四川省德阳市2025-2026学年高三第二次诊断考试数学试卷

德阳市高中2023级第二次诊断考试 数学参考答案及评分标准 一.单项选择题（木题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题拾出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的) 题号 1 3 7 8 答案 B A 二.多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有几项是 符合题目要求的) 9 10 11 BCD BD ACD 三.填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.2 13.√2 14.16cos'x-20 cos'x+5 cosx 四，解答题（共77分，解答应写出文宇说明、证明过程或茨算步乘） 5解：(（1)在A4BC中，S=方0mB=G+-5)a血B,而0<B<,即i血B>0, a+c2-b2=ac,由余弦定理得cosB=+c-公。 2ac 2 B= 3 …6分 (2)油(1)蜘，B=等c2+c-8=ac,而b=4. ∴16=a3+c2-ac,即16≥2a0-a0=ac,当且仅当am0=4时取等， AMBC的面积S=克a0咖B=至a654/5, 4 .当a=c=4时，△MBC面积取得最大值4,3.…I3分 16.解：(1)证明：LDA=∠RD,G为D中点， BA=ED,BG⊥AD,即BG⊥BC,…2分 ,底面ABCD是正方形，，BC⊥AB, 德阴市高中2023级第二次冷断密试歌学答蜜第1页引共5沉1 P,G分别是BC,AD的中点，，GPB,∴.BC⊥GF, …4分 又a∩GRsG,BG,GPC平面GF, ,BC⊥平面BGF, …6分 又CS平面BCCB一】 .平面BCC,B,L平面BGF …7分 (2)以F为坐标原点，过P作与平面4BCD垂直的直线为轴，以F己，G乎的方向为名，y轴 ，的正方向，建立如图空间直角坐标系，份. 则D(1,-2,0),C(1,0,0),B(-1,0,0),设E(0.a,h)(a≠0，h>0). 则西=(1，-2-a,-h),恋=(-1，-4-)，C-(-2,0,0)、 …9分 设平面BBC的法向量为n=(名y,), 则r丽--y-加=0，令y=-,则z=a, nC丽--2x=0 n=(0,-ha), …11分 又BB=2,∴a2+=3, 设直线BD与平面BBC所成角为B, 则in日= 西n 2h ② …13分 B√3/R+(2+a)}+1 又：ap0,h>0 ∴解得a.=一 21 点5到平面B0D的距离为9则点A到平面么，G0,的距离为9nl5分 1.解：(1脑机变量X的可館取值为0,12,3.且X~8(3,寻》其中a=3,p■号 1分 Px=0-c'高Px=0=c)-器 px=2)=c)器P0x-)-得高 德阳市商中2023级第二次诊断考试数学答案第2页（共( “随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 0 36 54 27 125 125 125 125 …5分 均值为5(X)=的-3×号-号方差为D0)-即1-p)-3×号×号-器 …7分 20油题意可知，R=子R-号+号×号-岩 3+5×525 …9分 ②当>3时，R-号2+号2 3 P,-P-号(P-卫.) …10分 数列（卫，-P是以R,-R一号为首项-号为公比的答比数列、 R,-卫1=(-》.(a≥2) …13分 B,交( 1+号 +号+音x(-号.aeN) …15分 18.解：设P(xy),2(xy⅓)y1y20 (1)由题知a=3,P在椭圆C上 号+答=1…0 kuikn=-9 小g高即 (32-9)…② 5 将②代入①整通得6·5 八椭图C的标准方程为亏+苦 =1 5 …4分 (2)由(1)知F(2,0) 又P不同于人、卫 .直线P℉的斜率不为0 不妨设直线PP的方程为x=m+2,将式带人椭圆C的方程并整理得 (5m2+9)y+20my-25=0 20m 25 △=900(m+1)>0,4+为-5nm+9为m-5m+9 …7分 德阳市高中2023级第二次诊断考试数学答案第3页（共5页） 8uwMPI-2+n9-m-2g+g 100 -点x30/m+红。_5m+1 75 2 5m2+95√m2+1)2+45√m2+1+- 4 +1 令f()=sx+兰e>0/)=5-号>0， ∴(x)在[1，+o)单阙递增 。小8亭（当m=0时家） △PAQ西积的最大值为号 …10分 (3)假设#在常数1，使得k+=0. 由(2)蜘y,+%=-20m 25 3m+94-5m+9 西+3，店之 又k=义。 5-3 含怨 又女+ 9 1,2 5 …13分 5 号-9 y 9y2 9y y: 9yy 5(:+3)(,+3)5(my,+5)(my÷5)5[ryw2+5m(y+y)+25] 25 9(-5m+9 9-.-青 25 a- 25 20m 5×5m+9 225 3m+9+5m5m+9+25] 即入一号所以存在常数，使得片+出0 …7分 19.解：(1)当a=1时()=血x+c0sx=V2血(x+)…1分 由f(x)=0解得x=m-年keW, 名=洲沁-行，月∈3分 (2)证明：(1)因a>0,由f()=0可得nx一是<0 x=m-9,neN,其中g=启，0<0<爱 5分 g(x)=Leu[f(x)-oosx] a g(x)=e°s血x …6分 馅阳市高中2023毁第二次诊新考试数学答案第4页（共3页） ∴g(x）=ecr-)in(nr-p,g(x,+l）=ew+Jsin(nr+元-p) 又g(x)=esim(x-p）=sine1*0,8(l=-e*0 …8分 g(x) 数列{g(x))是以si血pe)为首项，以-e"为公比的等比数列…9分 （i)欲证：x,<lg(x,儿，即证：r-p<le(in(m-p引 如p=日，0<g<5∴咖p= 1 √a2+1 e(sin (n)=in “只需证：m-p<一1 e(w) Wa2+1 nπ-p>0 只需证公+<：即证：+1e0w …11分 nπ-p a a(nn-p) 令M(x)=号(x>0),则M(x)=x-山； x x2 当xe(0,1)时，M(x)<0,M(x)单递减； 当xe(1,+o)时，M(x)>0,M(x)单调递增； w因≥w0-e放 ≥e …13分 则只需证：+工<e,即证a> 1 √e2-i 当a> 1 三时，x,<g(x引成立；… …14分 √e2- 当a1时，打=6，此时m9=名-e-1>厅，又0<p<受 √e2-1 a 肾<p<受即x-<受<； ∴.a(π-p)<1 n=1时am-可a-=Ma(m-pl》>e,放。<e成立： ew…o）etr-o) a 即x1<g(x)川 …l5分 当n≥2时，nr-p≥2m-p>√e2-1,故a(nr-p)>1 ea(ns-) 六am-pM(a(r-p》>e …l6分 综上当a≥ 1 时，则对一切neW“,x。<lg(x川恒成立.…l7分 √e2-i 德阳市高中2023级第二次诊断考试数学答案第5页（共5页） 然勰扫世△她工A由 。夸克扫描王 极速扫描，就是高效简：德阳市高中2023级第二次诊断考试 数学试卷 说明： 1.本试卷分第I卷和第Ⅱ卷，共4页，考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草 稿纸上答题无效.考试结束后，将答题卡交回、 2.本试卷满分150分，120分钟完卷 第I卷（选择题58分） 一，选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项 是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1.已知集合P={x-2≤x≤3)，=(x妆>a),若P∩Q=中，则实数a的取值范围是 A.a≤-2 B.a<0 C.a≥3 D.a>3 2.当)<m<1时，复数m(1+2)-(1+)在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C第三象限 D.第四象限 3.已知向量m=(-1,2),n=(x2,x),若“ml/n”,则x= A0或分 B.0 C. D 4.若两条直线1：y=2x+m,l2:y=2x+n与圆x2+y2=16的四个交点能构成矩形，则 m +n= A.0 B.1 C.2 D.4 5若}+8=9，则如0-as0 1 tan A方 B时 c.-3 2 D. 2 6.某知识过关题库中有A、B、C三种难度的题目数分别为300、200、100，其中小明完成A、B、 题目的正确率分别为行、了小明从该题库中任选一道题完成，做对的概率 A B房 c号 D 德阳市高中2023级第二次诊断考试数学试卷第1页（共4页） 7.若10g2a-a+2=l0g2b-b+4b2+1,则 A.a>2b B.4<2b C.a>b+1 D.a<b+1 8.过点P(xo,y)作曲线y=n(x+1)的两条切线，记两切点分别为M(x1,y,),N(x2,y2), 飞，≠x,若两条切线斜率之积为1，则十上的取值范围是 xo+I A.(0,1) B.(0,1] C.[1,+o) D.(1,+o) 二多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有几项是 符合题目要求的 9.下列命题中正确的是 A.若ab<0,则向量a与b的夹角为钝角 B.若a=(2,3),b=(0,1),则向量a在向量b方向上的投影向量为(0,3) C.两个非零向量a,b,若1a-b|=|a+bl,则a与b共线且方向相反 D.若O为△ABC的外心，且PA+PB+PC=2PO,则P为△ABC的垂心 10.设函数f(x)=(3x-1)°，且记f(x)=aox+a,x8+…+ax+a,则() A.数列{a}的首项为1 B.数列{a}的前10项和为512 C.数列{(-1)°a,}的前10项和为-4D.数列(3品}的前10项和为0 11.已知关于x的方程：i(x+1)e-1川=mr+m(x>-1)有两个根x1,x2(x,<x2),则下列说 法正确的有 A-1<x1<0<x2 B.x1+x2<0 Cx,+1< D.Inm <x2<em m 第IⅡ卷（非选择题92分） 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知随机变量X服从正态分布N(4,82),若P(X>-2)+P(X>6)=1,则u= 13.P是抛物线y2=4x上一动点，则P到直线y=x+3的最小距离为 l4.e“=cosx+isinx被称为欧拉公式.我们运用欧拉公式，可以推导出倍角公式如 cos 2x isin 2x =e2=(e )2=(cosx isinx)2=cos2x-sin2x +i2 sinx cosx 法，我们可以得到cos5x=(用含有cosx的式子表示)： 德阳市高中2023级第二次诊断考试数学试卷第2页（共4页） 四.解答题：共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(本题13分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知该三角形的面积 s)sinB. (1)求角B的大小； (2)若b=4时，求△ABC面积的最大值 16.(本题15分) 如图，在平行六面体ABCD-A,B,C,D,中，E在线段A,D,上，且∠EDA=LEAD,F,G分 别为线段BC,AD的中点，且底面ABCD为正方形 (1)求证：平面BCC,B,⊥平面EFG; (2)若EF与底面ABCD不垂直，直线ED与平面EBC所成角 为45°，且EB=AB=2,求点A到平面A,B,C,D,的距离 17.(本题15分) 东湖山公园位于四川省德阳市，是一处集山水园林为一体的生态公园.公园总面积超过 80公顷，六分为山，四分为水，山水相抱，岸势蜿蜓，景色迷人.公园内设有小桥流水、亭榭楼 坊、热带沙滩、体育中心、雕塑、栈道等景观，以及丹井流霞、竹林夜雨、曲桥风荷、静心园、樱 花岛等景点，使游人感到典雅、古朴、和谐自然.她以其独特的自然风光和丰富的文化内涵， 成为了德阳市民和游客喜爱的休闲胜地.出入东湖山公园有三道门供游客自由选择，分别是 东门、西门、南门，若每位游客选择东门人园的概率是}，游客之间选择意慰相互独立 (1)从游客中随机选取3人，记3人中选择东门人园的人数为X,求X的分布列、均值和方差； (2)东湖山公园管理处计划在2026年中秋节当天，在月上东山处设立一个中秋节人气 值显示屏，初始值为0，从东门进人一名游客，增加人气值2点，其它门进入一名游客，增加人 气值1点，记当日人气值显示屏上曾经出现数值的概率为P,(不考虑人流量有限的限制). ①求P,P2; ②求P。 德阳市高中2023级第二次诊断考试数学试卷第3页（共4页） 18.(本题17分) 在平面直角坐标系中，已知箱圆C号+苦=1。>6>0)的左，右顶点分别为 (-3,0),B(3.0),F为椭圆C的右焦点，P为椭圆C上不同于AB的动点，若rk,=-多 直线PF与椭圆C的另一个交点为Q, (1)求椭圆C的标准方程； (2)求△PAQ面积的最大值； (3)若P在x轴的上方，设直线AP、B2的斜率分别为k、k2,是否存在常数入，使得 k,+水，=0成立？若存在，请求出2的值；若不存在，请说明理由. 19.(本题17分) 已知a>0,函数f(x)=asinx+cosx(x∈[0，+oo),记x.为f(x)的从小到大的第 n(neN)个零点. (1)当a=1时，求x: (2)若g(x)=c产[f(x)-c0sx】 证明：(i)数列{g(xn)}是等比数列； (ii)若a≥ 1,则对一切n∈N,x,<g(x,恒成立. e2-1 德阳市高中2023级第二次诊断考试数学试卷第4页（共4页）】