复数 综合素养评估训练题(二)-2027届高三数学一轮复习

《复数》章节综合素养评估训练题(试卷二)答案及解析 一、单选题： 1．设是z的共轭复数，若z＋＝2，z－＝2i(i为虚数单位)，则z＝ (　　) A．1＋i B．－1－i C．－1＋i D．1－i 1.A 因为z＋＝2 ①,z－＝2i ②，①＋②得2z＝2＋2i,所以z＝1＋i.故选A. 2．已知复数z＝(i是虚数单位)，则|z|＝(　　) A． B．2 C．1 D． 2.A 方法一：z＝＝＝＝＋i，|z|＝＝＝.故选A. 方法二：|z|＝＝＝＝.故选A. 3．已知复数|4－3i|·z＝1－2i2 025，则复数z的虚部为(　　) A．－i B．－ C．i D． 3.B 由|4－3i|＝＝5，i2 025＝(i2)1012·i＝i，则5z＝1－2i，所以z＝－，则复数z的虚部为－.故选B. 4．已知复数(＋i)2(a∈R)是纯虚数，则a＝ (　　) A．0 B．1 C．2 D．3 4.B. 由(＋i)2＝a－1＋2i，因为该复数是纯虚数，所以解得a＝1.故选B. 5．已知复数z＝的共轭复数为，则z·＝ (　　) A．3 B．4 C．5 D．6 5.C 由z＝＝＝＝＝－i,所以＝＋i，所以z·＝＝－i2＝＋＝5.故选C. 6．设复数z满足z＋||＝2＋i，则z＝(　　) A．－＋i　　 B．＋i C．－－i　　 D．－i 6.B 设z＝a＋bi(a，b∈R)，由已知得a＋bi＋＝2＋i，由复数相等可得则解得所以z＝＋i，故选B． 7．已知复数z，则“＝1”是“z＋∈R”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7.A 设z＝a＋bi，a，b∈R，＝＝1，即a2＋b2＝1， z＋＝a＋bi＋＝a＋bi＋＝a＋bi＋a－bi＝2a∈R，故充分性成立；反过来，若z＋∈R，举例，z＝2时，z＋∈R，但＝2，故必要性不成立．所以“＝1”是“z＋∈R”的充分不必要条件．故选A. 8．已知复数z满足|z＋i|＝|z－i|，则|z＋1＋2i|的最小值为 (　　) A．1 B．2 C． D． 8.B 设复数z在复平面内对应的点为Z，因为复数z满足|z＋i|＝|z－i|，所以由复数的几何意义可知，点Z到点(0，－1)和(0，1)的距离相等，所以在复平面内点Z的轨迹为实轴，又|z＋1＋2i|表示点Z到点(－1，－2)的距离，所以问题转化为实轴上的动点Z到定点(－1，－2)的距离的最小值，所以|z＋1＋2i|的最小值为2.故选B. 二、多选题： 9．已知z1＝i40－i，(1－2i)z2＝i－3，若a，b∈R，z1＋a为纯虚数，z2－bi为实数，则(　　) A．＝ B．z2的虚部为－i C．a＝－1 D．b＝－1 9.ACD 因为z1＝i40－i＝1－i，所以＝＝，故A正确； 因(1－2i)z2＝i－3,则z2＝＝＝－1－i,虚部为－1,故B错误； 因z1＋a＝1＋a－i为纯虚数，则1＋a＝0，即a＝－1，故C正确；因z2－bi＝－1－(b＋1)i为实数，所以b＋1＝0，解得b＝－1，故D正确．综上,故选ACD. 10．设z1，z2，z3为复数，z1≠0，下列命题中正确的是 (　　) A．若|z2|＝|z3|，则z2＝±z3 B．若z1·z2＝z1·z3，则z2＝z3 C．若2＝z3，则|z1·z2|＝|z1·z3| D．若z1·z2＝|z1|2，则z1＝z2 10.BC 由复数模的概念可知，|z2|＝|z3|不能得到z2＝±z3，例如z2＝1＋i，z3＝1－i，A错误；由z1·z2＝z1·z3可得z1(z2－z3)＝0，因为z1≠0，所以z2－z3＝0，即z2＝z3，B正确；因为|z1·z2|＝|z1||z2|，|z1·z3|＝|z1||z3|，而2＝z3，所以|2|＝|z3|＝|z2|，所以|z1·z2|＝|z1·z3|，C正确；取z1＝1＋i，z2＝1－i，显然满足z1·z2＝|z1|2，但z1≠z2，D错误．故选BC. 11.已知复数z1＝2＋3i,z2＝3－4i，z1,z2在复平面内对应的点分别为Z1,Z2，则(　　) A．＝＋ B．＝5 C．满足＝的复数z对应的点Z形成的图形的周长是5π D．满足<<的复数z对应的点Z形成的图形的面积是12π 11.BD 由z1＝2＋3i，z2＝3－4i，得Z1(2，3)，Z2(3，－4).对于A，z1＋z2＝5－i，则＝，又＝，＝5，所以≠＋，故A错误； 对于B，＝＝5，故B正确；对于C，由＝，得＝5，所以复数z对应的点Z形成的图形是以原点为圆心，半径为5的圆，即点Z形成的图形的周长为10π，故C错误；对于D，由<<，得<<5，所以复数z对应的点Z形成的图形是以原点为圆心，为半径和5为半径的两个圆所构成的圆环的部分(不包括边界)，所以点Z形成的图形的面积为25π－13π＝12π，故D正确．综上,故选BD. 三．填空题： 12．设a∈R，若存在复数z满足z－＝a＋2i(i为虚数单位)，则a＝______． 12.0 设z＝x＋yi，x，y∈R，则＝x－yi，所以z－＝x＋yi－(x－yi)＝a＋2i， 所以2yi＝a＋2i，即a＝0. 13．设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝3＋i，则|z1－z2|＝________． 13.2 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R).由已知得a2＋b2＝c2＋d2＝4，a＋c＝3，b＋d＝，则z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i，|z1－z2|2＝(a－c)2＋(b－d)2＝a2＋b2＋c2＋d2－2ac－2bd＝2(a2＋b2＋c2＋d2)－(a＋c)2－(b＋d)2＝2(4＋4)－9－3＝4，则|z1－z2|＝2. 14.已知复数z1，z2的模为1，且＋＝1，则z1＋z2＝________． 14.1 设z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，因为＋＝1，所以＋＝1.因为z1，z2的模为1，所以z11＝1，z22＝1，所以1＋2＝1，所以a－bi＋c－di＝(a＋c)－(b＋d)i＝1，所以a＋c＝1，b＋d＝0，所以z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i＝1. 四．解答题： 15．已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0(b，c为实数)的一个根． (1)求b，c的值；(7分) (2)试判断1－i是不是方程的根．(6分) 解：(1)由1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，得(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即b＋c＋(b＋2)i＝0，而b，c为实数，解得所以b＝－2，c＝2. (2)由(1)知方程为x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左边，得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，因此方程成立，所以1－i是方程的根． 16．已知复数z1＝a＋i，z2＝1－i，a∈R.(1)当a＝1时，求z1·2的值；(2)若z1－z2是纯虚数，求a的值；(3)若在复平面内对应的点在第二象限，求实数a的取值范围． 解：(1)当a＝1时，z1·2＝(1＋i)(1＋i)＝1＋2i＋i2＝2i. (2)由题意z1－z2＝a－1＋2i为纯虚数，则a－1＝0，所以a＝1. (3)＝＝＝＝＋i，该复数在复平面内对应的点在第二象限，则解得－1<a<1.故实数a的取值范围是(－1,1). 17．已知复数z满足|z|＝，z2的虚部为2. (1)求复数z；(7分) (2)设z，z2，z－z2在复平面内对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积.(8分) 解:(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，由已知条件得a2＋b2＝2，z2＝a2－b2＋2abi， 所以2ab＝2.所以a＝b＝1或a＝b＝－1，即z＝1＋i或z＝－1－i. (2)当z＝1＋i时，z2＝(1＋i)2＝2i，z－z2＝1－i.所以点A(1，1)，B(0，2)， C(1，－1)，所以S△ABC＝×AC×1＝×2×1＝1. 当z＝－1－i时，z2＝(－1－i)2＝2i，z－z2＝－1－3i. 所以点A(－1，－1)，B(0，2)，C(－1，－3)， 所以S△ABC＝×AC×1＝×2×1＝1.即△ABC的面积为1. 18.已知复数z1＝5＋10i，复数z2在复平面内对应的点为Z(3，－4). (1)若复数z2是关于x的方程x2＋mx＋n－1＝0的一个根，m，n∈R，求m＋n的值；(9分) (2)若复数z满足＝＋，求复数z的共轭复数.(8分) 18.解：(1)由题意得z2＝3－4i，因为复数z2是关于x的方程x2＋mx＋n－1＝0的一个根，代入方程x2＋mx＋n－1＝0，得(3－4i)2＋m(3－4i)＋n－1＝0， 即3m＋n－8－(4m＋24)i＝0，所以解得 所以m＋n＝20. (2)由＝＋，可化为z＝＝＝＝＝5－i，所以＝5＋i. 19．已知eix＝cos x＋isin x被称为“欧拉公式”，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：z1＝r1eiθ1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2eiθ2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，则我们可以简化复数乘法z1z2＝r1r2ei(θ1＋θ2)＝r1r2[cos (θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]. (1)已知z1＝，z2＝2，求z1z2；(2)已知O为坐标原点，z1＝i，z2＝1－i，且复数z1，z2在复平面上对应的点分别为A，B，点C在AB上，且＝2，求；(3)利用欧拉公式可推出二倍角公式，过程如下： cos 2x＋isin 2x＝ei(2x)＝(eix)2＝(cos x＋isin x)2＝cos2x－sin2x＋i·2sinx cos x，所以cos 2x＝cos 2x－sin 2x，sin 2x＝2sin x cos x.类比上述过程，求出sin 3x，cos 3x.(将sin 3x表示成sin x的式子，将cos 3x表示成cos x的式子．参考公式：(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3)． 解:(1)由题意可知z1z2＝×2＝×2＝3＝3i. (2)因为z1＝i，z2＝1－i，则点A(0，1)，B(1，－1)，可得＝(0，1)，＝(1，－2)，则＝＋＝＋＝(0，1)＋(1，－2)＝， 所以＝＝. (3)由题意可得cos 3x＋isin 3x＝ei(3x)＝(eix)3＝(cos x＋isin x)3＝cos 3x＋3cos2x·(isinx)＋3cos x(isin x)2＋(isin x)3＝cos 3x－3cos x sin2x＋i(3cos2x sinx－sin3x)＝cos3x－3cosx(1－cos2x)＋i[3(1－sin2x)sinx－sin3x]＝4cos3x－3cosx＋i(3sin x－4sin3x)，所以sin3x＝3 sin x－4sin 3x，cos 3x＝4cos3x－3cosx. 学科网（北京）股份有限公司 $ 《复数》章节综合素养评估训练题(试卷二) 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设是z的共轭复数，若z＋＝2，z－＝2i(i为虚数单位)，则z＝ (　　) A．1＋i B．－1－i C．－1＋i D．1－i 2．已知复数z＝(i是虚数单位)，则|z|＝(　　) A． B．2 C．1 D． 3．已知复数|4－3i|·z＝1－2i2 025，则复数z的虚部为(　　) A．－i B．－ C．i D． 4．已知复数(＋i)2(a∈R)是纯虚数，则a＝ (　　) A．0 B．1 C．2 D．3 5．已知复数z＝的共轭复数为，则z·＝ (　　) A．3 B．4 C．5 D．6 6．设复数z满足z＋||＝2＋i，则z＝(　　) A．－＋i　　 B．＋i C．－－i　　 D．－i 7．已知复数z，则“＝1”是“z＋∈R”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知复数z满足|z＋i|＝|z－i|，则|z＋1＋2i|的最小值为 (　　) A．1 B．2 C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知z1＝i40－i，(1－2i)z2＝i－3，若a，b∈R，z1＋a为纯虚数，z2－bi为实数，则(　　) A．＝ B．z2的虚部为－i C．a＝－1 D．b＝－1 10．设z1，z2，z3为复数，z1≠0，下列命题中正确的是 (　　) A．若|z2|＝|z3|，则z2＝±z3 B．若z1·z2＝z1·z3，则z2＝z3 C．若2＝z3，则|z1·z2|＝|z1·z3| D．若z1·z2＝|z1|2，则z1＝z2 11.已知复数z1＝2＋3i,z2＝3－4i，z1,z2在复平面内对应的点分别为Z1,Z2，则(　　) A．＝＋ B．＝5 C．满足＝的复数z对应的点Z形成的图形的周长是5π D．满足<<的复数z对应的点Z形成的图形的面积是12π 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．设a∈R，若存在复数z满足z－＝a＋2i(i为虚数单位)，则a＝______． 13．设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝3＋i，则|z1－z2|＝________． 14.已知复数z1，z2的模为1，且＋＝1，则z1＋z2＝________． 四．解答题：本题共5小题，15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0(b，c为实数)的一个根． (1)求b，c的值；(7分) (2)试判断1－i是不是方程的根．(6分) 16．已知复数z1＝a＋i，z2＝1－i，a∈R.(1)当a＝1时，求z1·2的值；(2)若z1－z2是纯虚数，求a的值；(3)若在复平面内对应的点在第二象限，求实数a的取值范围． 17．已知复数z满足|z|＝，z2的虚部为2. (1)求复数z；(7分) (2)设z，z2，z－z2在复平面内对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积.(8分) 18.已知复数z1＝5＋10i，复数z2在复平面内对应的点为Z(3，－4). (1)若复数z2是关于x的方程x2＋mx＋n－1＝0的一个根，m，n∈R，求m＋n的值；(9分) (2)若复数z满足＝＋，求复数z的共轭复数.(8分) 19．已知eix＝cos x＋isin x被称为“欧拉公式”，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：z1＝r1eiθ1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2eiθ2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，则我们可以简化复数乘法z1z2＝r1r2ei(θ1＋θ2)＝r1r2[cos (θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]. (1)已知z1＝，z2＝2，求z1z2；(2)已知O为坐标原点，z1＝i，z2＝1－i，且复数z1，z2在复平面上对应的点分别为A，B，点C在AB上，且＝2，求；(3)利用欧拉公式可推出二倍角公式，过程如下： cos 2x＋isin 2x＝ei(2x)＝(eix)2＝(cos x＋isin x)2＝cos2x－sin2x＋i·2sinx cos x，所以cos 2x＝cos 2x－sin 2x，sin 2x＝2sin x cos x.类比上述过程，求出sin 3x，cos 3x.(将sin 3x表示成sin x的式子，将cos 3x表示成cos x的式子．参考公式：(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3)． 学科网（北京）股份有限公司 $