精品解析：北京师范大学亚太实验学校2026--2027学年九年级上学期10月学情自测数学试卷

北京师范大学亚太实验学校2026-2027学年第一学期 九年级数学阶段性学情调研 （时间：120分钟；满分：100分） 一、选择题（共16分，每题2分．每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 如果函数是二次函数，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. m为全体实数 3. 顶点坐标为，开口方向和大小与抛物线相同的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的两根为，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于的方程有实数根，那么的取值范围是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 6. 关于抛物线，下列说法中正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 图像位于第二、四象限 C. 抛物线有最低点 D. 抛物线在直线的左侧部分是上升的 7. 随着互联网购物急速增加，快递业逐渐成为我国发展最快的行业之一，某快递店十月份揽件5000件、十月、十一月、十二月合计揽件20000件，如果该快递店十一月、十二月月揽件量的增长率都是x，那么由题意可得方程（　　） A. B. C. D. 8. 如图，已知抛物线，过，两点，其中，． 有以下四个结论： ①；②； ③点，在抛物线上，，当时，总有，则；④若点，在抛物线上且在对称轴的同侧，总有，则．其中正确的结论为（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②③④ 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 把抛物线向_______平移_______个单位长度，就得到抛物线 10. 写出一个一元二次方程使它有一个根为2，且两根之和是，这个一元二次方程是________（只要写出一个） 11. 关于x的一元二次方程，有一个根是0，则__________． 12. 有若干支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则有________支球队． 13. 点，在二次函数的图象上，若，，则与的大小关系是__________．（填“”、“”或“”） 14. 若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为，则该菱形的边长为________________ ． 15. 已知二次函数，函数与自变量的部分对应值如表， … 0 1 2 … … 3 6 7 6 … 根据表格中的信息，得到如下结论： ①二次函数的图象开口向上； ②求该二次函数的表达式时，可设； ③关于的一元二次方程的两个根为0或2； ④若，则． 以上结论正确的是______________． 16. 如图1，正方形纸片的边长为2，翻折、，使两个直角的顶点重合于对角线上一点P，、分别是折痕（如图2）． 设（），给出下列判断：①当时，点是正方形的中心；②当时，；③当时，六边形周长的值不变④当时，六边形面积的最大值是．其中正确的是______（写出所有正确判断的序号）． 三、解答题（共68分，其中17、18、19、20、23、25、26题每题5分，21、24、28题每题6分，27题7分，22题8分） 17. 解方程：； 18. 已知是关于x的方程的一个根，求代数式的值． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根． （2）若方程的两实数根为满足，求k的值． 20. 已知二次函数． （1）将化成的形式，并写出其图象的顶点坐标； （2）将化成的形式，并写出此函数图象与轴交点的坐标； （3）在平面直角坐标系中，画出当时此函数的图象． 21. 如图，菱形的对角线、交于点，交的延长线于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求的长． 22. 综合与实践 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题． 【研究条件】 条件1：该充电站收入（单位：元）与当日充电汽车数量（单位：辆）之间成正比例关系如表： 1 2 3 4 5 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本（单位：元）与充电汽车数量之间满足：． 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： （1）根据如表数据，求与的函数关系式，并计算当时，该充电站的收入为多少元？ （2）当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时的值． 【模型应用】 （3）由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为，成本关系保持不变．已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益=收入-成本）取得最大值，请求出符合条件的值，并说明理由． 【总结反思】 函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策． 23. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． （1）求该函数的表达式； （2）当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值且大于0，直接写出的取值范围． 24. 数学史上，曾有数学家利用几何法求解一元二次方程．下面，以的求解为例，说明用几何法解一元二次方程的过程： 分析：由于，因此．如图（1）所示分别以和为两边构造一个长方形，面积为64．如图（2）所示再把该长方形分割成一个面积是的小正方形和两个面积是的小长方形，将分割后的图形重新拼接成图（3）所示的图形，则图（3）的阴影部分是边长为6的小正方形，面积为36． 通过以上图形变化将一个面积为64的长方形和一个面积为36的小正方形切拼成了一个面积为，且边长是的正方形． 显然该正方形的边长为10，故，得． 注：用几何法求解一元二次方程时，只能得到正数根． 请根据上述材料解决以下问题： 用几何方法求方程的正数根．具体过程如下： （1）仿照图（1）（2）（3）在如图所示的区域内画出图形，并标出相应的线段长度 （2）根据（1）中所画图形求出方程的正数根．（填空） 通过以上图形变化将一个面积为32的长方形和四个面积为_______的小正方形切拼成了一个面积为_______，且边长是_______的正方形．显然该正方形的边长为_______，故_______，得_______． 25. “踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． 如图2，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与点水平距离的处达到最高，高度为． （1）以点为坐标原点，以地面为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为，求关于的函数表达式： （2）花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． 26. 有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小亮根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小亮的探究过程，请补充完整： （1）函数中自变量x的取值范围是___________； （2）下表是y与x的几组对应值． x … -2 -1 0 1 3 4 5 6 … y … 0 -1 -3 5 3 m … 求m的值； （3）在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象； （4）根据画出的函数的图象，下列描述正确的有___________． ①该函数的图象是中心对称图形，对称中心的坐标是； ②该函数的图象与过点且平行于y轴的直线越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线越来越靠近而永不相交； ③当时，函数值y随自变量x的增大而减小； ④该函数的图象可以由函数的图像向右平移2单位，再向上平移1个单位而得到． 27. 在中，，D是的中点，E为边上一动点（不与点A，C重合），连接，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，过点F作于点H，交射线于点G． （1）如图1，当时，比较与的大小；用等式表示线段与的数量关系，并证明； （2）如图2，当时，依题意补全图2，用等式表示线段之间的数量关系． 28. 在平面直角坐标系中，对于线段和点C，若是以为一条直角边，且满足的直角三角形，则称点C为线段的“从属点”． 已知点A的坐标为． （1）如图1，若点B为，在点，，，中，线段AB的“从属点”是___________； （2）如图2，若点B为，点P在直线上，且点P为线段的“从属点”，求点P的坐标； （3）点B为x轴上的动点，直线与x轴，y轴分别交于M，N两点，若存在某个点B，使得线段上恰有2个线段的“从属点”，直接写出b的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京师范大学亚太实验学校2026-2027学年第一学期 九年级数学阶段性学情调研 （时间：120分钟；满分：100分） 一、选择题（共16分，每题2分．每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义判断即可，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：A、不是一元二次方程，故选项不符合题意； B、不是一元二次方程，故选项不符合题意； C、，即，是一元二次方程，故选项符合题意； D、不是一元二次方程，故选项不符合题意； 故选：C． 2. 如果函数是二次函数，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. m为全体实数 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数．解题的关键是掌握二次函数的定义，要注意二次项系数不等于0的条件不能漏． 根据二次项系数不等于0，二次函数的最高指数为2列出方程组，求出m的值即可． 【详解】解：由题意得：， 解得． 故选：C． 3. 顶点坐标为，开口方向和大小与抛物线相同的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵ 抛物线开口方向和大小与相同， ∴ 二次项系数， ∵ 顶点坐标为， ∴ 抛物线解析式为． 4. 一元二次方程的两根为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系得，，再由进行求解，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，那么将，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴根据根与系数的关系，得，， ∵， ∴将，代入，得 原式， 故选：A． 5. 已知关于的方程有实数根，那么的取值范围是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握相关知识是解决问题的关键．利用二次方程有实数根的条件，判别式非负，求解不等式． 【详解】解：∵方程有实数根， ∴判别式， ∴， ∴. 故k的取值范围是． 故选：A． 6. 关于抛物线，下列说法中正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 图像位于第二、四象限 C. 抛物线有最低点 D. 抛物线在直线的左侧部分是上升的 【答案】D 【解析】 【分析】由二次项系数的符号确定抛物线开口方向，结合对称轴分析图像位置与增减性． 【详解】解：对于抛物线，二次项系数， ∴抛物线开口向下，有最高点，故A、C错误； ∵对任意实数，， ∴，即图像位于第三、四象限及原点，故B错误； ∵该抛物线对称轴为直线，开口向下， ∴在直线左侧，随的增大而增大，即图像是上升的，故D正确． 7. 随着互联网购物急速增加，快递业逐渐成为我国发展最快的行业之一，某快递店十月份揽件5000件、十月、十一月、十二月合计揽件20000件，如果该快递店十一月、十二月月揽件量的增长率都是x，那么由题意可得方程（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设该快递店十一月、十二月揽件量的增长率都是x，关系式为：三个月总揽件数＝十月揽件数十一月揽件数十月揽件数（1揽件平均增长率）2，把相关数值代入即可． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．同时要注意增长率问题的一般规律． 【详解】设该快递店十一月、十二月揽件量的增长率都是x，由题意可得方程： ． 故选：B． 8. 如图，已知抛物线，过，两点，其中，． 有以下四个结论： ①；②； ③点，在抛物线上，，当时，总有，则；④若点，在抛物线上且在对称轴的同侧，总有，则．其中正确的结论为（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数的性质，抛物线与轴的交点等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质逐项分析即可判断． 【详解】解：抛物线，过，两点，且， 抛物线的对称轴为， 即， ． ， ， 故①错误； ， 当时，． 抛物线的对称轴为， 时与时的函数值相等． ， 抛物线的开口向下． 又且， 当时，， 当时，， 即， 故②正确； 抛物线的开口向下，对称轴为， 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， 又当时，总有， 点在对称轴左侧，点在对称轴左侧或右侧且距离对称轴较近， 当时，要保证，则， 故③正确； 点，在抛物线上且在对称轴的同侧，总有， ， 化简得，． ， ． ， 当时，， ， 故④正确． 综上，正确的结论为②③④． 故选：D． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 把抛物线向_______平移_______个单位长度，就得到抛物线 【答案】 ①. 上 ②. 1 【解析】 【分析】根据向上平移常数项加平移的长度求解． 【详解】解：根据题意可得，抛物线向上平移1个单位长度，就得到抛物线． 10. 写出一个一元二次方程使它有一个根为2，且两根之和是，这个一元二次方程是________（只要写出一个） 【答案】 【解析】 【分析】该题考查了一元二次方程根与系数关系，设一元二次方程的一个根为2，根据根与系数的关系，由两根之和求出另一个根，再根据两根之积构造方程． 【详解】解：设另一个根为， 由根与系数的关系，两根之和为， 解得． 两根之积为． 取（为了消除分母）， 则两根之和，两根之积， 故方程为：． 故答案为：（答案不唯一）． 11. 关于x的一元二次方程，有一个根是0，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】将代入，再解出m即可． 【详解】将代入，得：， 解得：． 故答案为：2． 【点睛】本题考查一元二次方程的解得定义．掌握方程的解就是使等式成立的未知数的值是解题关键． 12. 有若干支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则有________支球队． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设共有支球队，则每两队之间比赛一场，共比赛场数为，根据总场数45列出方程求解，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设共有支球队，则每两队之间比赛一场，共比赛场数为， 根据题意，有， 方程两边同时乘以2，得， 整理得， 因式分解得， 解得或， 由于球队数量为正整数， 故， 故答案为：10． 13. 点，在二次函数的图象上，若，，则与的大小关系是__________．（填“”、“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能求出对称轴和根据二次函数的性质求出正确答案是解此题的关键；先根据二次函数的解析式判断出抛物线的开口方向及对称轴，根据图象上的点的横坐标距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小． 【详解】解：∵二次函数 的对称轴为 ，抛物线开口向上， 且，， ∴点横坐标离对称轴的距离小于点横坐标离对称轴的距离， ∴， 故答案为：． 14. 若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为，则该菱形的边长为________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】设菱形两条对角线长分别为、．利用根与系数的关系和菱形面积公式得到相关等式．再结合勾股定理求出菱形的边长即可． 【详解】解：设菱形的两条对角线长分别为、． ∵,是一元二次方程的两个实数根． ∴由根与系数的关系得 ． ∵菱形面积为． ∴．解得 ． ∴菱形的边长为 ． 15. 已知二次函数，函数与自变量的部分对应值如表， … 0 1 2 … … 3 6 7 6 … 根据表格中的信息，得到如下结论： ①二次函数的图象开口向上； ②求该二次函数的表达式时，可设； ③关于的一元二次方程的两个根为0或2； ④若，则． 以上结论正确的是______________． 【答案】③④##④③ 【解析】 【分析】根据表格数据确定二次函数的对称轴和解析式，再逐一判断各结论. 【详解】解：∵和时，均为， ∴二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为; 设二次函数解析式为， 将代入得：，解得, 逐一判断各结论：① ，二次函数图象开口向下，故①错误; ② 顶点横坐标为，求解析式应设为，故②错误; ③ 当时，对应的为和，因此一元二次方程的两个根为或，故③正确; ④ ∵对称轴为直线，时， ∴关于对称轴的对称点是，即时, ∵开口向下， ∴当时，，故④正确. 综上：③④正确. 16. 如图1，正方形纸片的边长为2，翻折、，使两个直角的顶点重合于对角线上一点P，、分别是折痕（如图2）． 设（），给出下列判断：①当时，点是正方形的中心；②当时，；③当时，六边形周长的值不变④当时，六边形面积的最大值是．其中正确的是______（写出所有正确判断的序号）． 【答案】①③ 【解析】 【分析】依托正方形翻折的等线段、等角性质判定图中正方形与矩形，设表示所有线段，分别代入给定的值计算线段长度验证①②，合并同类项化简周长代数式判断③，拆分图形面积得到二次函数并用配方法求最值验证④，最终筛选出正确结论即可． 【详解】解：由折叠得，， ， 四边形是正方形， ，平分， ，， ，， ， 四边形是矩形，， ，， 四边形是正方形，四边形是矩形， 同理可得四边形是正方形，四边形是矩形， ，， 设（）， ①当时，， ， ， ， 点是的中点， 点是正方形的中心，故①正确； ②当时，，， ，， ， ， ， ，故②错误； ③当时，，， ， ，， 六边形周长为， ， ， 六边形周长的值不变，故③正确； ④当时，由③得，， 六边形面积为， ， ， ， 当时，六边形面积取最大值，为，故④错误． 三、解答题（共68分，其中17、18、19、20、23、25、26题每题5分，21、24、28题每题6分，27题7分，22题8分） 17. 解方程：； 【答案】 【解析】 【分析】利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解： ． 18. 已知是关于x的方程的一个根，求代数式的值． 【答案】4 【解析】 【分析】先将代入方程得到，再由，用整体代入法进行计算即可得到答案． 【详解】解： ． ∵是关于x的方程的一个根， ∴． ∴． ∴原式． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是掌握整体代入法进行求解． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根． （2）若方程的两实数根为满足，求k的值． 【答案】（1） 证明：关于x的一元二次方程， ， ∴方程总有两个实数根． （2） 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合一元二次方程根的判别式，可得出，进而可证出方程总有两个实数根； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得出，代入得出方程解之即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程的两实数根为， ， ， ， 解得：． 20. 已知二次函数． （1）将化成的形式，并写出其图象的顶点坐标； （2）将化成的形式，并写出此函数图象与轴交点的坐标； （3）在平面直角坐标系中，画出当时此函数的图象． 【答案】（1），顶点坐标为 （2），与x轴的交点坐标为 （3）所作函数图象如图所示： 【解析】 【分析】（1）根据配方法配成顶点式，然后可得函数的顶点坐标； （2）根据十字相乘法把函数化成的形式，然后令时进行求解即可； （3）根据二次函数图象的画法进行作图即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：， ∴该函数的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：由题意得：， 当时，则有，解得：， ∴此函数图象与轴交点的坐标为； 【小问3详解】 解：由题意可列表如下： x ….. 1 …... y ….. 5 0 0 …… 所作函数图象略． 21. 如图，菱形的对角线、交于点，交的延长线于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：四边形是菱形， ，， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形对边平行，且对角线互相垂直，得出四边形的两组对边分别平行，即可得证； （2）根据菱形的判定和性质，得出，，，，再利用勾股定理求出，即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， 四边形是菱形， ，，，， 在中，， ． 22. 综合与实践 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题． 【研究条件】 条件1：该充电站收入（单位：元）与当日充电汽车数量（单位：辆）之间成正比例关系如表： 1 2 3 4 5 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本（单位：元）与充电汽车数量之间满足：． 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： （1）根据如表数据，求与的函数关系式，并计算当时，该充电站的收入为多少元？ （2）当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时的值． 【模型应用】 （3）由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为，成本关系保持不变．已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益=收入-成本）取得最大值，请求出符合条件的值，并说明理由． 【总结反思】 函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策． 【答案】（1） 与的函数关系式为（，且为整数）；当时，该充电站的收入为2000元 （2） 收支平衡时的值为20或100 （3） 解：符合条件的值为60 理由如下： 设净收益为元，由题意得 ， ∵ ， ∴ 该二次函数开口向下，在顶点处取得最大值， ∵ 当时净收益取得最大值， ∴ 顶点横坐标为80，即， 解得. 【解析】 【分析】（1）根据正比例函数定义设解析式，代入表格中一组对应值求出比例系数，再将代入解析式计算收入； （2）根据收入等于成本的等量关系列一元二次方程，求解得到符合实际意义的根； （3）先根据净收益的定义列出二次函数表达式，结合二次函数最大值在顶点处的性质，利用顶点横坐标列方程求解． 【小问1详解】 解：设与的函数关系式为， 将，代入得， 解得， ∴（，且为整数）， 当时，（元）.  【小问2详解】 解：由题意得，收支平衡时， 即， 整理得， 因式分解得， 解得，， 均为正整数，符合实际意义； 【小问3详解】 解：略． 23. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． （1）求该函数的表达式； （2）当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值且大于0，直接写出的取值范围． 【答案】（1）该函数的表达式为 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与几何综合，解不等式，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出当时，，再分和两种情况，根据当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值可确定a的一个取值范围；再求出当时，，分和两种情况，根据当时，函数的值大于0，即可确定a的取值范围． 【小问1详解】 解：∵函数的图象经过点和， ∴， ∴， ∴该函数的表达式为； 【小问2详解】 当时， 则， 若，即时，， ∵当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值且大于0， ∴这种情况不成立； 当，即时，， ∵当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值， ∴， 解得； 当时，， 若，则， ∵当时，函数的值大于0， ∴， ∴， ∴此时； 若，则， ∵当时，函数的值大于0， ∴这种情况不成立； 综上所述，． 24. 数学史上，曾有数学家利用几何法求解一元二次方程．下面，以的求解为例，说明用几何法解一元二次方程的过程： 分析：由于，因此．如图（1）所示分别以和为两边构造一个长方形，面积为64．如图（2）所示再把该长方形分割成一个面积是的小正方形和两个面积是的小长方形，将分割后的图形重新拼接成图（3）所示的图形，则图（3）的阴影部分是边长为6的小正方形，面积为36． 通过以上图形变化将一个面积为64的长方形和一个面积为36的小正方形切拼成了一个面积为，且边长是的正方形． 显然该正方形的边长为10，故，得． 注：用几何法求解一元二次方程时，只能得到正数根． 请根据上述材料解决以下问题： 用几何方法求方程的正数根．具体过程如下： （1）仿照图（1）（2）（3）在如图所示的区域内画出图形，并标出相应的线段长度 （2）根据（1）中所画图形求出方程的正数根．（填空） 通过以上图形变化将一个面积为32的长方形和四个面积为_______的小正方形切拼成了一个面积为_______，且边长是_______的正方形．显然该正方形的边长为_______，故_______，得_______． 【答案】（1）根据题意作图如下： （2）；；；6；； 【解析】 【分析】（1）根据题意画出图形即可； （2）根据所画图形并结合题意解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：通过以上图形变化将一个面积为32的长方形和四个面积为的小正方形切拼成了一个面积为，且边长是的正方形．显然该正方形的边长为6，故，解得． 25. “踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． 如图2，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与点水平距离的处达到最高，高度为． （1）以点为坐标原点，以地面为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为，求关于的函数表达式： （2）花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意易得抛物线的顶点C的坐标为，，则可设抛物线的解析式为，然后利用待定系数法进行求解即可； （2）由题意可把，代入（1）中函数解析式进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知：抛物线的顶点C的坐标为，则可设抛物线的解析式为， ∴将点代入解析式得：， 解得：， ∴关于的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由题意可得：当时，则有， 解得：； 当时，则有， 解得：； ∵花枪在下落过程中，即， ∴当时，； 当时，； ∴的取值范围为． 26. 有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小亮根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小亮的探究过程，请补充完整： （1）函数中自变量x的取值范围是___________； （2）下表是y与x的几组对应值． x … -2 -1 0 1 3 4 5 6 … y … 0 -1 -3 5 3 m … 求m的值； （3）在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象； （4）根据画出的函数的图象，下列描述正确的有___________． ①该函数的图象是中心对称图形，对称中心的坐标是； ②该函数的图象与过点且平行于y轴的直线越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线越来越靠近而永不相交； ③当时，函数值y随自变量x的增大而减小； ④该函数的图象可以由函数的图像向右平移2单位，再向上平移1个单位而得到． 【答案】（1）； （2）当时， （3）见解析 （4）①②③④ 【解析】 【分析】（1）根据分母不为0即可得出关于x的不等式，解之即可得出结论； （2）将代入函数解析式中求出值即可； （3）用光滑的曲线连点即可画出函数图象； （4）根据函数图象逐项判断即可． 【小问1详解】 解：函数中，，即； 故答案为： 【小问2详解】 当时，． 即m的值为2； 【小问3详解】 函数的图象如图： 【小问4详解】 根据画出的函数的图象，可以得到： 该函数的图象是中心对称图形，对称中心的坐标是，故①正确； 该函数的图象与过点且平行于y轴的直线越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线越来越靠近而永不相交，故②正确； 当时，函数值y随自变量x的增大而减小，故③正确； 该函数的图象可以由函数的图像向右平移2单位，再向上平移1个单位而得到，故④正确， 故答案为：①②③④ 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，函数自变量的取值范围以及函数图象，连点成曲线画出函数图象是解题的关键． 27. 在中，，D是的中点，E为边上一动点（不与点A，C重合），连接，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，过点F作于点H，交射线于点G． （1）如图1，当时，比较与的大小；用等式表示线段与的数量关系，并证明； （2）如图2，当时，依题意补全图2，用等式表示线段之间的数量关系． 【答案】（1） 解：，，理由如下： 证明：如图，在线段上取点P，使得，连接． ∵D是中点，， ∴． ∴． ∵线段绕点B逆时针旋转得到线段， ∴，． 在四边形中，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． （2） 补全图形，如图． 【解析】 【分析】（1）在线段上取点P，使得，连接，由四边形内角和360°及，，得到，再证明，得到． （2）依据题意补全图，在AE延长线上取一点P，使得AE=EP，连接BP，按照（1）中的方法证明，再运用勾股定理及中位线性质得到，． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，理由如下： 证明：如图，在AE延长线上取一点P，使得AE=EP，连接BP， ∵线段绕点B逆时针旋转得到线段， ∴，． 又∵，， ∴， ∴． 在四边形中，，， ∴． ∵， ∴． ∵D是中点，， ∴， ∴， ∴． 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即． ∵， ∴． ∵D是中点，， ∴， ∵，， ∴，即． 【点睛】本题考查了中位线性质，勾股定理以及全等三角形的证明，其中构造中位线从而证明相关三角形全等是解题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，对于线段和点C，若是以为一条直角边，且满足的直角三角形，则称点C为线段的“从属点”． 已知点A的坐标为． （1）如图1，若点B为，在点，，，中，线段AB的“从属点”是___________； （2）如图2，若点B为，点P在直线上，且点P为线段的“从属点”，求点P的坐标； （3）点B为x轴上的动点，直线与x轴，y轴分别交于M，N两点，若存在某个点B，使得线段上恰有2个线段的“从属点”，直接写出b的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）按照“从属点”的定义分别对四个点进行分析即可； （2）分和两种情况，借助等腰直角三角形的判定和性质求解； （3）画出图象，分和两种情况，分别求出其临界值，从而得到b的取值范围． 【小问1详解】 解：，则，且为直角三角形，故是线段的“从属点”； ，则，且为直角三角形，故是线段的“从属点”； ，则不是直角边，故不是线段的“从属点”； ，则，故不是线段的“从属点”； 综上：线段AB的“从属点”是， 【小问2详解】 解：设点P的坐标为， 点P为线段AB的“从属点”， ①时，由题意可知：， 为等腰直角三角形， ，∴， 过点P作轴，垂足为F，交y轴于点E， 可知和为等腰直角三角形， ，，， 则，解得：，点P的坐标为，此时； ②时，过点P作轴，垂足为G，交x轴于点H， 同理可知：， 和为等腰直角三角形， ，，， 则，解得：， 点P的坐标为，此时； 综上，点P的坐标为：或 【小问3详解】 解：如图， 由“从属点”的定义可知：线段的从属点在射线，，上， 当时，当点B和原点重合时，若要满足线段上恰有2个线段的“从属点”，则点C在线段上 此时点，代入，得： 从而当时，总能找到点B，满足条件， 故 当时，若要满足线段上恰有2个线段的“从属点”， 如图，当点E和M重合时， 为等腰直角三角形 可得：，即，代入，得： 而当时，四条射线、、、无法与线段产生两个交点， 从而当时，总能找到点B，满足条件， 故 综上，b的取值范围是：或 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质、直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定和性质，解题关键是把握好“从属点”的定义，结合一次函数图象进行数形结合分析． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $