专题一 期中综合复习·培优讲义（有理数有理数运算） 2026-2027学年人教版七年级数学上册

专题一·期中综合复习·培优讲义 （有理数有理数运算）2026-2027·人教版七年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握有理数的概念、分类与比较大小的方法 · 掌握数轴与绝对值的几何意义，会化简与求距离 · 熟练进行有理数加减乘除乘方混合运算 · 掌握相反数、倒数与整体代入求值的方法 · 能运用有理数运算解决规律探究与实际应用问题 📚 知识梳理 ☆ 1.有理数的概念与分类 有理数：整数和分数统称，按符号分正、负、零 负数判断：带负号的数不一定是负数，要看化简结果 相等判断：先化简（去括号、绝对值）再比较 比较大小：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两负数绝对值大的反而小 概念辨析例题：在-(-2)，-|-2|，(-2)2，-22中，负数有几个？ 答案：2个 解析：-(-2)=2是正数，-|-2|=-2是负数，(-2)2=4是正数，-22=-4是负数，所以负数有2个。 ☆ 2.数轴与绝对值 数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线，右边的数大于左边的数 绝对值：|a|表示a到原点的距离，正数本身、负数相反数、0为0 |a-b|表示a、b两点间距离；|x-a|+|x-b|最小值在x∈[a,b]时取b-a 数轴化简：先由位置定符号大小，再化简绝对值 概念辨析例题：数轴上点A表示-2，点B表示4，则|AB|是多少？ 答案：6 解析：|AB|=|4-(-2)|=6，即两点间距离。 ☆ 3.有理数运算 加减：同号相加取同号、绝对值相加；异号相加取大号、绝对值相减 乘除：两数相乘（除）同号得正、异号得负，除以一个数等于乘它的倒数 乘方：负数的偶次幂为正、奇次幂为负；注意-22与(-2)2的区别 混合运算：先乘方、再乘除、后加减，有括号先算括号内 概念辨析例题：计算：-14-[-]÷×(-2) 答案：3 解析：-14=-1，-=，÷×(-2)=-2，原式=-1-(-2)=1。 ☆ 4.相反数、倒数与代数式求值 相反数：a、b互为相反数则a+b=0；倒数：a、b互为倒数则ab=1 整体代入：把已知的a+b、ab等整体看作一个量代入 绝对值非负：|a|≥0，几个非负数和为0则每个都为0 新定义运算：按规则代入计算，注意运算顺序 概念辨析例题：若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，求a+b-cd+m的值 答案：-1或3 解析：a+b=0，cd=1，m=±2，所以0-1+m=-1或3。 ☆ 5.规律与实际应用 数值转换器：按流程逐次计算，观察输出规律或周期 正负表示：规定正方向后，用正负数表示相反意义的量 统计图表：从统计图读取数据，用有理数运算解决问题 阅读材料：理解材料中的定义（三进制、新运算等）后应用 概念辨析例题：某电梯从1楼出发，向上记为正，记录为+5，-3，+2，-4，则电梯最终在几楼？ 答案：1楼 解析：5-3+2-4=0，从1楼出发最终回到1楼。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 有理数 整数与分数统称 按符号分正负零 比较大小 正>0>负 两负数绝对值大反而小 绝对值 |a|表示距离 正本身负相反数 数轴距离 |a-b| 右边大于左边 相反数 a+b=0 只有符号不同 倒数 ab=1 0没有倒数 混合运算 先乘方再乘除后加减 括号优先 整体代入 把整体看作一个量 先变形再代入 ⚠️ 核心考点 【考点1】有理数的概念与分类（第1-3题） · 判断负数：先化简再判断，勿只看带负号 · 相等判断：化简后比较，注意-22与(-2)2 · 比较大小：正数大于负数，两负数比绝对值 · 科学记数近似：四舍五入确定有效数字 1．（25-26六年级上·山东淄博·期中）下列说法正确的是（   ） A．若，则m是非正数 B．绝对值是本身的数是负数 C．是一个负数 D．棱柱侧面的形状可能是一个三角形 2．（24-25七年级上·四川眉山·期中）一个数由1个亿、6个百万、5个万和39个百组成，这个数是 _______；改写成用“万”作单位的数是 _______；用“四舍五入法”省略“亿”后面的尾数约是 _______． 3．（23-24六年级下·上海闵行·期末）比较大小：______.（填“”、“”或“”） 【考点2】数轴与绝对值（第4-19题） · 数轴位置定正负大小，|a-b|表示距离 · 原点位置：由两数和差关系反推 · 绝对值化简：正本身、负相反数，先定符号 · 距离和最值：|x-a|+|x-b|最小值在x∈[a,b] 4．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，数轴上的点，表示的数分别是、．如果，且，那么该数轴的原点的位置应该在（   ） A．点的左侧 B．点的右侧 C．点与点之间且靠近点 D．点与点之间且靠近点 5．（24-25七年级上·山西临汾·期中）有理数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·云南昆明·期中）有理数在数轴上对应点的位置如图所示，下列说法中正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·广东东莞·开学考试）数轴上点表示的数是，点与点在数轴上相距4个单位长度．则点表示的数是（    ） A． B．1 C．或1 D．或7 8．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期末）已知表示有理数，，的点在数轴上的位置如图所示，则下列选项中成立的是（    ） A． B． C． D． 9．（22-23七年级上·湖北武汉·期末）在数轴上表示有理数a，b，c的点如图所示，若，则下列一定成立的是（　　） A． B． C． D． 10．（24-25七年级上·河南郑州·阶段检测）电影《哈利·波特》中，哈利·波特穿越墙进入“站台”的镜头（如示意图的Q站台），构思精妙，给观众留下深刻的印象，若A、B站台分别位于，处，点P位于点A，B之间且，则P站台用类似电影的方法可称为________站台． ①若，则；②若，则；③式子的最小值是7． 11．（23-24七年级上·黑龙江七台河·期中）有理数a，b在数轴上的位置如下图所示，在下列结论中：①；②；③；④；⑤．结论正确的有______． 12．（25-26七年级上·湖南永州·期中）如图，周长为4个单位长度的圆上4等分点为P，Q，M，N，点P落在数轴上的2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么圆上落在数轴上的点是________． 13．（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）数轴上点A，B表示的数分别为和8，点P也在该数轴上，且到A，B两点的距离相等，则点P表示的数是________． 14．（25-26七年级上·河南濮阳·期中）如图，数轴上点表示的数为，点（不与重合）、到1的距离相等，点（不与重合）、到2的距离相等，点（不与重合）、到3的距离相等，．．．按此规律，点表示的数为___________． 15．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）如图，将一把刻度尺放在数轴上，刻度尺上的数字2、4、9分别对应数轴上的x、0、10，则x的值应该是______． 16．（23-24七年级上·重庆开州·阶段检测）在数轴上表示下列各数，并把所有数用“＜”连接起来， 17．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最小的正整数，且、满足．点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为秒． (1)求的值； (2)当点与点到原点的距离相等时，求此时点对应的数． (3)探究：在运动过程中，的值是否随着时间的变化而改变?若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 18．（23-24七年级上·山东临沂·阶段检测）已知：数轴上有A、B两点，分别表示数a、b，且与互为相反数． (1)求点A，B所对应的数； (2)若A点以每秒1个单位的速度向左运动，同时B点以每秒3个单位的速度做同向运动，多少秒之后，A，B两点表示的数互为相反数？ 19．（23-24七年级上·四川眉山·期末）如图，点和点在数轴上分别对应数和，其中和满足， (1)则______，______； (2)数轴上有一对动点和分别从点和出发沿数轴正方向运动，速度分别为每秒钟个单位长度和每秒钟个单位长度． ①经过多少秒后满足？ ②另有一动点从原点以某一速度出发沿数轴正方向运动，始终保持在与之间，且满足，运动过程是否存在某个时间段使得的值为定值，若存在请求出的取值范围和的值；若不存在，请说明理由． 【考点3】有理数运算（第20-31题） · 运算正确性判断：逐一计算再对照 · 乘方注意符号：-22=-4，(-2)2=4 · 混合运算顺序：乘方→乘除→加减，括号优先 · 巧算：利用运算律、倒数、分配律简化 20．（24-25七年级上·河北邢台·阶段检测）在下列给出的五个算式中，若再添加一个算式，可以帮助我们更加完整地探究有理数乘法法则，则添加的这个算式可以是（   ） ①；②；③；④；⑤． A． B． C． D． 21．（23-24七年级上·福建漳州·期中）下列计算结果互为相反数的是（    ） A．与. B．与 C．与 D．与 22．（24-25七年级上·湖南衡阳·阶段检测）计算的结果为_____________． 23．（25-26七年级上·广东深圳·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 24．（24-25七年级上·山东临沂·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 25．（25-26七年级上·甘肃张掖·期中）计算： (1) (2) 26．（25-26七年级上·山西晋中·期末）计算： (1) (2) 27．（23-24七年级上·宁夏吴忠·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 28．（24-25七年级上·辽宁铁岭·期末）计算题： (1)； (2)解方程：； (3)解方程：． 29．（25-26七年级上·湖南衡阳·阶段检测）计算： (1)利用适当的方法计算：． (2)． 30．（2024七年级上·黑龙江·专题练习）计算： (1)； (2)． 31．（25-26七年级上·全国·周测）计算：． 【考点4】相反数倒数与代数式求值（第32-41题） · a+b=0、ab=1整体代入 · 绝对值非负：非负数和为0则各项为0 · 新定义运算：按规则代入，注意顺序 · 分类讨论：绝对值、奇偶次幂分情况 32．（23-24七年级上·山西阳泉·期中）若，则的值为（   ） A． B．1 C．0 D．2023 33．（23-24七年级上·安徽亳州·期中）如果，，且，那么（    ） A． B． C．或 D．或1 34．（24-25七年级上·重庆万州·阶段检测）若且，则________ 35．（24-25七年级上·重庆开州·期末）已知、互为相反数，、互为倒数，是绝对值最小的负整数，则的值等于_____． 36．（24-25七年级上·湖南衡阳·阶段检测）若互为倒数，互为相反数，且，则_______． 37．（22-23七年级上·江苏南京·阶段检测）若，则x的值为______． 38．（24-25六年级上·山东烟台·期末）用“”定义一种新运算：．如．则的值为_____． 39．（25-26七年级下·河北衡水·开学考试）若，，且，则的值是______． 40．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）若有理数x、y、z满足，且，则_________． 41．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）我们规定一种新定义：，其中符号“※”是我们规定的一种新定 义，如． (1)根据新定义计算：； (2)已知，求b的值． (3)若，求的值． 【考点5】规律与实际应用（第42-58题） · 数值转换器：逐次计算找输出周期 · 正负意义：规定正方向后记录相反量 · 应用问题：列出算式，按运算顺序计算 · 阅读材料：理解定义（三进制、新运算）后仿照解题 42．（26-27七年级上·湖北武汉·开学考试）振大超市出售三种品牌的大米，袋子上分别标有千克，千克，千克．从中任意拿出两袋，这两袋米的质量最多相差（    ）． A．0.8千克 B．0.6千克 C．0.5千克 D．0.4千克 43．（25-26七年级上·四川成都·期末）下面是2018-2022年我国每年实物商品网上零售额统计图． 可以看出全年实物商品网上零售额占社会消费品零售总额的比例除2020年至2021年有所减少外其他年份逐渐增加，其中2020年社会消费品零售总额大约为________万亿元（结果保留整数）． 44．（2021·黑龙江绥化·模拟预测）汕头日报报道，2011年春节的第一个黄金周，汕头市零售市场销售持续趋旺，除夕至大年初二共三天，各种商品零售额达到179000000元，用科学记数法表示179000000是____________元（保留两位有效数字）． 45．（23-24七年级上·广东广州·期中）利用数轴解答：有一座三层楼房不幸起火，一名消防队员搭梯子爬行三楼去救人，当他爬到梯子正中一级时，二楼窗口喷出火焰，他就往下退了3级，等到火势过去了，他又向上爬了7级，这时楼顶有砖掉下，他又往下退了3级，躲过下落的砖后，他继续向上爬了8级，这时他距离梯子最高层还有9级，问这个梯子共有几级？________． 46．（23-24七年级上·福建泉州·阶段检测）某天，调皮的小明从楼乘坐电梯，他上下电梯的记录如下（向上为正，向下为负，单位：楼）：，，，，小明最终停在的楼层是______ ． 47．（25-26七年级上·福建龙岩·期中）有一数值转换器，原理如图所示，如果开始输入的值是5，则第一次输出的结果是8，第二次输出的结果是7，……那么第2025次输出的结果是______． 48．（25-26七年级上·山东德州·期中）2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率： 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22和11化为二进制数： ； ； 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数： ； 将二进制数化为三进制数为___________．（注：，） 49．（23-24七年级上·广东惠州·期中）电动车厂本周计划每天生产100辆电动车，由于工人实行轮休，每天上班的人数不一定相等，实际每天生产量（与计划量相比）的增长值如表：根据上面的记录，问： (1)生产最多的一天比生产最少的一天多多少辆？ (2)本周实际生产的电动车总量与计划量相比较是增加还是减少，总计增加或减少多少辆？ (3)若每台电动车的售价是1000元，则本周的生产总额是多少元？（结果用科学记数法表示） 50．（24-25六年级上·山东泰安·期中）阅读下列材料：计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为 ． 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪个解法是错误的； (2)请你选择两种合适的解法解答下列问题：计算：． 51．（22-23七年级上·辽宁阜新·期中）某领导慰问高速公路养护小组．乘车从服务区出发，沿东西向公路巡视，如果约定向东为正，向西为负，当天的行驶记录如下（单位：千米）：，，，，，． (1)求该领导乘车最后到达的地方在服务区何方？距离多远？ (2)若行驶千米耗油升，则这次巡视共耗油多少升？ (3)若领导在这个巡视点发放苹果做为慰问品，以为标准，超过的记为正数，不足的记为负数，这个巡视点的苹果重量记为，，，，，（单位：），求发放苹果的总重量． 52．（25-26七年级下·四川绵阳·开学考试）甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，出发时他们的速度比为，他们第一次相遇后，甲的速度降低了，乙的速度提高了，当乙到达A地时，甲离B地还有60千米．那么A、B两地间的路程是多少千米？ 53．（23-24七年级上·广东韶关·期中）老师写出一个整式（其中a、b为常数，且a、b表示为系数），然后让同学给a、b赋予不同的数值进行计算． (1)甲同学给出了一组数据，最后计算的结果为．求出甲同学给出的a、b的值． (2)乙同学给出a，b的值满足，请按照乙同学给出的a，b的值化简整式． 54．（24-25七年级上·浙江温州·期中）千年东瓯国，诗画白鹿城．“寻鹿之美”景点打卡集章活动盛行，斌斌选择了“中山纪念馆䖢河白鹿市集墨池坊历史街区夏鼎故居南戏博物馆江心屿景区码头”这一路线进行打卡盖章．全程5.5千米，若每段行程以1千米为基准，实际里程超过基准的千米数记为“+”，不足的记为“-”，并将其称为里程波动值．下表记录了五段行程的里程波动值： (1)行程②的实际里程是_______千米； (2)求行程④的实际里程． 55．（24-25七年级上·四川成都·期中）问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：，，，． (1)独立思考：解答王老师提出的问题：第个式子为__________，第个式子为_____． (2)实践探究：利用（1）中的规律计算：； (3)问题拓展：某小组同学对上述问题进行了研究之后，设计了一个分母中的两个因数的差为的题目，请你解答：求； (4)问题解决：求的值． 56．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）【知识技能】观察下列各等式： 【数学理解】 （1）以此类推，可得______． （2）计算：． 【拓展探索】 （3）计算：． 57．（24-25七年级上·吉林·期末）复兴号动车在吉长城际铁路运行，在吉龙段（吉林到龙嘉）和龙长段（龙嘉到长春）的预定速度分别是，，其中龙长段全长约．根据这些数据回答下列问题： (1)动车在吉龙段行驶的路程是________，动车在吉龙段行驶的路程与时间成_______比例关系； (2)随着技术创新，动车的速度不断被刷新，当动车在龙长段行驶的速度提升到时，用含v的代数式表示动车在龙长段行驶的时间为_________，动车在龙长段行驶的时间与动车的速度成_________比例关系； (3)吉长城际铁路总里程约为，一动车从吉林站出发，按照预定速度到达龙嘉站停留1分钟时，接到通知，需在进入长春站，请通过计算说明，该车在龙长段行驶的速度提升了多少？（结果精确到个位） 58．（山东省淄博市淄川区2023-2024学年六年级上学期期中数学试题）在求的结果时，小明发现，便可很容易得到这些加数的和，具体方法如下： 假设：①， 又有： ②， ①＋②，得：， 所以，所以． 计算： ． 💯 课后巩固 复习建议 · 有理数概念注意化简后判断，比较大小记牢法则 · 数轴绝对值活用距离模型，|x-a|+|x-b|最小值在区间内 · 混合运算严格按顺序，乘方符号要分清 · 相反数倒数与整体代入是求值核心，绝对值非负常用 · 应用与规律题先列式再计算，阅读材料先理解定义 【作业1】．（25-26七年级下·浙江杭州·开学考试）据统计，至2025年年末，拱墅区常住人口四舍五入后约为万人．这时的拱墅区常住人口最多可能是（     ）人． A．1201000 B．1201400 C．1201499 D．1201999 【作业2】．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）若有理数a，b满足，且，则的值是（   ） A． B．1 C．或 D．1或 【作业3】．（22-23七年级下·湖南常德·期中）已知数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，则下列各式错误的是（    ） A． B． C． D． 【作业4】．（24-25七年级上·山东菏泽·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【作业5】．（24-25七年级上·河南南阳·期末）大家都知道，7点50分可以说成差10分钟8点，有时这样表达更清楚，这也启发了人们设计了一种新的加减计数法，例如：写成，，写成，7683写成，按这种方法计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【作业6】．（25-26六年级上·上海浦东新·阶段检测）在、、、、、中，负数有（   ）个 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【作业7】.5，2，，0，，， 【作业8】．（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点与数轴上表示的点重合，将该圆沿数轴滚动1周，点到达点的位置，则点表示的数是（    ） A． B． C． D．或 【作业9】．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段检测）有下列运算：①；②；③0.75÷；④，其中运算正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【作业10】．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段检测）下列各组数中，相等的一组是（      ） A．与 B．与 C．与 D．与 【作业11】．（24-25七年级上·河北廊坊·阶段检测）若a，b互为相反数，c的倒数是，则的值为（    ） A． B． C．4 D． 【作业12】．（24-25七年级上·广东广州·期末）如图，数轴上顺次有，，，，，六个点，且任意相邻两点之间的距离都相等，点，，对应的数分别为，，，下列说法：①若，则；②若，则原点在，之间；③若，则是原点；④若原点在，之间，则，其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．①③ C．③④ D．①③④ 【作业13】．（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）下列说法正确的个数有（   ） ①代数式的最小值是；②若，则一定是非正数；③若，则式子的化简结果为2；④若，，则 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【作业14】．（23-24七年级上·重庆奉节·期末）计算： (1)； (2)． 【作业15】．（24-25七年级上·广东江门·阶段检测）定义一种新的运算“⊕”，规则如下：． (1)______； (2)求的值． 【作业16】．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段检测）已知，且，求的值． 【作业17】．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）“滴滴”司机王师傅上午一直在航海路上营运，共连续运载八批乘客．若规定向东为正，向西为负，王师傅营运八批乘客里程如下：（单位：千米） ，，，，，，， (1)将最后一批乘客送到目的地时，王师傅距离第一批乘客出发地的东面还是西面？距离多少千米？ (2)若汽车耗油量为0.2升/千米，上午王师傅开车共耗油多少升？ 【作业18】．（23-24七年级上·北京东城·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 【作业19】．（23-24七年级上·四川泸州·阶段检测）随着网络的发展，人民群众喜欢在网络上购物或寄物．小李是一位负责在一条东西方向的交通线进行收物和发放快递．一天早上8点到驿站，乘坐动力三轮车开始了一天的工作，为了便于统计，他自己每到一个代办点用三个数字来记录：第一个数字为行驶的方向和距离，第二个数据为放下的货物件数，第三个数字为收取货物的件数；例：向东行驶了3千米，发放了5件货物，收取了6件货物．到下午6点下班时，其记录情况如下：，，，，，其中，B与是互为相反数，当天收件数刚好与送件数相等． (1)如果每千米耗油升，当天的油价为元/升，全天的油费多少元？（结果精确到） (2)请根据提供的内容，完成填空． (3)如果小李的基本工资为60元/天，发放一件补助元，收到一件补助元．请计算这天的工资为多少元？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题一·期中综合复习·培优讲义 （有理数有理数运算）2026-2027·人教版七年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握有理数的概念、分类与比较大小的方法 · 掌握数轴与绝对值的几何意义，会化简与求距离 · 熟练进行有理数加减乘除乘方混合运算 · 掌握相反数、倒数与整体代入求值的方法 · 能运用有理数运算解决规律探究与实际应用问题 📚 知识梳理 ☆ 1.有理数的概念与分类 有理数：整数和分数统称，按符号分正、负、零 负数判断：带负号的数不一定是负数，要看化简结果 相等判断：先化简（去括号、绝对值）再比较 比较大小：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两负数绝对值大的反而小 概念辨析例题：在-(-2)，-|-2|，(-2)2，-22中，负数有几个？ 答案：2个 解析：-(-2)=2是正数，-|-2|=-2是负数，(-2)2=4是正数，-22=-4是负数，所以负数有2个。 ☆ 2.数轴与绝对值 数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线，右边的数大于左边的数 绝对值：|a|表示a到原点的距离，正数本身、负数相反数、0为0 |a-b|表示a、b两点间距离；|x-a|+|x-b|最小值在x∈[a,b]时取b-a 数轴化简：先由位置定符号大小，再化简绝对值 概念辨析例题：数轴上点A表示-2，点B表示4，则|AB|是多少？ 答案：6 解析：|AB|=|4-(-2)|=6，即两点间距离。 ☆ 3.有理数运算 加减：同号相加取同号、绝对值相加；异号相加取大号、绝对值相减 乘除：两数相乘（除）同号得正、异号得负，除以一个数等于乘它的倒数 乘方：负数的偶次幂为正、奇次幂为负；注意-22与(-2)2的区别 混合运算：先乘方、再乘除、后加减，有括号先算括号内 概念辨析例题：计算：-14-[-]÷×(-2) 答案：3 解析：-14=-1，-=，÷×(-2)=-2，原式=-1-(-2)=1。 ☆ 4.相反数、倒数与代数式求值 相反数：a、b互为相反数则a+b=0；倒数：a、b互为倒数则ab=1 整体代入：把已知的a+b、ab等整体看作一个量代入 绝对值非负：|a|≥0，几个非负数和为0则每个都为0 新定义运算：按规则代入计算，注意运算顺序 概念辨析例题：若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，求a+b-cd+m的值 答案：-1或3 解析：a+b=0，cd=1，m=±2，所以0-1+m=-1或3。 ☆ 5.规律与实际应用 数值转换器：按流程逐次计算，观察输出规律或周期 正负表示：规定正方向后，用正负数表示相反意义的量 统计图表：从统计图读取数据，用有理数运算解决问题 阅读材料：理解材料中的定义（三进制、新运算等）后应用 概念辨析例题：某电梯从1楼出发，向上记为正，记录为+5，-3，+2，-4，则电梯最终在几楼？ 答案：1楼 解析：5-3+2-4=0，从1楼出发最终回到1楼。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 有理数 整数与分数统称 按符号分正负零 比较大小 正>0>负 两负数绝对值大反而小 绝对值 |a|表示距离 正本身负相反数 数轴距离 |a-b| 右边大于左边 相反数 a+b=0 只有符号不同 倒数 ab=1 0没有倒数 混合运算 先乘方再乘除后加减 括号优先 整体代入 把整体看作一个量 先变形再代入 ⚠️ 核心考点 【考点1】有理数的概念与分类（第1-3题） · 判断负数：先化简再判断，勿只看带负号 · 相等判断：化简后比较，注意-22与(-2)2 · 比较大小：正数大于负数，两负数比绝对值 · 科学记数近似：四舍五入确定有效数字 1．（25-26六年级上·山东淄博·期中）下列说法正确的是（   ） A．若，则m是非正数 B．绝对值是本身的数是负数 C．是一个负数 D．棱柱侧面的形状可能是一个三角形 【答案】A 【知识点】几何体中的点、棱、面、正负数的定义、求一个数的绝对值 【分析】本题考查绝对值、负数和棱柱的基本概念，根据绝对值的定义和棱柱的性质，逐项判断即可． 【详解】解：对于A：∵ ，且 ， ∴ ，即 ， ∴ m是非正数，故A正确， 对于B：绝对值是本身的数是非负数（如 ，），而非负数包括0和正数，不是负数，故B错误， 对于C：不一定是负数，当时，；当时，；当时，，故C错误， 对于D：棱柱的侧面由平行四边形组成（直棱柱为矩形），不可能为三角形，故D错误． 故选：A． 2．（24-25七年级上·四川眉山·期中）一个数由1个亿、6个百万、5个万和39个百组成，这个数是 _______；改写成用“万”作单位的数是 _______；用“四舍五入法”省略“亿”后面的尾数约是 _______． 【答案】 106053900 万 1亿 【知识点】求近似数的精确度 【分析】本题主要考查了整数的读写及改写，近似数等知识点，在亿位上写1，百万位上写6，万位上写5，千位上写3，百位上写9，其它数位没有数用0占位，改写成用万作单位的数，就是在万位数的右下角点上小数点，然后把小数末尾的0去掉，再在数的后面写上“万”字；省略“亿”后面的尾数就是四舍五入到亿位，把亿位后的千万位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“亿”字，熟练掌握其改写方法是解决此题的关键． 【详解】一个数由1个亿、6个百万、5个万和39个百组成，这个数是106053900；改写成用“万”作单位的数是万；用“四舍五入法”省略“亿”后面的尾数约1亿， 故答案为：106053900，万，1亿． 3．（23-24六年级下·上海闵行·期末）比较大小：______.（填“”、“”或“”） 【答案】 【知识点】有理数大小比较、求一个数的绝对值 【分析】本题主要考查有理数比较大小，熟练掌握有理数比较大小是解题的关键. 【详解】解：，， 故， 故答案为：． 【考点2】数轴与绝对值（第4-19题） · 数轴位置定正负大小，|a-b|表示距离 · 原点位置：由两数和差关系反推 · 绝对值化简：正本身、负相反数，先定符号 · 距离和最值：|x-a|+|x-b|最小值在x∈[a,b] 4．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，数轴上的点，表示的数分别是、．如果，且，那么该数轴的原点的位置应该在（   ） A．点的左侧 B．点的右侧 C．点与点之间且靠近点 D．点与点之间且靠近点 【答案】D 【知识点】两个有理数的乘法运算、有理数加法运算、数轴上找原点 【分析】本题考查了数轴的性质、有理数的加法与乘法法则，熟练掌握数轴的性质是解题关键．先根据有理数乘法法则和数轴的性质可得，从而可得该数轴的原点在点与点之间，再根据有理数的加法法则可得该数轴的原点靠近点，由此即可得． 【详解】解：∵在数轴上，点在点的左侧，且， ∴， ∴该数轴的原点在点与点之间， 又∵， ∴该数轴的原点靠近点， 综上，该数轴的原点的位置应该在点与点之间且靠近点， 故选：D． 5．（24-25七年级上·山西临汾·期中）有理数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】两个有理数的乘法运算、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题考查了利用数轴比较数的大小，有理数绝对值的性质，有理数的乘法．根据数轴判定式子的符号．由数轴可知，，，得到，，，，即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得：，， 即，， ∴，，，， 观察四个选项，C选项符合题意； 故选：C． 6．（24-25七年级上·云南昆明·期中）有理数在数轴上对应点的位置如图所示，下列说法中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】两个有理数的乘法运算、有理数加法运算、根据点在数轴的位置判断式子的正负、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了有理数与数轴，根据数轴可得得，，，进而逐项判断即可求解，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，，， ∴，，， 故选项错误，选项正确， 故选：． 7．（24-25七年级下·广东东莞·开学考试）数轴上点表示的数是，点与点在数轴上相距4个单位长度．则点表示的数是（    ） A． B．1 C．或1 D．或7 【答案】C 【知识点】有理数的减法运算、数轴上两点之间的距离、有理数加法运算、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查数轴上两点间的距离、有理数的加减，关键是分点B在点A的左侧和右侧分别求解． 分点B在点A的左侧和右侧求解即可． 【详解】解：当点B在点A的左侧时，点B表示的数是， 当点B在点A的右侧时，点B表示的数是， 故选：C． 8．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期末）已知表示有理数，，的点在数轴上的位置如图所示，则下列选项中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】两个有理数的乘法运算、根据点在数轴的位置判断式子的正负、绝对值的几何意义 【分析】本题考查数轴上表示的数，根据数轴得出a、b的范围是解题的关键．根据所给数值在数轴上的位置，判断出a、b的范围，进而对所给代数式的正误进行判断即可． 【详解】解：由数轴可得，， ∴，，故A，B，D不正确， ∴， ∴ ∴，即，故C选项正确， 故选：C． 9．（22-23七年级上·湖北武汉·期末）在数轴上表示有理数a，b，c的点如图所示，若，则下列一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、有理数加法运算、多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了数轴，有理数的乘法加法，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．由数轴上表示的，，得出的结论，再根据已知条件，，判断字母，，表示的数的正负性即可． 【详解】解：由图可知， ， ，， ， 故D正确； ，， 当时，， 当时，， 故A错误； 由得，， 当，0离近时，，0离远时，； 当时，， 故B错误； ， ，， 当0离近时，； 0离远时，， 故C错误； 故选：D． 10．（24-25七年级上·河南郑州·阶段检测）电影《哈利·波特》中，哈利·波特穿越墙进入“站台”的镜头（如示意图的Q站台），构思精妙，给观众留下深刻的印象，若A、B站台分别位于，处，点P位于点A，B之间且，则P站台用类似电影的方法可称为________站台． 【答案】 【知识点】数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要考查了数轴，先根据两点间距离公式求出的长度，再根据求得的长度，再用加上该长度即为所求． 【详解】解：， ， 又点P位于点A，B之间且， 所以，点P对应的数为：； 故P站台用类似电影的方法可称为站台， 故答案为： ①若，则；②若，则；③式子的最小值是7． 【答案】①②③ 【知识点】整式的加减运算、已知字母的值 ，求代数式的值、绝对值的几何意义 【分析】本题考查绝对值、代数式求值、整式的加减，掌握去绝对值符号的方法是解题的关键． ①根据绝对值的非负性质分别计算和的值，从而计算的值即可； ②根据去绝对值即可； ③根据和的表达式用绝对值将表示出来，根据其几何意义判断即可． 【详解】解：①∵，即， ∴，， ∴，， ∴， ∴①正确； ②∵， ∴， ∴②正确； ③， 它的几何意义是数轴上表示的点到表示3的点与到表示的点的距离之和， ∴当表示x的点位于表示3的点与表示的点之间时，其距离之和最小，最小值为， ∴④正确． 综上，①②③正确． 故答案为：①②③． 11．（23-24七年级上·黑龙江七台河·期中）有理数a，b在数轴上的位置如下图所示，在下列结论中：①；②；③；④；⑤．结论正确的有______． 【答案】①④⑤ 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题考查了数轴的性质，绝对值的化简，整式的加减，正确化简绝对值是解答本题的关键； 先判断出然后对每一个式子进行判断即可； 【详解】解：由图可得：， ，①正确； ，②错误； ，③错误； ， ，④正确； 结合图像可得，，⑤正确； 故答案为：①④⑤． 12．（25-26七年级上·湖南永州·期中）如图，周长为4个单位长度的圆上4等分点为P，Q，M，N，点P落在数轴上的2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么圆上落在数轴上的点是________． 【答案】Q 【知识点】数轴上的规律探究 【分析】本题考查了图形类规律探索，根据圆的周长为4，且，，，为圆的四等分点，可得数轴上负方向上从2开始的整数每4个数为一个循环，依次对应，，，四点，求得到2的距离，然后计算即可． 【详解】解：根据题意可得：数轴上负方向上从2开始的整数每4个数为一个循环，依次对应，，，四点， ∵数轴上表示的点到2的距离为，， ∴圆上落在数轴上的点是Q， 故答案为：Q． 13．（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）数轴上点A，B表示的数分别为和8，点P也在该数轴上，且到A，B两点的距离相等，则点P表示的数是________． 【答案】3.5 【知识点】有理数的减法运算、数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查数轴上两点间的距离公式，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键；先求出A，B之间的距离，进而求出B，P之间的距离，进而求出P表示的数． 【详解】解：数轴上点A，B表示的数分别为和8， ， 点P到A，B两点的距离相等， ， 点P表示的数是； 故答案为：3.5． 14．（25-26七年级上·河南濮阳·期中）如图，数轴上点表示的数为，点（不与重合）、到1的距离相等，点（不与重合）、到2的距离相等，点（不与重合）、到3的距离相等，．．．按此规律，点表示的数为___________． 【答案】 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的规律探究 【分析】本题考查数字变化的规律，能依次求出点(为正整数)所表示的数并发现规律是解题的关键；依次求出点(为正整数)所表示的数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知，数轴上点表示的数为，且(不与重合)，分别到1对应的点的距离相等， 所以， 即点表示的数为4； 依次类推，点表示的数为0，点表示的数为6，点表示的数为2，点表示的数为8，点表示的数为， 所以点(为正整数)表示的数为：，点表示的数为：． 当时，则， 即点表示的数为； 故答案为：． 15．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）如图，将一把刻度尺放在数轴上，刻度尺上的数字2、4、9分别对应数轴上的x、0、10，则x的值应该是______． 【答案】 【知识点】数轴上两点之间的距离、两个有理数的乘法运算、有理数的除法运算 【分析】本题考查数轴，有理数的运算，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 根据数轴的知识点进行解题即可． 【详解】解：由题可知， 数轴0到10之间的距离是， 则每格代表的距离为， 因为x在原点的左侧，代表负数， 则x代表的数是， 故答案为：． 16．（23-24七年级上·重庆开州·阶段检测）在数轴上表示下列各数，并把所有数用“＜”连接起来， 17．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最小的正整数，且、满足．点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为秒． (1)求的值； (2)当点与点到原点的距离相等时，求此时点对应的数． (3)探究：在运动过程中，的值是否随着时间的变化而改变?若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1) (2)9 (3)不随时间的变化而改变，值为12 【知识点】整式的加减运算、动点问题（一元一次方程的应用）、其他问题(一元一次方程的应用)、绝对值非负性 【分析】（1）根据非负数的性质求出a和c，根据b是最小的正整数可知，由此可解； （2）用代数式表示出t时点A和点B表示的数，根据两点到原点的距离相等求出t的值，进而求出点对应的数； （3）根据两点间距离公式，用含t的代数式表示出和，进而表示出，即可得出答案． 【详解】（1）解： 、满足， ，， ，， 是最小的正整数， ， ； （2）解：运动时间为t秒时，点A表示的数是，点B表示的数是， 点与点到原点的距离相等， ， 解得， 此时点对应的数为． （3）解：运动时间为t秒时，点A表示的数是，点B表示的数是，点C表示的数是， ，， ， 在运动过程中，的值不随时间的变化而改变，值为12． 【点睛】本题考查绝对值和平方的非负性，数轴上的动点问题，数轴上两点间距离公式，解一元一次方程等知识点，解题的关键是用含t的代数式表示出各个动点表示的数． 18．（23-24七年级上·山东临沂·阶段检测）已知：数轴上有A、B两点，分别表示数a、b，且与互为相反数． (1)求点A，B所对应的数； (2)若A点以每秒1个单位的速度向左运动，同时B点以每秒3个单位的速度做同向运动，多少秒之后，A，B两点表示的数互为相反数？ 【答案】(1)点A对应的数是，点B对应的数是32 (2)6秒 【知识点】相反数的定义、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】(1)根据相反数的定义列得，得到即可； (2) 设运动时间为t秒，则运动后，点A表示的数是，点B表示的数是，根据相反数的意义得到方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∴点A对应的数是，点B对应的数是32； （2）设运动时间为t秒， 则运动后，点A表示的数是，点B表示的数是， 则 解得 ∴6秒后，A，B两点表示的数互为相反数． 【点睛】此题考查了相反数的意义，一元一次方程与实际问题，正确理解互为相反数的两个数和为0是解题的关键． 19．（23-24七年级上·四川眉山·期末）如图，点和点在数轴上分别对应数和，其中和满足， (1)则______，______； (2)数轴上有一对动点和分别从点和出发沿数轴正方向运动，速度分别为每秒钟个单位长度和每秒钟个单位长度． ①经过多少秒后满足？ ②另有一动点从原点以某一速度出发沿数轴正方向运动，始终保持在与之间，且满足，运动过程是否存在某个时间段使得的值为定值，若存在请求出的取值范围和的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①秒或秒；②存在，使得的值为定值，定值为 【知识点】数轴上两点之间的距离、几何问题(一元一次方程的应用)、动点问题（一元一次方程的应用）、绝对值非负性 【分析】（）利用非负数的性质解答即可； （）①设运动时间为秒，则秒后点表示的数为，点表示的数为，分点在点左边和右边两种情况，分别列出方程解答即可求解；②设的速度为每秒个单位，则对应的数为，可得，，，，由得到，进而得到，再根据和解答即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴，， ∴，， 故答案为：，； （2）解：①设运动时间为秒，则秒后点表示的数为，点表示的数为， 当点在点左边时，，， 由得，， 解得； 当点在点右边时，，， 由得，， 解得； 综上，经过秒或秒后，满足； ②存在，使得的值为定值，定值为，理由如下： 设的速度为每秒个单位，则对应的数为， ∴，，，， ∵， ∴， 解得， ∴， 当即时， ； 当时，即时，； ∴存在，使得的值为定值，定值为． 【点睛】本题考查了非负数的性质，数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，绝对值的性质，掌握数轴上两点间距离计算方法是解题的关键． 【考点3】有理数运算（第20-31题） · 运算正确性判断：逐一计算再对照 · 乘方注意符号：-22=-4，(-2)2=4 · 混合运算顺序：乘方→乘除→加减，括号优先 · 巧算：利用运算律、倒数、分配律简化 20．（24-25七年级上·河北邢台·阶段检测）在下列给出的五个算式中，若再添加一个算式，可以帮助我们更加完整地探究有理数乘法法则，则添加的这个算式可以是（   ） ①；②；③；④；⑤． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了有理数乘法法则，掌握有理数乘法法则成为解题的关键． 先分析已有等式呈现的有理数乘法法则，结合选项发现所缺算式即可解答． 【详解】解：②和④可反映异号两数相乘以及交换律仍然成立； ③⑤可反映正数、负数与0的积仍为0； ①反映两正数相乘的运算法则； 综上，发现缺少两负数相乘的运算法则，即A选项符合题意． 故选A． 21．（23-24七年级上·福建漳州·期中）下列计算结果互为相反数的是（    ） A．与. B．与 C．与 D．与 【答案】A 【知识点】有理数的乘方运算、相反数的定义、求一个数的绝对值 【分析】本题考查了相反数、绝对值、有理数的乘方运算，先化简各数，然后根据相反数的定义判断即可，正确化简求值是解题的关键． 【详解】.，，符合题意； .，，不符合题意； .， ，不符合题意； .，，不符合题意； 故选：． 22．（24-25七年级上·湖南衡阳·阶段检测）计算的结果为_____________． 【答案】 【知识点】有理数加减中的简便运算、有理数的加减混合运算 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，先利用加法的结合律得，共个数，所以分成了组，每组得和为，即可得到答案．解题的关键是根据有理数的加法法则进行有理数的加减运算；利用加法的结合律简化计算． 【详解】解： ， ∴的结果为。 故答案为：。 23．（25-26七年级上·广东深圳·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算；掌握运算的步骤是解题的关键． （1）去括号后，进行加减运算，即可求解； （2）求绝对值后，利用乘法分配律运算，最后进行加减运算，即可求解； （3）先进行乘方运算、求绝对值，再进行乘除运算，最后进行加减运算，即可求解； （4）先进行乘方运算、将除法化为乘法，再进行乘除运算，最后进行加减运算，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 24．（24-25七年级上·山东临沂·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数乘法运算律、有理数的加减混合运算、有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数加减混合运算法则进行计算即可； （2）根据有理数加减混合运算法则进行计算即可； （3）根据有理数混合运算法则进行计算； （4）先算乘除，再算加减进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； 25．（25-26七年级上·甘肃张掖·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1)1 (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加法即可； （2）先计算乘方和绝对值，再计算乘法，最后计算减法即可． 【详解】（1）解： （2）解： 26．（25-26七年级上·山西晋中·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数乘法运算律、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，含乘方的有理数混合运算，解题的关键是掌握相关的运算法则． （1）根据有理数的乘法分配律计算即可； （2）先算乘方和化简绝对值，再算乘除，最后算减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 27．（23-24七年级上·宁夏吴忠·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)4 (4) 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算 （1）先去括号，再算加减法即可； （2）先算乘除，再算加减法即可； （3）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可； （4）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 28．（24-25七年级上·辽宁铁岭·期末）计算题： (1)； (2)解方程：； (3)解方程：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、有理数四则混合运算、解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 （1）先计算乘除法，再计算减法即可； （2）方程去括号，移项合并同类项，把x系数化为1，即可求出解； （3）方程去分母，去括号，移项合并同类项，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （3）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 29．（25-26七年级上·湖南衡阳·阶段检测）计算： (1)利用适当的方法计算：． (2)． 【答案】(1)0 (2) 【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、有理数的乘法运算律等知识点，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）直接运用有理数的混合运算法则计算即可； （2）先取绝对值，然后运用有理数乘法运算律进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 30．（2024七年级上·黑龙江·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】（）利用乘法分配律计算即可； （）根据有理数的运算法则计算即可； 本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 31．（25-26七年级上·全国·周测）计算：． 【答案】6 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】按照有理数混合运算法则进行计算即可． 本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则：先乘方、再乘除、最后再加减，有括号的先算括号里面的，是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 【考点4】相反数倒数与代数式求值（第32-41题） · a+b=0、ab=1整体代入 · 绝对值非负：非负数和为0则各项为0 · 新定义运算：按规则代入，注意顺序 · 分类讨论：绝对值、奇偶次幂分情况 32．（23-24七年级上·山西阳泉·期中）若，则的值为（   ） A． B．1 C．0 D．2023 【答案】A 【知识点】有理数的减法运算、有理数的乘方运算、绝对值非负性 【分析】本题考查了有理数的乘方，绝对值的非负性，根据非负数的性质求出的值，然后求值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：． 33．（23-24七年级上·安徽亳州·期中）如果，，且，那么（    ） A． B． C．或 D．或1 【答案】C 【知识点】有理数的减法运算、有理数加法运算、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的加法和减法运算，根据，，得出，再根据，得出a和b的值，再进行计算即可．解题的关键是掌握同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并把绝对值相减． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴或， ∴或， 故选：C． 34．（24-25七年级上·重庆万州·阶段检测）若且，则________ 【答案】或 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、绝对值的几何意义 【分析】本题考查绝对值，代数式的值．根据绝对值的定义得到m，n的值，再求它们的和即可． 【详解】解： ， ，， ， ， ， ，， 当，时，， 当，时，， 故答案为：或． 35．（24-25七年级上·重庆开州·期末）已知、互为相反数，、互为倒数，是绝对值最小的负整数，则的值等于_____． 【答案】2 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、绝对值的几何意义、倒数 【分析】本题考查相反数，倒数及绝对值，根据相反数的性质，倒数的定义可求得，，再由c是绝对值最小的负整数可得，将其代入原式中计算即可． 【详解】∵、互为相反数，、互为倒数，是绝对值最小的负整数， ∴，，， ∴， 故答案为：2． 36．（24-25七年级上·湖南衡阳·阶段检测）若互为倒数，互为相反数，且，则_______． 【答案】0 【知识点】有理数的乘方运算、相反数的定义、绝对值的几何意义、倒数 【分析】此题考查了有理数的乘方运算，倒数的定义，相反数的定义，绝对值的意义，根据倒数及相反数的定义，以及绝对值的意义得到，，代入计算即可 【详解】解：∵互为倒数，互为相反数，且， ∴， ∴ 故答案为0 37．（22-23七年级上·江苏南京·阶段检测）若，则x的值为______． 【答案】或 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义 【分析】本题主要考查了绝对值和数轴上两点间的距离．根据绝对值的意义及数轴上两点间的距离即可求解． 【详解】解：表示数轴上数表示的数到的距离，表示数轴上数表示的数到1的距离，表示数轴上数表示的数到2的距离， ， ①当时：，，， ， 化简得：（不符合题意，舍去）； ②当时，，，， ， 解得：（不符合题意，舍去）； ③当时，，，， ， 解得：（符合题意）； ④当时，，，， ， 解得：（不符合题意，舍去）； ⑤当时，，，， ， 解得：（不符合题意，舍去）； ⑥当时，，，， ， 解得：（不符合题意，舍去）； ⑦当时，，，， ， 解得：（符合题意）； 或， 故答案为：或． 38．（24-25六年级上·山东烟台·期末）用“”定义一种新运算：．如．则的值为_____． 【答案】70 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答问题．根据，即可以求得所求式子的值． 【详解】解：， ， 故答案为：． 39．（25-26七年级下·河北衡水·开学考试）若，，且，则的值是______． 【答案】或 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、两个有理数的乘法运算、求一个数的绝对值 【分析】先根据，，得，，又因为，所以，异号，再进行分类讨论，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，异号， 当时，，则； 当时，，则； 综上，的值是8或． 【答案】 【知识点】数字类规律探索、有理数加法运算、有理数的除法运算 因此，明文为， 故答案为：． 40．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）若有理数x、y、z满足，且，则_________． 【答案】10或20 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、已知字母的值 ，求代数式的值、绝对值的几何意义 【分析】先根据绝对值和平方得出x、y和z的可能值，由可得x，y异号，再结合得，确定出x、y和z的值，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∵， ∴x，y异号， ∴或， ∵， ∴， ∴， ∴或， 当时，， 当时，， 故答案为：10或20． 【点睛】本题考查绝对值的意义，有理数的运算，以及代数式求值，正确确定x、y和z的值是解题的关键． 41．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）我们规定一种新定义：，其中符号“※”是我们规定的一种新定 义，如． (1)根据新定义计算：； (2)已知，求b的值． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算、解一元一次方程、求代数式的值，理解题中的新运算是解此题的关键． （1）根据列式计算即可； （2）根据得出方程，解方程即可； （3）根据得出，整体代入进行计算即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ， 解得：； （3）解：，， ． 【考点5】规律与实际应用（第42-58题） · 数值转换器：逐次计算找输出周期 · 正负意义：规定正方向后记录相反量 · 应用问题：列出算式，按运算顺序计算 · 阅读材料：理解定义（三进制、新运算）后仿照解题 42．（26-27七年级上·湖北武汉·开学考试）振大超市出售三种品牌的大米，袋子上分别标有千克，千克，千克．从中任意拿出两袋，这两袋米的质量最多相差（    ）． A．0.8千克 B．0.6千克 C．0.5千克 D．0.4千克 【答案】B 【知识点】正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用 【分析】质量最多相差就是质量最重的－质量最轻的．千克的意思是大米的标准重量是25千克，但是或有轻微的误差，即最轻是（千克），最重就是（千克）．则这三种品牌的大米最重比25千克多0.3千克，最轻比25千克少0.3千克．最多相差0.6千克． 【详解】解： （千克） 即这两袋米的质量最多相差0.6千克． 43．（25-26七年级上·四川成都·期末）下面是2018-2022年我国每年实物商品网上零售额统计图． 可以看出全年实物商品网上零售额占社会消费品零售总额的比例除2020年至2021年有所减少外其他年份逐渐增加，其中2020年社会消费品零售总额大约为________万亿元（结果保留整数）． 【答案】40 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、求一个数的近似数 【分析】本题主要考查了取近似数，解题的关键是掌握取近似数的法则． 根据占比求出社会消费品零售总额，并求近似数即可． 【详解】解：2020年实物商品网上零售额为亿元， 则社会消费品零售总额为万亿元， 故答案为：40． 44．（2021·黑龙江绥化·模拟预测）汕头日报报道，2011年春节的第一个黄金周，汕头市零售市场销售持续趋旺，除夕至大年初二共三天，各种商品零售额达到179000000元，用科学记数法表示179000000是____________元（保留两位有效数字）． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数、求一个数的近似数 【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可．本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键． 【详解】解：∵， 故答案为：． 45．（23-24七年级上·广东广州·期中）利用数轴解答：有一座三层楼房不幸起火，一名消防队员搭梯子爬行三楼去救人，当他爬到梯子正中一级时，二楼窗口喷出火焰，他就往下退了3级，等到火势过去了，他又向上爬了7级，这时楼顶有砖掉下，他又往下退了3级，躲过下落的砖后，他继续向上爬了8级，这时他距离梯子最高层还有9级，问这个梯子共有几级？________． 【答案】37 【知识点】正负数的实际应用、用数轴上的点表示有理数、有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查了数轴的应用，理解数轴表示数的意义以及正负数的意义是解决问题的关键．根据题意，结合数轴，确定原点，可以求出梯子的最高点距中点的级数，进而求出梯子的总级数． 【详解】解：把梯子的中点确定为原点用0表示，规定向上为正，则梯子的最高的距原点的距离为：级，即梯子中点以上有18级，因此梯子的总级数为级． 故答案为：37． 46．（23-24七年级上·福建泉州·阶段检测）某天，调皮的小明从楼乘坐电梯，他上下电梯的记录如下（向上为正，向下为负，单位：楼）：，，，，小明最终停在的楼层是______ ． 【答案】层 【知识点】有理数加减混合运算的应用 【分析】先根据题意列出算式，算出最后在几层即可． 【详解】解：由题意得： ， ∴小明最终停在的楼层是层， 故答案为：层． 【点睛】不同主要考查了正负数及有理数的加减法，解题关键是根据题意列出算式． 【答案】①②④ 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数的乘方运算、两个有理数的乘法运算、有理数的除法运算 【分析】根据有理数的加减法、乘除法、绝对值、有理数的乘方法则分别计算判断即可． 【详解】解：①∵， ∴a、b同号， 又∵， ∴，， 故①正确； ②∵， ∴， ∴， 故②正确； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故③错误； ④∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故④正确； 所以正确的有：①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了有理数的加减法，乘除法，绝对值，有理数的乘方，倒数等知识，熟练掌握这些运算法则是解题的关键． 47．（25-26七年级上·福建龙岩·期中）有一数值转换器，原理如图所示，如果开始输入的值是5，则第一次输出的结果是8，第二次输出的结果是7，……那么第2025次输出的结果是______． 【答案】10 【分析】本题考查数字的变化规律，通过计算探索出运算结果的循环规律是解题的关键． 通过计算发现，运算结果由8，7，10循环出现，从而判断出第2025次运算结果与第3次运算结果相同，由此求解即可． 【详解】解：当时，第一次输出的结果为， 当时，第二次输出的结果为， 当时，第三次输出的结果为， 当时，第四次输出的结果为， 当时，第五次输出的结果为， 当时，第六次输出的结果为， 当时，第七次输出的结果为， … 运算结果由，，10循环出现， ， 第2025次运算结果与第3次运算结果相同， ∴第2025次输出的结果是10， 故答案为：10． 48．（25-26七年级上·山东德州·期中）2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率： 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22和11化为二进制数： ； ； 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数： ； 将二进制数化为三进制数为___________．（注：，） 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了进制问题． 先将二进制数转换为十进制数，再将十进制数转换为三进制数． 【详解】解：二进制数转化为十进制数为． 将十进制数13转换为三进制数为． 故答案为：． 49．（23-24七年级上·广东惠州·期中）电动车厂本周计划每天生产100辆电动车，由于工人实行轮休，每天上班的人数不一定相等，实际每天生产量（与计划量相比）的增长值如表：根据上面的记录，问： (1)生产最多的一天比生产最少的一天多多少辆？ (2)本周实际生产的电动车总量与计划量相比较是增加还是减少，总计增加或减少多少辆？ (3)若每台电动车的售价是1000元，则本周的生产总额是多少元？（结果用科学记数法表示） 【答案】(1)34辆 (2)减少；20辆 (3) 【知识点】正负数的实际应用、用科学记数法表示绝对值大于1的数、有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查了有理数加减的应用，正负数的应用，科学计数法，熟练掌握运算是解题的关键． （1）找出产量最多与最少的，相减即可得到结果； （2）根据表格求出所有数据之和，即可做出判断； （3）根据表格中的数据先求出本周每天的产量，乘以售价可得结论,注意用科学计数法表示． 【详解】（1）生产最多的一天比生产最少的一天多（辆）． （2）∵，是负数， ∴本周实际生产的电动车总量与计划量相比较减少了，且减少了20辆． （3）根据题意，本周实际生产（辆）， 故本周的生产总额是元． 50．（24-25六年级上·山东泰安·期中）阅读下列材料：计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为 ． 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪个解法是错误的； (2)请你选择两种合适的解法解答下列问题：计算：． 【答案】(1)解法一错误 (2) 【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的乘除法运算与有理数的乘法运算律，解题关键是牢记运算法则． （1）根据运算律运用错误直接判定即可； （2）根据题干中的两种运算方法，计算原式的倒数，和按照先计算括号内的，最后计算除法，两种方法求解，即可得出答案． 【详解】（1）解：没有除法分配律，故解法一错误； （2）解：解法一：原式的倒数为： ， 所以原式； 解法二： ． 51．（22-23七年级上·辽宁阜新·期中）某领导慰问高速公路养护小组．乘车从服务区出发，沿东西向公路巡视，如果约定向东为正，向西为负，当天的行驶记录如下（单位：千米）：，，，，，． (1)求该领导乘车最后到达的地方在服务区何方？距离多远？ (2)若行驶千米耗油升，则这次巡视共耗油多少升？ (3)若领导在这个巡视点发放苹果做为慰问品，以为标准，超过的记为正数，不足的记为负数，这个巡视点的苹果重量记为，，，，，（单位：），求发放苹果的总重量． 【答案】(1)在服务区的东，距离千米 (2)共耗油升 (3)发放苹果总重量为 【知识点】正负数的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．也考查了有理数的混合运算． （1）求出这一组数的和，结果是正数则在出发点的东边，是负数则在出发点的西侧； （2）将每次行驶的绝对值相加，再乘以每公里油耗，可得结果； （3）将每个巡视点的苹果所出入的重量相加，再加上总的标准重量即可． 【详解】（1）解：（千米） 答：该领导最后到达服务区的东边千米处． （2）解：（升） 答：这次巡视共耗油升． （3）解： 答：发放苹果总重量为． 52．（25-26七年级下·四川绵阳·开学考试）甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，出发时他们的速度比为，他们第一次相遇后，甲的速度降低了，乙的速度提高了，当乙到达A地时，甲离B地还有60千米．那么A、B两地间的路程是多少千米？ 【答案】180千米． 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】相遇前甲、乙的速度比为，根据在相同的时间内速度之比等于所行路程之比，把A、B之间的距离看作单位“1”，则路程比也是，可求出相遇时甲、乙行了全程的分率，再根据速度变化后，乙行的路程是相遇前甲行的路程，再根据行驶时间相同，路程比等于速度比可得甲行驶路程，再结合已知甲离B地还有60千米，再除以对应的比率即可解答． 【详解】解：相遇时甲行了全程的，乙行了全程的， 相遇后，甲、乙速度比是： 当乙到达地时，乙又行了全程的，则甲行驶了， 、两地间距离为（千米）． 答：、两地之间的路程是180千米． 53．（23-24七年级上·广东韶关·期中）老师写出一个整式（其中a、b为常数，且a、b表示为系数），然后让同学给a、b赋予不同的数值进行计算． (1)甲同学给出了一组数据，最后计算的结果为．求出甲同学给出的a、b的值． (2)乙同学给出a，b的值满足，请按照乙同学给出的a，b的值化简整式． 【答案】(1)， (2) 【知识点】整式的加减运算、绝对值非负性 【分析】此题考查了整式的加减混合运算，先去括号，再合并同类项， （1）将所求式子化简，然后根据计算的结果为2x2-3x-3，即可得到a、b的值； （2）首先根据绝对值和平方的非负性得到，，然后代入得到，然后利用整式的加减混合运算法则求解即可． 熟练掌握去括号、合并同类项法则是解本题的关键． 【详解】（1） ∵最后计算的结果为 ∴， 解得，； （2）∵ ∴， 解得， ∴ ． 54．（24-25七年级上·浙江温州·期中）千年东瓯国，诗画白鹿城．“寻鹿之美”景点打卡集章活动盛行，斌斌选择了“中山纪念馆䖢河白鹿市集墨池坊历史街区夏鼎故居南戏博物馆江心屿景区码头”这一路线进行打卡盖章．全程5.5千米，若每段行程以1千米为基准，实际里程超过基准的千米数记为“+”，不足的记为“-”，并将其称为里程波动值．下表记录了五段行程的里程波动值： (1)行程②的实际里程是_______千米； (2)求行程④的实际里程． 【答案】(1) (2)1千米 【知识点】正负数的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题主要考查了正数和负数、有理数的混合运算等知识点，掌握正数和负数的意义以及有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）根据正数和负数的意义即可解答； （2）先根据题意列式，然后根据有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：（千米）． 故答案为：． （2）解： （千米）， 所以行程④的实际里程是1千米． 55．（24-25七年级上·四川成都·期中）问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：，，，． (1)独立思考：解答王老师提出的问题：第个式子为__________，第个式子为_____． (2)实践探究：利用（1）中的规律计算：； (3)问题拓展：某小组同学对上述问题进行了研究之后，设计了一个分母中的两个因数的差为的题目，请你解答：求； (4)问题解决：求的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)； (4) 【知识点】有理数的加减混合运算、数字类规律探索 【分析】本题考查了数字变化类—规律型，根据例子总结出规律是解题的关键． （1）根据所给的式子的形式进行求解即可； （2）利用（1）的规律进行求解即可； （3）仿照（2）的解答方式进行求解即可； （4）把各项进行整理，再利用题目中的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，第个式子为，第个式子为， 故答案为：，； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式， ， ， ， ， ． 56．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）【知识技能】观察下列各等式： 【数学理解】 （1）以此类推，可得______． （2）计算：． 【拓展探索】 （3）计算：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查有理数混合运算中的规律型问题，掌握裂项相消法是解题的关键． （1）分子为1，分母为相邻2个数的乘积的分数，应分解为分子为1，分母分别为相邻2个数的分数的差； （2）结合（1）得到的规律进行计算即可； （3）观察算式的分母，发现两个因数的差为3，若把每一项展开成差的形式，则分子是3，为了保持原式不变则需要再乘，即可得出结果． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2） ； （3） ． 57．（24-25七年级上·吉林·期末）复兴号动车在吉长城际铁路运行，在吉龙段（吉林到龙嘉）和龙长段（龙嘉到长春）的预定速度分别是，，其中龙长段全长约．根据这些数据回答下列问题： (1)动车在吉龙段行驶的路程是________，动车在吉龙段行驶的路程与时间成_______比例关系； (2)随着技术创新，动车的速度不断被刷新，当动车在龙长段行驶的速度提升到时，用含v的代数式表示动车在龙长段行驶的时间为_________，动车在龙长段行驶的时间与动车的速度成_________比例关系； (3)吉长城际铁路总里程约为，一动车从吉林站出发，按照预定速度到达龙嘉站停留1分钟时，接到通知，需在进入长春站，请通过计算说明，该车在龙长段行驶的速度提升了多少？（结果精确到个位） 【答案】(1)，正 (2)，反 (3) 【知识点】列代数式、有理数四则混合运算的实际应用、正（反）比例关系 【分析】本题主要考查列代数式，代数式求值以及判断比例关系，有理数的四则混合运算的应用，能根据题意列出代数式是解答本题的关键． （1）根据路程速度时间进行求解，再判断动车在吉龙段行驶的路程与时间成正比例关系．； （2）根据时间路程速度进行求解，再判断动车在龙长段行驶的时间与动车的速度成反比例关系； （3）先求出动车到达龙嘉站所用的时间，再用龙长段的路程除以它的行驶时间得出它的速度，最后再减去原来的速度即可求出答案． 【详解】（1）解：动车在吉龙段的速度是， 动车在吉龙段行驶的路程是． 动车在吉龙段行驶的路程与时间成正比例关系． （2）解：动车在龙长段行驶的速度提升到时， 则行驶时间为， ∴动车在龙长段行驶的时间与动车的速度成反比例关系． （3）解：动车到达龙嘉站所用时间为， 在龙长段行驶的速度提升了 则该车在龙长段行驶的速度提升了． 58．（山东省淄博市淄川区2023-2024学年六年级上学期期中数学试题）在求的结果时，小明发现，便可很容易得到这些加数的和，具体方法如下： 假设：①， 又有： ②， ①＋②，得：， 所以，所以． 计算： ． 【答案】 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握解题的规律是解题的关键．利用题干中的方法解答即可． 【详解】解：设 ①， ∴②， ①＋②得： ． ∴． ∴ ． 💯 课后巩固 复习建议 · 有理数概念注意化简后判断，比较大小记牢法则 · 数轴绝对值活用距离模型，|x-a|+|x-b|最小值在区间内 · 混合运算严格按顺序，乘方符号要分清 · 相反数倒数与整体代入是求值核心，绝对值非负常用 · 应用与规律题先列式再计算，阅读材料先理解定义 【作业1】．（25-26七年级下·浙江杭州·开学考试）据统计，至2025年年末，拱墅区常住人口四舍五入后约为万人．这时的拱墅区常住人口最多可能是（     ）人． A．1201000 B．1201400 C．1201499 D．1201999 【答案】C 【知识点】近似数推断取值范围 【详解】解：∵万是四舍五入到千位得到的近似数，原数为整数人数，要使原数最大，需满足四舍条件，即百位数字最大为，个位和十位取最大数字， ∴最大原数为． 【作业2】．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）若有理数a，b满足，且，则的值是（   ） A． B．1 C．或 D．1或 【答案】C 【知识点】有理数的减法运算、有理数加法运算、绝对值非负性 【分析】本题考查绝对值的定义和性质，有理数的减法，先利用绝对值的定义得出或，或，再根据，得，得出符合条件的a、b，再进行计算的值． 【详解】解：∵， ∴或，或， ∵， ∴， ∴，或，， 当，时，， 当，时，， 即的值是或， 故选：C． 【作业3】．（22-23七年级下·湖南常德·期中）已知数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，则下列各式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数加法运算、多个有理数的乘法运算、根据点在数轴的位置判断式子的正负、有理数的除法运算 【分析】本题考查了数轴，由数轴可得：，，，从而可得，，，，即可得出答案． 【详解】解：由数轴可得：，，， ∴，，，故A、C、D正确，B错误， 故选：B． 【作业4】．（24-25七年级上·山东菏泽·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查有理数混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键； 根据有理数四则运算法则计算即可求解； 【详解】解： ， 故选：B 【作业5】．（24-25七年级上·河南南阳·期末）大家都知道，7点50分可以说成差10分钟8点，有时这样表达更清楚，这也启发了人们设计了一种新的加减计数法，例如：写成，，写成，7683写成，按这种方法计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，运用新定义的运算将原式化为，再去括号，运用有理数的加减运算计算即可． 【详解】解：原式=， 故选：A． 【作业6】．（25-26六年级上·上海浦东新·阶段检测）在、、、、、中，负数有（   ）个 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【知识点】有理数的乘方运算、正负数的定义、化简多重符号、求一个数的绝对值 【分析】本题考查了正负数的定义，化简多重符号，求一个数的绝对值，有理数的乘方运算等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．分别计算每个表达式的值，再判断正负． 【详解】解：（正数）， （负数）， （负数）， （正数）， （正数）， ∴负数有2个， 故选：C． 【作业7】.5，2，，0，，， 【答案】如图， 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、有理数的乘方运算、用数轴上的点表示有理数 【分析】先在数轴上表示出各个数，再比较即可； 【详解】解：，，，， 把所有数用“＜”连接起来为：； 【点睛】本题考查了数轴和有理数的大小比较能熟记有理数的大小比较法则的内容是解此题的关键，注意：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大． 【作业8】．（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点与数轴上表示的点重合，将该圆沿数轴滚动1周，点到达点的位置，则点表示的数是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【知识点】数轴上两点之间的距离、 圆的周长 【分析】本题主要考查数轴上两点间的距离、点所对应的数等知识点，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离是两数之差的绝对值是解题的关键． 根据圆的周长公式得到圆滚动的长度，分两种情况结合数轴上两点间距离即可解答． 【详解】解：由题意可得，点A滚动长度为：， ∴往右滚动1周对应的数为：，往左滚动1周对应的数为：， ∴点表示的数是：或． 故选D． 【作业9】．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段检测）有下列运算：①；②；③0.75÷；④，其中运算正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】有理数的除法运算 【分析】根据有理数混合运算的运算规则，逐一验证四个等式的正误，由此即可得出结论． 【详解】解：①，故①运算正确； ②，故②运算正确； ③，故③运算正确； ④，故④运算正确． ∴正确的共有4个， 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的除法运算，牢记有理数除法运算的运算法则是解题的关键． 【作业10】．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段检测）下列各组数中，相等的一组是（      ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【知识点】有理数的乘方运算、化简多重符号、求一个数的绝对值 【分析】本题考查了有理数的乘方，绝对值的性质，相反数的定义，根据绝对值的性质和相反数的定义，有理数的乘方的定义对各选项进行计算，然后利用排除法求解． 【详解】解：A.，，两组值不相等； B. ，，两组值不相等； C. ，，两组值相等； D.，两组值不相等； 故选C． 【作业11】．（24-25七年级上·河北廊坊·阶段检测）若a，b互为相反数，c的倒数是，则的值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、相反数的定义、倒数 【分析】本题主要考查了相反数、倒数、代数式求值等知识点，掌握相反数和倒数的定义成为解题的关键． 由相反数和倒数的定义可得、，然后对代数式变形后将、代入计算即可． 【详解】解：∵a，b互为相反数，c的倒数是， ∴、， ∴． 故选B． 【作业12】．（24-25七年级上·广东广州·期末）如图，数轴上顺次有，，，，，六个点，且任意相邻两点之间的距离都相等，点，，对应的数分别为，，，下列说法：①若，则；②若，则原点在，之间；③若，则是原点；④若原点在，之间，则，其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．①③ C．③④ D．①③④ 【答案】B 【知识点】数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了代数式、数轴和绝对值，运用数轴的性质和绝对值的性质是关键．①③根据数轴列代数式，进行加减判断即可；②④根据绝对值判断即可． 【详解】解：设相邻两点间的距离为． 若，则， ， ， 解得：． ． 故①说法正确； 若， 数的绝对值从到先大后小， 原点在中点的右边，中点的左边． 故②的说法不符合题意； 设对应，则对应，对应， 若， 即 点是原点． 故③说法正确； 若原点在，之间并且临近点时，有． 故④的说法不符合题意． 综上，正确的说法有①③． 故选：B． 【作业13】．（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）下列说法正确的个数有（   ） ①代数式的最小值是；②若，则一定是非正数；③若，则式子的化简结果为2；④若，，则 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、两个有理数的乘法运算、角的单位与角度制、绝对值非负性 【分析】绝对值的非负性判断①②；有理数的乘法法则，绝对值的意义判断③；将转化为度，分，秒的形式，比较大小，判断④． 【详解】解：∵， ∴代数式的最小值是；故①正确； ∵， ∴， ∴，即：一定是非正数；故②正确； 若，则：或， ∴或；故③错误； ∵， ∴，故④正确； 故选． 【点睛】本题考查绝对值的非负性，有理数的运算，角的大小比较，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 【作业14】．（23-24七年级上·重庆奉节·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)20 (2)5 【知识点】有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算 （1）先算乘法和除法，再算加法和加法即可； （2）先算乘方和小括号，再算乘除，后算加减． 【详解】（1） （2） 【作业15】．（24-25七年级上·广东江门·阶段检测）定义一种新的运算“⊕”，规则如下：． (1)______； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查了新定义下的有理数混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据新定义的运算方式运算求解即可； （2）根据新定义的运算方式运算求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ． 【作业16】．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段检测）已知，且，求的值． 【答案】 【知识点】有理数的减法运算、已知字母的值 ，求代数式的值、求一个数的绝对值 【分析】本题考查有理数的运算，根据绝对值的意义，推出同号，得到或，进行计算即可． 【详解】解： 同号， ， 当时，； 当时，． 【作业17】．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）“滴滴”司机王师傅上午一直在航海路上营运，共连续运载八批乘客．若规定向东为正，向西为负，王师傅营运八批乘客里程如下：（单位：千米） ，，，，，，， (1)将最后一批乘客送到目的地时，王师傅距离第一批乘客出发地的东面还是西面？距离多少千米？ (2)若汽车耗油量为0.2升/千米，上午王师傅开车共耗油多少升？ 【答案】(1)在出发地东面，距离4千米 (2)上午王师傅开车共耗油9.6升 【知识点】有理数乘法的实际应用、有理数加减混合运算的应用 【分析】此题考查了正负数的应用，绝对值的应用，有理数混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键． （1）把记录的数字相加即可得到结果； （2）先计算出记录数字的绝对值之和（即上午王师傅行驶的总里程），再乘以0.2即可得出答案． 【详解】（1）解：， 答：在出发地东面，距离4千米； （2）解：上午王师傅行驶的总里程为： （千米）， （升）， 答：上午王师傅开车共耗油9.6升． 【作业18】．（23-24七年级上·北京东城·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】有理数乘法运算律、有理数的加减混合运算、有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】（1）直接利用加法交换律进而得出答案； （2）先算乘除法，再算加法即可； （3）先算乘方，再应用乘法分配律计算，最后计算加减即可． 【详解】（1）解： （2）解： ； （3）解： ． 【作业19】．（23-24七年级上·四川泸州·阶段检测）随着网络的发展，人民群众喜欢在网络上购物或寄物．小李是一位负责在一条东西方向的交通线进行收物和发放快递．一天早上8点到驿站，乘坐动力三轮车开始了一天的工作，为了便于统计，他自己每到一个代办点用三个数字来记录：第一个数字为行驶的方向和距离，第二个数据为放下的货物件数，第三个数字为收取货物的件数；例：向东行驶了3千米，发放了5件货物，收取了6件货物．到下午6点下班时，其记录情况如下：，，，，，其中，B与是互为相反数，当天收件数刚好与送件数相等． (1)如果每千米耗油升，当天的油价为元/升，全天的油费多少元？（结果精确到） (2)请根据提供的内容，完成填空． (3)如果小李的基本工资为60元/天，发放一件补助元，收到一件补助元．请计算这天的工资为多少元？ 【答案】(1)元 (2)， (3)元 【知识点】正负数的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用、有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查了正负数的意义以及求一个数的绝对值、相反数的定义，有理数的混合运算的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先算出总路程，再根据“每千米耗油0.02升，当天的油价为8.95元／升”进行列式计算，即可作答． （2）先分别根据相反数的性质和绝对值的性质得出的值，再根据“当天收件数刚好与送件数相等” 进行列式计算，得出的值， 即可作答． （3）分别算出发放件数的总补贴和收取件数的总补贴，再与基本工资相加，即可作答． 【详解】（1）解： （千米）； （元） ∴全天的油费元； （2）解：∵，B与是互为相反数， ∴ 则收件总数为：（件）； 发放件数为：（件）； ∵当天收件数刚好与送件数相等． ∴ 则； （3）解：依题意，（元） ∴（元） 这天的工资为元． 1 学科网（北京）股份有限公司 $