福建三明市尤溪县第二中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026-2027学年第一学期九年级第一次月考 数学试卷 姓名： 班级： 座位号： 一、选择题(10小题，每小题4分，共40分) 1、下列方程是一元二次方程的是() -3 B.3x2+y=3 C.x3-2x-4=0 D.(x-1)2+1=0 2、下列说法中不正确的是() A.一组邻边相等的平行四边形是菱形 B.有一个角是直角的平行四边形是矩形 C.正方形的对角线互相垂直平分 D.对角线相等的四边形是矩形 3、两个完全相同的菱形叠放在一起，重叠部分为正八边形，则菱形较小内角的 度数为() A.60° B.55° C.45 D.30° 4、已知x=2是关于x的一元二次方程ax-4=0的根，则a的值为() A.-2 B.0 C.1 D.-1 5、一元二次方程x2+4x-2=0配方后可变形为() A.(x-2)2=2 B.(x+22=6C.(x-4)2-18D.(x-4)2=6 6、据国家统计局发布的《2023年国民经济和社会发展统计公报》显示，2021 年和2023年全国居民人均可支配收入分别约为3.51万元和3.92万元.设 2021年至2023年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x,依题意可列 方程为() A.3.51(1+x)=3.92 B.3.51(1+2x)=3.92 C.3.51(1+x)2=3.92 D.3.92(1+x)2=3.51 7、木匠要制作矩形踏板，如图他先在一个对边平行的长木板的一边做一个点标 记A,然后在对边任一点再做一个标记B,连接AB,取AB中点Q则以下操作 与判断正确的是( A.过点O作任意直线交木板两边于C、D,得到矩形ACBD B.过点O作AB的垂线I交木板两边于C、D,得到矩形4CBD C.在木板上任意找两点C、D,使得AC=BD,得到矩形4CBD D.分别过点A、B作垂线，交对边于C、D,连接AC、BD, 得到矩形ACBD 8、如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是DC的中 点，BE⊥DC,连接OE.若OE=2,则BE=( A.4 B.25 C.25 D.6 9、已知关于x的方程x+2x+m=0没有实数根，则m的取值范围 是() A.m≤1 B.m<1 C.m≥1 D.m>1 1O、已知：如图，在正方形ABD外取一点E,连接AE,BE,DE.过点A作AE 的垂线交DE于点P,若AE=AP=3V2,PB=10.下列结论：①△APD≌△ AEB②∠AEB=135°：③B=-8:④Sam+Sam=33:⑤CD=11.其中正确的 个数是() A.2个 B.3个C.4个D.5个 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11、已知菱形ABCD中对角线AC、BD相交于点O,若菱形的边长 为5，一条对角线长为6，则另一条对角线长为 12、方程3x2-5x-2=0的二次项系数为3，一次项系数为 13、方程(2x-3)(x+2)=2x-5)化为一般形式为 14、如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,AE⊥BD于点E,AE=V5 BD=6,则OE的长为 15、已知m、n是方程x+4x-5=0的两个实数根，则m+4叶m的值为 16、如图，菱形ABD的对角线ACG,BD相交于点O,P为AB边上一 动点（不与点A,B重合），PE⊥OA于点EPF⊥OB于点F,若 AB=4,∠B4D=60°，则EF的最小值为 三、解答题（本大题共9小题，总分86分） 17、解下列方程(16分) (1)2+4x-5=0: (2)2x(x+7)=3(x+7). (3)x2-4x-3=0. (4)3x2+8x-4=0. 18、(8分)如图，在菱形AD中，E,F分别是边AB,BC的中点，求证：DE= DF. 19、(8分)如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD=7S°. (I)请用尺规作图法，在AD上找点F:使AF=BF(不 要求写作法，保留作图痕迹)： (2)在(1)条件下，连接BF,求∠ABF的度数. B 20、(8分)已知关于x的一元二次方程+(m+3)x+m+1=0. (1)求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根： (2)若x=-2是方程的一个根，求m的值. 21、(10分)某商店销售一种商品，已知该商品每件成本为 8元，原售价定为每件20元时，每天可销售 50件。根据销售经验，每件售价每降低1元，日销售量可增加10件。 (1)若将该商品每件售价定为17元，每天可销售多少件？ (②)商店想在保证销售量尽可能大的前提下，通过调整售价使每天的利润达到 660元，该商品每件售价应定为多少元？ 22、(10分)如图，菱形ABCD中，对角线4AC,BD交于点O,点F是CD的中点， 延长OF到点E,使EF=OF,连接CE,DE, (1)求证：四边形DOCE是矩形： (2)若OE=2,∠ABC=120°，求菱形ABCD的面积. 23、(12分)配方法是数学中重要的一种思想方法.所谓配方法是指将一个式子 的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法.这种方法 经常被用到代数式的变形中，帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、 最小值等问题. 【材料一】我们定义：一个整数能表示成+B(a,b是整数)的形式，则称这 个数为“完美数”.例如，5是“完美数”，理由：因为5=2+12，再如，=+2x42 =(x+y)+,(x,y是整数)，所以M也是“完美数” 【材料二】例如，把二次三项式-2x+3进行配方，可求其最值. 解：X2-2x+3=2-2x+1+2=(2-2x+1)+2=(x-1)42 当x=1时，-2x+3的最小值为2. 请通过阅读以上材料，解决以下问题： 【解决问题】 (1)下列各数中，“完美数“有 (只填序号)： ①11：②34：③39：④60. 【探究问题】 (2)若2-6+13可配方成(x-m)+i(m,n为正整数)，则而的值为一 4 (3)已知S=+4ab5B-8b+k(a,b是整数，k是常数)，要使S为“完美数”， 试求出符合条件的一个k值，并说明理由： 【拓展应用】 (4)已知实数x,y均满足x-=1,求代数式+22-4x+2028的最小值. 24、(14分)【问题探究】 (1)如图1，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,在线段AO上任 取一点P(端点除外)，连接PD,PB. ①求证：PD=PB: ②将线段DP绕点P逆时针旋转，使点D落在B4的延长线上的点Q处，当点P在 线段AO上的位置发生变化时，∠DPQ的大小是否发生变化？请说明理由： ③在探究AQ与OP的数量关系时，小颖作了如图2的辅助线：作PM⊥AB于点， 作PN⊥AD于点N,作PE⊥AO交AB于点E作EF⊥OB于点F,请你直接写出AQ 与OP的数量关系. 【迁移探究】 (2)如图3，将(1)中正方形ABCD换成菱形ABCD,且∠ABC=6O°，其他条件 不变，试探究AQ与CP的数量关系，并说明理由， D N 0 AM E 图1 图2 图3 5 2026-2027学年(上)九年级数学第一次月考答案 1、 选择题（10小题，每小题4分，共40分） 1、 D 2、D 3、C 4、C 5、B 6、C 7、D 8、C 9、D 10、C 2、 填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11、已知菱形ABCD中对角线AC、BD相交于点O，若菱形的边长为5，一条对角线长为6，则另一条对角线长为__8__。 12、方程的二次项系数为3，一次项系数为 -5 ． 13、方程((2x-3)(x+2)=2x-5)化为一般形式为__2x2-x﹣1＝0_。 14、如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD于点E，，BD＝6，则OE的长为 　 2 　 ． 15、已知m、n是方程x2+4x﹣5＝0的两个实数根，则m2+4m+mn＝0的值为__0_。 16、如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AB＝4，∠BAD＝60°，则EF的最小值为 　 　 ． 3、 解答题（本大题共9小题，总分86分） 17、解下列方程（16分） （1）x2+4x﹣5＝0； （2）2x（x+7）＝3（x+7）． （3）x2﹣4x﹣3＝0． （4）3x2+8x﹣4＝0． 解：（1）x2+4x﹣5＝0， （x﹣1）（x+5）＝0， x﹣1＝0或x+5＝0， ∴x1＝1，x2＝﹣5； （2）移项，得 2x（x+7）﹣3（x+7）＝0， （x+7）（2x﹣3）＝0， ∴x+7＝0或2x﹣3＝0， ∴x1＝﹣7， （3）x1＝2+, x2＝2- （4）∵a＝3，b＝8，c＝﹣4． ∴Δ＝b2﹣4ac＝82+4×3×4＝112＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， ． 即． 18、（8分）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AB，BC的中点，求证：DE＝DF． 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝CB＝AD＝CD，∠A＝∠C， ∵E，F分别是边AB，BC的中点， ∴AE＝CF， 在△ADE和△CDF中， ， ∴△ADE≌△CDF（SAS）， ∴DE＝DF． 19、（8分）如图，是菱形的对角线，． （1）请用尺规作图法，在上找点；使(不要求写作法，保留作图痕迹)； （2）在（1）条件下，连接，求的度数． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，． ∴，， ∴，     ∵， ∴． 20、（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0． （1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）若x=-2方程的一个根，求m的值， 解:（1）证明：由题意得，Δ＝b2﹣4ac＝（m+3）2﹣4×1•（m+1） ＝m2+2m+5 ＝（m+1）2+4＞0， ∴无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根； (2)∵x=-2是原方程的根 ∴4-2(m+3)+m+1=0 ∴m=-1 21、（10分）某商店销售一种商品，已知该商品每件成本为 8 元，原售价定为每件 20 元时，每天可销售 50 件。根据销售经验，每件售价每降低 1 元，日销售量可增加 10 件。 (1) 若将该商品每件售价定为 17 元，每天可销售多少件？ (2) 商店想在保证销售量尽可能大的前提下，通过调整售价使每天的利润达到 660 元，该商品每件售价应定为多少元？ 解:(1)降价：20-17=3（元） 销量：50+3×10=80（件） 答：每天可销售 80 件。 (2)设每件降价x元，则单件利润(12-x)元，日销量(50+10x)件。 22、（10分）如图，菱形中，对角线交于点，点是的中点，延长到点，使，连接．  （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 【详解】（1）证明：∵点是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴，即， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形的面积为 23、（12分）配方法是数学中重要的一种思想方法．所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法经常被用到代数式的变形中，帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题． 【材料一】我们定义：一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为5＝22+12，再如，M＝x2+2xy+2y2＝（x+y）2+y2，（x，y是整数），所以M也是“完美数”． 【材料二】例如，把二次三项式x2﹣2x+3进行配方，可求其最值． 解；x2﹣2x+3＝x2﹣2x+1+2＝（x2﹣2x+1）+2＝（x﹣1）2+2 当x＝1时，x2﹣2x+3的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题： 【解决问题】 （1）下列各数中，“完美数“有 　 　 （只填序号）； ①11；②34；③39；④60． 【探究问题】 （2）若x2﹣6x+13可配方成（x﹣m）2+n2（m，n为正整数），则mn的值为 　 　 ； （3）已知S＝a2+4ab+5b2﹣8b+k（a，b是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由； 【拓展应用】 （4）已知实数x，y均满足x﹣y2＝1，求代数式x2+2y2﹣4x+2028的最小值． 解：（1）由于②34＝52+32， 所以②是完美数， 故答案为：②； （2）由y＝x2﹣6x+13＝（x﹣3）2+4， ∵y＝x2﹣6x+13可配方成y＝（x﹣m）2+n2， ∴y＝（x﹣3）2+22＝（x﹣3）2+22， ∴m＝3，n＝2， ∴mn＝32＝9， 故答案为：9； （3）k＝16；理由如下： ∵S＝a2+4ab+5b2﹣8b+k ＝（a+2b）2+b2﹣8b+16 ＝（a+2b）2+（b﹣4）2， ∴k＝16； （4）∵x﹣y2＝1， ∴x﹣1＝y2≥0， ∴x≥1， ∴x2+2y2﹣4x+2028 ＝x2+2（x﹣1）﹣4x+2028 ＝x2﹣2x+2026 ＝x2﹣2x+1+2025 ＝（x﹣1）2+2025≥2025， 当x＝1时，x2+2y2﹣4x+2028的最小值为2025． 24、（14分）【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，对角线与相交于点O，在线段上任取一点P（端点除外），连接，． ①求证：； ②将线段绕点P逆时针旋转，使点D落在的延长线上的点Q处，当点P在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由： ③在探究与的数量关系时，小颖作了如图2的辅助线：作于点M，作于点N，作交于点E，作于点F，请你直接写出与的数量关系． 【迁移探究】 （2）如图3，将（1）中正方形换成菱形，且，其他条件不变，试探究与的数量关系，并说明理由． 【详解】（1）①证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴； ②的大小是不发生变化，； 理由：作于点M，作于点N，如图， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； ③； 作于点M，作于点N，作交于点E，作于点F， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，∴∠EFB=∠FEB=45∴EF=BF ∴BE=BF∴． （2）； 理由：∵四边形是菱形， ∴垂直平分， ∴， 由旋转知：， ∴， 作交AB于点E，交于点G，如图 则四边形是平行四边形，， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵ ∴是等边三角形， 同理与都是等边三角形， ∴， 作于点M， 则，， ∴， ∴ ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $