精品解析：福建晋江市第一中学、华侨中学2026－2027学年初三上学期阶段学情自测数学试卷

晋江一中、华侨中学2026年秋初三上学期单元检测卷 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 若方程是关于的一元二次方程，则（ ） A. B. C. D. 2. 若关于的一元二次方程有一个根为1，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 把方程配方，化成的形式可以为（ ） A. B. C. D. 5. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 6. 三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为（ ） A. 14 B. 12 C. 12或14 D. 以上都不对 7. 实数、在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是（ ） A. B. C. D. 8. 已知方程的两根分别是和，则代数式的值为（ ） A. 0 B. C. D. 9. 如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种草坪，要使草坪的面积为．设道路的宽为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． ⑤存在实数，使得 其中正确的是（） A. ①②④ B. ①②④⑤ C. ①②③④⑤ D. ①②③ 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是_______． 12. 一元二次方程的一般形式是______． 13. 若与最简二次根式是同类二次根式，则__________． 14. 在解一元二次方程时，小明看错了一次项系数，得到的解为，；小刚看错了常数项，得到的解为，．请你写出正确的一元二次方程_________． 15. 对于任意的正数、定义运算，，计算的结果为________． 16. 八角碗（碗口为正八边形）承载八方纳福的吉祥寓意，是我国古代制瓷工艺与民俗审美结合的实物见证．现有一只碗口边长为的八角碗，俯视图如图所示．若该碗能平放进底面为正方形的长方体硬纸盒（碗口与硬纸盒底面均水平），则硬纸盒底面的边长至少为__________．（精确到，硬纸盒不可变形且纸盒壁、碗壁厚度均忽略不计，参考数据：） 三．解答题（共9小题，满分86分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2）； （3）． 20. 已知关于的一元二次方程 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根为，，且，求的值． 21. 【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：若设（其中均为整数），则有．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： 【问题解决】 （1）若，当均为整数时，则　 　，　 　．（均用含m、n的式子表示） （2）若，且均为正整数，分别求出的值． 【拓展延伸】 （3）化简． 22. 根据素材完成任务． （1）【素材1】生产某款零部件的一间工厂因引入一体化加工，生产效率提升，4月份生产100个零部件，同年6月份生产144个．求4月份到6月份生产数量的平均增长率； （2）【素材2】该零部件成本为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为600个，售价每上涨1元，月销售量减少10个．批发商为使月销售利润达到10000元，且尽可能让消费者得到实惠，实际售价应定为每个多少元？ 23. 阅读下列材料： 若设关于x的一元二次方程的两根为，，那么由根与系数关系得：， ∵， ∴． 于是二次三项式可分解为．这种因式分解的方法叫求根法，请你利用这种方法完成下面问题： （1）请用上面方法分解二次三项式； （2）如果关于x的二次三项式能用上面方法分解因式，求m的取值范围； （3）若关于x的方程的两个根为c，d，请直接写出关于x的方程的两个根（用含a，b的代数式表示）． 24. 综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 （1）利用完全平方公式将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式的最小值，可知，当时，有最小值，最小值是____________ ．配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式，原式_________________________ ． （2）【项目解决】当a，b，c分别为的三边长，且满足时，直接写出c的取值范围． （3）如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值 ． 25. 对于关于x的代数式，若存在实数m，使得当时，代数式的值等于，则称m为这个代数式的“逆值”．把该代数式的最大逆值与最小逆值的差称为“逆域值”．例如：对于关于x的代数式，当时，代数式的值等于0；当时，代数式的值等于，我们就称0和1都是这个代数式的逆值，逆域值为． （1）代数式的逆值是________． （2）判断代数式是否存在逆值，若有，请求出代数式的逆值；若没有，则说明理由． （3）①若关于x的代数式的逆域值为0，求a的值； ②若关于x的代数式的逆域值为正整数，求整数b的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 晋江一中、华侨中学2026年秋初三上学期单元检测卷 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 若方程是关于的一元二次方程，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解一元一次不等式，绝对值方程等知识点，深刻理解一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义可得且，解该一元一次不等式和绝对值方程即可得出答案． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴且， 解得：． 故选：B 2. 若关于的一元二次方程有一个根为1，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的定义，理解一元二次方程根的意义是解题的关键．能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根，将已知根代入方程即可求出m的值. 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根为1， ∴将代入方程得：， 即， 整理得：， 解得：， 故选：A． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A. ，不是同类二次根式，不能合并 B. ，故该选项正确，符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 4. 把方程配方，化成的形式可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，通过配方法将二次方程转化为完全平方形式，解题的关键步骤是添加一次项系数一半的平方． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：， 即． 故选：B． 5. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】先根据判别式＞0，求出m的范围，进而即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，解得：m＜9， m的值可能是：8． 故选：A. 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式与根的情况的关系，掌握一元二次方程有两个不等的实数解，则，是解题的关键． 6. 三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为（ ） A. 14 B. 12 C. 12或14 D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】解方程得x＝5或x＝7，由三角形三边满足的条件可知x＝7不合题意，x＝5符合题意，由此即可求得周长． 【详解】解：解方程x2−12x＋35＝0 得x＝5或x＝7， 又3＋4＝7， 故长度为3，4，7的线段不能组成三角形， ∴x＝7不合题意， ∴三角形的周长为3＋4＋5＝12． 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，三角形三边满足的条件，解题关键是掌握三角形三边满足的条件． 7. 实数、在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，先根据数轴判断的正负，再根据绝对值和二次根式的性质化简，然后算加减即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选B． 8. 已知方程的两根分别是和，则代数式的值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用根的定义对所求代数式降次化简，再利用根与系数的关系整体代入计算即可. 【详解】∵和是方程的根， ∴，， ∴， ∴. 9. 如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种草坪，要使草坪的面积为．设道路的宽为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移的性质可得草坪正好是一个长方形，其长为，宽为，据此列出方程即可． 【详解】解：由平移的性质可知，草坪正好是一个长方形，其长为，宽为， 则可列方程为． 10. 对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． ⑤存在实数，使得 其中正确的是（） A. ①②④ B. ①②④⑤ C. ①②③④⑤ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式，正确的变形是解题的关键．根据一元二次方程根与判别式的关系、根的定义及代数变形逐一判断各命题． 【详解】解：∵若，则是方程的根，此时判别式，当方程有两个相等的实数根时，；当方程有两个不同的实根时，， ∴判别式，故①正确； ∵方程有两个不等实根，则其判别式，即， ∴方程的判别式，故②正确； ∵若c是方程的根，则，即，当时，不一定为0，故③错误； ∵是方程的根，则，， ，故④正确； ∵存在实数使，如取，则需，取即可(若，取，)，故⑤正确． 综上，正确的是①②④⑤． 故选：B． 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数非负，分式分母不为零，列不等式组，即可得到自变量的取值范围． 【详解】解：根据题意可得， 解不等式，得， 解不等式，得， 综上，自变量的取值范围是． 12. 一元二次方程的一般形式是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，直接利用多项式乘以多项式运算法则去括号，进而合并同类项求出即可． 【详解】解： ， 整理得： 故答案为： 13. 若与最简二次根式是同类二次根式，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据同类二次根式的定义求出、的值，再把、的值代入代数式求值． 【详解】解：化简可得：， 与最简二次根式是同类二次根式， ， 解得：， ． 14. 在解一元二次方程时，小明看错了一次项系数，得到的解为，；小刚看错了常数项，得到的解为，．请你写出正确的一元二次方程_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 由小明看错了一次项系数，利用两根之积等于，可求出值，由小刚看错了常数项，利用两根之和等于，可求出值，进而可得出正确的一元二次方程． 【详解】解：∵小明看错了一次项系数， ， ∵小刚看错了常数项， ， ， ∴正确的一元二次方程为． 故答案为：． 15. 对于任意的正数、定义运算，，计算的结果为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据定义新运算可得：，然后利用二次根式的乘法法则，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， 故答案为：． 16. 八角碗（碗口为正八边形）承载八方纳福的吉祥寓意，是我国古代制瓷工艺与民俗审美结合的实物见证．现有一只碗口边长为的八角碗，俯视图如图所示．若该碗能平放进底面为正方形的长方体硬纸盒（碗口与硬纸盒底面均水平），则硬纸盒底面的边长至少为__________．（精确到，硬纸盒不可变形且纸盒壁、碗壁厚度均忽略不计，参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】八角碗可以看成是由正方形分别在四个角上截去全等的等腰直角三角形构成的正八边形，由题意在等腰直角三角形中求出，进而表示正方形边长即可． 【详解】解：如图，八角碗可以看成是由正方形分别在四个角上截去全等的等腰直角三角形构成的正八边形，同时，等腰直角三角形的斜边长等于正八边形的边长， ∴， 设， ∴，即， 解得，， ∴正方形边长为， ∵要将八角碗放进底面为正方形的长方体硬纸盒， ∴硬纸盒底面的边长至少为． 三．解答题（共9小题，满分86分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： 或 ， 【小问2详解】 解： ， 19. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出，，再结合完全平方公式计算即可得出结果； （2）将先通分，再整体代入，计算即可得出结果； （3）直接代入、的值计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可得，， ∴； 【小问3详解】 解：． 20. 已知关于的一元二次方程 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根为，，且，求的值． 【答案】（1） 证明：， ， 方程总有两个实数根； （2）或 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式进行证明即可； （2）根据韦达定理求出，再由进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意可得：， ， ， 解得或． 21. 【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：若设（其中均为整数），则有．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： 【问题解决】 （1）若，当均为整数时，则　 　，　 　．（均用含m、n的式子表示） （2）若，且均为正整数，分别求出的值． 【拓展延伸】 （3）化简． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【解析】 【分析】（1）将展开，利用恒等式的性质，进行求解即可； （2）将展开，得到，求出正整数解即可； （3）将转化为，进行求解即可． 【详解】解：（1）， ∵，且均为整数， ， 故答案为：； （2）， ∵， ∴ ， 又∵均为正整数， ∴ 或， 即或； （3）． 【点睛】本题考查完全平方公式，二次根式的化简．理解并掌握题干中给定的解题方法，是解题的关键． 22. 根据素材完成任务． （1）【素材1】生产某款零部件的一间工厂因引入一体化加工，生产效率提升，4月份生产100个零部件，同年6月份生产144个．求4月份到6月份生产数量的平均增长率； （2）【素材2】该零部件成本为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为600个，售价每上涨1元，月销售量减少10个．批发商为使月销售利润达到10000元，且尽可能让消费者得到实惠，实际售价应定为每个多少元？ 【答案】（1）平均增长率为 （2）实际售价应定为每个元 【解析】 【分析】（1）设该工厂4月份到6月份生产数量的平均增长率为，根据题意列方程，解方程即可； （2）设涨价元，则售价为元，销量为个，根据题意列出方程，解方程，再结合要尽可能让购买方得到实惠，确定的值，即可． 【小问1详解】 解：设平均增长率为 ． 解得或（不合实际，舍去）， 答：4月份到6月份生产数量的平均增长率为； 【小问2详解】 解：设涨价元，则售价为元，销量为个， 每个利润为元， 由题意得， 整理得， 解得或， 尽可能让消费者得到实惠， ， ， 答：实际售价应定为每个元． 23. 阅读下列材料： 若设关于x的一元二次方程的两根为，，那么由根与系数关系得：， ∵， ∴． 于是二次三项式可分解为．这种因式分解的方法叫求根法，请你利用这种方法完成下面问题： （1）请用上面方法分解二次三项式； （2）如果关于x的二次三项式能用上面方法分解因式，求m的取值范围； （3）若关于x的方程的两个根为c，d，请直接写出关于x的方程的两个根（用含a，b的代数式表示）． 【答案】（1） （2）且 （3）， 【解析】 【分析】此题考查了分解因式，根的判别式及根与系数的关系，理解题意，掌握求根法是解题的关键． ()令多项式等于，得到一个一元二次方程，利用公式法求出方程的两解，代入 中即可把多项式分解因式； ()因为此二次三项式在实数范围内能利用上面的方法分解因式，所以令此二次三项式等于，得到的方程有解，即大于等于，列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到的取值范围； ()根据()的方法求得两根，再用换元法即可得到结论； 【小问1详解】 解：令， ∵，，， ， ∴， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：令 ， 由二次三项式能用上面的方法分解因式，则可得方程有解， ∴， 整理得，， 解得， 又∵且， ∴且； 【小问3详解】 解：∵方程的两根是， ∴， ∴， ∵当时，代入上式，得， ∴是方程的一个根， 同理，也是方程 的一个根， ∴方程的两个根为 或， 在方程中，设， 得， ∴或， ∴或， 解得， ， ∴方程的根是，． 24. 综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 （1）利用完全平方公式将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式的最小值，可知，当时，有最小值，最小值是____________ ．配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式，原式_________________________ ． （2）【项目解决】当a，b，c分别为的三边长，且满足时，直接写出c的取值范围． （3）如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值 ． 【答案】（1）；； （2） （3）8 【解析】 【分析】（1）根据配方法进行配方，利用因式分解即可； （2）把化为，再利用三角形三边关系进一步求解即可； （3）由，结合，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴当时，有最小值，最小值是． 分解因式，原式． 【小问2详解】 解：， ， ， ，， ，， ∵， ∴． 【小问3详解】 解：∵在四边形中，， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴四边形面积的最大值为． 25. 对于关于x的代数式，若存在实数m，使得当时，代数式的值等于，则称m为这个代数式的“逆值”．把该代数式的最大逆值与最小逆值的差称为“逆域值”．例如：对于关于x的代数式，当时，代数式的值等于0；当时，代数式的值等于，我们就称0和1都是这个代数式的逆值，逆域值为． （1）代数式的逆值是________． （2）判断代数式是否存在逆值，若有，请求出代数式的逆值；若没有，则说明理由． （3）①若关于x的代数式的逆域值为0，求a的值； ②若关于x的代数式的逆域值为正整数，求整数b的值． 【答案】（1）和2 （2） 令， 移项得， 判别式， 则方程无实数根， 因此代数式不存在逆值； （3）①；②1，，2 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用、新定义问题，熟练掌握一元二次方程的解法，正确理解新的定义是解题的关键． （1）令，通过因式分解的方法解一元二次方程即可； （2）令，通过判别式，得到方程无实数根，因此代数式不存在逆值； （3）①令，由于逆域值为0，则说明有两个相等解，通过判别式，解出的值即可； ②令，设方程的两根为，， 由韦达定理得出逆域值为：，化简得到，由于逆域值为正整数，且b为整数，求出或，验证的值是否满足题意即可． 【小问1详解】 解：令 移项得 因式分解得 令或 解得或 故答案为：和2； 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：①令， 移项得， 由于关于x的代数式的逆域值为0， 则此方程有两个相等的实数根， 所以， 整理得：，即， 解得：； ②令， 移项得， 设方程的两根为， 由韦达定理得， ，， 逆域值为：， 先将化简： ， 所以， 由于逆域值为正整数，且b为整数，所以或， 当时，；当时，； 当时，；当时，，舍去， 因此整数b的值为1，，2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $