第3章·代数式·满分压轴·期中复习讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年人教版七年级数学上册

第3章·代数式·满分压轴·期中复习讲义 （知识梳理+典例+练习）2026-2027·人教版七年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握图形与末位数字规律的探究方法，解决大序号压轴题 · 掌握数列、数表规律的深度分析方法，处理复杂排列问题 · 理解新定义与代数推理的规则，能进行符号运算与推导 · 掌握整体代入、除方、劳格数等新型运算的定义与应用 · 能运用代数式建立实际问题的模型并求值，提高综合能力 📚 知识梳理 ☆ 1.图形与末位数字规律 图形规律：数出前几个图形的元素个数，列表归纳第n个的代数式 拆分图形：把每个图形分解为可计数部分，分别找规律 末位数字规律：底数幂的末位按周期循环，用指数除以周期取余 大序号求值：先得通项公式，再把n代入计算 概念辨析例题：求72026的末位数字 答案：9 解析：7n末位按7,9,3,1循环，周期4；2026÷4=506余2，末位为第2个数字9。 ☆ 2.数列与数表规律 数列规律：相邻项差、比、和、平方关系综合判断，有时需分组 递推关系：从第二项起每项由前一项通过某种运算得到 数表规律：行首数字、每行个数、行号列号与序号的关系 分裂规律：n3分裂成n个连续奇数，首项=n2-n+1 概念辨析例题：33可分裂为7,9,11三个连续奇数，求53分裂的首个奇数 答案：21 解析：n3分裂成n个连续奇数，首项=n2-n+1=25-5+1=21。 ☆ 3.新定义与代数推理 新定义运算：把定义式当公式，按规则逐层计算 符号操作：改变项的符号求极值，分类讨论正负情况 集合表示：1、a、b与a、0、b形式等价，对应相等列方程组 数位条件题：设各位数字，列方程（组）并验证 概念辨析例题：已知集合{1，a，b}与集合{a，0，b2}表示同一个集合，求a、b的值 答案：a=-1，b=1 解析：两集合元素相同，b2只能等于1或a；若b2=1则b=±1，检验得a=-1，b=1。 ☆ 4.代数式求值与实际应用 整体代入：把已知式整体代入目标式，先变形再代入 数值转换器：按流程图逐次运算，观察输出周期 方案比较：分别计算各方案费用，比较取最优 阅读材料题：理解材料定义（皮克定理、劳格数、除方等）后应用 概念辨析例题：规定x※y=-（x、y不为0），计算3※2 答案： 解析：3※2=-=-=。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 图形规律 第n个=an+b或二次式 列表归纳验证 末位数字 幂末位周期循环 指数÷周期取余 数列规律 观察差比和平方 先列前几项 分裂规律 n3分裂n个奇数 首项=n2-n+1 新定义运算 按规则代入 先读懂规则 集合相等 元素完全相同 对应相等列方程 整体代入 把整体看作一个量 先变形再代入 实际应用 建代数式模型 方案比较取最优 ⚠️ 核心考点 【考点1】规律探究——图形与末位数字（第1-12题） · 图形规律：数前几个元素个数，列表归纳第n个通项 · 拆分计数：把图形分解为可计数部分分别找规律 · 末位数字：找幂末位循环周期，指数除以周期取余数 · 大序号：先得通项再代入，注意n从1开始验证 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）观察下列等式：，，，，，，……根据这个规律，则的末位数字是（   ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查数字的变化类规律探究，解答本题的关键是明确题意，发现所求式子的末位数字变化特点是解题的关键． 根据，，，，，，…．可以得到，，，，的末位数字，从而可以分析末位数字的变化特点，得到答案． 【详解】解：∵，，，，，，…． ∴的末位数字是， 的末位数字是， 的末位数字是， 的末位数字是， 的末位数字是， …， 即末位数字每个一循环，依次为：，，，； ∵， ∴的末位数字是， 故选：B． 2．（25-26七年级上·四川南充·期中）如图，将第1个图中的正方形剪开得到第2个图，第2个图中共有4个正方形；将第2个图中一个正方形剪开得到第3个图，第3个图中共有7个正方形；将第3个图中一个正方形剪开得到第4个图，第4个图中共有10个正方形……如此下去，这第2025个图中共有正方形的个数为（   ） A．6073 B．6072 C．6070 D．6069 【答案】A 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查了代数式、图形规律，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据图形找到规律，进而解题． 【详解】解：由图可知，第1个图中共有1个正方形， 第2个图中共有个正方形， 第3个图中共有个正方形， 第4个图中共有个正方形， 第5个图中共有个正方形， ∴第2025个图形中共有个正方形． 故选：A ． 3．（2023七年级上·全国·竞赛）观察等式：，，，若，用含的式子表示，结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数的乘方运算、数字类规律探索 【分析】本题为规律探索题，考查了乘方的定义等知识，找到规律是解题关键． 根据已知条件得到，再把变形为，结合规律变形为，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ， ， ∴， ∵ ∴ ． 故选：D． 4．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）探究代数式规律活动课上，小徽用同样大小的正方形按如图所示的规律拼图案，其中图1中有2个白色正方形，图2中有3个白色正方形，图3中有5个白色正方形，，按此规律排列下去，则图10中白色正方形的个数是（   ） A．12 B．14 C．15 D．18 【答案】C 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查图形类规律探究，得出计算规律：图（n为正整数）中白色正方形的个数为，图中白色正方形的个数为，据此进行作答即可． 【详解】由所给图形可知， 图1中白色正方形的个数为； 图2中白色正方形的个数为； 图3中白色正方形的个数为； 图4中白色正方形的个数为； 图5中白色正方形的个数为； ， 所以图（n为正整数）中白色正方形的个数为， 图中白色正方形的个数为． 当，即时，， 所以图10中白色正方形的个数为15． 故选：C 5．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段检测）找出图形变化的规律，则第个图形中黑色正方形的数量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查了图形的规律变化类，根据图形的变化规律归纳出第个图形中黑色正方形的数量即可求解，通过图形找到变化规律是解题的关键． 【详解】解：根据图形变化规律可知： 第个图形中黑色正方形的数量为， 第个图形中黑色正方形的数量为， 第个图形中黑色正方形的数量为， 第个图形中黑色正方形的数量为， ， ∴当为奇数时，黑色正方形的个数为， 当为偶数时，黑色正方形的个数为， ∴第个图形中黑色正方形的数量是， 故选：． 6．（25-26七年级上·全国·课后作业）观察下列等式：，，，，，，，…．则的末位数字是（   ） A．0 B．2 C．3 D．9 【答案】D 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字变化规律，根据已知条件得出末位数字变化规律是解题关键． 根据，，，，，，，…．得出的末位数字相当于：，进而得出末尾数字． 【详解】解：∵，，，，，，，…． ∴发现规律是末位数字、、、每个一循环， ∵， ∴的末位数字相当于：的末尾数为． 故选：D． 7．（25-26七年级上·山西朔州·期中）如图，第1个图形中有1个正方形，按图中的方式连接对边中点，得到第2个图形，第2个图形中共有5个正方形；连接第2个图形中右下角正方形的对边中点，得到第3个图形，第3个图形中共有9个正方形．按同样的规律得到第4个图形、第5个图形…，则第7个图形中正方形的个数是______． 【答案】25 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索 【分析】本题考查了图形的规律题，用代数式表示数，找出正方形数量增加的模式是解题的关键．先找出给定的几个正方形的个数的变化规律，推出第个图形正方形个数的公式，然后计算第7个图形的正方形个数即可． 【详解】解：第1个图形正方形个数:1， 第2个图形正方形个数:， 第3个图形正方形个数:， 第4个图形正方形个数:， ， 第个图形正方形个数：1+，即第个正方形的个数为：； 当时，． 故答案为：． 8．（25-26七年级上·湖南株洲·期中）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了根木棍，第②个图案用了根木棍，第③个图案用了根木棍，第④个图案用了根木棍，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案用的木棍根数是________． 【答案】 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索 【分析】本题考查了图形类规律探索，由图得出第个图案用木棍根，再令，计算即可得出答案． 【详解】解：由图可得： 第个图案用木棍：(根)， 第个图案用木棍：(根)， 第个图案用木棍：(根)， ， ∴第个图案用木棍根， ∴当时，(根)， 故答案为：． 9．（25-26七年级上·河南鹤壁·期末）用棋子按照如图所示规律摆图形，第个图比第个图多______枚棋子． 【答案】 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形并找到图形变化的规律．仔细观察图形的变化，找到图形的变化规律，然后总结出公式，即可求得答案． 【详解】解：第1个图形需要枚棋子， 第2个图形需要枚棋子， 第3个图形需要枚棋子， 第4个图形需要枚棋子， ， ∴第个图形需要 第n个图形需要枚棋子， ∴第个图比第个图多枚棋子， 故答案为：． 10．（25-26七年级上·四川达州·期末）用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地面： (1)观察图形，填写下表： (2)依上推测，第n个图形中黑色瓷砖的块数为________；黑白两种瓷砖的总块数为________（用含n的代数式表示） (3)白色瓷砖的块数可能比黑色瓷砖的块数多3020块吗？若能，求出是第几个图形；若不能，请说明理由． 【答案】(1)10，35 (2)， (3) 解：不能， 理由：假设白色瓷砖的块数比黑色瓷砖的块数多3020块，则可得： ，即， 解得： ∵n为整数， ∴假设不成立，故不能． 【知识点】列代数式、用代数式表示数、图形的规律、已知字母的值 ，求代数式的值、图形类规律探索 【分析】本题考查了图形的变化规律． （1）观察图形可得出第三个图形的黑色瓷砖数量和黑白两种瓷砖数量的总数； （2）通过观察图形找出黑色瓷砖块数、黑白瓷砖总块数的规律即可列出代数式； （3）结合（2）的代数式列出方程，求解方程判断是否为整数，若为整数，则能，否则不能． 【详解】（1）解：由图形（3）可知，黑色瓷砖的块数为10，白色瓷砖的块数为25， ∴黑白两种瓷砖的总块数为， 故答案为：10，35． （2）解：根据表格中的信息可得出：第n个图形中黑色瓷砖的块数为，黑白两种瓷砖的总块数为， 故答案为：，． （3）略 11．（25-26七年级上·河南郑州·期末）如图，将边长为1的正方形第一次划分得到图1，图1中共有4个正方形，其中右上角正方形①的边长为原正方形边长的一半；第二次划分得到图2，图2中共有7个正方形，其中右上角正方形②的边长为正方形①边长的一半；第三次划分得到图3；…；如此下去． 将划分次数和每次划分后正方形总个数进行整理，如表： (1)上表中_________，_________； (2)按上述划分方式，能否得到正方形的总数为2026个？为什么？ (3)第5次划分后，右上角最小正方形的面积为_________． 【答案】(1)10，13 (2)能， 理由， 第次划分后，正方形个数有：； 第次划分后，正方形个数有：； 第次划分后，正方形个数有：； 第次划分后，正方形个数有：； ； 第次划分后，正方形个数有：； ∴，解得：， 答：当划分次数为时，正方形的总数为个； (3) 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查了图形类规律探索，读懂题意，找出规律是解题的关键． （）根据表格可得第次划分后，正方形个数有：；第次划分后，正方形个数有：； （）根据表格可得第次划分后，正方形个数有，则，求得； （）根据第次划分后，右上角最小正方形的面积为：；第次划分后，右上角最小正方形的面积为；第次划分后，右上角最小正方形的面积为；第次划分后，右上角最小正方形的面积为；第次划分后，右上角最小正方形的面积为；从而求解． 【详解】（1）解：第次划分后，正方形个数有：； 第次划分后，正方形个数有：； 第次划分后，正方形个数有：； 第次划分后，正方形个数有：； 故答案为：，； （2）略 （3）解：第次划分后，右上角最小正方形的面积为：； 第次划分后，右上角最小正方形的面积为； 第次划分后，右上角最小正方形的面积为； 第次划分后，右上角最小正方形的面积为； 第次划分后，右上角最小正方形的面积为； 故答案为：． 12．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）【观察思考】如图是由正方形组成的一系列图案，其中第个图案有个正方形；第个图案有个正方形；第个图案有个正方形； 【规律发现】（）第个图案有______个正方形； （）第（是正整数）个图案有______（结果无需化简）个正方形； 【规律应用】（）结合图案中正方形的组合方式，小明说：“用个正方形可以组成符合该规律的图案．”判断小明的说法是否正确，并说明理由． 【答案】（）；（）； （）小明的说法不正确，理由如下： 令， 解得， ∵不是整数 ， ∴用个正方形不可以组成符合该规律的图案， ∴小明的说法不正确． 【知识点】图形类规律探索 【分析】（）根据已知图案正方形的各数可得第个图案正方形的个数为个，据此即可求解； （）根据（）的结论求解即可； （）令，可得，据此即可判断求解； 本题考查了图形类规律探究，从已有图形找到图形的变化规律是解题的关键． 【详解】解：由所给图形可知， 第个图案正方形的个数为； 第个图案正方形的个数为； 第个图案正方形的个数为； ； ∴第个图案正方形的个数为个， 当时，， 即第个图案正方形的个数为个， 故答案为：； （）由（）知，第个图案正方形的个数为个， 故答案为：； （）略 【考点2】规律探究——数列与数表（第13-23题） · 相邻项关系：差、比、和、平方综合判断，必要时分组 · 递推数列：由前一项经某种运算得后一项，循环计算 · 数表：确定行首、每行个数、行列与序号关系 · 分裂规律：n3=n个连续奇数之和，首项=n2-n+1 13．（2023七年级上·全国·竞赛）有一列数：，，，从第二个数开始，每一个数都等于与它前面的那个数的倒数的差，若，设，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】倒数、已知式子的值，求代数式的值、数字类规律探索 【分析】本题考查数字规律以及代数式化简求值，先根据已知条件找出数列的循环规律，确定的值，再对代数式进行化简，最后代入求值． 【详解】解：已知从第二个数开始，每一个数都等于与它前面的那个数的倒数的差，且, 根据规律求, 求, 求, 求, 求， 通过计算发现数列以，，依次循环，循环节长度为， ∵，没有余数， ∴,即：， ， 去括号:， 合并同类项:， 把代入， 可得:， ∴代数式的值为． 故选：A． 14．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段检测）将正整数按下表规律排列： 数5与对应； 数14与对应； A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查的是数字的规律，得出第一列的奇数行的数的规律与第一行的偶数列的数的规律是解决问题的关键； 首先根据已知数据可得出第一列的奇数行的数的规律是第几行就是那个数平方； 然后同理可得出第一行的偶数列的数的规律，从而得出2021所在的位置，即可． 【详解】解：由表格可知：第一列的奇数行的数的规律是第几行就是那个数平方， 第一行的偶数列的数的规律，与奇数行规律相同； ∵，2021在第45行，向右依次减小， ∴2021所在的位置是第45行，第5列， 故选D． 15．（25-26七年级上·广东深圳·期末）由1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，…组成的三角形数阵如图所示．第7行从左往右数第3个数是___________． 【答案】47 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查数字的变化类．首先找出三角形数阵的规律，求出第n行第一个数为，据此计算即可解答． 【详解】解：第1行的第1个数是1，而； 第2行的第1个数是3，而； 第3行的第1个数是7，而； 第4行的第1个数是13，而； 第5行的第1个数是21，而； …… 第n行的第1个数是， ∴第7行的第1个数是． ∴第7行从左往右数第3个数是． 故答案为：47． 16．（25-26九年级上·安徽宿州·阶段检测）如下图中所示，寻找其中规律， 图1正三角形中共有4个点．图2正四边形中共有个点． 图3正五边形中共有个点．图4正六边形中共有______个点． 正七边形中共有______个点．依次类推…… 图正边形中共有______个点． 【答案】，， 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索 【分析】本题考查图形的规律型问题，根据题目找到规律是解题关键．根据图形归纳出第个图形中点的个数，再代入可得答案． 【详解】解：图1为正三角形中共有4个点，； 图2为正四边形中共有个点，； 图3为正五边形中共有个点，； 图4为正六边形中点的个数为， 正七边形中点的个数为， 图为正边形中点的个数为． 故答案为：，，． 17．（2026九年级上·浙江温州·专题练习）数列的第2025项的值是__________． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】根据数列规律，数字出现次，到数字的总项数为等差数列前项和，通过计算该和与的大小关系，确定第项所在的数字组． 【详解】解：由数列规律可知，数字出现次，到数字的总项数为 ． 当时，，． 当时，，． 由此可知，第项到第项均为，故第项的值是． 故答案为． 18．（25-26七年级上·江苏镇江·阶段检测）将连续的正整数排成如图所示的数表．记为数表中第行第列位置的数字，如．若，则_________． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，掌握相关知识是解决问题的关键．根据所给数表，发现第1行第列的数（n为正偶数）为，则数在第列第45行，据此可解决问题． 【详解】解：由题知， ∵，，，， （n为正偶数）， 又∵， ∴第1行第列的数为， ， 则数在第列第45行， ∴， 则． 故答案为：． 19．（25-26七年级上·宁夏吴忠·期中）观察下面三行数： ，4，，16，，64，……① 1，7，－5，19，，67，……② ，2，，8，，32，……③ (1)第①行的第8个数是__________． (2)第②行的第8个数是__________第③行的第n个数是_________． (3)取每行中的第9个数，计算这三个数的和． 【答案】(1)256 (2)259， (3) 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题主要考查了用代数式表示数字变化规律， （3）分别根据数字变化规律得出第9个数，再求出和． 【详解】（1）解：第①行的数是 ； 故答案为：256； （2）解：第②行的数是 ； ． 故答案为：259, ； （3）解：第①行中的第9个数是，第②行中的第9个数是，第③行中的第9个数是， 所以． 20．（25-26七年级上·贵州黔东南·期中）观察下列三行数，并解答后面的问题： (1)根据第行数的规律，写出其中第个数为___________；第个数为___________； (2)根据排列规律，分别写出上面三行数的第个数，并计算这三个数的和； (3)设、、分别表示第行数的第个数，求出的值． 【答案】(1) ，； (2) ； (3) ． 【知识点】有理数加法运算、有理数的乘方运算、数字类规律探索 【分析】本题主要考查数字规律，有理数的乘方运算，理解数字规律的计算，掌握有理数的乘方运算法则是解题的关键． 根据第行的前个数的变化规律可知第行的第个数是，第行的第个数是； 由中的规律可知，第行的第个数是，根据第行的数的变化规律可知，它们的绝对值是连续的正整数，符号是交替出现，可知第行的第个数是，根据第行的数比相对应的第行的数小，可知第行的第个数是，计算出这三个数的和即可； 根据规律分别写出三行的第个数，再求和即可． 【详解】（1）解：第行的第个数是， 第行的第个数是， 第行的第个数是， 第行的第个数是， 第行的第个数是， 第行的第个数是， ， 第行的第个数是； 故答案为：，； （2）解：由可知第行的第个数是， 第行的第个数是， 第行的第个数是， 三行数的第个数之和是； （3）解：由规律可知，第行的第个数是， 第行的第个数是， 第行的第个数是， ． 21．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，从左到右，在每个小格子都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等． (1)可求得_____；第2019个格子中的数为_____； (2)判断：前个格子中所填整数之和是否可能为2023，若能，求出的值；若不能，请说明理由； (3)如果a，b为前三个格子中的任意两个数，那么所有的的和可以通过计算：得到，若为前4个格子中的任意两个数，求所有的的和． 【答案】(1)9；2 (2)可能，； (3)104 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）设从左往右第6个数字为a，第7个数字为b，第8个数字为c，根据题意可得，则可推出这列数字每3个数字为一个循环，每个循环内的数字依次为，据此可得答案； （2）求出每个循环内三个数字的和，进而可得前个数字之和为，据此可得答案； （3）根据（1）可得前4个格子中的数，再根据所有的和的计算公式求解即可． 【详解】（1）解：设从左往右第6个数字为a，第7个数字为b，第8个数字为c， ∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等， ∴， ∴， ∴这一列数字为， ∴这列数字每3个数字为一个循环，每个循环内的数字依次为， ∵， ∴第2019个格子中的数为2； （2）解：可能，此时，理由如下： 由（1）知这列数字每3个数字为一个循环，每个循环内的数字依次为， ∴每个循环内的三个数字之和为， ∵前个数字之和为， ∴前1214个数字之和为， ∴当时，前m个数字之和为2023， ∴前个格子中所填整数之和可能为2023，此时； （3）解：由（1）可知前四个格子中的数分别为， ， ∴所有的的和为104． 22．（25-26七年级上·安徽淮北·期中）观察下图圆圈中数字的排列规律，解答后面的问题． (1)图5中，_____，_____； (2)请画出第个图，并在各圆圈中填入合适的数．（用含的代数式表示，不用说理） 【答案】(1)， (2) 所以答案如图所示： 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、已知字母的值 ，求代数式的值、数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类和图形类的变化探究，找到变化规律是解题的关键； （1）根据数字变化找到规律即可计算出的值； （2）根据规律画图即可. 【详解】解：（1）将图案分成“上面圆圈”，“左侧圆圈”和“右侧圆圈”， 由图可知第个图案，第个图案，第个图案，第个图案中，“上面圆圈”里面的数分别为，，，，⋯， 第个图案，第个图案，第个图案，第个图案中，“左侧圆圈”里面的数分别为，，，，⋯， 第个图案，第个图案，第个图案，第个图案中，“右侧圆圈”里面的数分别为，，，，⋯， 所以通过观察可知，第个图案中“右侧圆圈”里面所表示的数为， “上面圆圈”里面所表示的数为， 把代入，得，， 故答案为：，；…… （2）由（1）可得第个图中“上面圆圈”，“左侧圆圈”和“右侧圆圈”里面所表示的数分别为，，， 上图即为所求． 23．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）探索规律与代数推理：观察下面的数阵，完成下列问题． 第1行：1 第2行：        3         第3行：5                7                9 第4行：        11                13               15         …… (1)第n行有 个数，第n行最右边的数为 （用含n的式子表示，n为正整数）； (2)计算第5行所有数的和； (3)若某一行最右边的数为2025，求该行所有数的和． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题主要考查了用代数式表示数的规律，观察数阵，推断出规律是解题的关键． （1）观察数阵，由此推断规律即可； （2）先将第5行所有数列出，再求其和即可； （3）由（1）可知，2025位于第45行，该行共有89个数，前88个数分成44组，且每组的和为，由此求解即可． 【详解】（1）解：观察数阵可知：第1行有（个）数， 第2行有（个）数， 第3行有（个）数， 第4行有（个）数， 则第n行有个数； 第2行最右边的数为， 第3行最右边的数为， 第4行最右边的数为， 则第n行最右边的数为， 故答案为：，； （2）第5行的9个数为：17，，19，，21，，23，，25， 它们的和为 ； （3）由（1）可知，2025位于第45行，该行共有89个数， 前88个数分成44组，每组的和为， 所以该行所有数的和为． 【考点3】新定义与代数推理（第24-37题） · 新定义运算：按规则逐层代入，注意运算顺序 · 符号操作：分类讨论正负，求最大值最小值 · 集合或等式等价：对应相等，列方程组求解并验证 · 数位条件：设各位数字列方程，检验唯一性 24．（2024·重庆·二模）已知两个整式：，，将这两个整式进行如下操作： 第1次操作：用这两个整式的和除以2，将结果放在这两个整式之间，可以得到一个新的整式串，记为整式串1：，，； 第2次操作：在整式串1中，用相邻两个整式的和除以2，将结果放在这两个整式之间，又得到一个新的整式串，记为整式串2：，，，，，以此类推，可以得到整式串3，整式串4，…… 明明同学对此展开研究，得到以下3个结论： ①整式串4共有17个整式； ②整式串9从左往右第2个整式减去整式串10从左往右第2个整式的差为； ③经过2024次操作后，整式串的和为； 以上3个结论正确的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【知识点】数字类规律探索 【分析】根据题意，整式串1：，，；有个， 整式串2：，，，，；有个， 整式串3：，，，，，，，，；有个， 由此，得到整式串4，有个整式，可判断①；根据规律，得到整式串9从左往右第2个整式是，整式串10从左往右第2个整式，其差为，可判断②； 根据题意，整式串1：，，的和为；， 整式串2：，，，，的和为；， 整式串3：，，，，，，，，的和为；， 由此得到，经过2024次操作后，整式串的和为， 可以判定③． 【详解】根据题意，整式串1：，，；有个， 整式串2：，，，，；有个， 整式串3：，，，，，，，，；有个， 由此，得到整式串4，有个整式，可判断①正确； 根据规律，得到整式串9从左往右第2个整式是，整式串10从左往右第2个整式，其差为， 可判断②错误； 根据题意，整式串1：，，的和为；， 整式串2：，，，，的和为；， 整式串3：，，，，，，，，的和为；， 由此得到，经过2024次操作后，整式串的和为， 可以判定③正确． 故选B． 25．（25-26七年级上·福建福州·期中）设三个互不相等的有理数，既可以表示成1、、的形式，又可以表示成、0、的形式，则的值为（ ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【知识点】有理数的乘方运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了求代数式的值，有理数的运算，利用已知条件分别求出m，n的值是解题的关键．根据题意可得，则，可求得，，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵三个互不相等的有理数可表示为1、、，又可以表示为、0、， ∴（否则无意义），且三个数中包含0， ∴在1、、中，必有一个为0， ∵，， ∴， ∴， 此时，第一种形式为：1、0、， 第二种形式为：、0、， ∴，， ∴， 故选：B． 26．（2024·重庆开州·模拟预测）对于式子：，按照以下规则进行操作，改变指定项的符号（仅限于正号与负号之间的变换），第一次操作：改变所有3的倍数项前的符号，其余各项符号不变；第二次操作：在第一次操作的结果上，只改变4的倍数项前的符号；第三次操作：在第二次操作的结果上，只改变5的倍数项前的符号；第四次操作：在第三次操作的结果上，只改变6的倍数项前的符号．请根据上述操作规则，分析以下说法的正确性：①第二次操作结束后，一共有42项的符号为正号；②第三次操作结束后，所有10的倍数项之和为；③第四次操作结束后，所有项的和为．其中正确的个数是（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查数字规律，通过倍数关系找到变量以及变量之间的关系，①通过每次操作后均可得到需要改变符号的项数，结合正负改变得数量关系求解即可；②找到10的倍数每次操作的倍数关系，确定其正负后即可求得和；③先求出在未进行操作时所有项的和为，根据符号的变化求出每一次所有项的改变量，再与前一次进行求和即可求解． 【详解】解：①第一次操作结束后，100项中有33个3的倍数，则33个数要改变符号， 此时正号有67个，负号有33个， 第二次操作：在第一次操作的结果上，只改变4的倍数项前的符号， 而100项中有25个4的倍数，其中有8个也是3的倍数， ∴此时正号有个，故①错误； ②10的倍数第一次操作后30，60和90为负，10，20，40，50，70，80，100为正， 第二次操作后20，30，40，80，90，100为负，10，50，60，70为正， 第三次操作后10，50，60，70为负，20，30，40，80，90，100为正， 则，故②正确； ③在未进行操作时所有项的和为； 第一次操作后33个项要改变符号，所有项的改变量为，此时所有项的和为； 第二次操作后25个项要改变符号，所有项的改变量为，此时所有项的和为； 第三次操作后20个数要改变符号，所有项的改变量为，此时所有项的和为， 第四次操作后16个数要改变符号，所有项的改变量为，此时所有项的和为，故③错误． 故选：B． 27．（25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测）对一组数的一次操作变换记为，定义其变换法则如下：；且规定（n为大于1的整数）．如，，，则________． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳出一般规律是解题的关键．根据题目中变化规律找到当n为奇数时，对应点的表达式，据此来求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ∴当n为奇数时，， ∵2025为奇数， ∴， 故答案为：． 28．（25-26七年级上·陕西西安·开学考试）一个四位数M，若它的千位数字与百位数字的差等于4，十位数字与个位数字的差等于3，则称这个四位数M为“雁塔数”．一个“雁塔数”M的千位数字与百位数字和的2倍与十位数字及个位数字的和记为P，千位数字与3的差记为Q，若能被7整除，则满足条件的M最大为________． 【答案】8474 【知识点】列代数式 【分析】本题主要考查了代数式表示数， 先设千位数是a，十位数是b，则百位数是，个位数是，则，根据题意，得，再根据能被7整除，设，可得，接下来结合题意讨论k只能取奇数，且要保证a是正整数，则是的正因数，即可得出k的取值范围，最后结合定义得出答案. 【详解】解：设千位数是a，十位数是b，则百位数是，个位数是，则，根据题意，得， 由能被7整除，设， 则， ∴. ∵，且是奇数， ∴最小只能取7，最大只能取19，一共有7个奇数. 当k取偶数时，为偶数，而不可能是整数，从而a不是整数， 所以k只能取奇数； 要保证a是正整数，则是的正因数，因而最大是19，最小是1， 即， 解得. 由k为正整数，且不是偶数，只能或3， 当时，， 当时，，此时M为6241； 当时，，此时M为8474； 当时，， 则，得， 此时，M为4085， ∴满足条件的M的最大值为8474. 故答案为：8474. 29．（23-24八年级上·重庆江津·期中）如果一个三位数m满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个三位数为“互异数”．将“互异数”m的个位数字去掉，得到一个两位数，将其与m的个位数字的差记为，将m的十位数字与个位数字的差记为．已知一个三位正整数(其中x、y都是整数，且)是“互异数”， 与的商为整数且能被13整除，则满足条件的“互异数”m的最大值___________． 【答案】932 【知识点】列代数式 【分析】分，两种情况分别讨论，进而求得的值即可． 【详解】解：， ①当时，， ∴m的十位数为，个位为， ∴， ∴，， ∴， ∵与的商为整数， ∴为整数， ∵m是互异数， ∴， ∵求“互异数”m的最大值， ∴百位数字尽可能的大， 令，则， ∵是13的倍数， ∴是13的倍数， ∵， ∴ ∴， 解得：，此时（符合题意）， ∴，， 即当时，互异数”m的最大值为． ②当时，， ∴m的十位数为2，个位为， ∴， ∴， ∴， ∵与的商为整数， ∴为整数， ∵m是互异数， ∴， 令∵求“互异数”m的最大值， ∴百位数字尽可能的大， 令，则， ∵是13的倍数， ∴是13的倍数， ∵， ∴ ∴此时无解，即当时，不存在百位是9且满足条件的互异数m． 综上所述：满足条件的互异数m的最大值是932； 故答案为：932． 【点睛】本题主要考查了列代数式、整除等知识点，掌握分类讨论思想是关键． 30．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）一个四位正整数的各数位上的数字不完全相同且均不为零，若满足千位和百位数字之和是十位和个位数字之和的两倍，则称这样的四位数为“二阶数”．将“二阶数”的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调得到一个新的“二阶数”记为，记，例如：当．时，，则．已知两个“二阶数”，满足是一个完全平方数，且为整数，则_____，的最大值为_____． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了新定义代数推理问题，多以阅读理解的形式呈现，解题关键是“理解新定义的数位关系，将文字语言转化为数学语言（等量关系）”．首先由千位和百位数字之和是十位和个位数字之和的两倍与得出，，，然后得出并化为最简分式，最后由是一个完全平方数（等量关系），且为整数（等量关系），求解即可． 【详解】解：， ， ， 千位和百位数字之和是十位和个位数字之和的两倍， ， ， ， ， 同理可得：，即， ， ， ， 是不完全相同的正整数且均不为零， ， ， 是一个完全平方数， ， 或， 解得：或（舍去）， ， 为整数即为整数， 是正整数且均不为零，， 当时（不符合题意舍去）， 当时（符合题意）， 当时（不符合题意舍去）， 当时（不符合题意舍去）， ， ， 求的最大值只需最大， ，， ， ， ， 故，． 31．（25-26七年级上·山东青岛·期末）将正方体骰子放置于水平桌面上，在图②中，将骰子向右翻滚；然后在桌面上按逆时针方向旋转，则视作完成一次变换，若骰子的初始位置为图①所示的状态，那么按上述规则连续完成2024次变换后，骰子朝上面的点数是__________． 【答案】6 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题主要考查图形规律，按题意画出图，找到规律判断即可． 【详解】解：根据题意画图如下： 根据上图可知：第一次变换后，朝上的点数为5， 第二次变换后，朝上的点数为6， 第三次变换后，朝上的点数为3， 由此可知，连续3次变换是一个循环． 所以， 所以按上述规则连续完成2024次变换后，骰子朝上面的点数是6， 故答案为：6． 32．（24-25七年级上·四川成都·期末）在综合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数中，任取两数之差的绝对值为奇数的取法种数进行了探究．发现：当时，仅有一种取法，即；当时，有两种选法，即，当时，可得；…．若，则的值为______；若，则的值为______． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查数字类规律探究，解答本题的关键是观察数字的变化寻找规律． 先根据前几个值所对应的值，找到变化规律求解即可． 【详解】解：当时，只有一种取法，则， 当时，有两种选法，则， 当时，有，，，四种选法，则， 当时，有，，，，，六种选法，则， 当时，有，，，，，，，，九种选法，则， 当时，有，，，，，，，，，，，十二种选法，则， ， 所以，当时，，当时，， 当时，，当时，， 故答案为：，． 33．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）密码学融合古老智慧与现代技术，是研究信息保密通信的核心学科．课本102页有一个密码盘如图所示，这个密码盘在数字和字母之间可建立一种对应关系，其中数字为密文，字母为明文．例如，密文“2”翻译成明文为“B”，密文“3  55”翻译成明文为“”． (1)密文“19  46”翻译成明文为“________”； (2)为了增加密码的破译难度，对于密文按如下规则又进行了再次加密，原密文记为“密文Ⅰ”，再次加密的密文记为“密文Ⅱ”． ①若密文Ⅰ中的正整数每增加1，则密文Ⅱ中正整数的变化规律为________； ②若密文Ⅰ中的“t”对应的明文与密文Ⅱ中的“”直接利用原规则对应的明文相同，求该明文． 【答案】(1)SQ (2)①增加2；②明文为“C” 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据题意得出密文与明文之间的转换关系是解题的关键． （1）根据题中所给密文和明文之间的转换关系即可解决问题； （2）①根据密文I与密文Ⅱ之间的关系即可解决问题； ②根据题意建立关于t的方程即可解决问题； 【详解】（1）解：密文“19  46”翻译成明文为． 故答案为：． （2）解：①∵, ∴若密文Ⅰ中的正整数每增加1，则密文Ⅱ中正整数增加2． 故答案为：增加2． ②由密码盘信息可知，每一个明文对应密文数字相差，其中n为自然数， 当时，，，对应的明文是C； 当时，，，对应的明文是C； 当时，，，对应的明文是C； … 则，，对应的明文是C． 明文为“C”． 34．（26-27七年级·全国·小升初衔接）奥地利数学家皮克（）发现，在网格中，顶点均在格点的多边形面积S可以由多边形内部格点数i和边界格点数b计算得到，请你观察下列图形，探索S与i和b之间的关系． (1)观察图形，补全表格． (2)观察①、③、④可以发现，每增加i时，面积增加______． 观察②和③，④和⑤可以发现，b每增加1时，面积增加______． 根据上述发现，可得：______．（用含i和b的式子表示） (3)根据你发现的结论计算图形的面积． 【答案】(1) (2)1；； (3)图形的面积为21． 【知识点】图形类规律探索 【分析】（1）先观察图形⑤，数出内部格点数i和边界格点数b；观察前几个图形，可以把图形④当作是两个相等的梯形，上底是1，下底是3，高是2，计算图形④的面积S； （2）对比①、③、④的i和S的变化量，得出每增加i时面积的变化值；对比②和③、④和⑤的b和S的变化量，得出b每增加1时面积的变化值；再结合这两个变化规律，推导S关于i和b的表达式； （3）先确定目标图形的内部格点数i和边界格点数b，再代入（ 2）中推导的公式计算面积． 【详解】（1）略 （2）解：①：图形①、③、④的边界格点b都是6，每增加i，面积对应增加1； 即观察①、③、④可以发现，每增加i时，面积增加1， ②：图形②和③的内部格点i都是2，b增加4时面积增加2，因此b每增加1，面积增加​； 观察②和③，④和⑤可以发现，b每增加1时，面积增加； ③： ， ， ， 根据上述发现，可得： ； （3）解：由图可知 ： 答：图形的面积为21． 35．（25-26七年级下·福建龙岩·期末）阅读下列材料，然后回答问题：若一个正整数，从左到右读各数位上的数字与从右到左读各数位上的数字完全相同，则称这个正整数为“回文数”（例如：、、、、等都是回文数）．对于一个三位“回文数”，将的各个数位上的数字分别乘后，取其积的个位数字，得到三个新的数字、、，我们对规定一种运算：．例如：是一个三位“回文数”，将的各个数位上的数字分别乘后，取其积的个位数字依次是：、、，则． (1)记最大、最小的三位“回文数”分别为、． ①直接写出、的值： ， ； ②分别计算、的值； (2)一个三位的“回文数”，将的各个数位上的数字分别乘后，取其积的个位数字依次为：、、，若，求出的所有值． 【答案】(1)①， ②， (2)、 【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索 【分析】（1）①根据“回文数”的规律，写出符合要求的、即可； ②根据要求把各个数位上的数字分别乘后，其积的个位数字依次是：、、，再根据规律计算即可；把各个数位上的数字分别乘后，其积的个位数字依次是：、、，再根据规律计算即可； （2）因为，当时，即该数字各个数位上的数字分别乘后，其积的个位数字依次是：、、，根据乘法法则可知的各个数位上的数字依次是：、、； 当时，即该数字各个数位上的数字分别乘后，其积的个位数字依次是：、、，则这个“回文数”各个数位上的数字依次是：、、． 【详解】（1）①解：最大的三位“回文数”是， 最小的三位“回文数”是； ②解：把各个数位上的数字分别乘后，其积的个位数字依次是：、、， ； 把各个数位上的数字分别乘后，其积的个位数字依次是：、、， ； （2）解：， 当时，即该数字各个数位上的数字分别乘后，其积的个位数字依次是：、、， 则这个“回文数”各个数位上的数字依次是：、、， ； 当时，即该数字各个数位上的数字分别乘后，其积的个位数字依次是：、、， 则这个“回文数”各个数位上的数字依次是：、、， ， 综上所述，的值有、． 36．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段检测）如果，那么称为的劳格数，记为，由定义可知：与所表示的是、两个量之间的同一关系． (1)根据劳格数的定义，填空：　 ，　 ； (2)劳格数有如下运算性质：若、为正数，则，．根据运算性质，填空： ①　 　（为正数）， ②若，则　 　，　 　，　 　． 【答案】(1)1,2 (2)①②，， 【知识点】有理数乘方逆运算、数字类规律探索 【分析】（1）根据定义可知，和就是指10的指数，据此即可求解； （2）①根据即可，②根据，，即可得出结果． 【详解】（1）解： 依题意，得，， ，； 故答案为：1，； （2）解：① ， 故答案为：； ②， ， ， ． 故答案为：，，． 【点睛】本题考查了新定义运算，整式的运算，正确理解新定义运算的法则是关键． 37．（24-25七年级下·山东青岛·期中）【知识回顾】观察下列各式： ； ； ； 【理解应用】 根据你发现的规律解答下列各题： （1）根据以上规律可知，_____； （2）你能否由此归纳出一般性规律：_____； （3）若是正整数，且，请化简：_____ 【能力提升】 （4）计算： 【答案】（1）（2）；（3）（4） 【知识点】数字类规律探索 【分析】（1）根据规律，右边的首项是左边第一个括号里最高项次数加1次幂，第二项是1，两数作差即可． （2）根据规律，右边的首项是左边第一个括号里最高项次数加1次幂，第二项是1，两数作差即可． （3）根据，化简解答即可． 【能力提升】（4）根据题意，得，结合规律解答即可． 本题考查了规律的探索，公式的应用，熟练掌握规律，并运用规律解题是解题的关键． 【详解】（1）解：根据规律，右边的首项是左边第一个括号里最高项次数加1次幂，第二项是1，两数作差即可， 故， 故答案为：． （2）解：根据规律，右边的首项是左边第一个括号里最高项次数加1次幂，第二项是1，两数作差即可， 故， 故答案为：． （3）解：根据题意，得， 故 故答案为：． （4）解：根据题意，得， 故答案为：． 【考点4】代数式求值与实际应用（第38-43题） · 整体代入：先变形把已知式整体代入 · 数值转换器：按流程逐次计算，找输出周期 · 方案比较：分别列式求值，比较大小取最优 · 阅读材料题：理解新定义（皮克定理、劳格数等）再应用 38．（25-26七年级上·安徽·期中）小红和小李学习完整式的概念后对下面问题进行探究： 已知关于x 的整式M：，当时，M：，当 时 ，M：，…，n 为正整数，其中，，，…， 为由大到小且小于21的正整数，相邻两数之差大于3． 小红：若，则n 最大只能为2； 小李：若，，则整式M的三次项的系数为13或14． 其中正确的说法是（    ） A．小红正确，小李错误 B．小李正确，小红错误 C．都正确 D．都错误 【答案】A 【知识点】数字类规律探索、多项式的项、项数或次数、将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【详解】解：对于小红： ∵ ，系数为由大到小且小于21的正整数，相邻两数之差大于3． 若，则系数、、满足，且，． ∴，，但，故，，符合条件． ∴ n最大为2，小红正确； 对于小李： ∵ ，，且系数递减，相邻差大于3． 若，则，但，，但，则，与系数递减矛盾， ∴ ． ∵， ∴； ∵， ∴． ∴可为13、14或15． 但小李称仅为13或14，漏了15，故小李错误． 故选∶A． 39．（24-25七年级上·四川成都·阶段检测）成都准备建立急救服务系统，各急救站之间由电话线相互联络，每个急救站必须能够同其他所有急救站进行联络，或者直接联络，或者最多通过另一个急救站来联络，每个急救站最多能够通过三条电话线．如图上表示这种网络的一个例子，它联络着七个急救站，按这种方式建立的网络系统最多能够联络______个急救站． 【答案】10 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查简单的极端原理，解题的关键是分情况考虑，正确画出图形．我们首先求出急救站的最多个数，然后验证是否可以构成具有这么多急救站的网络．选取一个特定的急救站，把它看作基地．它可以同另外1个、2个或3个急救站联络；急救站A，B和C中的每一个都还有两条未使用的电话线，因而每一个都能再与两个急救站联络；外面的急救站中的每一个都还有两条未使用的电话线，可以使用这些电话线把外面的急救站与所有的急救站紧密联络． 【详解】解：在这个问题中给出的例子说明，至少有7个急救站可以用这种方式进行联络．我们首先求出急救站的最多个数，然后验证是否可以构成具有这么多急救站的网络．让我们选取一个特定的急救站，把它看作基地．它可以同另外1个、2个或3个急救站联络，如图所示： （为了考虑到可能存在三条电话线并未完全使用的基地，就说A，B和C不一定不同．） 急救站A，B和C中的每一个都还有两条未使用的电话线，因而每一个都能再与两个急救站联络，如图所示： （同样，图中所示急救站不一定不同．）现在，我们来验证是否可以建立包含10个急救站的网络．在上面的图中，只有基地能与其他急救站紧密联络．例如，A距离B和C以外联络的急救站“太远了”． 但是这些外面的急救站中的每一个都还有两条未使用的电话线，可以使用这些电话线把外面的急救站与所有的急救站紧密联络． 这要求试着进行，最后我们确实会得到含有10个急救站的网络系统，如图所示： 故答案为：10． 【答案】 201 9628 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了新定义——“八一数”．熟练掌握新定义，数字问题中的表达式与方程，解二元一次不定方程，是解题的关键． 根据，，知是“八一数”，得，得；根据，，，得，根据是整数，得是整数，得当M最大时，得，得 【详解】解：∵，，， ∴M是“八一数”， 则， ∴； ∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵是整数， ∴是整数， ∴当M最大时，， ∴， ∴． 故答案为：201；9628． 40．（25-26八年级上·北京·期中）在星际勘探的不透明储物舱中放入10块暗物质矿石和8块亮物质矿石，每次从储物舱中取出两块矿石． ①如果抽到两块暗物质矿石，一块存放在舱外，一块放回储物舱； ②如果抽到一暗一亮，暗物质矿石存放在舱外，亮物质矿石放回； ③如果抽到两块亮物质矿石，两块亮物质矿石都存放在舱外，并向舱内补进一块暗物质矿石； 在执行17次操作之后，储物舱中剩下__________块矿石，矿石的类型是__________． 【答案】 1 暗物质矿石 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了简单的逻辑推理，每次操作均使总矿石数减少1块，17次操作后总矿石数为1块，亮物质矿石数量始终为偶数，且最终总数为1，故亮物质矿石数量必为0，暗物质矿石数量为1． 【详解】初始暗物质矿石10块，亮物质矿石8块，总矿石数18块， 每次操作后总矿石数减少1块，17次操作后总矿石数为块， 亮物质矿石数量变化仅发生在操作③（抽到两块亮物质矿石）时， 每次减少2块，故亮物质矿石数量始终为偶数， 最终总矿石数为1（奇数），因此亮物质矿石数量必为0，暗物质矿石数量为1。 故答案为：1；暗物质矿石． 41．（25-26七年级上·福建福州·期中）问题情境：在电视猜价节目中，主持人给出某商品价格在1到n元的整数范围内（n为正整数）．选手每次报一个价格，主持人会提示“高了”“低了”或“正确”．选手采用二分法策略：每次选择当前范围的中间数（若数据个数为偶数则取较小的中间数），逐步缩小范围直至猜中价格． 例如： ①当时，先猜2元，若错误则再猜1元或3元，只需2次一定能猜中； ②当时，先猜4元，若提示“低了”则再猜6元，若仍提示“低了”则猜7元，最多3次一定能猜中； ③当时，先猜5元，若提示“低了”则再猜8元，若仍提示“低了”则猜9元，若仍提示“低了”则猜10元，则最多4次一定能猜中． 问题解决： 借助二分法原理，当时，只需要________次可一定猜中； 当只需要7次才能保证一定猜中时，则n的最大值是________． 【答案】 5 127 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查数字类规律探究，理解题意是解答的关键．根据“二分法”的原理，模仿题中例子方法求解，进而找到变化规律即可求解． 【详解】解：当时， 先输入尽量靠中间的数字“15”，如果正确答案比“15”大， 再猜“23”，如果正确答案比“23”大， 再猜“27”，如果正确答案比“27”大， 再猜“29”，如果正确答案比“29”大， 再猜“30”则一定正确；所以当时只需要猜5次可一定正确； 由题意， 当时，猜1次一定能猜中数字： 当时，猜2次一定能猜中数字： 当时，猜3次一定能猜中数字： 当时，先猜中间的数字“8”，如果正确答案比“8”大，再猜“12”，如果错误并提示正确答案比“12”大，再猜“14”，如果错误并提示正确答案比“14”大，再猜“15”则一定正确；所以当时猜4次一定能猜中数字． 以此类推， 当时，猜7次一定能猜中数字． 故当只需要7次才能保证一定猜中时，则n的最大值是， 故答案为：5，127． 42．（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）完成以下小题 (1)【发现问题】自然数的平方可以用正方形的面积表示． 观察图1，由6个正方形组成的图形，其空白部分从下到上每一层长方形的面积可以表示为：．这样，图1中所有空白部分的面积之和为_____，粗线上方阴影部分面积是空白部分面积的_____倍；像这样，如果有8个正方形，那么空白部分的面积之和为_____． (2)【解决问题】如图2，粗线上方的阴影图形和空白图形的面积和为_____．（结果用含的代数式表示）．根据图2中粗线上方的阴影部分与空白部分的面积之间的关系，试推导：．（结果用含的代数式表示） (3)【拓展应用】根据以上发现，计算：． 【答案】(1)；； (2)； . (3) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、列代数式、用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索、图形类规律探索 【分析】（1）结合图形面积公式直接计算即可； （2）先求解，利用面积差与规律进行计算即可； （3）先推导，进一步计算即可. 【详解】（1）解：图1中所有空白部分的面积之和为： ， 粗线上方阴影部分面积是： ； ∴粗线上方阴影部分面积是空白部分面积的倍； 如果有8个正方形，那么空白部分的面积之和为： ； （2）解：∵， ∴粗线上方的阴影图形和空白图形的面积和为： ； （3）解：由（2）得：粗线上方的阴影图形面积为： ， ∴， ∴ . 43．（25-26七年级上·重庆·期中）甲、乙两商场分别出售A型、B型两种电暖气，零售价及运费如下表所示： 某公司计划在甲商场或乙商场选择一家采购两种电暖气共100台，其中A型电暖气需要买x台． (1)请用含x的代数式分别表示：（总费用=购买价+运费）． 甲商场：A型和B型电暖气的购买价为________，总费用为________． 乙商场：A型和B型电暖气的购买价为________，总费用为________． (2)若需购买A型电暖气40台，在哪个商场购买划算？ (3)若需购买A型电暖气40台，且可以同时在两家商场自由选择，还有更优惠的方案吗？请你设计一种方案． 【答案】(1) 元，元；元，元 (2) 在乙商场购买划算 (3) 在甲商场购买A型电暖气40台，在乙商场购买B型电暖气60台，总费用为26520元 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查代数式的运用，理解数量关系，正确列式是关键． （1）根据题目中的数量关系列代数即可； （2）把代入（1）中的代数式计算即可求解； （3）根据各自商场的费用，分别计算出购买A型电暖气40台，购买B型电暖气60台的总费用即可求解． 【详解】（1）解：采购两种电暖气共100台，其中A型电暖气需要买x台， ∴B型电暖气有台， ∴甲商场购买价为：（元）， 总费用为：（元）， 乙商场购买价为：（元）， 总费用为：（元）； （2）解：购买A型电暖气40台，即， 由（1）得，甲商场的总费用为：（元）， 乙商场的总费用为：（元）， ∵， ∴在乙商场购买划算； （3）解：由（2）可知，在甲商场购买两种电暖气共100台，费用为元，在乙商场购买两种电暖气共100台，费用为元， ∵， ∴在甲商场购买A型电暖气40台的总费用为（元）， ∵， ∴在乙商场购买B型电暖气60台的总费用为（元）， ∴采购两种电暖气共100台的总费用为：（元）， ∵， ∴更优惠的方案为：在甲商场购买A型电暖气40台，在乙商场购买B型电暖气60台，总费用为26520元． 💯 课后巩固 复习建议 · 图形规律先列表归纳通项，末位数字用周期取余法 · 数列数表注意递推关系、行首与行列规律，分裂规律记公式 · 新定义运算先读懂规则，集合相等与符号操作要分类讨论 · 整体代入与数值转换器注意运算顺序，找周期简化 · 实际应用与阅读材料题先建模型，方案比较取最优 【作业1】．（25-26七年级上·山西长治·期中）用完全相同的小正方形按照如图所示的规律拼成若干个图案，则第2025个图案中小正方形的个数是（    ） A．8101 B．8100 C．8096 D．1125 【答案】A 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索 【分析】本题考查了图形类规律的探索，解题的关键是根据前几个图案，表示出变化规律． 先根据前面几个图案，找到规律，进而求得第2025个图案中小正方形的个数即可． 【详解】解：由题意可得，第1个图案中小正方形的个数为， 第2个图案中小正方形的个数为， 第3个图案中小正方形的个数为， 由此可得，第个图案中，小正方形的个数为， 则第2025个图案中，小正方形的个数为， 故选：A． 【作业2】．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）有依次排列的3个数：3，0，6，对任意相邻的两个数，都用左边的数减去右边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，3，0，-6，6，这称为第一次操作；第二次同样的操作后也可产生一个新数串：3，0，3，3，0，6，-6，-12，6，继续依次操作下去，已知第n次操作后，得到的新数串各个数之和为0，则第次操作后，得到的新数串各个数之和为（   ） A． B．-39 C．-174 D．-183 【答案】D 【知识点】有理数加法运算、数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类规律探索，有理数的加法，弄清数字的排列规律是解题的关键．先从给定的数字找寻规律，发现每次操作后和减少3，从而找到一般的规律求解即可． 【详解】解：∵ 初始数串：，和； 第1次操作后，得到的数串为：，和； 第2次操作后，得到的数串为：，和； 第3次操作后，得到的数串为：，和； ， 第n次操作后和为， 当第n次操作后和为0时，则，解得； ∴ 第次操作后，和为． 故选：D． 【作业3】．（26-27七年级上·浙江金华·阶段检测）已知这100个数中，每个数仅可以取值1或，则能取到的最小正数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】有理数四则混合运算、已知字母的值 ，求代数式的值、数字类规律探索 【分析】表达式值始终为偶数，且通过调整的取值，可以使表达式值为2，这是最小正偶数，即可作答． 【详解】解：依题意，把第k项的数记为（，且k为正整数）， ∵这100个数中，每个数可以取值1或． ∴是奇数还是偶数取决于： 若为奇数，则为奇数； 若为偶数，则为偶数； 从1到100有50个奇数和50个偶数，50个奇数的和为偶数， 因此始终为偶数； ∵能取到的最小正数， ∴偶数且是最小正数为2， 验证：把每连续的8个数看作一组数： ； ； 依次类推，每连续的8个数之和为0，即这样的一组数之和为0； 依题意，， 即100个数中有12组这样的数，100个数中剩下的4个数分别为， ∵这100个数中，每个数可以取值1或． 则 故能取到的最小正数为2． 【作业4】．（23-24七年级上·山东德州·期中）甲、乙两店卖豆浆，每杯售价均相同．已知甲店的促销方式是：每买2杯，第1杯原价，第2杯半价；乙店的促销方式是；每买3杯，第1、2杯原价，第3杯免费．若东东想买12杯豆浆，则下列所花的钱最少的方式是（    ） A．在甲店买12杯 B．在甲店买8杯，在乙店买4杯 C．在甲店买6杯，在乙店买6杯 D．在乙店买12杯 【答案】D 【知识点】列代数式 【分析】设每杯售价元，分别计算每个选项中的花费，再进行比较即可．本题考查了整式加减的应用，读懂题意并根据题意表示出所花费用是解题的关键． 【详解】解：设每杯售价x元， 在甲店购买12杯的费用为（元）； 在甲店买8杯，在乙店买4杯的费用为（元）； 在甲店买6杯，在乙店买6杯的费用为（元）； 在乙店购买12杯的费用为（元）； 在乙店买12杯花钱最少， 故选：D． 【作业5】．（25-26七年级上·贵州铜仁·期中）将棋子按如图所示的方式摆放，则摆第个图形需要的棋子的个数是（    ） A．141个 B．144个 C．147个 D．150个 【答案】D 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查图形规律探索，解题关键是找出图形中棋子个数的变化规律． 先找出图形中棋子个数的规律，第个图形棋子个数为，再将代入即可． 【详解】解：分析前几个图形的棋子个数： 第1个图形：棋子个数为， 第2个图形：棋子个数为， 第3个图形：棋子个数为， 通过上述分析，可得出第个图形需要的棋子个数为（其中为正整数）． 当时，代入规律式可得：， 因此，摆第个图形需要的棋子个数是个． 故选：D． A．3 B．6 C．2 D．8 【答案】B 【详解】解：由题知，第1次输出的结果是12，第2次输出的结果是6， 为偶数，， 第3次输出的结果是3， 为奇数，， 第4次输出的结果是8， 为偶数，， 第5次输出的结果是4， 为偶数，， 第6次输出的结果是2， 为偶数，， 第7次输出的结果是1， 为奇数，， 第8次输出的结果是6， 综上可知，除第1次外，剩下的输出结果6个一循环，且循环规律为6、3、8、4、2、1， ， 第2024次输出的结果是6． 故选：B． 【作业6】．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和．如，，，…，若“分裂”后，其中有一个奇数是219，则m的值是（   ） A．12 B．15 C．25 D．32 【答案】B 【知识点】有理数的乘方运算、数字类规律探索 【分析】本题是对数字变化规律的考查，找出分裂后的第一个奇数与底数的变化规律是解题的关键．观察规律，分裂成的数都是奇数，且第一个数是底数乘以与底数相邻的前一个数的积再加上1，奇数的个数等于底数，然后找出219所在的奇数的范围，即可得解． 【详解】解：，，，…， ∴分裂后的第一个数是，共有个奇数， ， ∴奇数211是底数为15的数的立方分裂后的第一个奇数，奇数219是底数为15的数的立方分裂后的第五个奇数，共有个奇数， ∴， 故选：B． 【作业7】．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）已知打开某种密码箱需要输入四位数密码，其中是三个静态密码(是小于10的自然数)，是动态密码，它是利用密钥计算生成的(是不大于5的正整数)，是的个位数字，现在小明打开这个密码箱的密码是2020，则所有符合的密钥的乘积是（   ） A．30 B．60 C．90 D．120 【答案】A 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了代数式求值．根据密码2020，可得，，，．d是M的个位数字，其中．要求M的个位为0，分别计算至5时M的个位数，找出使个位为0的m值，并求其乘积． 【详解】∵密码为2020， ∴，，，． 要求M的个位数字为0． 当时，，个位为； 当时，，个位为0； 当时，，个位为0； 当时，，个位为； 当时，，个位为0． ∴符合的m为2、3、5，其乘积为． 故选：A． 【作业8】．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入的是7，则第1次输出的结果是，第2次输出的结果是6．第三次输出的结果是3．依次继续下去．第次输出的结果是_____． 【答案】3 【详解】解：第1次输出的结果是：， 第2次输出的结果是：， 第3次输出的结果是：， 第4次输出的结果是：， 第5次输出的结果是：， 第6次输出的结果是：， 第7次输出的结果是：， 第8次输出的结果是：， 可发现，输出的结果从第2次开始以6，3，8，4，2，1为一个循环， ∵， ∴第次输出的结果为3， 故答案为：3． 【作业9】．（2026·江苏徐州·模拟预测）观察如图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则=________． 【答案】9803 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索 【分析】根据图形的一般规律，找出第个的规律即可求解． 【详解】解：由题意可得：； ； ； ； ， 由此可知：第n个图形有：， ∴． 【答案】 【分析】按照运算规则逐次计算前几步的结果，观察运算结果的规律，判断是否会出现固定的循环或者固定值．确定循环规律或者固定值后，根据运算次数与循环周期稳定出现的位置的关系，推导第次运算的结果． 【详解】第次运算：数字，，最大数，最小数，； 第次运算：数字，，，最大数，最小数，； 第次运算：数字，，，最大数，最小数，； 第次运算：数字，，，最大数，最小数，； 再次对重复运算，仍得到， 即从第次开始，运算结果恒为． ， 第次运算后得到的数是． 【作业10】．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）观察下面算式： 解答下面的问题： (1)的结果为________． (2)若表示正整数，请用含的代数式表示的值为______； (3)请用上述规律计算：的值（要求写出详细的解答过程，结果中可保留平方形式的数）． 【答案】(1)196 (2) (3) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索 【分析】本题考查数字的规律探究．通过观察题干中所给的算式，抽象概括出数字的变化规律，是解题的关键． （1）根据题干中算式的计算方法，进行计算即可； （2）根据题干中算式的计算方法，即可得出结论； （3）利用作差法和题干中算式的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：196； （2）解：， 故答案为：； （3）解： ． 【作业11】．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）每个多位数都可以通过反复求各位上的数字之和，最终变成一位数，如果求出的一位数是1，就称原来的多位数为“归一数”．例如，七位数3567943，其各位数字之和为37，37的各位数字之和为10，10的各位数字之和为1，因而3567943就是一个“归一数”． (1)判断：253 “归一数”；1238 “归一数”（填“是”或“不是”）； (2)从这七个数字之中任意选择两个数字，由这两个数字与1组成了一个三位数，已知这个三位数是“归一数”，现将其各个数位上的数字交换位置后还可得到5个三位数． ①证明：这六个三位数的和一定是222的倍数； ②请判断这六个三位数的和是否为定值，如果是，直接写出结果；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)是，不是； (2) ①证明：设从这七个数字之中任意选择两个数字，这两个数字分别为、， 由这两个数字与1组成了一个三位数， 这个三位数可以是， 这个三位数是“归一数”， ， 将其各个数位上的数字两两交换位置后还可得到5个三位数：，，，，， 这六个三位数的和为： ， 这六个三位数的和一定是222的倍数； ②是定值， 【知识点】有理数加法运算、有理数乘法运算律、数字类规律探索 【分析】本题考查了有理数的运算、代数式的表示、整式的运算以及新定义“归一数”等知识，根据“归一数”的定义列出代数式表示是解题的关键． （1）根据“归一数”的定义进行判断即可； （2）①求出这六个三位数的和，即可解决问题；②是定值，由①得，则这六个三位数的和为，即可得出结论． 【详解】（1）解：，， 是“归一数”； ，， 不是“归一数”； 故答案为：是，不是； （2）① 略 ②解：这六个三位数的和是定值， 由①得， 这六个三位数的和为：， 这六个三位数的和是定值． 【作业12】．（25-26七年级上·广东东莞·期中）综合与实践： 进位制是人们为了计算和运算方便而约定的计数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，逢几进一就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数． 材料一：最常用的是十进制，例如：6273中的6表示6个千，2表示2个百，7表示7个十，3表示3个一，所以十进制数，十进制数一般不标注基数． 材料二：二进制是逢二进一，例如就是二进制数1101的简单写法，将十进制数转化为二进制可以用除2取余法，以此类推，8进制就是除8取余法，进制就是除取余法，例如：． 材料三：进制转换十进制时，可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，例如：二进制数转换为十进制数为：；八进制． 根据上述材料解答下列问题： (1)观察感知：六进制的基数为__________，逢__________进一． (2)问题解决：十进制63对应的二进制数为__________，二进制对应的十进制数为__________． (3)类比迁移：我国古代设有十二地支，与十二种动物相应成为十二生肖，来表示12年为一周期的循环，这一规律可以用十二进制来解释，十二进制有十二个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，，．其中代表10，代表11.请同学们结合材料三提供的“进制转换十进制”的方法与策略，将十二进制转化为十进制数． (4)拓展应用：将二进制数转化为七进制数是多少？（思路：先将二进制数转化为十进制数，再转化为七进制数） 【答案】(1)6；六 (2)；89 (3)2026 (4) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、数字类规律探索 【分析】（1）根据逢几进一就是几进制，几进制的基数就是几，据此即可解答； （2）仿照材料二中的思路，运用除2取余法，可知把十进制63对应的二进制数为，根据材料三中：n进制转换十进制时，可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，可得：二进制对应的十进制的数为89； （3）根据材料三中：n进制转换为十进制时，可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，可得：将十二进制转化为十进制数为2026； （4）根据材料三中：n进制转换为十进制时，可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，可得：将转化为十进制数为38，仿照材料二中的思路，运用除7取余法，将所得的十进制数转化为七进制数为． 【详解】（1）解：六进制的基数为6，逢六进一， （2）解：运用除2取余法，如图所示， ∴十进制63对应的二进制数为：， 二进制对应的十进制的数为：， （3）解：将十二进制转化为十进制数为：， （4）解：先将转化为十进制数为：， 运用除7取余法，如图所示， 将所得的十进制数转化为七进制数为：． 【作业13】．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）问题呈现：在小学我们学习过用图示法求的方法： 如图1，从第1层至第n层，分别有1，2，3，…，n个小圆圈；将图1旋转后拼成如图2． ①图2中，每层有小圆圈__________个；共有小圆圈__________个． ②__________． 数学思考：如何求？小明同学根据上面的启示设计了如图3所示三角形数阵型： 第1行圆圈中的数为1，即；第2行两个圆圈中数的和为，即；……；第n行n个圆圈中数的和为，即．这样，该三角形数阵中所有圆圈中的数的和为． 为了求这个和，他将三角形数阵型经过两次旋转可得如图4所示的三角形数阵型． 观察这三个三角形数阵型各行同一位置圆圈中的数，（如第行的第1个圆圈中的数分别为，2，n）， ③发现每个位置上三个圆圈中数的和均为__________； ④这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：__________； ⑤__________． 拓展运用：根据以上发现， ⑥计算的结果为__________． ⑦求的值． 【答案】①；②③④⑤⑥⑦ 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、数字类规律探索、图形类规律探索 【分析】本题考查图形的规律，能够通过题中所给的方法，探究出规律，并能将得到的公式加以运用是解题的关键； 通过观察图形可得；通过观察图形，可得这三个三角形数阵所有圆圈中数字的总和为： 即可求解，即可得规律代入探究的结论即可得； 【详解】解：①由题意可得，同一行圆圈个数之和均为 个；由此可得两个图前n行圆圈个数总和为： ②； ③由题意可得，相同位置上三个圆圈中数字之和均为 ， ④由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数字的总和为： ⑤    ； ⑥计算 ⑦求 【作业14】．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）【概念学习】定义：求若干个相同有理数（均不等于0）的除法运算叫作除方，如、等．类比有理数的乘方，我们把记作23，读作“2的下3次方”，记作，读作“的下5次方”． 一般地，把记作，读作“a的下n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果： ． 【深入探究】有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如； （2）仿照上面的算式，直接将下列运算写成幂的形式：5； 【归纳结论】 （3）一个非零有理数a的下n次方写成幂的形式是： ； 【结论应用】 （4）计算：． 【答案】（1）1；（2）；（3）；（4） 【知识点】含乘方的有理数混合运算、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及有理数的混合运算，理解所给除方的定义是解题的关键． （1）根据除方的定义进行计算即可； （2）根据所给示例，将所给除方运算写成幂的形式即可； （3）结合（2）中发现的规律即可解决问题； （4）根据除方的定义及实数的运算法则进行计算即可． 【详解】解：（1）由题知， ． 故答案为：1； （2）； （3）由题知， ． 故答案为：； （4） ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章·代数式·满分压轴·期中复习讲义 （知识梳理+典例+练习）2026-2027·人教版七年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握图形与末位数字规律的探究方法，解决大序号压轴题 · 掌握数列、数表规律的深度分析方法，处理复杂排列问题 · 理解新定义与代数推理的规则，能进行符号运算与推导 · 掌握整体代入、除方、劳格数等新型运算的定义与应用 · 能运用代数式建立实际问题的模型并求值，提高综合能力 📚 知识梳理 ☆ 1.图形与末位数字规律 图形规律：数出前几个图形的元素个数，列表归纳第n个的代数式 拆分图形：把每个图形分解为可计数部分，分别找规律 末位数字规律：底数幂的末位按周期循环，用指数除以周期取余 大序号求值：先得通项公式，再把n代入计算 概念辨析例题：求72026的末位数字 答案：9 解析：7n末位按7,9,3,1循环，周期4；2026÷4=506余2，末位为第2个数字9。 ☆ 2.数列与数表规律 数列规律：相邻项差、比、和、平方关系综合判断，有时需分组 递推关系：从第二项起每项由前一项通过某种运算得到 数表规律：行首数字、每行个数、行号列号与序号的关系 分裂规律：n3分裂成n个连续奇数，首项=n2-n+1 概念辨析例题：33可分裂为7,9,11三个连续奇数，求53分裂的首个奇数 答案：21 解析：n3分裂成n个连续奇数，首项=n2-n+1=25-5+1=21。 ☆ 3.新定义与代数推理 新定义运算：把定义式当公式，按规则逐层计算 符号操作：改变项的符号求极值，分类讨论正负情况 集合表示：1、a、b与a、0、b形式等价，对应相等列方程组 数位条件题：设各位数字，列方程（组）并验证 概念辨析例题：已知集合{1，a，b}与集合{a，0，b2}表示同一个集合，求a、b的值 答案：a=-1，b=1 解析：两集合元素相同，b2只能等于1或a；若b2=1则b=±1，检验得a=-1，b=1。 ☆ 4.代数式求值与实际应用 整体代入：把已知式整体代入目标式，先变形再代入 数值转换器：按流程图逐次运算，观察输出周期 方案比较：分别计算各方案费用，比较取最优 阅读材料题：理解材料定义（皮克定理、劳格数、除方等）后应用 概念辨析例题：规定x※y=-（x、y不为0），计算3※2 答案： 解析：3※2=-=-=。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 图形规律 第n个=an+b或二次式 列表归纳验证 末位数字 幂末位周期循环 指数÷周期取余 数列规律 观察差比和平方 先列前几项 分裂规律 n3分裂n个奇数 首项=n2-n+1 新定义运算 按规则代入 先读懂规则 集合相等 元素完全相同 对应相等列方程 整体代入 把整体看作一个量 先变形再代入 实际应用 建代数式模型 方案比较取最优 ⚠️ 核心考点 【考点1】规律探究——图形与末位数字（第1-12题） · 图形规律：数前几个元素个数，列表归纳第n个通项 · 拆分计数：把图形分解为可计数部分分别找规律 · 末位数字：找幂末位循环周期，指数除以周期取余数 · 大序号：先得通项再代入，注意n从1开始验证 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）观察下列等式：，，，，，，……根据这个规律，则的末位数字是（   ） A．0 B．2 C．4 D．6 2．（25-26七年级上·四川南充·期中）如图，将第1个图中的正方形剪开得到第2个图，第2个图中共有4个正方形；将第2个图中一个正方形剪开得到第3个图，第3个图中共有7个正方形；将第3个图中一个正方形剪开得到第4个图，第4个图中共有10个正方形……如此下去，这第2025个图中共有正方形的个数为（   ） A．6073 B．6072 C．6070 D．6069 3．（2023七年级上·全国·竞赛）观察等式：，，，若，用含的式子表示，结果是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）探究代数式规律活动课上，小徽用同样大小的正方形按如图所示的规律拼图案，其中图1中有2个白色正方形，图2中有3个白色正方形，图3中有5个白色正方形，，按此规律排列下去，则图10中白色正方形的个数是（   ） A．12 B．14 C．15 D．18 5．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段检测）找出图形变化的规律，则第个图形中黑色正方形的数量是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·全国·课后作业）观察下列等式：，，，，，，，…．则的末位数字是（   ） A．0 B．2 C．3 D．9 7．（25-26七年级上·山西朔州·期中）如图，第1个图形中有1个正方形，按图中的方式连接对边中点，得到第2个图形，第2个图形中共有5个正方形；连接第2个图形中右下角正方形的对边中点，得到第3个图形，第3个图形中共有9个正方形．按同样的规律得到第4个图形、第5个图形…，则第7个图形中正方形的个数是______． 8．（25-26七年级上·湖南株洲·期中）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了根木棍，第②个图案用了根木棍，第③个图案用了根木棍，第④个图案用了根木棍，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案用的木棍根数是________． 9．（25-26七年级上·河南鹤壁·期末）用棋子按照如图所示规律摆图形，第个图比第个图多______枚棋子． 10．（25-26七年级上·四川达州·期末）用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地面： (1)观察图形，填写下表： (2)依上推测，第n个图形中黑色瓷砖的块数为________；黑白两种瓷砖的总块数为________（用含n的代数式表示） (3)白色瓷砖的块数可能比黑色瓷砖的块数多3020块吗？若能，求出是第几个图形；若不能，请说明理由． 11．（25-26七年级上·河南郑州·期末）如图，将边长为1的正方形第一次划分得到图1，图1中共有4个正方形，其中右上角正方形①的边长为原正方形边长的一半；第二次划分得到图2，图2中共有7个正方形，其中右上角正方形②的边长为正方形①边长的一半；第三次划分得到图3；…；如此下去． 将划分次数和每次划分后正方形总个数进行整理，如表： (1)上表中_________，_________； (2)按上述划分方式，能否得到正方形的总数为2026个？为什么？ (3)第5次划分后，右上角最小正方形的面积为_________． 12．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）【观察思考】如图是由正方形组成的一系列图案，其中第个图案有个正方形；第个图案有个正方形；第个图案有个正方形； 【规律发现】（）第个图案有______个正方形； （）第（是正整数）个图案有______（结果无需化简）个正方形； 【规律应用】（）结合图案中正方形的组合方式，小明说：“用个正方形可以组成符合该规律的图案．”判断小明的说法是否正确，并说明理由． 【考点2】规律探究——数列与数表（第13-23题） · 相邻项关系：差、比、和、平方综合判断，必要时分组 · 递推数列：由前一项经某种运算得后一项，循环计算 · 数表：确定行首、每行个数、行列与序号关系 · 分裂规律：n3=n个连续奇数之和，首项=n2-n+1 13．（2023七年级上·全国·竞赛）有一列数：，，，从第二个数开始，每一个数都等于与它前面的那个数的倒数的差，若，设，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 14．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段检测）将正整数按下表规律排列： 数5与对应； 数14与对应； A． B． C． D． 15．（25-26七年级上·广东深圳·期末）由1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，…组成的三角形数阵如图所示．第7行从左往右数第3个数是___________． 16．（25-26九年级上·安徽宿州·阶段检测）如下图中所示，寻找其中规律， 图1正三角形中共有4个点．图2正四边形中共有个点． 图3正五边形中共有个点．图4正六边形中共有______个点． 正七边形中共有______个点．依次类推…… 图正边形中共有______个点． 17．（2026九年级上·浙江温州·专题练习）数列的第2025项的值是__________． 18．（25-26七年级上·江苏镇江·阶段检测）将连续的正整数排成如图所示的数表．记为数表中第行第列位置的数字，如．若，则_________． 19．（25-26七年级上·宁夏吴忠·期中）观察下面三行数： ，4，，16，，64，……① 1，7，－5，19，，67，……② ，2，，8，，32，……③ (1)第①行的第8个数是__________． (2)第②行的第8个数是__________第③行的第n个数是_________． (3)取每行中的第9个数，计算这三个数的和． 20．（25-26七年级上·贵州黔东南·期中）观察下列三行数，并解答后面的问题： (1)根据第行数的规律，写出其中第个数为___________；第个数为___________； (2)根据排列规律，分别写出上面三行数的第个数，并计算这三个数的和； (3)设、、分别表示第行数的第个数，求出的值． 21．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，从左到右，在每个小格子都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等． (1)可求得_____；第2019个格子中的数为_____； (2)判断：前个格子中所填整数之和是否可能为2023，若能，求出的值；若不能，请说明理由； (3)如果a，b为前三个格子中的任意两个数，那么所有的的和可以通过计算：得到，若为前4个格子中的任意两个数，求所有的的和． 22．（25-26七年级上·安徽淮北·期中）观察下图圆圈中数字的排列规律，解答后面的问题． (1)图5中，_____，_____； (2)请画出第个图，并在各圆圈中填入合适的数．（用含的代数式表示，不用说理） 23．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）探索规律与代数推理：观察下面的数阵，完成下列问题． 第1行：1 第2行：        3         第3行：5                7                9 第4行：        11                13               15         …… (1)第n行有 个数，第n行最右边的数为 （用含n的式子表示，n为正整数）； (2)计算第5行所有数的和； (3)若某一行最右边的数为2025，求该行所有数的和． 【考点3】新定义与代数推理（第24-37题） · 新定义运算：按规则逐层代入，注意运算顺序 · 符号操作：分类讨论正负，求最大值最小值 · 集合或等式等价：对应相等，列方程组求解并验证 · 数位条件：设各位数字列方程，检验唯一性 24．（2024·重庆·二模）已知两个整式：，，将这两个整式进行如下操作： 第1次操作：用这两个整式的和除以2，将结果放在这两个整式之间，可以得到一个新的整式串，记为整式串1：，，； 第2次操作：在整式串1中，用相邻两个整式的和除以2，将结果放在这两个整式之间，又得到一个新的整式串，记为整式串2：，，，，，以此类推，可以得到整式串3，整式串4，…… 明明同学对此展开研究，得到以下3个结论： ①整式串4共有17个整式； ②整式串9从左往右第2个整式减去整式串10从左往右第2个整式的差为； ③经过2024次操作后，整式串的和为； 以上3个结论正确的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 25．（25-26七年级上·福建福州·期中）设三个互不相等的有理数，既可以表示成1、、的形式，又可以表示成、0、的形式，则的值为（ ） A． B．0 C．1 D．2 26．（2024·重庆开州·模拟预测）对于式子：，按照以下规则进行操作，改变指定项的符号（仅限于正号与负号之间的变换），第一次操作：改变所有3的倍数项前的符号，其余各项符号不变；第二次操作：在第一次操作的结果上，只改变4的倍数项前的符号；第三次操作：在第二次操作的结果上，只改变5的倍数项前的符号；第四次操作：在第三次操作的结果上，只改变6的倍数项前的符号．请根据上述操作规则，分析以下说法的正确性：①第二次操作结束后，一共有42项的符号为正号；②第三次操作结束后，所有10的倍数项之和为；③第四次操作结束后，所有项的和为．其中正确的个数是（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 27．（25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测）对一组数的一次操作变换记为，定义其变换法则如下：；且规定（n为大于1的整数）．如，，，则________． 28．（25-26七年级上·陕西西安·开学考试）一个四位数M，若它的千位数字与百位数字的差等于4，十位数字与个位数字的差等于3，则称这个四位数M为“雁塔数”．一个“雁塔数”M的千位数字与百位数字和的2倍与十位数字及个位数字的和记为P，千位数字与3的差记为Q，若能被7整除，则满足条件的M最大为________． 29．（23-24八年级上·重庆江津·期中）如果一个三位数m满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个三位数为“互异数”．将“互异数”m的个位数字去掉，得到一个两位数，将其与m的个位数字的差记为，将m的十位数字与个位数字的差记为．已知一个三位正整数(其中x、y都是整数，且)是“互异数”， 与的商为整数且能被13整除，则满足条件的“互异数”m的最大值___________． 30．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）一个四位正整数的各数位上的数字不完全相同且均不为零，若满足千位和百位数字之和是十位和个位数字之和的两倍，则称这样的四位数为“二阶数”．将“二阶数”的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调得到一个新的“二阶数”记为，记，例如：当．时，，则．已知两个“二阶数”，满足是一个完全平方数，且为整数，则_____，的最大值为_____． 31．（25-26七年级上·山东青岛·期末）将正方体骰子放置于水平桌面上，在图②中，将骰子向右翻滚；然后在桌面上按逆时针方向旋转，则视作完成一次变换，若骰子的初始位置为图①所示的状态，那么按上述规则连续完成2024次变换后，骰子朝上面的点数是__________． 32．（24-25七年级上·四川成都·期末）在综合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数中，任取两数之差的绝对值为奇数的取法种数进行了探究．发现：当时，仅有一种取法，即；当时，有两种选法，即，当时，可得；…．若，则的值为______；若，则的值为______． 33．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）密码学融合古老智慧与现代技术，是研究信息保密通信的核心学科．课本102页有一个密码盘如图所示，这个密码盘在数字和字母之间可建立一种对应关系，其中数字为密文，字母为明文．例如，密文“2”翻译成明文为“B”，密文“3  55”翻译成明文为“”． (1)密文“19  46”翻译成明文为“________”； (2)为了增加密码的破译难度，对于密文按如下规则又进行了再次加密，原密文记为“密文Ⅰ”，再次加密的密文记为“密文Ⅱ”． ①若密文Ⅰ中的正整数每增加1，则密文Ⅱ中正整数的变化规律为________； ②若密文Ⅰ中的“t”对应的明文与密文Ⅱ中的“”直接利用原规则对应的明文相同，求该明文． 34．（26-27七年级·全国·小升初衔接）奥地利数学家皮克（）发现，在网格中，顶点均在格点的多边形面积S可以由多边形内部格点数i和边界格点数b计算得到，请你观察下列图形，探索S与i和b之间的关系． (1)观察图形，补全表格． (2)观察①、③、④可以发现，每增加i时，面积增加______． 观察②和③，④和⑤可以发现，b每增加1时，面积增加______． 根据上述发现，可得：______．（用含i和b的式子表示） (3)根据你发现的结论计算图形的面积． 35．（25-26七年级下·福建龙岩·期末）阅读下列材料，然后回答问题：若一个正整数，从左到右读各数位上的数字与从右到左读各数位上的数字完全相同，则称这个正整数为“回文数”（例如：、、、、等都是回文数）．对于一个三位“回文数”，将的各个数位上的数字分别乘后，取其积的个位数字，得到三个新的数字、、，我们对规定一种运算：．例如：是一个三位“回文数”，将的各个数位上的数字分别乘后，取其积的个位数字依次是：、、，则． (1)记最大、最小的三位“回文数”分别为、． ①直接写出、的值： ， ； ②分别计算、的值； (2)一个三位的“回文数”，将的各个数位上的数字分别乘后，取其积的个位数字依次为：、、，若，求出的所有值． 36．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段检测）如果，那么称为的劳格数，记为，由定义可知：与所表示的是、两个量之间的同一关系． (1)根据劳格数的定义，填空：　 ，　 ； (2)劳格数有如下运算性质：若、为正数，则，．根据运算性质，填空： ①　 　（为正数）， ②若，则　 　，　 　，　 　． 37．（24-25七年级下·山东青岛·期中）【知识回顾】观察下列各式： ； ； ； 【理解应用】 根据你发现的规律解答下列各题： （1）根据以上规律可知，_____； （2）你能否由此归纳出一般性规律：_____； （3）若是正整数，且，请化简：_____ 【能力提升】 （4）计算： 【考点4】代数式求值与实际应用（第38-43题） · 整体代入：先变形把已知式整体代入 · 数值转换器：按流程逐次计算，找输出周期 · 方案比较：分别列式求值，比较大小取最优 · 阅读材料题：理解新定义（皮克定理、劳格数等）再应用 38．（25-26七年级上·安徽·期中）小红和小李学习完整式的概念后对下面问题进行探究： 已知关于x 的整式M：，当时，M：，当 时 ，M：，…，n 为正整数，其中，，，…， 为由大到小且小于21的正整数，相邻两数之差大于3． 小红：若，则n 最大只能为2； 小李：若，，则整式M的三次项的系数为13或14． 其中正确的说法是（    ） A．小红正确，小李错误 B．小李正确，小红错误 C．都正确 D．都错误 39．（24-25七年级上·四川成都·阶段检测）成都准备建立急救服务系统，各急救站之间由电话线相互联络，每个急救站必须能够同其他所有急救站进行联络，或者直接联络，或者最多通过另一个急救站来联络，每个急救站最多能够通过三条电话线．如图上表示这种网络的一个例子，它联络着七个急救站，按这种方式建立的网络系统最多能够联络______个急救站． 40．（25-26八年级上·北京·期中）在星际勘探的不透明储物舱中放入10块暗物质矿石和8块亮物质矿石，每次从储物舱中取出两块矿石． ①如果抽到两块暗物质矿石，一块存放在舱外，一块放回储物舱； ②如果抽到一暗一亮，暗物质矿石存放在舱外，亮物质矿石放回； ③如果抽到两块亮物质矿石，两块亮物质矿石都存放在舱外，并向舱内补进一块暗物质矿石； 在执行17次操作之后，储物舱中剩下__________块矿石，矿石的类型是__________． 41．（25-26七年级上·福建福州·期中）问题情境：在电视猜价节目中，主持人给出某商品价格在1到n元的整数范围内（n为正整数）．选手每次报一个价格，主持人会提示“高了”“低了”或“正确”．选手采用二分法策略：每次选择当前范围的中间数（若数据个数为偶数则取较小的中间数），逐步缩小范围直至猜中价格． 例如： ①当时，先猜2元，若错误则再猜1元或3元，只需2次一定能猜中； ②当时，先猜4元，若提示“低了”则再猜6元，若仍提示“低了”则猜7元，最多3次一定能猜中； ③当时，先猜5元，若提示“低了”则再猜8元，若仍提示“低了”则猜9元，若仍提示“低了”则猜10元，则最多4次一定能猜中． 问题解决： 借助二分法原理，当时，只需要________次可一定猜中； 当只需要7次才能保证一定猜中时，则n的最大值是________． 42．（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）完成以下小题 (1)【发现问题】自然数的平方可以用正方形的面积表示． 观察图1，由6个正方形组成的图形，其空白部分从下到上每一层长方形的面积可以表示为：．这样，图1中所有空白部分的面积之和为_____，粗线上方阴影部分面积是空白部分面积的_____倍；像这样，如果有8个正方形，那么空白部分的面积之和为_____． (2)【解决问题】如图2，粗线上方的阴影图形和空白图形的面积和为_____．（结果用含的代数式表示）．根据图2中粗线上方的阴影部分与空白部分的面积之间的关系，试推导：．（结果用含的代数式表示） (3)【拓展应用】根据以上发现，计算：． 43．（25-26七年级上·重庆·期中）甲、乙两商场分别出售A型、B型两种电暖气，零售价及运费如下表所示： 某公司计划在甲商场或乙商场选择一家采购两种电暖气共100台，其中A型电暖气需要买x台． (1)请用含x的代数式分别表示：（总费用=购买价+运费）． 甲商场：A型和B型电暖气的购买价为________，总费用为________． 乙商场：A型和B型电暖气的购买价为________，总费用为________． (2)若需购买A型电暖气40台，在哪个商场购买划算？ (3)若需购买A型电暖气40台，且可以同时在两家商场自由选择，还有更优惠的方案吗？请你设计一种方案． 💯 课后巩固 复习建议 · 图形规律先列表归纳通项，末位数字用周期取余法 · 数列数表注意递推关系、行首与行列规律，分裂规律记公式 · 新定义运算先读懂规则，集合相等与符号操作要分类讨论 · 整体代入与数值转换器注意运算顺序，找周期简化 · 实际应用与阅读材料题先建模型，方案比较取最优 【作业1】．（25-26七年级上·山西长治·期中）用完全相同的小正方形按照如图所示的规律拼成若干个图案，则第2025个图案中小正方形的个数是（    ） A．8101 B．8100 C．8096 D．1125 【作业2】．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）有依次排列的3个数：3，0，6，对任意相邻的两个数，都用左边的数减去右边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，3，0，-6，6，这称为第一次操作；第二次同样的操作后也可产生一个新数串：3，0，3，3，0，6，-6，-12，6，继续依次操作下去，已知第n次操作后，得到的新数串各个数之和为0，则第次操作后，得到的新数串各个数之和为（   ） A． B．-39 C．-174 D．-183 【作业3】．（26-27七年级上·浙江金华·阶段检测）已知这100个数中，每个数仅可以取值1或，则能取到的最小正数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【作业4】．（23-24七年级上·山东德州·期中）甲、乙两店卖豆浆，每杯售价均相同．已知甲店的促销方式是：每买2杯，第1杯原价，第2杯半价；乙店的促销方式是；每买3杯，第1、2杯原价，第3杯免费．若东东想买12杯豆浆，则下列所花的钱最少的方式是（    ） A．在甲店买12杯 B．在甲店买8杯，在乙店买4杯 C．在甲店买6杯，在乙店买6杯 D．在乙店买12杯 【作业5】．（25-26七年级上·贵州铜仁·期中）将棋子按如图所示的方式摆放，则摆第个图形需要的棋子的个数是（    ） A．141个 B．144个 C．147个 D．150个 A．3 B．6 C．2 D．8 【作业6】．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和．如，，，…，若“分裂”后，其中有一个奇数是219，则m的值是（   ） A．12 B．15 C．25 D．32 【作业7】．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）已知打开某种密码箱需要输入四位数密码，其中是三个静态密码(是小于10的自然数)，是动态密码，它是利用密钥计算生成的(是不大于5的正整数)，是的个位数字，现在小明打开这个密码箱的密码是2020，则所有符合的密钥的乘积是（   ） A．30 B．60 C．90 D．120 【作业8】．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入的是7，则第1次输出的结果是，第2次输出的结果是6．第三次输出的结果是3．依次继续下去．第次输出的结果是_____． 【作业9】．（2026·江苏徐州·模拟预测）观察如图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则=________． 【作业10】．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）观察下面算式： 解答下面的问题： (1)的结果为________． (2)若表示正整数，请用含的代数式表示的值为______； (3)请用上述规律计算：的值（要求写出详细的解答过程，结果中可保留平方形式的数）． 【作业11】．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）每个多位数都可以通过反复求各位上的数字之和，最终变成一位数，如果求出的一位数是1，就称原来的多位数为“归一数”．例如，七位数3567943，其各位数字之和为37，37的各位数字之和为10，10的各位数字之和为1，因而3567943就是一个“归一数”． (1)判断：253 “归一数”；1238 “归一数”（填“是”或“不是”）； (2)从这七个数字之中任意选择两个数字，由这两个数字与1组成了一个三位数，已知这个三位数是“归一数”，现将其各个数位上的数字交换位置后还可得到5个三位数． ①证明：这六个三位数的和一定是222的倍数； ②请判断这六个三位数的和是否为定值，如果是，直接写出结果；如果不是，请说明理由． 【作业12】．（25-26七年级上·广东东莞·期中）综合与实践： 进位制是人们为了计算和运算方便而约定的计数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，逢几进一就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数． 材料一：最常用的是十进制，例如：6273中的6表示6个千，2表示2个百，7表示7个十，3表示3个一，所以十进制数，十进制数一般不标注基数． 材料二：二进制是逢二进一，例如就是二进制数1101的简单写法，将十进制数转化为二进制可以用除2取余法，以此类推，8进制就是除8取余法，进制就是除取余法，例如：． 材料三：进制转换十进制时，可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，例如：二进制数转换为十进制数为：；八进制． 根据上述材料解答下列问题： (1)观察感知：六进制的基数为__________，逢__________进一． (2)问题解决：十进制63对应的二进制数为__________，二进制对应的十进制数为__________． (3)类比迁移：我国古代设有十二地支，与十二种动物相应成为十二生肖，来表示12年为一周期的循环，这一规律可以用十二进制来解释，十二进制有十二个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，，．其中代表10，代表11.请同学们结合材料三提供的“进制转换十进制”的方法与策略，将十二进制转化为十进制数． (4)拓展应用：将二进制数转化为七进制数是多少？（思路：先将二进制数转化为十进制数，再转化为七进制数） 【作业13】．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）问题呈现：在小学我们学习过用图示法求的方法： 如图1，从第1层至第n层，分别有1，2，3，…，n个小圆圈；将图1旋转后拼成如图2． ①图2中，每层有小圆圈__________个；共有小圆圈__________个． ②__________． 数学思考：如何求？小明同学根据上面的启示设计了如图3所示三角形数阵型： 第1行圆圈中的数为1，即；第2行两个圆圈中数的和为，即；……；第n行n个圆圈中数的和为，即．这样，该三角形数阵中所有圆圈中的数的和为． 为了求这个和，他将三角形数阵型经过两次旋转可得如图4所示的三角形数阵型． 观察这三个三角形数阵型各行同一位置圆圈中的数，（如第行的第1个圆圈中的数分别为，2，n）， ③发现每个位置上三个圆圈中数的和均为__________； ④这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：__________； ⑤__________． 拓展运用：根据以上发现， ⑥计算的结果为__________． ⑦求的值． 【作业14】．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）【概念学习】定义：求若干个相同有理数（均不等于0）的除法运算叫作除方，如、等．类比有理数的乘方，我们把记作23，读作“2的下3次方”，记作，读作“的下5次方”． 一般地，把记作，读作“a的下n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果： ． 【深入探究】有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如； （2）仿照上面的算式，直接将下列运算写成幂的形式：5； 【归纳结论】 （3）一个非零有理数a的下n次方写成幂的形式是： ； 【结论应用】 （4）计算：． 1 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