14.2 三角形全等的判定 同步练习 2026-2027学年沪科版数学八年级上册

沪科版（2024）八年级上册 14.2 三角形全等的判定 同步练习 一、选择题 1．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是CB延长线上的一点，BD＝BA，DE⊥AC于点E，交AB于点F.若DC＝2.6，BF＝1，则AF的长为 （      ）  A．0.6 B．0.8 C．1 D．1.6 2．下列不能使两个直角三角形全等的条件是（　　） A．三边对应相等 B．两个锐角相等 C．一条直角边和斜边对应相等 D．两条直角边对应相等 3．如图，于点D，于点F，．证明不是利用“”的条件是（　　） A． B． C． D． 4．如图是，根据下列尺规作图痕迹作出的，能够用于说明“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”的是（　　） A． B． C． D． 5．一个三角形的三边长为，，，另一个三角形的三边长为，，，如果由“”可以判定两个三角形全等，则的值为（　　） A． B． C． D． 6．如图，AD，BE是△ABC的高线，AD与BE相交于点F.若AD=BD=6，且△ACD的面积为12，则AF的长度为 （      ）  A．1 B． C．2 D．3 7．如图，已知，则下列条件中，不能使成立的是（ ） A． B． C． D． 8．如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，.则的根据是（　　） A． B． C． D． 9．如图，中，，，，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 10．如图，在中，，垂足分别为D，E，与交于点F，已知，则的长是（　　） A． B．1 C． D．2 11．如图，在中，已知与的面积相等，如果，，那么的取值范围是（  ） A． B． C． D． 12．如图，在四边形中，，点E、F在边上，点P在四边形的内部，且．若，则四边形的面积为（　　） A．18 B．16 C．14 D．12 二、填空题 13．如图，中，，分别是边，上的点，的延长线交过点的的平行线于点．若，，，则的长是__________． 14．如图，已知，添加一个条件__________ ，使．（填一个即可） 15．如图，是等边三角形，E、D分别为边上的动点，且，连接，交于点G，点F为线段上一点，连接，．当时，线段的长为__________ ． 16．如图，在中，，，D为上一点，连接，过点A作，取，连接交于F.若，则 __________ . 17．如图，直线交轴于，交轴于，轴上一点，为轴上一动点，把线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则当长度最小时，线段的长为 __________ . 三、解答题 18．已知：中，，平分，连接、，延长交于点，. (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有底角为的等腰三角形. 19．如图，在等边三角形中，点在内，点在外，且，，请判断形状，并加以证明． 20．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，E为边BC上的点，且AB=AE，D为线段BE的中点，过点E作EF⊥AE，过点A作AF∥BC，且AF，EF相交于点F. (1)试说明：∠C=∠BAD； (2)试说明：AC=EF. 21．如图1，已知为等腰三角形，，作射线，交的延长线于点D，点E为延长线上的一点，若． (1)初步探索：求证：； (2)拓展延伸：如图2，过点C作，垂足为F，过点D作，垂足为H，求证：； (3)灵活运用：如图3在（2）的条件下，连接，，点P在线段上，，过点P作，交于点Q，交于点M，若，，求的长． 22．【模型呈现】 如图1和图2，在，容易证明和全等，小明发现用这样的方法可以解决许多数学问题. 【定义概念】 在平面直角坐标系中，对于点P和线段给出如下定义：若点P满足最小，且，则称点P为线段的“幸福点”. 例如：如图3，已知线段，，且点P满足最小，且，即是等腰直角三角形，.则是线段的“幸福点”. 【问题解决】 （1）如图4，为坐标轴上的点，点C为线段的一个“幸福点”.为求出点C的坐标，我们可以过C作x轴的垂线，交x轴于D，过N作交于E. ①求出点C的坐标. ②线段还有其他“幸福点”吗？如果有，请直接写出坐标；如果没有，请说明理由. 【问题拓展】 （2）若点为x轴上一点，点为y轴上一点. ③当时，请直接用m、n表示线段的“幸福点”坐标　　. ④当时，线段的“幸福点”C的横坐标为，面积是15，求的值为　　. 沪科版（2024）八年级上册 14.2 三角形全等的判定 同步练习（参考答案） 一、选择题 1．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是CB延长线上的一点，BD＝BA，DE⊥AC于点E，交AB于点F.若DC＝2.6，BF＝1，则AF的长为 （      ）  A．0.6 B．0.8 C．1 D．1.6 【答案】A 【解析】∵DE⊥AC， ∴∠DEC＝90°， ∴∠D＋∠C＝180°－∠DEC＝90°. ∵∠ABC＝90°， ∴∠DBF＝180°－∠ABC＝90°， ∴∠D＋∠BFD＝180°－∠DBF＝90°， ∴∠C＝∠BFD. 在△DBF和△ABC中， ∵ ∴△ABC≌△DBF(AAS)， ∴BC＝BF＝1. ∵DC＝2.6， ∴AF＝AB－BF＝BD－BF＝DC－BC－BF＝2.6－1－1＝0.6. 2．下列不能使两个直角三角形全等的条件是（　　） A．三边对应相等 B．两个锐角相等 C．一条直角边和斜边对应相等 D．两条直角边对应相等 【答案】B 【解析】A、三边对应相等，利用能证明两三角形全等，故本选项不符合题意； B、两个锐角对应相等时，加上已知的直角相等，由不能判定它们全等，故本选项符合题意； C、一条直角边和斜边对应相等，利用能证明两三角形全等，故本选项不符合题意； D、两条直角边对应相等，加上已知的直角相等，利用能证明两三角形全等，故本选项不符合题意； 故选：B． 3．如图，于点D，于点F，．证明不是利用“”的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵于点D，于点F，． ∴， ∵， ∴补充：或， 可得：，故A，C不符合题意； 补充， ∴， ∴，故D不符合题意； 补充， ∴， ∴，故B符合题意； 故选B 4．如图是，根据下列尺规作图痕迹作出的，能够用于说明“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】选项B满足题意；由作图知，斜边，，， ∴， 故选：B． 5．一个三角形的三边长为，，，另一个三角形的三边长为，，，如果由“”可以判定两个三角形全等，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由“”可以判定两个三角形全等， ，， ， 故选：C． 6．如图，AD，BE是△ABC的高线，AD与BE相交于点F.若AD=BD=6，且△ACD的面积为12，则AF的长度为 （      ）  A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【解析】因为AD，BE是△ABC的高线， 所以∠ADB=∠ADC=∠AEB=90°， 因为∠BFD=∠AFE， 所以∠DBF=∠CAD， 在△ACD和△BFD中， 所以△ACD≌△BFD(ASA)， 所以DF=DC， 因为△ACD的面积为12， 所以×CD×6=12， 所以CD=4， 所以DF=4， 所以AF=AD-DF=2. 7．如图，已知，则下列条件中，不能使成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】A、添加条件，结合，，不可利用证明，故此选项符合题意； B、添加条件，结合，，可利用证明，故此选项不符合题意； C、添加条件，结合，，可利用证明，故此选项不符合题意； D、添加条件，结合，，可利用证明，故此选项不符合题意； 故选：A． 8．如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，.则的根据是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵， ∴， 又∵，， ∴， 故选：A． 9．如图，中，，，，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】本 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：． 10．如图，在中，，垂足分别为D，E，与交于点F，已知，则的长是（　　） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解析】∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 11．如图，在中，已知与的面积相等，如果，，那么的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：延长到E，使， 已知与的面积相等， 为的底边的中线， ， 在和中 ， ， ， ，， ， 在中，， ， ， ； 故选：B 12．如图，在四边形中，，点E、F在边上，点P在四边形的内部，且．若，则四边形的面积为（　　） A．18 B．16 C．14 D．12 【答案】B 【解析】作于点G，则， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是梯形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题 13．如图，中，，分别是边，上的点，的延长线交过点的的平行线于点．若，，，则的长是__________． 【答案】2 【解析】， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：2． 14．如图，已知，添加一个条件__________ ，使．（填一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】∵，， ∴当时，； ∵，， ∴当时，， 故答案为：或． 15．如图，是等边三角形，E、D分别为边上的动点，且，连接，交于点G，点F为线段上一点，连接，．当时，线段的长为__________ ． 【答案】5 16．如图，在中，，，D为上一点，连接，过点A作，取，连接交于F.若，则 __________ . 【答案】 【解析】如图，过点作于点. ∵，， ∴. ∵， ∴. ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ， ∴， ∴ 在中，由勾股定理得 . 17．如图，直线交轴于，交轴于，轴上一点，为轴上一动点，把线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则当长度最小时，线段的长为 __________ . 【答案】 【解析】如图，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作轴于点，在上取点，使得，过点作轴于点，连接， 令，解得， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转的性质得， ∴， ∵轴，即， ∴， ∴， ∴，， ∴； 由旋转的性质得，， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴为定角， ∴点在过点，且与垂直的直线上运动， ∵，轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 当时，长度有最小值， 此时，， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴此时，直线的解析式为， 设， 在中，， ∴， 整理得，，即， 解得或， 当时，，即， 当时，，即，与点重合，舍去， ∴此时，， ∴. 故答案为：. 三、解答题 18．已知：中，，平分，连接、，延长交于点，. (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有底角为的等腰三角形. 【答案】(1)证明：∵AE平分∠BAC ∴∠BAE=∠CAE ∵AB=AC，∠BAE=∠CAE，AE=AE ∴△ABE≌△ACE， ∴∠DBE=∠ACD ∵∠ADC=2∠ACD ∴∠ADC=2∠DBE ∵∠ADC=∠DBE+∠DEB ∴∠DBE=∠DEB ∴BD=ED (2)解：在中，∵，. ∴∠ADC=,∠ACD=，由（1）知：∠DBE=∠ACD ∴∠DBE=∠ACD=, ∴∠DBE=∠DEB= ∴△DBE是底角为的等腰三角形. ∵AE平分∠BAC，∠ADC=, ∴∠BAE=∠CAEDBE=∠DEB ∴△ABE和△ACE是底角为的等腰三角形. 19．如图，在等边三角形中，点在内，点在外，且，，请判断形状，并加以证明． 【答案】解：是等边三角形． 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即， ∴是等边三角形． 20．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，E为边BC上的点，且AB=AE，D为线段BE的中点，过点E作EF⊥AE，过点A作AF∥BC，且AF，EF相交于点F. (1)试说明：∠C=∠BAD； (2)试说明：AC=EF. 【答案】解　(1)因为AB=AE，D为线段BE的中点，所以AD⊥BC， 所以∠C+∠DAC=90°， 因为∠BAC=90°，所以∠BAD+∠DAC=90°，所以∠C=∠BAD. (2)因为AF∥BC，所以∠FAE=∠AEB. 因为AB=AE，所以∠B=∠AEB， 所以∠B=∠FAE.又∠BAC=∠AEF=90°， 所以△ABC△EAF(ASA)，所以AC=EF. 21．如图1，已知为等腰三角形，，作射线，交的延长线于点D，点E为延长线上的一点，若． (1)初步探索：求证：； (2)拓展延伸：如图2，过点C作，垂足为F，过点D作，垂足为H，求证：； (3)灵活运用：如图3在（2）的条件下，连接，，点P在线段上，，过点P作，交于点Q，交于点M，若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵，∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，∴， 在中，， ∴. (2)证明：过点C作，如图所示： ∵， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. (3)解：延长相交于点N，在上截取，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴. 22．【模型呈现】 如图1和图2，在，容易证明和全等，小明发现用这样的方法可以解决许多数学问题. 【定义概念】 在平面直角坐标系中，对于点P和线段给出如下定义：若点P满足最小，且，则称点P为线段的“幸福点”. 例如：如图3，已知线段，，且点P满足最小，且，即是等腰直角三角形，.则是线段的“幸福点”. 【问题解决】 （1）如图4，为坐标轴上的点，点C为线段的一个“幸福点”.为求出点C的坐标，我们可以过C作x轴的垂线，交x轴于D，过N作交于E. ①求出点C的坐标. ②线段还有其他“幸福点”吗？如果有，请直接写出坐标；如果没有，请说明理由. 【问题拓展】 （2）若点为x轴上一点，点为y轴上一点. ③当时，请直接用m、n表示线段的“幸福点”坐标　　. ④当时，线段的“幸福点”C的横坐标为，面积是15，求的值为　　. 【答案】解：（1）①过点C作轴于点D，过点N作，交的延长线于点E，如图， ∵， ∴， ∵轴，， ∴四边形为长方形， ∴， 设，则， ∵点C为线段的一个“幸福点”， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②线段还有其他“幸福点”，坐标为，理由： 设这个“幸福点”为G，过点G作轴于点D，过点N作，交的延长线于点E，如图， ∵， ∴， 同理可得四边形为长方形， ∴， 设，则 ∵点G为线段的一个“幸福点”， 同理可证明， ∴， ∴， ∴， ∴，∴； 综上，线段还有其他“幸福点”，坐标为； （2）③当时，点在右侧时，如图，过点作轴于点，过点作于点， 设 同理可得， ∴，则， ∴由得，，解得， ∴可得 点在左侧时，同理可求； ∴线段的“幸福点”坐标为或； 当时，如图： ∴线段的“幸福点”坐标为或； 当时，同理可求线段的“幸福点”坐标为或. 综上：线段的“幸福点”坐标为或 故答案为：或； ④当时，过点C作轴于点D，过点N作，交的延长线于点E，如图， ∵线段的“幸福点”C的横坐标为， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∴， 同理， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的面积是15， ∴ ∴， ∵， ∴ 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $