四川省南充高级中学2026-2027学年第二次诊断考试数学试题

南充高中高2024级第二次诊断考试（南充一诊模拟考试) 数学试题参考答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1 2 3 5 6 7 8 A B C A D C C A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求，全部选对的得6分、部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9 10 11 AB AD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.1 13.4 14. 品到 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.【解析】(1)点O在B,D,的中点位置. .1分 D G 证明：取B,D中点，设为点O,连接G0,OB :G为AD的中点，.0G∥AB,且OG=54B, 又E为AB中点，：EB=AB且AB∥AB ∴.OGI∥BE且OG=BE 4分 所以，四边形OGEB为平行四边形，得BO∥EG GEC平面EFG,BO丈平面EFG .∴.BO∥平面EFG 6分 高2024级数学答案第1页共6页 (2)以D为坐标原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角 坐标系， 设AB=2,则D(0,0,0),E(2,1,0),F(2,0,1),G(1,0,2),C(0,2,0) .EF=(0,-1,D’EG=(-1,-1,2) 设平面EFG的一个法向量为m=(x,y,x) 则EF.m=0且EGm=0,得m=(11, 9分 在正方体中，CD⊥平面AADD .DC=(0,2,0)可以作为平面AADD,的一个法向量 10分 则@网列-普，片ad网- 得平面EFG与平面AADD,夹角的正切值为V2. .13分 16.【解析】(1)由数据可得，云-6+7+8+9+10-8，y-3+5+6+7+9=6, 2分 则∑(x-x)(y-)=(-2)×(-3)+(-)×(-1)+0×1+1x1+2×3=14, 3分 2(x-x-(2y+-1+0+1+2=10, .4分 厨以62-0-可列414，-板614x8=52 6分 2s-可 10 因此，y关于x的线性回归方程为：y=1.4x-5.2, …7分 当x=13时，=1.4×13-5.2=13（百元）， 高2024级数学答案第2页共6页 因此，预测单场观赛人数为13百人时特色产品单日销售额约为13百元. 8分 (2)由题意可知，“热门场次”共有3场，即5的可能取值为0,1,2， P5-0-答-05-)-答-合-号P传-2小答-a .12分 故5的分布列为 5 0 1 2 1 P 3 3 10 5 10 15分 17.【解析】（1)证明：由已知，bn=2, 当n≥1时， b1=2-a=24(非零常数) 3分 所以，数列{b}是首项为2，公比为2的等比数列. 5分 (2)对f(x)=2求导。得f'(x)=2n2, f(x)=2*在(a2,b2)处的切线为y-b2=(22n2)×(x-a2), 7分 令y0得-b,=h2kx-ah所以=a2.a3 由{a}是等差数列，4=2，.d=3-2=1,得a,=n+1 b.=2=2+1所以a,b=0m+1)-21 .10分 其前n项和：Tn=22+3.23+424++n-2+(n+1)2+1① 两边同乘以2得：2T,=223+324+425++n-2*1+(n+1)2*2② .12分 ①-②得：T-2Tn=2·22+23+24++2+1-+1)2+2 -7-2+30-2）6+1小-2m: 1-2 整理，化简得Tn=n-2+2 .15分 高2024级数学答案第3页共6页 18.【解析】(1)依题意得SA4oP=bc=6,2c=4W3, “c=2W3,b=2W3,a2=b2+c2=24.离心率e==只 a 2 .4分 (2)(①D依题意得圆D:(x-m2+0-mP=8,椭圆C:亡+ =1, 2412 .5分 点m为椭上一点，牙1，-1n 直线OM:y=kx,ON:y=kx,与圆D相切， km-n=22 k,m-n=22 V1+k2 V1+k,2 .7分 平方整理，得k,k2为方程(m2-8)k2-2mnk+(n2-8)=0的两根， 121-m -8 24 10分 m2-8 m2-8 2 (i设M(6y)N(飞%)，由（①知k=X经=所以-4号，12分 XX2 ==4, 整理行云+写24+房-1引-2。 OM2+ON=x2+y2+x3+y3=36, 15分 由基本不等式OM2+|ON2≥21OM‖OW|, 得1 OM ON18,当且仅当|OM HON I时等号成立. OMON|的最大值为18. 17分 19.【解析】(1)函数f)的定义域为(0，+o,f=nx+x=nx+l. 令=0，即nx+1=0,解得x= 当x∈o,时，fx<0,f单调递减： 、e 当xe时，fe>0,f单调透增： 3分 因此f)在x=处取得极小值（也是最小值），此时。 !=-1 ee f(x)无最大值： 高2024级数学答案第4页共6页 所以函数的最小值为-。，无最大值。 4分 (2)由题意知，即讨论g'(x)在(0，+∞)上变号零点个数 对g(x)=ae*-x2,求导可得g'(x)=ae-2x. 讨论g=0在Q+网)上的解的个数，即a=二在@+四上的解的个数。 令0-栏(x>0.则p-20， er 当x∈(0，)时，p(x)>0,p(x)单调递增：当x∈(L,+o)时，p'(x)<0,p(x)单调递减， 所以心在x=1处取得最大值，此时p0-=是 6分 且当x→0*时，p(x)→0：x→+∞时，p(x)→0. p(x)= 2x 当a≤0时，a=2在(0，+∞）上无解，此时g)在(0，+o)上无极值点： e 当0<a时，a=二在Q+m)上有2个解，此时g在Q四)上有2个极值点： 当a后时，a=答在0，)上有1个解， 但g(x)在(0，)和(1，+∞)上均大于零，故此时g(x)在(0，+o)上无极值点； 当a>名时，a=乙在@，+o)上无解，此时g在@)上无极值点： 综上，当a≤0或a≥2时，g)无极值点： 当0<a<2时，g()有2个极值点. e 9分 (3))=f+g因_xnx+ae-_ae-x+hx,其定义域为0，+o, 则h0g=a=ae-1+1_ac-6x-少，（x>0). x2 x2 令h()=0,解得x=1或a= ex 10分 设v=。(x>0),则w=1, er, 当x∈(0,1)时，'(x)>0,y(x)单调递增：当x∈(L,+o)时，(x)<0,y(x)单调递减， 高2024级数学答案第5页共6页 所以（在x=1处取得最大值，此时w()=, 且当x→0*时，w(x)→0：当x→+0时，y(x)→0. 因此(x)的大致图象如图所示， 因为)在定义域内有三个不同的极值点x,x2,,且x=1为h(x)=0的一个根， 1 所以(x)与y=a有两个不同的交点（且不等于1)，所以0<a<二， .12分 即a=。二在0+)上有两个不同的正根（且不等于1）. 不妨设x<龙<x,则0<x<1=x<x, 所以a=点-点，即e=,ae=,也即n写=+ha,h6=+na, e 所以h(x)小h(x)h(s)= =(ae-1)(1-+nx)(1-x+lnx)=(ae-1)(1+Ina)2. ..14分 令a=ce-j0+har(0ca,则pto=0+nac+eha-引 因为y=eha在0日上单调递，名在(0上单调递减， 所以ye+eha名在o 上单调递增， 2 所以3e+elna-二<3e+eln--2e=0, 0 又1+na<1+n=0,所以p(a>0, e 所以o在(Q月上单调递增。 因为8，ge必)1 .16分 因此当ae良)时p(a≥。1， 即当ae侵，)时，hx)h(x)-h(x)≥&-1恒成立， 所以实数a的取值范围是ae[侵，) .17分 高2024级数学答案第6页共6页南充高中高2024级第二次诊断考试（南充一诊模拟考试) 数学试题 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 命审题：南充高中高2024级高考中心命题组 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.请把正确答案的选项填涂在答题卡相应的位置上 1.复数z= 在复平面内对应的点所在象限是(） 2+i A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 1 2.已知p:二<1,9x>1,则p是q的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.下列函数中，既是偶函数又在区间(0，+∞)单调递增的是() A.f(x)=(x+1 B.f(x)=cosx C.f(x)=e*+ex D.f(x)=1gx 4、已知双陆线C:等茶-a>0>0的离心率为2，则双自锐C的渐近线方是为《) A.y=tv3x B.y= 3 C.y=±2x D.y= 5.已知函数f(x)=2”+x,g(x)=log2x+x,h(x)=sinx+x的零点分别是a,b,c,则a,b,c的 大小顺序是() A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a 6.在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间T=k1og2N,其中k 为常数.在此条件下，训练104个单位的数据量所需要的时间是训练103个单位的数据量所需要 的时间的（) B.2倍 C.3倍 D.4倍 7.在△4BC中，内角，B,C的对边分别为a,b,c,若a=2,b=√2，C=元，则AB边 4 上的高为() A. 5 B.2V5 5 5 C.√2 D.2 高2024级数学试题第1页共4页 8.若函数f(x)=ae-ln(x+1)+lna-l,(a>0)有两个零点，则a的取值范围是() A.(01) B.(0,e) C.(1,+oo) D.(e,+co) 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分、部分选对的得部分分，有选错的得0分。请把正确答案的选项填涂 在答题卡相应的位置上。 9.若(x+15=a。+ax+a2x2+ax3+a4x4+a5x3,则下列结论正确的有（) A.a=1 B.a1+a3+a5=16 C.数据a,a1,a2,43,a4,a5的第30百分位数是5 D.若立a=,随机变量X~(k,a2）,且P(X<24-=子，则P(X>40)-号 i=0 10.设函数fx)=V2tanx-4sinx,x∈0,2 的零点为α，极值点为B,则() A.cosa= B.B>a 4 C.tan(a-B)-4-V7 D.B是f(x)的极小值点 6 11.已知点F是抛物线T:y2=4x的焦点，AB、CD是经过点F的弦且AB⊥CD,直线AB的 斜率为k,且k>0,C,A两点在x轴上方，则（) A.抛物线T的焦点到准线的距离为2 B.O4.OB=3 1 AB CD 为一个定值 D.若AFBF=16,则直线CD的斜率为-√5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.已知平面向量a,b均为单位向量，若(a+2b)La,则川a+b= 13.已知幂函数九(m2-5m+7)x3在0，+o)上单调递减，若正数a,b满足a+2hm,则2+的 a b 最小值为 14.已知正三棱锥的侧棱长为l,其各项点都在同一球面上，若该球的表面积为12π，且√5≤sV6, 则该正三棱锥体积的取值范围是 高2024级数学试题第2页共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)如图，在正方体ABCD-AB,CD,中，E,F,G分别为AB,A4,A,D,的中点. (1)若在线段B,D上存在一点O,使BO∥平面EFG，试确定点O的位置并证明； (2)求平面EFG与平面AADD夹角的正切值. D 16.（15分)2026年9月19日南充市城市足球联赛（简称“充超”)火热开赛，赛场外同步开展特色 好物展销活动，某特色产品商统计了其中5场比赛的观赛人数与产品单日销售额.设x为单场观赛 人数（单位：百人），y为特色产品单日销售额（单位：百元），得到了如下数据： 10 y 3 6 9 (1)由数据可知y与x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程，并预测单场观赛人数为13 百人时特色产品单日销售额； (2)若观赛人数不低于8百人的场次称为“热门场次”，从这5场比赛中随机选出2场，记其中热门 场次的数量为5，求5的分布列和数学期望 者公试6那4-习 a=y-6 - 17.（15分)设等差数列{an}的公差为d,点(an,bm)在函数fx=2*的图象上（neN) (1)证明：数列{b}是等比数列； (2)若4=2，函数f(x)的图象在点(a,b,)处的切线在x轴上的截距为3-， 、，求数列{abn} In 的前n项和S, 高2024级数学试题第3页共4页 18.（17分)如图，在平面直角坐标系x0中，椭圆C:兰+广 豆+3=1(a>b>0)的上顶点为A,左焦点 为F,焦距为4V5,△AOF的面积为6，点D(m,n)为椭圆上一点，圆D的面积为8π. (1)求椭圆C的离心率； (2)过原点O作圆D的两条切线OM,ON分别交椭圆于M,N. (i)若直线OM,ON的斜率都存在，分别记为k1,k2,求k1k2的值； (ii)求1OMOW的最大值 O 19.(17分)已知函数f(x)=xlnx,g(x)=ae*-x2,a∈R (1)求函数f(x)的最值； (2)讨论函数g(x)在(0，+o)上极值点的个数； (3)设函数A()=C)+8②)，若（在定义域内有三个不同的极值点，，西，且满足 h(x)h(x)h(x)≥1-1，求实数a的取值范围