答案为：k≤． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2﹣4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根． 11. 如图，在平面直角坐标系中，弧所在圆的圆心坐标为______________． 【答案】 【解析】 【分析】圆心位于弦的垂直平分线上，作线段的垂直平分线，设出圆心坐标，然后根据圆心到圆上任意一点的距离相等，列出方程，求解方程即可． 【详解】解：由题意知，点，，． 观察点A和点B，它们的纵坐标相同，说明线段平行于x轴，线段的中点为，则其垂直平分线是直线； 设圆心为，由得： 解得 所以，圆心P的坐标为． 12. 一个圆锥的侧面积是，母线长是，底面半径是_____． 【答案】##2厘米 【解析】 【分析】题目主要考查圆锥的侧面积的计算，熟练掌握计算方法是解题关键． 根据圆锥的侧面积公式 ，其中 是侧面积， 是底面半径， 是母线长，代入已知数值求解即可 【详解】解：已知圆锥的侧面积，母线长， ∵， ∴， 解得：， 故底面半径为， 故答案为：． 13. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图像经过点，且在每一个象限内，y随x的增大而增大，则m的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“反比例函数的图像在每个象限内，y随x的增大而增大”可得，结合该反比例函数的图像经过点可得，进一步求解即可获得答案． 【详解】解：∵反比例函数的图像在每个象限内，y随x的增大而增大， ∴， 又∵该反比例函数的图像经过点， ∴， ∴， ∴． 14. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若，则的度数是______． 【答案】30° 【解析】 【分析】由“圆内接四边形对角互补”得到，由“直径所对的圆周角等于”得到，最后． 【详解】解：四边形是的内接四边形， ，（圆内接四边形对角互补） 又， ． 是的直径， ， ． 15. 将抛物线沿着直线的方向平移，平移后的抛物线顶点横坐标为1，则平移后的抛物线表达式为________________． 【答案】 【解析】 【分析】平移后抛物线二次项系数不变，平移后的顶点在直线上，先求出顶点坐标，再代入顶点式得到抛物线表达式． 【详解】解：∵原抛物线的顶点在直线上，沿方向平移后，新抛物线的顶点仍在直线上． ∴将代入，得 ， 即平移后新的抛物线的顶点坐标为． ∵抛物线平移不改变开口大小和方向， 因此二次项系数仍为． 根据抛物线顶点式，可得平移后的抛物线表达式为． 16. 数学兴趣小组进行徽章交流游戏，规则如下： ①5位同学围坐在一张圆形桌子周围，每个人只跟左右两边的同学进行徽章交流； ②从手里徽章最多的同学开始，按顺时针方向，按顺序交流． 例如：如图所示，若手里徽章最多，那么首先是和交流，接着是和，再是和、和，最后是和，算一次循环交流结束； ③每一次的交流都是单向的． 例如：在和的交流中，要么把自己手里的徽章给，或者把自己手里的徽章给，不能互相交换； ④每一次交流中，假设手里有个徽章，若送给，那么送出去的个数可以是0到之间的任意个数，送给也是同样道理； ⑤当一次循环交流结束后，五位同学手里的徽章个数都相同，那么算游戏成功． 每一次交流中送出去的徽章个数总和为流动徽章数，若流动徽章数越小游戏越成功． 如图，现在有5位学生代表围坐在一张桌子上，有8枚徽章，有10枚徽章，有4枚徽章，有13枚徽章，有15枚徽章． （1）在第一次和的交流中，给了2枚徽章，若游戏成功，本次游戏中产生的流动徽章数为___枚； （2）按照游戏规则，流动徽章数越小游戏越成功，则流动徽章数最少为_____枚． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）先求出成功时，每人手上的数量，从和的交流开始推理，依次判断并求和即为所求； （2）尽量从相邻的同学那里获取，从而进行判断即可． 【详解】解：（1）游戏结束时，每个人手中的徽章数为（枚） ∵游戏成功， ∴在第一次和的交流中，给了2枚徽章，则 在B和的交流中，B需要给4枚徽章， 在B和的交流中，C需要给4枚徽章， 在D和的交流中，D需要给C10枚徽章， 在D和的交流中，E需要给D7枚徽章， 流动的徽章数为：（枚）； （2）要想一次成功且流动徽章数最小，则需要： 和，和交流中，没有互相赠送， E需要给A2枚徽章， D需要给C6枚徽章， E需要给D3枚徽章， 此时流动的徽章数为（枚）． 三、解答题（第17题4分；第18、19、21、22题，每题5分；第20、题，每题6分；第27、28题，每题7分） 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【详解】解：， ， ∴或， ∴． 18. 如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，，解答下列问题． （1）如图，已知是由绕点逆时针旋转（）得到的（点，，的对应点分别为点，，），的三个顶点的坐标分别为，，，直接写出点的坐标以及旋转角的度数． （2）求点旋转到点所经过的路线长． 【答案】（1）点的坐标为，旋转角的度数为 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用网格的特点作和的垂直平分线交于点G，连接，，然后利用网格的特点求解； （2）连接，，作，利用勾股定理求出，利用旋转的性质得到，然后利用弧长公式求解． 【小问1详解】 解：如图，连接，利用网格的特点作和的垂直平分线交于点G，连接，， ∴点的坐标为， ∵， ∴旋转角为； 【小问2详解】 解：如图，连接，，作， ∴， 由旋转得，， ∴点旋转到点所经过的路线长为． 19. 如图，已知直线与反比例函数的图象交于，两点． （1）求，的值； （2）结合图象，直接写出时x的取值范围． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）把点代入反比例函数关系式即可确定的值，再把代入求出的值，把，分别代入直线即可求出的值； （2）先把不等式进行变形，再观察图象写出答案． 【小问1详解】 解：直线与反比例函数的图象交于，两点． ， ，即， 点坐标为． 一次函数的图象过，两点， ，解得， ，； 【小问2详解】 解：由得， ，， 不等式的解集为或． 20. 抛物线的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中为顶点．利用图象解答下列问题： （1）求此抛物线的解析式； （2）当时，直接写出的取值范围              ； （3）若点为抛物线上的一点，且的面积为16，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）设抛物线的解析式为，再将点代入解析式计算即可得出结果； （2）先求出当和时的值，再结合函数图象即可得出结果； （3）求出，从而可得，设，再结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的解析式为， 将代入解析式得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，，当时，， 结合函数图象可得，当时，的取值范围； 【小问3详解】 解：在中，令，则， 解得，， ∵， ∴， ∴， ∵点为抛物线上的一点， ∴设， ∵的面积为16， ∴， ∴， ∴或， 当时，解得，此时点的坐标为或， 当时，即，此时无实数解，不符合题意， 综上所述，点的坐标为或． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：对于任意非零实数，该方程总有两个实数根； （2）若此方程有两个不等实根，且均为整数，求整数的值． 【答案】（1）证明： ． 方程总有两个实数根 （2）整数的值为． 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式证明即可； （2）用分解因式法求出一元二次方程的两个根分别为：，，根据方程的两个根均为整数可得，再根据方程有两个不相等的实数根确定的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：方程可化为， 解得：，， 方程两根均为整数， 为整数，即为整数， 整数， 当时，可得：， ， 当时，， ，故舍去， 整数的值为． 22. 如图，将绕点B顺时针旋转得到，且满足点A，C，D在同一条直线上．连接交于点P，F是延长线上一点，连接． （1）求的度数； （2）若，求证：． 【答案】（1） （2） 证明：∵将绕点B顺时针旋转得到， ∴，． ∴． ∴． ∵，，， ∴． ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定： （1）根据旋转的性质可得，，从而得到，，进而得到，即可解答； （2）根据旋转的性质可得，，从而得到，再结合三角形外角的性质可得，即可解答． 【小问1详解】 解：∵将绕点B顺时针旋转得到， ∴，． ∴，． ∵点A，C，D在同一条直线上， ∴． ∴． ∴． 【小问2详解】 略 23. 某公司销售一种进价为20元/个的计算器，其销售量（万个）与销售价格（元/个）的变化满足；同时，销售过程中的其他开支（不含进价）总计40万元． （1）求出该公司销售这种计算器的净得利润（万元）与销售价格（元/个）的函数解析式． （2）销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？ 【答案】（1） （2）销售价格定为元时净得利润最大，最大值是万元． 【解析】 【分析】（1）根据净得利润等于销售量乘以（销售价格减去进价）再减去销售过程中的其他开支（不含进价）即可列出函数解析式； （2）把（1）中的二次函数解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可求出答案． 【小问1详解】 解：根据题意可得， 【小问2详解】 解： ∵，顶点为， ∴销售价格定为元时净得利润最大，最大值是万元． 24. 如图，是的直径，是的一条弦，于，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：如图，连接， ∵是的直径，于， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）首先利用垂径定理得到，然后利用圆周角定理证明即可； （2）连接，利用圆周角定理求出，证明是等边三角形，即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵是的直径，于， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 25. 小明是一位羽毛球爱好者，在一次单打训练中，小明对“挑球”这种击球方式进行路线分析，球被击出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，击球点P到球网的水平距离． 小明在同一击球点练习两次，球均过网，且落在界内． 第一次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足函数关系． 第二次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度y（单位：）与水平距离x（单位：）的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 飞行高度 2 根据上述信息，回答下列问题： （1）直接写出第一次练习时，羽毛球飞行的最大高度； （2）求小明第二次练习时，羽毛球的飞行高度y与水平距离x满足的函数关系式； （3）设第一次、第二次练习时，羽毛球落地点与球网的距离分别为，则 （填“”，“”或“”）． 【答案】（1）第一次练习时，羽毛球飞行的最大高度 （2） （3）＜ 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用、二次函数的性质、求二次函数的解析式等知识点，灵活运用待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）依据题意，由，再根据二次函数的性质即可解答； （2）根据表格信息，设出抛物线解析式，再利用待定系数法求解即可； （3）分别利用第一次练习和第二次练习时的抛物线解析式求出羽毛球落地点与球网的距离分别为，然后再比较即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴当时，y取最大值，最大为， ∴第一次练习时，羽毛球飞行的最大高度． 【小问2详解】 解：由表格信息可知，第二次练习时，抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为：， 由题意可知：抛物线过点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：． 【小问3详解】 解：第一次练习时，当时，， ∴，（舍去）， ∴， 第二次练习时，当时，， ∴，（舍去）， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． （1）用含有的式子表示，并求抛物线的对称轴． （2）过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①若，，求的长； ②已知在点从点运动到点的过程中，的长总是先减小后增大，求的取值范围． 【答案】（1）；对称轴为 （2）①的长度为；②或 【解析】 【分析】（1）将点和点代入抛物线方程即可得与的关系，再由求解对称轴即可； （2）①根据，，可将点与点的坐标求解出来，再求解长度即可；②先将点与点的坐标表示出来，再表示的长，根据二次函数的对称轴求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点和点， ∴，即， ∴； ∴对称轴为； 【小问2详解】 解：①若，，则点，，； ∴抛物线为，直线， ∵点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点， ∴当时，，即点， 当时，，即点， ∴的长度为； ②∵，， ∴抛物线为， ∵点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点， ∴当时，，即点， 当时，，即点， ∴， ∴对称轴为， 令可得，解得或； 如图， ∵点从点运动到点的过程中，的长总是先减小后增大，由图象得： ∴或， 即或， ∴或． 27. 在等腰中，，点D是射线上任意一点，连接． （1）如图1，，过点C作于点G，交于点K，，，求线段的长； （2）如图2，，，点E是线段上一点，连接，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，使得，连接交于点H．猜想和的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2），证明如下： 如图，在上截取，连接， ∵在等腰中，， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）先证明得出，由勾股定理求出，最后再由勾股定理计算即可得出结果； （2）在上截取，连接，先证明得出，，再证明得出，即可得证． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略． 28. 定义：如图1所示，给定线段MN及其垂直平分线上一点P．若以点P为圆心，PM为半径的优弧（或半圆弧）MN上存在三个点可以作为一个等边三角形的顶点，则称点P为线段MN的“三足点”，特别的，若这样的等边三角形只存在一个，则称点P为线段MN的“强三足点”． 问题：如图2所示，平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在射线上． （1）在点，，中，可以成为线段的“三足点”的是； （2）若第一象限内存在一点Q既是线段的“三足点”，又是线段的“强三足点”，求点B的坐标； （3）在（2）的条件下，以点A为圆心，AB为半径作圆，假设该圆与x轴交点中右侧一个为H，圆上一动点K从H出发，绕A顺时针旋转后停止，设点K出发后转过的角度为(0°<α°)，若线段与不存在公共“三足点”，请直接写出的取值范围是． 【答案】（1）D、E （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据在中，为“三足点”需满足，即，从而求出线段的”三足点”满足，进而可得出答案， （2）根据直线函数解析式得出，由为线段的“强三足点”可得，进而求出，，由，求出利用勾股定理求出，进而可得点 的坐标． （3）根据题意可得，，进而根据的三足点轨迹所需条件进而下讨论，得出当的垂直平分线与的垂直平分线相交，且交点满足夹角条件时，存在公共三足点． 据此分情况讨论即可． 【小问1详解】 解：由“三足点”定义可知：优弧上能容纳三个等边三角形的顶点，则优弧的度数必须，即劣弧， 三足点：点在的垂直平分线上，且（此时优弧上至少有3个顶点构成等边三角形）． 强三足点：点在的垂直平分线上，且（此时优弧上恰好有3个顶点构成等边三角形，且只存在一个这样的等边三角形）． ∵，． ∴线段的中点坐标为，其垂直平分线为直线． 设垂直平分线上一点为， 当时，此时点P为线段的“强三足点”．如图2： ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，为“三足点”需满足，即， ∴． 对于：，不满足条件，不是三足点． 对于：，满足，是三足点． 对于：，满足，是三足点． 所以可以成为线段的“三足点”的是D、E． 【小问2详解】 解： ∵Q是线段的“三足点”，在第一象限， ∴由（1）可知，在上，可设，则．此时． ∵为线段的“强三足点” ∴在的垂直平分线上，且．是顶角为的等腰三角形，底角．如图3： ∵点B在射线上，设点B坐标为． ∴， ∴，即射线与轴正半轴的夹角为． ∴．， ∵，， ∴，， ∴点的纵坐标为3，当时，解得， 所以点的坐标为． 【小问3详解】 解：如图： ∵，点． ∴． ∴， ∴，， ∴， ∵线段的三足点轨迹：在垂直平分线上，且与，连线夹角． 线段的三足点轨迹：在垂直平分线上，且与，连线夹角． 公共“三足点”即这两条轨迹射线的交点． ∴当的垂直平分线与的垂直平分线相交，且交点满足夹角条件时，存在公共三足点． ①当的垂直平分线平行于的垂直平分线时，无交点．此时． 即，即， 当时， ∴而且， 即当时，两垂直平分线交点不在有效区域内，即不存在公共三足点． 综上所述：或时，不存在公共三足点． 【点睛】1．新定义题三步读题法：圈对象（点、线段、以为圆心的优弧）→找量化条件（三个点、等边三角形）→译成不等式或等式（、）．定义里出现的“特别的，……只存在一个”，几乎就是出题人替第二问预埋的取“等号”版本，读题时要用笔圈出来． 2．临界先行，以静制动：全题骨架是"强三足点=张角恰120°"．每一问都先解等号状态（第（1）问的、第（2）问的顶角、第（3）问的临界点），再判断“往哪一侧偏离仍满足不等号”，比逐点试探、逐值枚举快得多，也不易漏解． 3．平行关系是最经济的"桥梁"：由得到轴，一句平行就把未知点的纵坐标搬到了已知量上．几何题中“证平行”往往比“设未知数列方程”更省算力，值得优先考虑． 4．反面求范围的通法与端点纪律：先求“恰好存在"的临界位置（平行、相切、交点落到轨迹端点），再用交点是否在有效区域内”框定区间．答案写成“一个开区间+一个孤立临界值”，两个边界各需回代验证：与处张角条件恰好成立（存在公共三足点），故取开区间；处两线绝对无交点，故作为单点保留．开闭全凭回代，不靠感觉． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第一七一中学教育集团 2026-2027学年秋季学期10月月考 初三数学 一、单选题（每题2分，共16分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 若点，都在抛物线上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 4. 若的直径为，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在外 B. 点P在上 C. 点P在内 D. 不能确定 5. 相关数据显示，近年来高科技制造业日新月异，呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年9月产值达到万元，预计月产值将增至万元．设该公司，两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ） A. 水温从加热到，需要4min B. 水温下降过程中，与的函数关系式是 C. 在一个加热周期内水温不低于的时间为 D. 上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水 7. 设a、b是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. -3 B. 5 C. 3 D. 8. 如图，直线与抛物线相交于点，．下面四个结论： ①； ②当时，； ③方程的解为，； ④当时，函数值随着x的增大而减小． 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（每题2分，共16分） 9. 函数中，自变量的取值范围是_____． 10. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为______． 11. 如图，在平面直角坐标系中，弧所在圆的圆心坐标为______________． 12. 一个圆锥的侧面积是，母线长是，底面半径是_____． 13. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图像经过点，且在每一个象限内，y随x的增大而增大，则m的取值范围是__________． 14. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若，则的度数是______． 15. 将抛物线沿着直线的方向平移，平移后的抛物线顶点横坐标为1，则平移后的抛物线表达式为________________． 16. 数学兴趣小组进行徽章交流游戏，规则如下： ①5位同学围坐在一张圆形桌子周围，每个人只跟左右两边的同学进行徽章交流； ②从手里徽章最多的同学开始，按顺时针方向，按顺序交流． 例如：如图所示，若手里徽章最多，那么首先是和交流，接着是和，再是和、和，最后是和，算一次循环交流结束； ③每一次的交流都是单向的． 例如：在和的交流中，要么把自己手里的徽章给，或者把自己手里的徽章给，不能互相交换； ④每一次交流中，假设手里有个徽章，若送给，那么送出去的个数可以是0到之间的任意个数，送给也是同样道理； ⑤当一次循环交流结束后，五位同学手里的徽章个数都相同，那么算游戏成功． 每一次交流中送出去的徽章个数总和为流动徽章数，若流动徽章数越小游戏越成功． 如图，现在有5位学生代表围坐在一张桌子上，有8枚徽章，有10枚徽章，有4枚徽章，有13枚徽章，有15枚徽章． （1）在第一次和的交流中，给了2枚徽章，若游戏成功，本次游戏中产生的流动徽章数为___枚； （2）按照游戏规则，流动徽章数越小游戏越成功，则流动徽章数最少为_____枚． 三、解答题（第17题4分；第18、19、21、22题，每题5分；第20、题，每题6分；第27、28题，每题7分） 17. 解方程：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，，解答下列问题． （1）如图，已知是由绕点逆时针旋转（）得到的（点，，的对应点分别为点，，），的三个顶点的坐标分别为，，，直接写出点的坐标以及旋转角的度数． （2）求点旋转到点所经过的路线长． 19. 如图，已知直线与反比例函数的图象交于，两点． （1）求，的值； （2）结合图象，直接写出时x的取值范围． 20. 抛物线的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中为顶点．利用图象解答下列问题： （1）求此抛物线的解析式； （2）当时，直接写出的取值范围              ； （3）若点为抛物线上的一点，且的面积为16，求点的坐标． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：对于任意非零实数，该方程总有两个实数根； （2）若此方程有两个不等实根，且均为整数，求整数的值． 22. 如图，将绕点B顺时针旋转得到，且满足点A，C，D在同一条直线上．连接交于点P，F是延长线上一点，连接． （1）求的度数； （2）若，求证：． 23. 某公司销售一种进价为20元/个的计算器，其销售量（万个）与销售价格（元/个）的变化满足；同时，销售过程中的其他开支（不含进价）总计40万元． （1）求出该公司销售这种计算器的净得利润（万元）与销售价格（元/个）的函数解析式． （2）销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？ 24. 如图，是的直径，是的一条弦，于，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 25. 小明是一位羽毛球爱好者，在一次单打训练中，小明对“挑球”这种击球方式进行路线分析，球被击出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，击球点P到球网的水平距离． 小明在同一击球点练习两次，球均过网，且落在界内． 第一次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足函数关系． 第二次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度y（单位：）与水平距离x（单位：）的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 飞行高度 2 根据上述信息，回答下列问题： （1）直接写出第一次练习时，羽毛球飞行的最大高度； （2）求小明第二次练习时，羽毛球的飞行高度y与水平距离x满足的函数关系式； （3）设第一次、第二次练习时，羽毛球落地点与球网的距离分别为，则 （填“”，“”或“”）． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． （1）用含有的式子表示，并求抛物线的对称轴． （2）过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①若，，求的长； ②已知在点从点运动到点的过程中，的长总是先减小后增大，求的取值范围． 27. 在等腰中，，点D是射线上任意一点，连接． （1）如图1，，过点C作于点G，交于点K，，，求线段的长； （2）如图2，，，点E是线段上一点，连接，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，使得，连接交于点H．猜想和的数量关系，并证明． 28. 定义：如图1所示，给定线段MN及其垂直平分线上一点P．若以点P为圆心，PM为半径的优弧（或半圆弧）MN上存在三个点可以作为一个等边三角形的顶点，则称点P为线段MN的“三足点”，特别的，若这样的等边三角形只存在一个，则称点P为线段MN的“强三足点”． 问题：如图2所示，平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在射线上． （1）在点，，中，可以成为线段的“三足点”的是； （2）若第一象限内存在一点Q既是线段的“三足点”，又是线段的“强三足点”，求点B的坐标； （3）在（2）的条件下，以点A为圆心，AB为半径作圆，假设该圆与x轴交点中右侧一个为H，圆上一动点K从H出发，绕A顺时针旋转后停止，设点K出发后转过的角度为(0°<α°)，若线段与不存在公共“三足点”，请直接写出的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $