精品解析：福建省泉州市晋江市养正中学 2024-2025学年九年级上学期第二次月考数学试卷

2024-2025学年福建省泉州市晋江市养正中学九年级（上） 第二次月考数学试卷 一、选择题（共10小题．每小题4分，共40分） 1. 若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，可得出关于的不等式，解出即可得出答案． 【详解】解：二次根式有意义， ， 解得：． 故选：B． 【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的被开方数为非负数，难度一般． 2. 用配方法解方程时，配方后的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用配方法进行配方即可． 【详解】解： 移项得：， 配方得：， 合并得： 故选：B． 【点睛】本题考查了配方法，解决本题的关键是牢记配方法的步骤，本题较基础，考查了学生对基础知识的掌握与基本功等． 3. 如图，在中，点D、E分别在边上，与边不平行，那么下列条件中，能判定是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定进行判断即可． 【详解】解：由题意知，，，， 选项A、B错误，故不符合题意； ∵， ∴， 又∵ ∴， C正确，故符合题意； ∵， ∴，但无法判定， D不符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定条件是解题的关键． 4. 若，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】原式利用二次根式性质，以及绝对值的代数意义判断即可确定出a的范围． 【详解】解：∵二次根式具有非负性，即， ∴，解得． 故选：B. 【点睛】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 5. 如图，在中，，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求角的正切值、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．先利用勾股定理求出的长，再根据正切的定义得出，代入数据即可求解． 【详解】解：， ， 在中，． 故选：C． 6. 如图，在中，，D，E分别是边，的中点，F是边的中点，连接，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理得到，从而得到， 再根据直角三角形斜边中线定理得到，再根据等边对等角得到，最后求出即可． 【详解】解：∵D，E分别是边，的中点， ∴， ∴， ∵，F是边的中点， ∴， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边中线定理，等边对等角，解题的关键是熟练运用和角有关的性质定理． 7. 等腰三角形的一边长是4，方程的两个根是三角形的两边长，则m为（ ） A. B. C. D. 7或8 【答案】D 【解析】 【分析】两种情况，4为腰和4为底边，而一元二次方程的两根也分为两种情况：①一边为腰一边为底，此时代入4即可求解，②两边都为腰，此时判别式为0，代入数值即可求解． 【详解】①一边为腰一边为底，当4为底时，有 ，解得，此时 解得另一个根为2，而此时2+2=4，不合题意舍去； 同理，当4为腰时，解得另一根为2，三角形三边分别为4、4、2，满足三角形三边关系 故m=7 ②方程两根都为腰，此时 即，解得m=8 综上所述，m=7或8 故选D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，一元二次方程的判别式，关键是分情况讨论一元二次方程解的情况． 8. 抛物线的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．利用配方法把一般式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可． 【详解】解：∵ ， ∴顶点坐标为． 故选：D． 9. 如图，已知：点，点B在的正半轴上．将线段AB绕点A顺时针旋转，点B恰好落在轴上位置；将线段沿轴向下平移个单位到的位置．则点的坐标是( ) A. （，） B. （，） C. （，） D. （，） 【答案】C 【解析】 【分析】先得出，根据旋转的性质有：，，即可得，在中，有：，即有，可得，再根据平移即可作答． 【详解】∵， ∴， 根据旋转的性质有：，， ∴， ∴在中，有：， ∴利用勾股定理可得：， ∴， ∵将线段沿轴向下平移个单位到， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了图形与坐标，旋转的性质、图形的平移，勾股定理以及含角的直角三角形的性质等知识，掌握旋转的性质、图形的平移，是解答本题的关键． 10. 如图，在四边形中，，，，，则（　　） A. B. 5 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】延长，两线交于点E，根据已知计算，根据直角三角形的性质，和特殊角的函数值计算即可． 【详解】延长，两线交于点E，如图， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了辅助线构造直角三角形，直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，熟练掌握直角三角形的性质，特殊角的三角函数值是解题的关键． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知，则________． 【答案】##0.2 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的拆分与代数式的求值，熟练掌握分式的拆分变形并结合已知比例代入计算是解题的关键．将所求分式拆分为含的形式，再代入已知的值计算． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为． 12. 已知，它们的周长分别为3和1，则面积之比为 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．根据相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方进行计算即可． 【详解】解：∵，它们的周长分别为3和1， ∴的相似比是， ∴面积之比为， 故答案为：． 13. 将二次函数的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位所得图象的函数关系式是___________． 【答案】 【解析】 【分析】由知顶点坐标为，根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为，  ∴当图象沿x轴向左平移1个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后顶点坐标为，即， ∴所得图象的函数表达式为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键． 14. 对于函数（a为常数），当时，，则当时，___________． 【答案】2 【解析】 【分析】直接把，代入求出a值，再令即可． 【详解】解：将，代入中，得：， 解得：， ∴， 令，则， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． 15. 如图，某防洪指挥部发现长江边一处坝高10米，背水坡的坡角为的防洪大堤（横断面为梯形）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡的坡度，则加固后坝底增加的宽度____________________． 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数关系是解题的关键．过点作于点，过点作于点．解，，得出，根据即可求解． 【详解】解：过点作于点，过点作于点． 依题意：（米），（米） 在中，， （米） 在中，  （米） （米） 故答案为：米． 16. 在中，，，连接，若，，的面积为7.5，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】先推出∠3=∠4，从而得，进而得，由，得，设AE=5x，则CE=BE=6x，根据三角形的面积公式，列出方程，进而即可求解． 【详解】解：∵AB=AC， ∴∠1=∠2， ∵BD∥AC， ∴∠3=∠2=∠1， 又∵， ∴2∠3+∠5=90°， 过点C作CF⊥BD交BD的延长线于点F， ∴∠3+∠4+∠5=90°， ∴∠3=∠4， 又∵∠F=∠F， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵∠1=∠3，∠AEB=∠CFB=90°， ∴， ∴， 设AE=5x，则CE=BE=6x， ，解得：x2=， ∴AB=， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，添加辅助线构造相似三角形和直角三角形，是解题的关键． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】先计算零指数幂、负整数指数幂、去绝对值以及锐角三角函数值，最后加减运算即可． 【详解】解：原式＝1+﹣1﹣2×+3 ＝﹣+3 ＝3． 【点睛】本题主要考查涉及零指数幂、负整数指数幂、绝对值以及锐角三角函数值的混合运算，属于基础题，熟记三角函数值以及运算法则是解题关键． 18. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是利用因式分解法解一元二次方程，根据题意把方程化为两个因式积的形式是解答此题的关键．先把方程化为两个因式积的形式，再求出x的值即可． 【详解】解：∵原方程可化为：， ∴或， 解得，． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）试说明不论实数m取何值，方程总有实数根； （2）如果当时，α、β为方程的两个根，求的值． 【答案】（1） 解：， ， 不论实数m取何值，方程总有实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）计算其判别式，判断出其符号即可； （2）当时，其方程为，利用方程根的定义可求得，，代入求值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，其方程为， α、β为方程的两个根， ，， ． 【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系，掌握方程根的情况和根的判别式的关系是解题的关键． 20. 如图，在中，，，垂足为D． （1）求作的平分线，分别交，于点P，Q．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）按照角平分线的作图方法作图即可； （2）证明，求得，在中，利用三角函数的定义，即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图，以点C为圆心，任意长为半径作弧，与，相交，得到两个交点，以两个交点为圆心，大于两个交点距离的一半为半径分别作弧，连接C与两弧的交点，为所作； 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴． 【点睛】本题考查作已知角的角平分线，等腰三角形的判定，解直角三角形，熟知角平分线的作法是解题的关键． 21. 党的“二十大”期间，某网店直接从工厂以35元/件的进价购进一批纪念“二十大”的钥匙扣，售价为60元/件时，第一天销售了25件．该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，第三天的销售量达到了36件． （1）求每天销售量的平均增长率． （2）“二十大”临近结束时，钥匙扣还有大量剩余，为了尽快减少库存，网店打算将钥匙扣降价销售．经调查发现，每降价1元，在第三天的销售量基础上每天可多售2件，将钥匙扣的销售价定为每件多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）将钥匙扣的销售价定为每件56.5元时，每天可获得最大利润，最在利润是9 元 【解析】 【分析】（1）设平均增长率为，根据增长率问题列方程解应用题； （2）钥匙扣每件降价y元销售，利润为W元，列出二次函数求最值解题． 【小问1详解】 每天销售量的平均增长率为，根据题意得： 解得：，(不合题意，舍去) ∴每天销售量的平均增长率为 【小问2详解】 设将钥匙扣每件降价y元销售，利润为W元， ∴ ∵ ∴当时， ∴将钥匙扣的销售价定为每件元时，每天可获得最大利润，最在利润是元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，二次函数的实际问题，分析题意列出等量关系是解题的关键． 22. 某湿地公园观光塔由五座高度不等、错落有致的独立塔组成．在综合实践活动课中，某小组的同学决定利用测角仪测量这五座塔中最高塔的高度（测角仪高度为1米）．他们的操作方法如下：如图，他们先在B处测得最高塔塔顶A的仰角为，然后向最高塔的塔基直行90米到达C处，再次测得最高塔塔顶A的仰角为．请帮助他们计算出最高塔的高度约为多少米？（参考数据：，，） 【答案】最高塔的高度约为241米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据已知条件得出，设，得出，再根据58度角的正切值进行计算即可，能够根据仰角构造直角三角形并解直角三角形是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 解得：， ∴（米）， ∵测角仪的高度为1米，∴最高塔的高度约为241米． 答：最高塔的高度约为241米． 23. 我们知道，直角三角形的边角关系可用三角函数来描述，那么在任意三角形中，边角之间是否也存在某种关系呢？（已知） 如图，锐角中，、、所对的边分别为a、b、c，过点C作， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理得， 即， 整理可得：， 同理可得：． 利用上述结论解答下列问题： （1）在中，，求a和的大小； （2）在中，，其中，求边长c的长度． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】（1）根据给出的公式，把已知条件代入计算，求出a的值，根据勾股定理的逆定理证明直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到答案； （2）把数据代入相应的公式，得到关于c的一元二次方程，解方程得到答案． 【详解】解：（1）在中，， ∴， ∵，即， ∴为直角三角形，， 又∵， ∴； （2）∵， ∴， 化简得， 解得，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查的是新定义和解直角三角形的知识，理解新定义并正确运用新定义的公式是解题的关键，注意应熟记特殊角的三角函数值． 24. 综合与实践 在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．在矩形中，E为射线上一动点，连接． （1）当点E在边上时，将沿翻折，使点B恰好落在对角线上点F处，交于点G． 基础探究： ①如图1，若，则的度数为___________． 深入探究： ②如图2，当，且时，求的长． 拓展探究： （2）在②所得矩形中，将矩形沿进行翻折，点C的对应点为，当点E，，D三点共线时，请直接写出的长． 【答案】（1）①；②； （2）的长为或． 【解析】 【分析】（1）①利用正切函数即可求解；②证明，利用相似三角形的性质即可求解； （2）分两种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质以及勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：①∵四边形是矩形，∴， ∵，∴， 在中，， ∴， 由折叠的性质知， ∴是等边三角形，∴， 故答案为：； ②由折叠的性质知， ∴， ∵ ∴ ∴，即 ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得（负值已舍）； 【小问2详解】 解：如图，由题意得，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由折叠的性质知， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，由折叠的性质知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 综上，的长为或． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数定义、勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和折叠的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键． 25. 若关于的方程有一个解为，那么称这样的方程为“实一方程”．例如方程：有解，所以为“实一方程”． （1）下列方程是“实一方程”的有_______________； ①； ②； ③． （2）已知直线与轴交于点，与轴交于点，，且当时，关于的方程为“实一方程”，求该直线解析式； （3）已知，为“实一方程”（，，为常数，且）的两个根，试求的取值范围． 【答案】（1）①③ （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）依据题意，根据“实一方程”定义逐个计算即可判断得解； （2）依据题意，由当时，关于的方程为“实一方程”，从而可得，再由，进而求出，即可判断得解； （3）依据题意，由为“实一”方程，则方程必有一个根是，故，结合，可得，，且，可得，又，为“实一方程” 的两个根，从而其中一个是，而另一个为，故，再由，进而计算可以得解． 【小问1详解】 解：解方程得， 是“实一方程”； 解方程得，， 不是“实一方程”； 解方程得，， 是“实一方程”； 故答案为：①③； 【小问2详解】 由题意，当时，关于的方程为“实一方程”， 当时，． ． ． 又直线与轴交于点，与轴交于点， ，，． ． ． 又， ． 或． 或． 直线解析式为或． 【小问3详解】 由题意，为“实一”方程， 方程必有一个根是． ． 又， ，，且． ． ，为“实一方程” 的两个根， 其中一个是，而另一个为． ． ， ． ． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系、一元二次方程的解、待定系数法求一次函数解析式、一次函数与一元一次方程，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年福建省泉州市晋江市养正中学九年级（上） 第二次月考数学试卷 一、选择题（共10小题．每小题4分，共40分） 1. 若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 且 2. 用配方法解方程时，配方后的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，点D、E分别在边上，与边不平行，那么下列条件中，能判定是（　　） A. B. C. D. 4. 若，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 5. 如图，在中，，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，D，E分别是边，的中点，F是边的中点，连接，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 等腰三角形的一边长是4，方程的两个根是三角形的两边长，则m为（ ） A. B. C. D. 7或8 8. 抛物线的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，已知：点，点B在的正半轴上．将线段AB绕点A顺时针旋转，点B恰好落在轴上位置；将线段沿轴向下平移个单位到的位置．则点的坐标是( ) A. （，） B. （，） C. （，） D. （，） 10. 如图，在四边形中，，，，，则（　　） A. B. 5 C. 4 D. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知，则________． 12. 已知，它们的周长分别为3和1，则面积之比为 ________． 13. 将二次函数的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位所得图象的函数关系式是___________． 14. 对于函数（a为常数），当时，，则当时，___________． 15. 如图，某防洪指挥部发现长江边一处坝高10米，背水坡的坡角为的防洪大堤（横断面为梯形）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡的坡度，则加固后坝底增加的宽度____________________． 16. 在中，，，连接，若，，的面积为7.5，则___________． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）试说明不论实数m取何值，方程总有实数根； （2）如果当时，α、β为方程的两个根，求的值． 20. 如图，在中，，，垂足为D． （1）求作的平分线，分别交，于点P，Q．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下，若，，求的长． 21. 党的“二十大”期间，某网店直接从工厂以35元/件的进价购进一批纪念“二十大”的钥匙扣，售价为60元/件时，第一天销售了25件．该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，第三天的销售量达到了36件． （1）求每天销售量的平均增长率． （2）“二十大”临近结束时，钥匙扣还有大量剩余，为了尽快减少库存，网店打算将钥匙扣降价销售．经调查发现，每降价1元，在第三天的销售量基础上每天可多售2件，将钥匙扣的销售价定为每件多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？ 22. 某湿地公园观光塔由五座高度不等、错落有致的独立塔组成．在综合实践活动课中，某小组的同学决定利用测角仪测量这五座塔中最高塔的高度（测角仪高度为1米）．他们的操作方法如下：如图，他们先在B处测得最高塔塔顶A的仰角为，然后向最高塔的塔基直行90米到达C处，再次测得最高塔塔顶A的仰角为．请帮助他们计算出最高塔的高度约为多少米？（参考数据：，，） 23. 我们知道，直角三角形的边角关系可用三角函数来描述，那么在任意三角形中，边角之间是否也存在某种关系呢？（已知） 如图，锐角中，、、所对的边分别为a、b、c，过点C作， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理得， 即， 整理可得：， 同理可得：． 利用上述结论解答下列问题： （1）在中，，求a和的大小； （2）在中，，其中，求边长c的长度． 24. 综合与实践 在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．在矩形中，E为射线上一动点，连接． （1）当点E在边上时，将沿翻折，使点B恰好落在对角线上点F处，交于点G． 基础探究： ①如图1，若，则的度数为___________． 深入探究： ②如图2，当，且时，求的长． 拓展探究： （2）在②所得矩形中，将矩形沿进行翻折，点C的对应点为，当点E，，D三点共线时，请直接写出的长． 25. 若关于的方程有一个解为，那么称这样的方程为“实一方程”．例如方程：有解，所以为“实一方程”． （1）下列方程是“实一方程”的有_______________； ①； ②； ③． （2）已知直线与轴交于点，与轴交于点，，且当时，关于的方程为“实一方程”，求该直线解析式； （3）已知，为“实一方程”（，，为常数，且）的两个根，试求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $