第68讲 复数：几何意义与模训练-2027届高考数学一轮复习

第68讲 复数：几何意义与模 模的运算·复平面轨迹·几何意义·交汇压轴 一、模的运算与性质 1. 模的四则. ，，——先取模再运算往往免去除法化简. 2. 常用模值. ；、、 直接背； 是"实数化"的桥梁. 例1（填空·★★☆☆☆） 已知是虚数单位，则 = ______． 变式1（单选·★☆☆☆☆） 已知复数，则 = （ ） A. B. C. 3 D. 5 变式2（填空·★★☆☆☆） 是虚数单位， = ___________． 变式3（单选·★☆☆☆☆） 若复数满足，则 = （ ） A. B. C. D. 125 二、复平面、轨迹与几何意义 1. 三大轨迹. ：以 为圆心半径 的圆；：线段的垂直平分线；（）：椭圆. 2. 圆上点的模范围. 圆心 到原点距离 ：（）；旋转=乘 （逆时针 ），向量坐标对称（关于 ：(a,b)→(−b,−a)）随手用. 例2（单选·★★☆☆☆） 已知复数满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 变式4（单选·★☆☆☆☆） 在复平面内，点对应的复数为，则 = （ ） A. B. C. D. 变式5（单选·★☆☆☆☆） 已知复数z满足，且z在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 例3（多选·★★★☆☆） 已知复数满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 变式6（单选·★☆☆☆☆） 在复平面内，把复数对应的向量绕原点沿顺时针方向旋转，则旋转后的向量对应的复数为（ ） A. B. C. D. 变式7（单选·★★☆☆☆） 已知在复平面内，为等边三角形，点为坐标原点，点对应的复数为，点在第二象限，则点对应的复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 变式8（填空·★★★☆☆） 在复平面内，为原点，向量对应的复数为，若点关于直线的对称点为，则向量对应的复数为________. 三、共轭综合与方程复根 1. 实数化. 方程里出现 就设 展开，实部虚部分别相等列方程组； 项是二次的，注意配平方. 2. 方程复根的几何. 实系数二次方程虚根成对（关于实轴对称），配合韦达可反求参数；共轭运算四条：、、、. 变式9（单选·★☆☆☆☆） 已知复数满足（其中为虚数单位），则 = （ ） A. B. C. D. 变式10（多选·★★★☆☆） 已知复数，互为共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 变式11（填空·★★★★☆） 已知关于的方程的两根在复平面上对应的点分别为和，若是等边三角形，则 = __________. 四、交汇压轴与多选 1. 模平方+基本不等式. 为定值给出二次约束，"1 的代换" 收最值（回指第23讲）. 2. 多选自查表. 虚部是实数；纯虚数要虚部非零； 与 不等价；对应点象限由实虚部符号定——四条各扫一遍. 例4（单选·★★★☆☆） 设正数，分别是复数的实部、虚部，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 变式12（多选·★★★☆☆） 已知复数，则下列结论正确的有（ ） A. 的虚部是 B. 在复平面内对应的点在第二象限 C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第68讲 复数：几何意义与模 模的运算·复平面轨迹·几何意义·交汇压轴 一、模的运算与性质 1. 模的四则. ，，——先取模再运算往往免去除法化简. 2. 常用模值. ；、、 直接背； 是"实数化"的桥梁. 【通法】先取模后运算：商的模=模的商. 【通法】z·z̄=|z|² 实数化桥梁. 例1（填空·★★☆☆☆） 已知是虚数单位，则 = ______． 【切入点】。 【关键】分子分母的模恰好相等——用商性质一步出 ；若先做除法化简再取模，工作量翻倍还不讨好. 【答案】 变式1（单选·★☆☆☆☆） 已知复数，则 = （ ） A. B. C. 3 D. 5 【切入点】，，选 B。 【关键】 是最快的化简；化成 后模按定义开方. 【答案】B 变式2（填空·★★☆☆☆） 是虚数单位， = ___________． 【切入点】。 【关键】同例1：模的商性质秒杀；答案分母有理化写成 . 【答案】 变式3（单选·★☆☆☆☆） 若复数满足，则 = （ ） A. B. C. D. 125 【切入点】，，，选 B。 【关键】 先算成实数， 就是 倍的 ； 免去写共轭. 【答案】B 二、复平面、轨迹与几何意义 1. 三大轨迹. ：以 为圆心半径 的圆；：线段的垂直平分线；（）：椭圆. 2. 圆上点的模范围. 圆心 到原点距离 ：（）；旋转=乘 （逆时针 ），向量坐标对称（关于 ：(a,b)→(−b,−a)）随手用. 【通法】|z−z₀|=r 圆、等距中垂线、和定椭圆. 【通法】圆上 |z|∈[d−r,d+r]；旋转乘 e^{iθ}. 例2（单选·★★☆☆☆） 已知复数满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】：轨迹是以 为圆心、 为半径的圆。 是圆上点到原点的距离，圆心到原点 ，故 ，选 D。 【关键】"减去的复数"就是圆心——； 与 是连心线方向的两个极值. 【答案】D 变式4（单选·★☆☆☆☆） 在复平面内，点对应的复数为，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】，，选 C。 【关键】点的坐标直接读出 ；除法取模走商性质，不必真除. 【答案】C 变式5（单选·★☆☆☆☆） 已知复数z满足，且z在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】等距条件 是垂直平分线：，化简 ，选 A。 【关键】两个"锚点"是 （即 ）与 （即 ）；平方展开后一次项对消方向别看错. 【答案】A 例3（多选·★★★☆☆） 已知复数满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【切入点】：轨迹是以 为焦点、长轴 的椭圆，，，方程 。 A：，对。B：，对。C： 即 ，，，对。D： 要求 或 ； 时 ，，不对。选 ABC。 【关键】复数轨迹题的顶配——椭圆定义平移进场； 等价于虚部 为零，即 ，正负两支都要查. 【答案】ABC 变式6（单选·★☆☆☆☆） 在复平面内，把复数对应的向量绕原点沿顺时针方向旋转，则旋转后的向量对应的复数为（ ） A. B. C. D. 【切入点】，顺时针转 ：辐角变 ，新复数 ，选 A。 【关键】旋转=乘 （顺时针取 ）；模不变、辐角加减，落到坐标轴上的复数纯虚. 【答案】A 变式7（单选·★★☆☆☆） 已知在复平面内，为等边三角形，点为坐标原点，点对应的复数为，点在第二象限，则点对应的复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【切入点】，辐角 ；等边三角形给 ， 的辐角为 （另一支辐角 给 在实轴上，舍）。，虚部 ，选 C。 【关键】等边=旋转 两解，"第二象限"裁掉实轴支；三角形式读虚部一步到位. 【答案】C 变式8（填空·★★★☆☆） 在复平面内，为原点，向量对应的复数为，若点关于直线的对称点为，则向量对应的复数为________. 【切入点】 关于直线 的对称点 ， 对应复数 。 【关键】关于 对称的坐标法则 ；向量 对应的复数就是终点坐标. 【答案】 三、共轭综合与方程复根 1. 实数化. 方程里出现 就设 展开，实部虚部分别相等列方程组； 项是二次的，注意配平方. 2. 方程复根的几何. 实系数二次方程虚根成对（关于实轴对称），配合韦达可反求参数；共轭运算四条：、、、. 【通法】见 z·z̄ 就设 z=a+bi 展开. 【通法】虚根成对+韦达反求参数. 变式9（单选·★☆☆☆☆） 已知复数满足（其中为虚数单位），则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】设 ：，复数相等给出 且 ，，，，选 B。 【关键】 的实部 落到左边实部方程——两个方程一个定 一个定 ，顺序天然分开. 【答案】B 变式10（多选·★★★☆☆） 已知复数，互为共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】设 ，。A：模相等，对。B：，对。C：，，对。D：取 ：，，不对。选 ABC。 【关键】 是实数而 未必是——D 用 特值一票否决；C 的等价式" ⟺ 纯虚"值得记. 【答案】ABC 变式11（填空·★★★★☆） 已知关于的方程的两根在复平面上对应的点分别为和，若是等边三角形，则 = __________. 【切入点】判别式小于零，设两虚根 ，，对应点 、： 轴且长 ，原点到直线 距离为 。等边三角形中高是边长的 倍：，。 韦达：。 【关键】"竖直线段 + 等边"翻译成 （原点是第三个顶点， 到 的距离 就是高）；参数 由韦达积 收口. 【答案】 四、交汇压轴与多选 1. 模平方+基本不等式. 为定值给出二次约束，"1 的代换" 收最值（回指第23讲）. 2. 多选自查表. 虚部是实数；纯虚数要虚部非零； 与 不等价；对应点象限由实虚部符号定——四条各扫一遍. 【通法】模平方给约束，1 的代换收最值. 【通法】多选四查：虚部/纯虚数/|w|²/w². 例4（单选·★★★☆☆） 设正数，分别是复数的实部、虚部，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 【切入点】，即 。 ， 当 取等。选 A。 【关键】 先认成模平方 ——约束浮出水面后就是"1 的代换"标准局； 保证取等可行. 【答案】A 变式12（多选·★★★☆☆） 已知复数，则下列结论正确的有（ ） A. 的虚部是 B. 在复平面内对应的点在第二象限 C. D. 【切入点】。A：虚部是 不是 ，错。B：点 第二象限，对。C：，错。D：，对。选 BD。 【关键】除法化简一步到位后全题变成读定义——"虚部是 "是经典偷换（虚部必为实数）. 【答案】BD 学科网（北京）股份有限公司 $