第2章·有理数运算·培优提高·期中复习讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年人教版七年级数学上册

第2章·有理数运算·培优提高·期中复习讲义 （知识梳理+典例+练习）2026-2027·人教版七年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 熟练运用乘除符号法则与运算律解决复杂计算与判断问题 · 掌握乘方意义与幂的性质，能处理平方和型、规律探究类问题 · 准确进行科学记数法与近似数运算，解决大数据实际情境 · 掌握新定义运算的规则理解与代入计算，处理取整、运算符号等变式 · 会结合数轴化简含绝对值式子，解决多步运算与综合应用题 📚 知识梳理 ☆ 1.有理数的乘法与除法 乘法符号法则：同号得正、异号得负，负因数个数决定积的符号 乘法分配律 a(b+c)=ab+ac 可正向展开也可逆向提取公因数 除以一个数等于乘这个数的倒数，乘除混合统一为乘法再约分 多个有理数相乘：先定符号，再算绝对值的积 概念辨析例题：计算：(-8)×(-+) 答案：3 解析：用分配律：(-8)×=-4，(-8)×(-)=6，(-8)×=-1，三项相加-4+6-1=1。 ☆ 2.有理数的乘方 乘方是相同因数的积的运算，an中a是底数n是指数 负数的奇次幂为负、偶次幂为正；0的正整数次幂为0，1的任意次幂为1 (-a)n与-an意义不同：前者底数为-a，后者是an的相反数 能用a2+b2形式表示的数为平方和型数，如丰利数问题 概念辨析例题：若(-2)m+1的结果为正数，则m满足什么条件？ 答案：m为奇数 解析：(-2)m+1为正数，说明指数m+1为偶数，所以m为奇数。 ☆ 3.科学记数法与近似数 科学记数法 a×10n：1≤|a|<10，n=原数整数位数-1 大数含亿、万单位时，先化为完整数字再确定n 四舍五入求近似数：精确到哪一位看其后一位 科学记数法形式近似数的精确度由a的末位决定 概念辨析例题：2022年全国科技经费投入约30782.9亿元，用科学记数法表示（保留3个有效数字） 答案：3.08×1012 解析：30782.9亿=30782.9×108=3.07829×1012，保留3个有效数字四舍五入得3.08×1012。 ☆ 4.新定义运算与取整符号 新定义运算：把新符号当作运算规则，将数值代入按定义计算 取整符号[x]表示不超过x的最大整数，对负数向左取整 运算符号写错问题：用代入验证法确定原符号，再重新计算 定义运算嵌套时从内到外逐层计算，注意括号 概念辨析例题：定义a☆b=ab-a+b，计算2☆(-3)的值 答案：1 解析：2☆(-3)=2×(-3)-2+(-3)=-6-2-3=-11。 ☆ 5.数轴化简与综合应用 由数轴判断各数正负与大小，|a|=a（a≥0）或-a（a<0）去绝对值 |a-b|表示数轴上a、b两点间的距离 国际标准时间、温差、质量检验等实际问题转化为有理数运算 规律探究题：先算前几项，观察归纳，再验证一般结论 概念辨析例题：已知a<0<b且|a|>|b|，化简|a+b|+|a-b| 答案：-2a 解析：由|a|>|b|知a+b<0，所以|a+b|=-(a+b)；a-b<0，|a-b|=b-a；原式=-(a+b)+(b-a)=-a-b+b-a=-2a。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 乘法符号 同号得正异号得负 负因数个数定符号 分配律 a(b+c)=ab+ac 可正用可逆用 除法 除以一个数=乘倒数 0不能作除数 乘方 an=n个a相乘 (-a)n与-an不同 科学记数法 a×10n，1≤|a|<10 n=整数位数-1 取整符号 [x]=不超过x的最大整数 负数向左取整 绝对值化简 |a|=a或-a 先判正负 数轴距离 AB=|a-b| 距离非负 ⚠️ 核心考点 【考点1】有理数的乘除运算与符号法则（第1-9题） · 积或和的符号判断：负因数个数定积符号，结合条件逐项分析 · 新定义运算（☆、※等）：先读懂规则再代入，注意运算顺序 · 运算符号写错：代入验证原符号，修正后重新计算 · 取整符号与嵌套定义：从内到外逐层计算 1．（24-25七年级上·河南洛阳·期中）等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，变形为，即可求解． 【详解】解：原式 ． 故选：A． 2．（2024·河北·模拟预测）如果三个连续整数n、、的和等于它们的积，那么我们把这三个整数称为“和谐数组”，下列n的值不满足“和谐数组”条件的是（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】根据题意，逐个判断出所给的值，是否满足三个连续整数的和等于它们的积，进而判断出哪个的值不满足“和谐数组”条件即可． 此题主要考查了数字规律类“和谐数组”，解答此题的关键是判断出所给的值，是否满足三个连续整数的和等于它们的积． 【详解】解：A、当时， ， ， ∵ ， ∴满足“和谐数组”条件，故选项不符合题意； B、当时， ， ， ∵ ， ∴满足“和谐数组”条件，故选项不符合题意； C、当时， ， ， ∵ ， ∴满足“和谐数组”条件，故选项不符合题意； D、当时， ， ， ∵， ∴不满足“和谐数组”条件，故选项符合题意． 故选：D． 3．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段检测）有下列四个算式：①；②；③；④，其中，正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【知识点】有理数加法运算、有理数乘法运算律、有理数的除法运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 第①个式子根据有理数的加法可以计算出正确的结果； 第②个式子根据有理数的乘法可以计算出正确的结果； 第③个式子根据有理数的加法可以计算出正确的结果； 第④个式子根据有理数的除法可以计算出正确的结果． 【详解】，故①不正确； ，故②不正确； ，故③正确； ，故④正确； 综上可知，正确的有③④． 故选：C． 4．（25-26七年级上·新疆阿克苏·期中）如图，是一个数值转换机，若输入数x为，则输出的数是_______． 【答案】7 【分析】本题考查了有理数的混合运算等知识，理解数值转换机含义是解题关键．把输入，输出数为，为负数，再把输入，输出数为7，为正数，符合题意，问题得解． 【详解】解：当时，， 当时，， 所以输出的数是7． 故答案为：7 5．（24-25八年级上·四川乐山·开学考试）定义一种新运算“”：，比如：．则______． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，读懂题意，掌握新定义运算的运算法则是解题关键． 根据新定义的运算法则计算即可； 【详解】解：根据一种新运算“⊕”：可得： ； 故答案为：． 6．（24-25七年级上·陕西·期中）定义一种新运算“”，规定：．等式右边的运算就是加、减、乘、除四则运算，例如：．则的值是_____． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，根据新定义列式计算，再进一步列式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； 故答案为： 7．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）已知表示不超过的最大整数，如：．现定义：，如，则______． 【答案】 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了新定义运算和有理数的加减，根据新定义运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 8．（25-26七年级上·浙江衢州·期中）小明在计算时，不小心把一个运算符号写错了（“+”错写成“-”或“-”错写成“+”），结果错算成了30，则原式从左往右数，第______个运算符号写错了． 【答案】39 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及有理数的加减混合运算，先计算原式的正确结果，与错误结果比较得出差值，根据差值判断写错的符号类型及对应的数字，从而确定写错的运算符号位置． 【详解】解：由题知， 因为，且算错的结果为30， 则， 所以是将偶数前面的“-”错写成了“+”． 又因为， 所以数字前面的运算符号为第个运算符号，故写错的是第个运算符号． 故答案为：39． 9．（23-24六年级上·黑龙江绥化·期中）计算下面各题，能用简便算法的就用简便算法． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数乘法运算律、有理数乘除混合运算、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的运算法则，掌握乘法法则、除法法则是解答本题的关键． （1）利用乘法法则，先将交换和的位置，在依次相乘得到答案； （2）先算括号里面的，然后利用除法法则，除以一个数（不为0），等于乘以这个数的倒数，得到答案； （3）先利用乘法分配律将括号去掉，然后通过有理数的加减法计算结果； （4）先用除法法则整理第一项，再将两项公因数提出，再计算括号里面的，最后得到答案． 【详解】（1）解：            ； （2） ； （3） ； （4） ． 【考点2】有理数的乘方与幂运算（第10-18题） · 幂符号：负底数看指数奇偶，正底数结果为正 · 平方和型数（丰利数）：观察数的结构，用a2+b2表示 · 规律猜想（考拉兹等）：按规则逐步计算，观察数列变化 · 乘方混合计算：先算幂再算乘除加减，注意符号 10．（25-26六年级上·上海·阶段检测）＝________． 【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算和乘除运算，掌握相关法则是解题的关键．先计算乘方，将带分数化为假分数，再根据除法法则转化为乘法，最后进行有理数乘法运算． 【详解】解： ， 故答案为：． 11．（24-25八年级上·北京·期中）若一个整数能表示成（、是正整数）的形式，则称这个数为“丰利数”．例如，2是“丰利数”，因为． （1）请你判断______“丰利数”．（填“是”或“不是”） （2）最小的三位数“丰利数”是______． 【答案】 是 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数乘方运算的应用， （1）根据新定义得出，即可求解； （2）根据新定义得出，即可求解． 【详解】解：（1）∵ ∴是“丰利数”． 故答案为：是． （2）解：∵， ∴最小的三位数“丰利数”是 故答案为：． 12．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段检测）1930年，德国汉堡大学的学生考拉兹，曾经提出过这样一个数学猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能够得到1．这一猜想后来成为著名的“考拉兹猜想”，又称“奇偶归一猜想”．虽然这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的，例如：取正整数5，最少经过下面5步运算可得1，即：．如果正整数m最少经过7步运算可得到1，则满足m的所有的值的和为__________． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查归纳推理的应用，有理数的混合运算，利用第步为出发，按照规则，逆向逐项即可求出的所有可能的取值． 【详解】解： 如果正整数按照上述规则施行变换后的第步为， 则变换中的第步一定是， 变换中的第步一定是； 变换中的第步一定是； 变换中的第步一定是， 变换中的第步可能是或 变换中的第步可能是或 则或或或 所以 故答案为：． 13．（22-23七年级上·江西赣州·开学考试）把105根木材按6层堆积起来，堆积的时候，若每次上层木材比下层木材少一根，则最下层应放_____________根． 【答案】20 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，熟练掌握有理数的四则混合运算是解题的关键． 根据每次上层木材比下层木材少一根即可形式计算． 【详解】解：（根）． 故答案为：20． 14．（23-24七年级上·河南郑州·阶段检测）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数乘法运算律 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 15．（23-24七年级上·广东汕头·期中）计算： 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式， ， ． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，准确计算． 16．（23-24七年级上·山东德州·阶段检测）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 （1）根据有理数的加减法可以解答本题；如果有绝对值，要先做绝对值内的运算； （2）先算乘方，再算乘法，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数乘法运算律、有理数乘除混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，有理数的四则混合计算，乘法分配律，熟练掌握以上知识点是关键． （1）根据有理数的加法法则即可解答； （2）根据有理数的乘除法则即可解答； （3）利用乘法分配律即可解答； （4）先算乘方，再算括号里，然后乘除，最后算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 18．（25-26七年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数乘法运算律、含乘方的有理数混合运算 【分析】(1) 根据分配律计算即可． (2)按照含有乘方的有理数的混合运算法则计算即可． 本题考查了有理数的运算律，含有乘方的有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【考点3】科学记数法与近似数（第19-30题） · 统一化为完整数字再写科学记数法，注意亿、万的换算 · n=整数位数-1，a的绝对值在1到10之间 · 近似数与有效数字：四舍五入到指定数位 · 科学记数法形式数据的精确度看a的末位所在数位 19．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·阶段检测）我国的国土面积约为960万平方千米，数据9600000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解：9600000； 故选B． 20．（2025·河南安阳·一模）2024年河南省出版的5.59亿册图书，为贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的重要精神，建设学习型社会提供了丰富的图书资源．数据“5.59亿”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：“5.59亿”用科学记数法表示为， 故选：C． 21．（23-24七年级上·广西南宁·阶段检测）2023年9月国家统计局发布了2022年全国科技经费投入统计公告，2022年全国投入研究与实验（）经费30782.9亿元，比上年增加．数据30782.9用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：数据30782.9用科学记数法表示为， 故选：B． 22．（2024·广东佛山·三模）2024年4月15日上午8点，2024阿里巴巴全球数学竞赛预选赛正式交卷，今年赛事紧扣与数学融合的技术趋势，首次向开放．阿里巴巴全球数学竞赛是由阿里巴巴公益、达摩院共同举办的，以“发现数学之美、助力数学研究、激发数学学习热忱”为使命，不设报名门槛，趣味十足，今年已举办至第六届，共吸引了来自全球70多个国家和地区超过25万人次参与，成为全球规模最大的在线数学竞赛．把250000这个数用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查科学记数法表示绝对值较大的数．将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案． 【详解】解：把250000这个数用科学记数法表示为， 故选：C． 23．（2024九年级下·广西·专题练习）截至2020年3月初，国家卫生健康委收到31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告“新型冠状病毒”确诊病例近81000例，将81000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】解：将81000用科学记数法表示为． 故选：C． 24．（25-26七年级上·广东·阶段检测）2025年9月3日，在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会上，我国展示了新一代武器装备东风—液体洲际战略核导弹，彰显了我军强大的战略威慑实力、军事专家表示，洲际导弹想要覆盖全球，理论上需要米的射程，将数用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】科学记数法的系数必须满足，指数为整数，确保表示规范． 科学记数法要求形式为，其中，n为整数．数字20000000可表示为． 【详解】A、∵， ∴科学记数法表示为，正确； B、， 但，不符合标准，不正确； C、， 但，不符合标准，不正确； D、， 不正确． 故选：A． 25．（24-25九年级下·福建厦门·阶段检测）是中国深度求索公司研发的高性能语言模型．专注于自然语言处理、代码生成和数学推理．截止年月日．人工智能助手的注册用户达个． 用科学记数法表示正确的是 （     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：． 26．（24-25七年级上·湖南·期中）2021年7月，第十四届国际数学教育大会在上海召开，本次大会会徽主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力．如图，右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，由0~7共8个基本数字组成．八进制数3745换算成十进制数是，则八进制数2024换算成十进制数是（） A．1042 B．1044 C．2024 D．3748 【答案】B 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．根据题意列式计算即可． 【详解】解：八进制数2024换算成十进制数是， 故选：B． 27．（2022七年级上·宁夏固原·专题练习）据中国铁路总公司消息，2019年端午小长假期间，全国铁路累计发送旅客大约五千零七十四万四千人次．横线上的数写作_____________，改写成用“万”作单位的数是_________万，省略万位后面的尾数约是_________万． 【答案】 【知识点】求一个数的近似数 【分析】本题考查了近似数，熟记相关结论即可． 【详解】解：五千零七十四万四千写作， 改写成用“万”作单位的数是万， 省略万位后面的尾数约是万， 故答案为：，，． 28．（23-24九年级上·重庆石柱·期中）2023年10月18日，国家统计局发布数据显示，前三季度我国国内生产总值约913000亿元，按不变价格计算，同比增长约，数913000用科学记数法表示______． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义和表示的方法是解题的关键． 将一个数表示成的形式，其中为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案． 【详解】 故答案为：． 29．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）某地数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为，整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的倍，达到，则的值为______（用科学记数法表示）． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】此题主要考查了科学记数法-表示较大的数，正确掌握科学记数法是解题关键． 根据把一个较大的数记成的形式，其中a是整数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得：， 故答案为：． 30．（2024·四川绵阳·中考真题）中国是茶叶的故乡，产量多年位居世界第一，据统计：2023年我国全年茶叶产量为355万吨，将数据3550000用科学记数法表示为______． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将3550000写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【答案】 【详解】解：第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为8， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， 第六次输出的结果为， 第七次输出的结果为， 第八次输出的结果为， ， ∵， ∴第次输出的结果为， 故答案为：． 【考点4】有理数混合运算（第31-39题） · 严格按运算顺序：括号→乘方→乘除→加减 · 乘除统一为乘法后用运算律（分配律）简化 · 分数与小数混合：统一化分数或统一化小数再计算 · 实际问题（商品盈利、广告分配等）：先列式再计算 31．（23-24七年级上·四川凉山·阶段检测）期中考试后，小明用计算器计算出他六科的平均成绩为分．对小明这六科的平均成绩，下面用四舍五入法按要求取近似值，其中错误的是（    ） A．（精确到千分位） B．（精确到） C．（精确到） D．（精确到个位） 【答案】B 【知识点】求一个数的近似数 【分析】本题考查了求一个数的近似数，精确到哪一位，就对这一位的下一位数字进行四舍五入即可，熟练掌握精确到哪一位，就对这一位的下一位数字进行四舍五入是解题的关键． 【详解】解：A、（精确到千分位），故选项不符合题同意； B、（精确到），故选项符合题同意； C、（精确到），故选项不符合题同意； D、（精确到个位），故选项不符合题同意； 故选：B． ①至少存在一种“加括号操作”的运算结果是； ②不存在任何“加括号操作”的运算结果是； ③所有“加括号操作”共有7种不同的运算结果． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】将的“加括号操作”的所有结果计算出来即可得解． 本题主要考查了有理数混合运算，将的“加括号操作”的所有结果列出来，并进行正确的计算是解题的关键． 【详解】解：对于，进行“加括号操作”的所有结果如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 观察以上结果发现：至少存在一种“加括号操作”的运算结果是，故①正确； 不存在任何“加括号操作”的运算结果是，故②正确； 所有“加括号操作”共有7种不同的运算结果，即，，，，，，，故③正确． 故选：D． 32．（24-25七年级上·福建莆田·阶段检测）某商场将进价为100元的商品按盈利确定销售价．元旦节期间，该商场开展了“全场商品打九折”的节日促销活动，促销活动期间该商场商品的销售价为_______元． 【答案】117 【知识点】有理数乘法的实际应用 【分析】本题主要考查了有理数的应用，根据题意列式求解即可． 【详解】解：由题意可得：促销活动期间该商场商品的销售价元， 故答案为：117． 步骤1：计算前6位数字中偶数位数字的和a，即； 步骤2：计算前6位数字中奇数位数字的和b，即； 步骤3：计算3a与b的和c，即； 步骤4：取大于或等于c且为10的整数倍的最小数d，即； 步骤5：计算d与c的差就是校验码X，即． 请解答下列问题： （1）若《数学故事》的图书码为948753Y，校验码Y的值为______； （2）如图2，某图书码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为m，则m的值为______． 【答案】 6 3 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确理解题意，学会探究规律、利用规律是解题的关键． （1）根据题意分别求得，再根据校验码的定义即可解答，根据题意列式求得a、b、c、d的值是解答本题的关键； （2）根据已知、，列式解决即可解答，根据题意列出关于m的代数式是解答本题的关键． 【详解】解：（1）由题意可得：，，，， 所以校验码Y的值为． 故答案为6． （2）由题意可得：，，，， ∵d为10的整数倍， ∴的个位数字只能为9． ∴． 故答案为3． 33．（2026九年级下·河北·专题练习）某互联网公司计划将广告预算分配给甲、乙、丙、丁四个推广渠道．当向一个渠道投入n万元广告费时，公司从该渠道获得的新增用户量（单位：千人）与n的对应关系如表： （1）如果公司将5万元广告预算分配给这四个渠道，且每个渠道至少投入1万元，为使总新增用户量最大，应向_____渠道投入2万元（填“甲”“乙”“丙”或“丁”）； （2）如果公司将6万元广告预算分配给这四个渠道中的一个或多个，那么总新增用户量的最大值为_____千人． 【答案】 甲 180 【知识点】有理数加法在生活中的应用 【分析】（1）分别求出向各渠道投入2万元后新增用户量进行比较； （2）将方案列出来找到最大值即可． 【详解】解：（1）分别求出向各渠道投入2万元后新增用户量： 若向丁渠道投入2万元，则新增用户量为（千人）； 若向丙渠道投入2万元，则新增用户量为（千人）； 若向乙渠道投入2万元，则新增用户量为（千人）； 若向甲渠道投入2万元，则新增用户量为（千人）； ， 如果公司将5万元广告预算分配给这四个渠道，且每个渠道至少投入1万元，为使总新增用户量最大，应向甲渠道投入2万元； （2）方案如下： ∴如果公司将6万元广告预算分配给这四个渠道中的一个或多个，那么总新增用户量的最大值为180千人． 【答案】 22 （答案不唯一） 【知识点】有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查了有理数加法的应用，理解题意，正确列出算式是解题的关键． （2）根据题意，列出所有的情况，分别计算总时长，再与比较大小即可得出结论． 故答案为：22； 故答案为：（答案不唯一）． 34．（25-26七年级上·山西长治·期末）山西是我国优质苹果的主要产区之一，这里的气候、土壤等非常适宜苹果的生长，以红富士．秦冠等品种为主，产自吉县、临猗、万荣、芮城、翼城等地．某苹果合作社为扩大销售量，开通了网络直播销售渠道．直播期间计划每天的销售标准是，但实际销售量有增减变化，规定超过标准记作“”，不足记作“”，下表是该合作社直播一周的销售情况： (1)本周销售量最多的一天比最少的一天多销售多少千克？ (2)本周直播总共销售苹果多少千克？ 【答案】(1)22千克 (2)1416千克 【知识点】有理数减法的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题主要考查了正数和负数的应用，有理数的运算等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义，用最大的数减去最小的数即可； （2）根据正数和负数的实际意义列式计算即可． 【详解】（1）解：， 答：本周销售量最多的一天比最少的一天多销售22千克； （2）解：， 答：本周直播总共销售苹果1416千克． 35．（25-26七年级上·广西河池·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)14 (2) 【知识点】有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先算括号并把减法转化为加法，再算乘法，后算加减； （2）先算乘方和绝对值，再算乘法，后算加减． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 36．（25-26七年级上·全国·单元测试）计算： (1) ； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数加法运算、含乘方的有理数混合运算 （1）根据有理数的加法运算法则，进行求解即可； （2）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加法． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 37．（24-25七年级上·黑龙江·期末）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【知识点】有理数的加减混合运算、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算、解一元一次方程等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． （1）先化小数为分数，然后运用有理数加减运算法则计算即可； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可． 【详解】解： ． （2）， 去分母，得：． 去括号，得：． 移项，得：． 合并同类项，得：． 系数化为1，得：． 38．（26-27七年级上·贵州遵义·阶段检测）李叔叔家原来有一块边长12米的正方形菜地，今年他将这块菜地进行了扩建（如图中的涂色部分）． (1)原来这块菜地的面积是多少平方米？ (2)李叔叔今年扩建了多少平方米的菜地？ 【答案】(1)原来这块菜地的面积是平方米 (2)李叔叔今年扩建了平方米的菜地 【知识点】有理数乘法的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用 【详解】（1）解：（平方米）， 答：原来这块菜地的面积是平方米； （2）解：， ， ， （平方米）． 答：李叔叔今年扩建了平方米的菜地． 39．（24-25七年级上·甘肃定西·期中）已知海拔每升高，气温下降，某人乘热气球旅行，在地面时测得温度是，当热气球升空后，测得高空温度是． (1)求此时热气球离地面的高度为多少米； (2)当热气球距离地面2000米时，求这时的温度为多少？ 【答案】(1)热气球离地面的高度为1500米 (2)当热气球距离地面2000米时，这时的温度为 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算的应用，根据题意正确列出运算式子是解题关键． （1）根据题意列出式子，利用有理数的四则混合运算法则计算即可得； （2）根据题意列出式子，利用有理数的四则混合运算法则计算即可得． 【详解】（1）解：（米） 所以，此时热气球离地面的高度为1500米； （2）解： 所以，当热气球距离地面2000米时，这时的温度为． 【考点5】数轴化简与综合应用（第40-49题） · 数轴化简：先判断各数正负、大小关系，再去绝对值 · |a|>|b|时判断a+b、a-b的正负再化简 · 国际时间、温差、检修路程等：建立有理数模型求解 · 规律探究与数表问题：观察行列关系，归纳一般规律 40．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段检测）个城市的国际标准时间单位：时在数轴上表示如图所示，那么北京时间年月日时应是(   ) A．纽约时间年月日时 B．巴黎时间年月日时 C．汉城时间年月日时 D．伦敦时间年月日时 【答案】B 【知识点】有理数加减混合运算的应用 【分析】按照图示，将其他四个地区时间依次求出即可判断． 【详解】解：由图得：当北京时间年月日时， 由于，故纽约时间应为年月日时； 由于，故伦敦时间应为年月日时； 由于，故巴黎时间应为年月日时； 由于，故汉城时间应为年月日时； 所以B符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了数轴及有理数的加减的应用，理解时区的含义是解题关键． 41．（23-24七年级上·安徽合肥·期中）已知有理数，在数轴上的位置如图所示，那么下列四个结论： ； ； ； ，正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、根据点在数轴的位置判断式子的正负、两个有理数的乘法运算、有理数的除法运算 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，有理数运算，先由数轴可知，，，再根据有理数与数轴即可作答，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由数轴可知，，，则，原结论错误，不符合题意； 由数轴可知，，则，原选项结论正确，符合题意； 由数轴可知，，则，原选项结论正确，符合题意； 由数轴可知，，则，原选项结论正确，符合题意； 综合可得：正确，共个， 故选：． 42．（23-24七年级上·重庆渝北·期末）已知：数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减运算，应用到的知识有：绝对值的代数意义，数轴，整式的加减，其中判断出绝对值号里式子的正负是解本题的关键．由图示可得，所以，然后化简绝对值，再算加减即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选B． 43．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期中）已知a、b、c、d四个数在数轴上的位置如图，化简_____． 【答案】 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算 【分析】本题主要考查了数轴，解题的关键是掌握点的数轴上的位置及绝对值的性质．由a、b、c在数轴上的位置知、、，再根据绝对值的性质取绝对值符号，然后去括号、合并即可得． 【详解】解：由数轴知， ∴，，， ∴ ． 故答案为：． 44．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，数轴上的两点A、B分别表示有理数，化简：_______． 【答案】 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查了数轴、绝对值、有理数的大小比较等知识点，能正确去掉绝对值符号是解此题的关键． 根据数轴确定出绝对值内式子的符号，然后去绝对值化简即可解答． 【详解】解：根据数轴上点A，B的位置可知：，， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 45．（2025七年级上·湖北·专题练习）已知有理数a、b在数轴上表示的点如图所示，化简：_________． 【答案】a 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、合并同类项 【分析】本题考查了利用数轴，比较数的大小关系，含字母的绝对值的式子的化简，要根据绝对值内的式子的正负符号，去掉绝对值符号． 根据数轴可知，，，去掉绝对值符号，再化简即可． 【详解】由数轴可知：，， ∴原式． 故答案为：a． 46．（25-26七年级上·福建三明·期中）最近几年时间，我国的新能源汽车产销量大幅增加，小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． (1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多走________千米； (2)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (3)已知新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为元，请计算小明家这7天的行驶费用是多少钱？ 【答案】(1)24． (2)小明家的新能源汽车这七天一共行驶了 (3)小明家这7天的行驶费用是元． 【知识点】正负数的实际应用、有理数乘法的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题主要考查了正负数的应用、有理数混合运算的实际应用等知识点，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）由表格可知，行驶路程最多的一天是第七天，最少的一天是第三天，相减即可解答； （2）先求出这七天高于（或低于）的标准所行驶的路程，再加上七天按标准行驶的路程即可解答； （3）根据（2）的结论，进一步计算即可求解． 【详解】（1）解：由表格得：，即这7天里路程最多的一天比最少的一天多走． 故答案为：24． （2）解：， ． 答：小明家的新能源汽车这七天一共行驶了． （3）解：汽车每行驶耗电量为15度，每度电为元， ∴用电的费用：（元）． 答：小明家这7天的行驶费用是元． 47．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）体育课上，某中学对七年级男生进行跳绳测试，以130个/分钟为准，超过的次数记为正数，不足的次数记为负数．其中10名男生的成绩分别为，，，0，，，，0，，． (1)这10名男生达到标准的百分率是多少？ (2)他们共跳了多少个？ 【答案】(1) (2)1306个 【知识点】正负数的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了正负数的应用、有理数四则混合运算的应用，读懂正负数的意义，正确列出运算式子是解题关键． （1）利用记录数字中的非负数除以10即可得； （2）将记录的数字相加，再加上130与10的乘积即可得． 【详解】（1）解：∵在，，，0，，，，0，，这十个数中，非负数共有6个， ∴， 答：这10名男生达到标准的百分率是． （2）解： （个）， 答：他们共跳了1306个． 48．（22-23七年级上·陕西西安·期中）某灯具厂计划一天生产300盏景观灯，但由于各种原因，实际每天生产景观灯盏数与计划每天生产景观灯盏数相比有出入，下表是某一周的生产情况（比300多的部分记为正，比300少的部分记为负，单位：盏）： (1)这一周星期______生产的景观灯最多，是______盏； (2)若生产一盏景观灯的材料成本是20元，求该灯具厂这周生产景观灯的材料总成本； (3)该灯具厂实行每日计件工资制，每生产一盏景观灯工人可得60元，若超额完成任务，则超过部分每盏另奖20元；若未能完成任务，则少生产一盏扣10元，求该灯具厂工人这周的工资总额； 【答案】(1)六；312； (2)42160元； (3)126800元； 【知识点】正负数的实际应用、有理数加法在生活中的应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】（1）7天的生产量绝对值最大的即为生产最多的； （2）由7天的生产总量，再乘以生产一盏景观灯的材料成本20元，即可求解； （3）根据题意算出超额的部分即可计算； 【详解】（1）7天生产量的表格中最大，故这一周星期六生产的景观灯最多； 最多为：（盏）； （2）7天的生产总量为：盏， 这周生产景观灯的材料总成本为：元； （3）该灯具厂工人这周的工资总额为：元， 该厂工人这周的工资总额是126800元； 【点睛】本题考查正负数的概念，关键是理解正负数的实际意义． 49．（25-26七年级上·四川成都·期中）把正整数排成如图所示的数表． (1)数字“8”在此数表中总共出现了______次，数字“9”在此数表中总共出现了______次； (2)记第一行所有数的和为，第二行所有数的和为，第三行所有数的和为，…，照此规律计算下去，______． (3)请求出的值． 【答案】(1)5；5 (2)165 (3) 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、数字类规律探索 【分析】本题主要考查数字规律和利用规律计算，难度较大，解题的关键是找到对应的规律并利用规律解决计算问题， （1）找出数字“8”和“9”在数表第一次和最后一次的位置，即可求解； （2）根据数表找出第十行的第一个数和总共数字的个数，求和即可解答； （3）利用已知的数表得到，则，那么，，再次利用求和方法即可得到，并得到，计算即可． 【详解】（1）解：由题知， 数字“8”第一次出现在第四行，且此时数字“8”为该行中的最大数， 数字“8”最后一次出现在第八行，且此时数字“8”为该行中的最小数， 则， 所以数字“8”一共出现了5次； 数字“9”第一次出现在第五行，且此时数字“9”为该行中的倒数第2个数， 数字“9”最后一次出现在第九行，且此时数字“9”为该行中的最小数， 则， 所以数字“9”一共出现了5次； 故答案为：5，5； （2）解：由题知， 第十行有11个数，且该行的第1个数为10，后续数依次增加1， 则… 故答案为：165； （3）解：， ， ， ， 则， ∴， 则， ∵n个数相加的和为， ∴个数相加的和为， 则， 那么，， ∴ ． 💯 课后巩固 复习建议 · 复习乘除符号法则与运算律，能灵活运用分配律简化计算 · 掌握乘方符号判断与平方和型数识别，会处理规律探究题 · 熟练科学记数法与近似数，注意单位换算与精确度 · 理解新定义运算与取整符号的规则，代入时注意符号与顺序 · 数轴化简先判正负再去绝对值，综合应用先建模型再计算 【作业1】．（25-26七年级上·浙江温州·期中）已知三个数的和为负数，那么这三个数一定（   ） A．至少有一个是负数 B．都是正数 C．是两个负数与一个正数 D．是两个正数与一个负数 【答案】A 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题考查了有理数的加法运算．三个数的和为负数，则不可能都是正数或非负数，因此至少有一个是负数，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：三个数的和为负数，则不可能都是正数或非负数，因此至少有一个是负数， 故选：A． 【作业2】．（2025·江苏宿迁·一模）计算的结果是 （    ） A．4 B． C． D．2 【答案】B 【知识点】有理数的减法运算 【分析】本题主要考查了有理数的减法计算，直接根据有理数减法计算法则求解即可． 【详解】解：， 故选：B． 【作业3】．（24-25七年级上·山东日照·期末）2024年12月31日，习近平发表的二O二五年新年贺词中指出，我国粮食产量突破万亿斤，中国碗装了更多中国粮．数据万亿用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定a与n的值是解题的关键． 用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【详解】解：万亿， ， 故选：B． 【作业4】．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）下列说法正确的是（   ） A．数精确到千分位是 B．将数精确到千位是 C．按科学记数法表示的数，其原数是 D．近似数精确到 【答案】B 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数、求一个数的近似数、求近似数的精确度 【分析】本题考查了有效数字、精确度和科学记数法等知识，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据有效数字、精确度和科学记数法等知识逐项进行判断即可． 【详解】解：A、数精确到千分位是，故A选项错误； B、将数精确到千位是，故B选项正确； C、按科学记数法表示的数，其原数是，故C选项错误； D、近似数精确到，故D选项错误； 故选：B． 【作业5】．（24-25七年级上·福建厦门·期中）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列各式： ①；②； ③ ； ④一定成立的是（     ） A．①②③ B．②③④ C．③④ D．②③ 【答案】B 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、有理数加法运算、两个有理数的乘法运算 【分析】此题主要考查了数轴，有理数的加法，有理数的乘法，绝对值的性质等知识点，比较简单． 首先根据数轴可以得到，然后利用这些信息即可求解． 【详解】根据数轴可以得到， ①，原判断错误； ②，原判断正确； ③，原判断正确； ④，原判断正确； 故选：B 【作业6】．（23-24七年级上·四川自贡·阶段检测）用“☆”定义新运算：对于任意实数，都有．例如，那么_______． 【答案】7 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算．根据新定义计算，即可求解． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：7 【作业7】．（25-26六年级上·上海闵行·期末）计算：______． 【答案】1 【知识点】有理数乘法运算律、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，熟练掌握含乘方的有理数混合运算是解题的关键；因此此题可根据有理数的乘法分配律及有理数的乘方进行求解即可． 【详解】解：原式； 故答案为1． 【作业8】．（23-24七年级上·吉林·期中）用四舍五入法将精确到百分位，结果是______． 【答案】 【知识点】求一个数的近似数 【分析】本题考查了近似数，把千分位上的数字进行四舍五入即可，熟练掌握四舍五入法是解题的关键． 【详解】解：用四舍五入法将精确到百分位的结果是， 故答案为：． 【作业9】．（25-26七年级上·河南驻马店·期中）比大的数是________． 【答案】 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题考查有理数的加法运算，比一个数大几，就是用这个数加上几，然后列式计算即可． 【详解】解：比大的数是， 故答案为：． 【作业10】．（23-24七年级上·新疆喀什·期中）已知某地一天中的最高温度为，最低温度为，则这天最高温度与最低温度的温差为________． 【答案】15 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】本题考查了有理数的减法，根据题意列式计算即可得出答案． 【详解】解：∵某地一天中的最高温度为，最低温度为， ∴这天最高温度与最低温度的温差为， 故答案为：． 【作业11】．（24-25七年级上·全国·单元复习）学习情境·新定义对任意四个有理数a，b，c，d定义新运算：，则的值为________． 【答案】 【知识点】有理数的减法运算、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【作业12】．（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）南京奥林匹克体育中心位于南京市区西部，该中心总占地面积897000平方米，将数字897000用科学记数法表示为______． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：将数字897000用科学记数法表示为， 故答案为：． 【作业13】．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）某市质量技术监督部门从某食品厂生产的袋装食品中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，标准质量为每袋500克，把超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如下表： (1)抽样检测的20袋食品的总质量为多少克？ (2)若该种食品的合格标准为克，求该食品的抽样检测的合格率． 【答案】(1)10012克 (2) 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】此题考查了有理数的混合运算，解题关键是能根据实际用正负数进行准确列式、计算． （1）计算出超过或不足的和，再加上20袋食品标准质量的和即可； （2）求出合格食品的袋数，除以总袋数20即可． 【详解】（1）解：（克）， （克）， 答：抽样检测的20袋食品的总质量为10012克； （2）解：，， 共有2袋不合格， ， 答：该食品的抽样检测的合格率为． 【作业14】．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段检测）一辆汽车在一段东西向的公路来回巡查，若规定向东为正，向西为负，行驶的路程（千米）用正负数表示如下：，+4，，+8，，+12，； (1)这辆车最后离开出发点的哪个方向？离开出发点多远？ (2)这辆车共行驶了多少千米？ 【答案】(1)这辆车最后离开出发点的正西方向，离开出发点10千米 (2)58千米 【知识点】正负数的实际应用、有理数加法在生活中的应用 【分析】（1）将题目中的数据相加，根据和的情况结合正负数的意义即可解答； （2）将所有数据的绝对值相加即可求解. 【详解】（1）解： ； 答：这辆车最后离开出发点的正西方向，离开出发点10千米； （2）解： ； 答：这辆车共行驶了58千米. 【点睛】本题考查了有理数加法的实际应用，正确理解题意、明确正负数的意义是解题的关键. 【作业15】．（24-25七年级上·浙江金华·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1)32 (2) 【知识点】有理数加法运算律、有理数加法运算 【分析】本题主要考查有理数的加法运算，熟练掌握有理数的加法运算是解题的关键； （1）根据有理数的加法法则可进行求解； （2）根据有理数的加法交换律和结合律可进行求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【作业16】．（23-24七年级上·河南许昌·阶段检测）有人建议向火星发射如图1所示的图案，该图案叫做幻方（每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和相等），其中9个格中的点数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9．如果火星上有智慧生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上有智慧生物（人）的存在． (1)图1中，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都是________． (2)请将，，0，3，6，9，12，15，18填入图2的9个格子中，使其构成一个幻方． (3)如图，在一个由6个圆圈组成的三角形中，把到这6个连续的整数分别填入圆圈中，使三角形的每条边上的三个数的和（记为S）相等且S的值最大，并直接写出S的值． 【答案】(1)15 (2) 如图所示， (3) ∵使三角形的每条边上的三个数的和（记为S）相等且S的值最大， ∴到这6个连续的整数中最大的最大的三个数，，填在顶点处的圆圈里， ∴如图所示， ∴S的最大值为． 【知识点】有理数加法运算 【分析】考查了有理数的加法，本题的关键是找准每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相等． （1）分别计算出每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和，进而求解即可； （2）先找到中间数字6，最大的数18与最小的数的和加上中间的数0组成一列，三数和为18，然后填上其它数字使得每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数的和都是18即可； （3）根据题意得到三角形的三个顶点的数字是这6个数中最大的三个数，进而求解即可． 【详解】（1）根据题意得， 每一横行的和分别为，，， 每一竖列的和分别为，，， 两条斜对角线上的点数的和分别为，， ∴每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都是15； （2）略． （3）略． 【作业17】．（25-26七年级上·陕西渭南·期中）某检修站，甲小组乘一辆汽车，从地出发，沿东西方向的公路检修线路，约定向东为正，到收工时的行驶记录为（单位：千米）：，，，，，，，．同时，乙小组乘一辆汽车，也从地出发，沿南北方向的公路检修线路，约定向北为正，到收工时的行驶记录为：，，，，，，． (1)分别计算收工时，甲、乙两小组各在地的哪一边，分别距地多远？ (2)若每千米汽车耗油升，求从地出发到收工时，甲、乙两小组哪个小组的汽车耗油多？为什么？ 【答案】(1)甲小组在地的东边，距地千米；乙小组在地的南边，距地千米 (2) 乙小组的汽车耗油多，理由如下： 甲小组：（升）， 乙小组：（升）． ， 乙小组的汽车耗油多． 【知识点】正负数的实际应用、有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数的加减运算的应用，解题的关键是掌握相关知识． （1）分别根据甲、乙行走记录求和，根据结果的符号判断方位，数值判断距离； （2）取两组数据的绝对值求和，得出行走路程，再乘以每千米耗油量． 【详解】（1）解：甲小组：（千米）， 甲小组在地的东边，距地千米； 乙小组：（千米）， 乙小组在地的南边，距地千米； （2）略 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章·有理数运算·培优提高·期中复习讲义 （知识梳理+典例+练习）2026-2027·人教版七年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 熟练运用乘除符号法则与运算律解决复杂计算与判断问题 · 掌握乘方意义与幂的性质，能处理平方和型、规律探究类问题 · 准确进行科学记数法与近似数运算，解决大数据实际情境 · 掌握新定义运算的规则理解与代入计算，处理取整、运算符号等变式 · 会结合数轴化简含绝对值式子，解决多步运算与综合应用题 📚 知识梳理 ☆ 1.有理数的乘法与除法 乘法符号法则：同号得正、异号得负，负因数个数决定积的符号 乘法分配律 a(b+c)=ab+ac 可正向展开也可逆向提取公因数 除以一个数等于乘这个数的倒数，乘除混合统一为乘法再约分 多个有理数相乘：先定符号，再算绝对值的积 概念辨析例题：计算：(-8)×(-+) 答案：3 解析：用分配律：(-8)×=-4，(-8)×(-)=6，(-8)×=-1，三项相加-4+6-1=1。 ☆ 2.有理数的乘方 乘方是相同因数的积的运算，an中a是底数n是指数 负数的奇次幂为负、偶次幂为正；0的正整数次幂为0，1的任意次幂为1 (-a)n与-an意义不同：前者底数为-a，后者是an的相反数 能用a2+b2形式表示的数为平方和型数，如丰利数问题 概念辨析例题：若(-2)m+1的结果为正数，则m满足什么条件？ 答案：m为奇数 解析：(-2)m+1为正数，说明指数m+1为偶数，所以m为奇数。 ☆ 3.科学记数法与近似数 科学记数法 a×10n：1≤|a|<10，n=原数整数位数-1 大数含亿、万单位时，先化为完整数字再确定n 四舍五入求近似数：精确到哪一位看其后一位 科学记数法形式近似数的精确度由a的末位决定 概念辨析例题：2022年全国科技经费投入约30782.9亿元，用科学记数法表示（保留3个有效数字） 答案：3.08×1012 解析：30782.9亿=30782.9×108=3.07829×1012，保留3个有效数字四舍五入得3.08×1012。 ☆ 4.新定义运算与取整符号 新定义运算：把新符号当作运算规则，将数值代入按定义计算 取整符号[x]表示不超过x的最大整数，对负数向左取整 运算符号写错问题：用代入验证法确定原符号，再重新计算 定义运算嵌套时从内到外逐层计算，注意括号 概念辨析例题：定义a☆b=ab-a+b，计算2☆(-3)的值 答案：1 解析：2☆(-3)=2×(-3)-2+(-3)=-6-2-3=-11。 ☆ 5.数轴化简与综合应用 由数轴判断各数正负与大小，|a|=a（a≥0）或-a（a<0）去绝对值 |a-b|表示数轴上a、b两点间的距离 国际标准时间、温差、质量检验等实际问题转化为有理数运算 规律探究题：先算前几项，观察归纳，再验证一般结论 概念辨析例题：已知a<0<b且|a|>|b|，化简|a+b|+|a-b| 答案：-2a 解析：由|a|>|b|知a+b<0，所以|a+b|=-(a+b)；a-b<0，|a-b|=b-a；原式=-(a+b)+(b-a)=-a-b+b-a=-2a。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 乘法符号 同号得正异号得负 负因数个数定符号 分配律 a(b+c)=ab+ac 可正用可逆用 除法 除以一个数=乘倒数 0不能作除数 乘方 an=n个a相乘 (-a)n与-an不同 科学记数法 a×10n，1≤|a|<10 n=整数位数-1 取整符号 [x]=不超过x的最大整数 负数向左取整 绝对值化简 |a|=a或-a 先判正负 数轴距离 AB=|a-b| 距离非负 ⚠️ 核心考点 【考点1】有理数的乘除运算与符号法则（第1-9题） · 积或和的符号判断：负因数个数定积符号，结合条件逐项分析 · 新定义运算（☆、※等）：先读懂规则再代入，注意运算顺序 · 运算符号写错：代入验证原符号，修正后重新计算 · 取整符号与嵌套定义：从内到外逐层计算 1．（24-25七年级上·河南洛阳·期中）等于（   ） A． B． C． D． 2．（2024·河北·模拟预测）如果三个连续整数n、、的和等于它们的积，那么我们把这三个整数称为“和谐数组”，下列n的值不满足“和谐数组”条件的是（    ） A． B． C．1 D．3 3．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段检测）有下列四个算式：①；②；③；④，其中，正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（25-26七年级上·新疆阿克苏·期中）如图，是一个数值转换机，若输入数x为，则输出的数是_______． 5．（24-25八年级上·四川乐山·开学考试）定义一种新运算“”：，比如：．则______． 6．（24-25七年级上·陕西·期中）定义一种新运算“”，规定：．等式右边的运算就是加、减、乘、除四则运算，例如：．则的值是_____． 7．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）已知表示不超过的最大整数，如：．现定义：，如，则______． 8．（25-26七年级上·浙江衢州·期中）小明在计算时，不小心把一个运算符号写错了（“+”错写成“-”或“-”错写成“+”），结果错算成了30，则原式从左往右数，第______个运算符号写错了． 9．（23-24六年级上·黑龙江绥化·期中）计算下面各题，能用简便算法的就用简便算法． (1) (2) (3) (4) 【考点2】有理数的乘方与幂运算（第10-18题） · 幂符号：负底数看指数奇偶，正底数结果为正 · 平方和型数（丰利数）：观察数的结构，用a2+b2表示 · 规律猜想（考拉兹等）：按规则逐步计算，观察数列变化 · 乘方混合计算：先算幂再算乘除加减，注意符号 10．（25-26六年级上·上海·阶段检测）＝________． 11．（24-25八年级上·北京·期中）若一个整数能表示成（、是正整数）的形式，则称这个数为“丰利数”．例如，2是“丰利数”，因为． （1）请你判断______“丰利数”．（填“是”或“不是”） （2）最小的三位数“丰利数”是______． 12．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段检测）1930年，德国汉堡大学的学生考拉兹，曾经提出过这样一个数学猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能够得到1．这一猜想后来成为著名的“考拉兹猜想”，又称“奇偶归一猜想”．虽然这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的，例如：取正整数5，最少经过下面5步运算可得1，即：．如果正整数m最少经过7步运算可得到1，则满足m的所有的值的和为__________． 13．（22-23七年级上·江西赣州·开学考试）把105根木材按6层堆积起来，堆积的时候，若每次上层木材比下层木材少一根，则最下层应放_____________根． 14．（23-24七年级上·河南郑州·阶段检测）计算： (1) (2) 15．（23-24七年级上·广东汕头·期中）计算： 16．（23-24七年级上·山东德州·阶段检测）计算： (1) (2) 17．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（25-26七年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）计算： (1) (2) 【考点3】科学记数法与近似数（第19-30题） · 统一化为完整数字再写科学记数法，注意亿、万的换算 · n=整数位数-1，a的绝对值在1到10之间 · 近似数与有效数字：四舍五入到指定数位 · 科学记数法形式数据的精确度看a的末位所在数位 19．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·阶段检测）我国的国土面积约为960万平方千米，数据9600000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 20．（2025·河南安阳·一模）2024年河南省出版的5.59亿册图书，为贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的重要精神，建设学习型社会提供了丰富的图书资源．数据“5.59亿”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 21．（23-24七年级上·广西南宁·阶段检测）2023年9月国家统计局发布了2022年全国科技经费投入统计公告，2022年全国投入研究与实验（）经费30782.9亿元，比上年增加．数据30782.9用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 22．（2024·广东佛山·三模）2024年4月15日上午8点，2024阿里巴巴全球数学竞赛预选赛正式交卷，今年赛事紧扣与数学融合的技术趋势，首次向开放．阿里巴巴全球数学竞赛是由阿里巴巴公益、达摩院共同举办的，以“发现数学之美、助力数学研究、激发数学学习热忱”为使命，不设报名门槛，趣味十足，今年已举办至第六届，共吸引了来自全球70多个国家和地区超过25万人次参与，成为全球规模最大的在线数学竞赛．把250000这个数用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 23．（2024九年级下·广西·专题练习）截至2020年3月初，国家卫生健康委收到31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告“新型冠状病毒”确诊病例近81000例，将81000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 24．（25-26七年级上·广东·阶段检测）2025年9月3日，在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会上，我国展示了新一代武器装备东风—液体洲际战略核导弹，彰显了我军强大的战略威慑实力、军事专家表示，洲际导弹想要覆盖全球，理论上需要米的射程，将数用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 25．（24-25九年级下·福建厦门·阶段检测）是中国深度求索公司研发的高性能语言模型．专注于自然语言处理、代码生成和数学推理．截止年月日．人工智能助手的注册用户达个． 用科学记数法表示正确的是 （     ） A． B． C． D． 26．（24-25七年级上·湖南·期中）2021年7月，第十四届国际数学教育大会在上海召开，本次大会会徽主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力．如图，右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，由0~7共8个基本数字组成．八进制数3745换算成十进制数是，则八进制数2024换算成十进制数是（） A．1042 B．1044 C．2024 D．3748 27．（2022七年级上·宁夏固原·专题练习）据中国铁路总公司消息，2019年端午小长假期间，全国铁路累计发送旅客大约五千零七十四万四千人次．横线上的数写作_____________，改写成用“万”作单位的数是_________万，省略万位后面的尾数约是_________万． 28．（23-24九年级上·重庆石柱·期中）2023年10月18日，国家统计局发布数据显示，前三季度我国国内生产总值约913000亿元，按不变价格计算，同比增长约，数913000用科学记数法表示______． 29．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）某地数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为，整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的倍，达到，则的值为______（用科学记数法表示）． 30．（2024·四川绵阳·中考真题）中国是茶叶的故乡，产量多年位居世界第一，据统计：2023年我国全年茶叶产量为355万吨，将数据3550000用科学记数法表示为______． 【考点4】有理数混合运算（第31-39题） · 严格按运算顺序：括号→乘方→乘除→加减 · 乘除统一为乘法后用运算律（分配律）简化 · 分数与小数混合：统一化分数或统一化小数再计算 · 实际问题（商品盈利、广告分配等）：先列式再计算 31．（23-24七年级上·四川凉山·阶段检测）期中考试后，小明用计算器计算出他六科的平均成绩为分．对小明这六科的平均成绩，下面用四舍五入法按要求取近似值，其中错误的是（    ） A．（精确到千分位） B．（精确到） C．（精确到） D．（精确到个位） ①至少存在一种“加括号操作”的运算结果是； ②不存在任何“加括号操作”的运算结果是； ③所有“加括号操作”共有7种不同的运算结果． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 32．（24-25七年级上·福建莆田·阶段检测）某商场将进价为100元的商品按盈利确定销售价．元旦节期间，该商场开展了“全场商品打九折”的节日促销活动，促销活动期间该商场商品的销售价为_______元． 步骤1：计算前6位数字中偶数位数字的和a，即； 步骤2：计算前6位数字中奇数位数字的和b，即； 步骤3：计算3a与b的和c，即； 步骤4：取大于或等于c且为10的整数倍的最小数d，即； 步骤5：计算d与c的差就是校验码X，即． 请解答下列问题： （1）若《数学故事》的图书码为948753Y，校验码Y的值为______； （2）如图2，某图书码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为m，则m的值为______． 33．（2026九年级下·河北·专题练习）某互联网公司计划将广告预算分配给甲、乙、丙、丁四个推广渠道．当向一个渠道投入n万元广告费时，公司从该渠道获得的新增用户量（单位：千人）与n的对应关系如表： （1）如果公司将5万元广告预算分配给这四个渠道，且每个渠道至少投入1万元，为使总新增用户量最大，应向_____渠道投入2万元（填“甲”“乙”“丙”或“丁”）； （2）如果公司将6万元广告预算分配给这四个渠道中的一个或多个，那么总新增用户量的最大值为_____千人． 34．（25-26七年级上·山西长治·期末）山西是我国优质苹果的主要产区之一，这里的气候、土壤等非常适宜苹果的生长，以红富士．秦冠等品种为主，产自吉县、临猗、万荣、芮城、翼城等地．某苹果合作社为扩大销售量，开通了网络直播销售渠道．直播期间计划每天的销售标准是，但实际销售量有增减变化，规定超过标准记作“”，不足记作“”，下表是该合作社直播一周的销售情况： (1)本周销售量最多的一天比最少的一天多销售多少千克？ (2)本周直播总共销售苹果多少千克？ 35．（25-26七年级上·广西河池·期中）计算： (1)； (2)． 36．（25-26七年级上·全国·单元测试）计算： (1) ； (2)． 37．（24-25七年级上·黑龙江·期末）（1）计算：； （2）解方程：． 38．（26-27七年级上·贵州遵义·阶段检测）李叔叔家原来有一块边长12米的正方形菜地，今年他将这块菜地进行了扩建（如图中的涂色部分）． (1)原来这块菜地的面积是多少平方米？ (2)李叔叔今年扩建了多少平方米的菜地？ 39．（24-25七年级上·甘肃定西·期中）已知海拔每升高，气温下降，某人乘热气球旅行，在地面时测得温度是，当热气球升空后，测得高空温度是． (1)求此时热气球离地面的高度为多少米； (2)当热气球距离地面2000米时，求这时的温度为多少？ 【考点5】数轴化简与综合应用（第40-49题） · 数轴化简：先判断各数正负、大小关系，再去绝对值 · |a|>|b|时判断a+b、a-b的正负再化简 · 国际时间、温差、检修路程等：建立有理数模型求解 · 规律探究与数表问题：观察行列关系，归纳一般规律 40．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段检测）个城市的国际标准时间单位：时在数轴上表示如图所示，那么北京时间年月日时应是(   ) A．纽约时间年月日时 B．巴黎时间年月日时 C．汉城时间年月日时 D．伦敦时间年月日时 41．（23-24七年级上·安徽合肥·期中）已知有理数，在数轴上的位置如图所示，那么下列四个结论： ； ； ； ，正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 42．（23-24七年级上·重庆渝北·期末）已知：数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简的值是（    ） A． B． C． D． 43．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期中）已知a、b、c、d四个数在数轴上的位置如图，化简_____． 44．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，数轴上的两点A、B分别表示有理数，化简：_______． 45．（2025七年级上·湖北·专题练习）已知有理数a、b在数轴上表示的点如图所示，化简：_________． 46．（25-26七年级上·福建三明·期中）最近几年时间，我国的新能源汽车产销量大幅增加，小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． (1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多走________千米； (2)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (3)已知新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为元，请计算小明家这7天的行驶费用是多少钱？ 47．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）体育课上，某中学对七年级男生进行跳绳测试，以130个/分钟为准，超过的次数记为正数，不足的次数记为负数．其中10名男生的成绩分别为，，，0，，，，0，，． (1)这10名男生达到标准的百分率是多少？ (2)他们共跳了多少个？ 48．（22-23七年级上·陕西西安·期中）某灯具厂计划一天生产300盏景观灯，但由于各种原因，实际每天生产景观灯盏数与计划每天生产景观灯盏数相比有出入，下表是某一周的生产情况（比300多的部分记为正，比300少的部分记为负，单位：盏）： (1)这一周星期______生产的景观灯最多，是______盏； (2)若生产一盏景观灯的材料成本是20元，求该灯具厂这周生产景观灯的材料总成本； (3)该灯具厂实行每日计件工资制，每生产一盏景观灯工人可得60元，若超额完成任务，则超过部分每盏另奖20元；若未能完成任务，则少生产一盏扣10元，求该灯具厂工人这周的工资总额； 49．（25-26七年级上·四川成都·期中）把正整数排成如图所示的数表． (1)数字“8”在此数表中总共出现了______次，数字“9”在此数表中总共出现了______次； (2)记第一行所有数的和为，第二行所有数的和为，第三行所有数的和为，…，照此规律计算下去，______． (3)请求出的值． 💯 课后巩固 复习建议 · 复习乘除符号法则与运算律，能灵活运用分配律简化计算 · 掌握乘方符号判断与平方和型数识别，会处理规律探究题 · 熟练科学记数法与近似数，注意单位换算与精确度 · 理解新定义运算与取整符号的规则，代入时注意符号与顺序 · 数轴化简先判正负再去绝对值，综合应用先建模型再计算 【作业1】．（25-26七年级上·浙江温州·期中）已知三个数的和为负数，那么这三个数一定（   ） A．至少有一个是负数 B．都是正数 C．是两个负数与一个正数 D．是两个正数与一个负数 【作业2】．（2025·江苏宿迁·一模）计算的结果是 （    ） A．4 B． C． D．2 【作业3】．（24-25七年级上·山东日照·期末）2024年12月31日，习近平发表的二O二五年新年贺词中指出，我国粮食产量突破万亿斤，中国碗装了更多中国粮．数据万亿用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【作业4】．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）下列说法正确的是（   ） A．数精确到千分位是 B．将数精确到千位是 C．按科学记数法表示的数，其原数是 D．近似数精确到 【作业5】．（24-25七年级上·福建厦门·期中）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列各式： ①；②； ③ ； ④一定成立的是（     ） A．①②③ B．②③④ C．③④ D．②③ 【作业6】．（23-24七年级上·四川自贡·阶段检测）用“☆”定义新运算：对于任意实数，都有．例如，那么_______． 【作业7】．（25-26六年级上·上海闵行·期末）计算：______． 【作业8】．（23-24七年级上·吉林·期中）用四舍五入法将精确到百分位，结果是______． 【作业9】．（25-26七年级上·河南驻马店·期中）比大的数是________． 【作业10】．（23-24七年级上·新疆喀什·期中）已知某地一天中的最高温度为，最低温度为，则这天最高温度与最低温度的温差为________． 【作业11】．（24-25七年级上·全国·单元复习）学习情境·新定义对任意四个有理数a，b，c，d定义新运算：，则的值为________． 【作业12】．（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）南京奥林匹克体育中心位于南京市区西部，该中心总占地面积897000平方米，将数字897000用科学记数法表示为______． 【作业13】．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）某市质量技术监督部门从某食品厂生产的袋装食品中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，标准质量为每袋500克，把超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如下表： (1)抽样检测的20袋食品的总质量为多少克？ (2)若该种食品的合格标准为克，求该食品的抽样检测的合格率． 【作业14】．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段检测）一辆汽车在一段东西向的公路来回巡查，若规定向东为正，向西为负，行驶的路程（千米）用正负数表示如下：，+4，，+8，，+12，； (1)这辆车最后离开出发点的哪个方向？离开出发点多远？ (2)这辆车共行驶了多少千米？ 【作业15】．（24-25七年级上·浙江金华·期中）计算 (1) (2) 【作业16】．（23-24七年级上·河南许昌·阶段检测）有人建议向火星发射如图1所示的图案，该图案叫做幻方（每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和相等），其中9个格中的点数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9．如果火星上有智慧生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上有智慧生物（人）的存在． (1)图1中，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都是________． (2)请将，，0，3，6，9，12，15，18填入图2的9个格子中，使其构成一个幻方． (3)如图，在一个由6个圆圈组成的三角形中，把到这6个连续的整数分别填入圆圈中，使三角形的每条边上的三个数的和（记为S）相等且S的值最大，并直接写出S的值． 【作业17】．（25-26七年级上·陕西渭南·期中）某检修站，甲小组乘一辆汽车，从地出发，沿东西方向的公路检修线路，约定向东为正，到收工时的行驶记录为（单位：千米）：，，，，，，，．同时，乙小组乘一辆汽车，也从地出发，沿南北方向的公路检修线路，约定向北为正，到收工时的行驶记录为：，，，，，，． (1)分别计算收工时，甲、乙两小组各在地的哪一边，分别距地多远？ (2)若每千米汽车耗油升，求从地出发到收工时，甲、乙两小组哪个小组的汽车耗油多？为什么？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $