专题03 有理数的乘法与除法讲义 2025-2026学年人教版数学七年级上册期中专题复习

该初中数学讲义以“有理数的乘法与除法”为核心，通过知识框架图系统梳理法则、运算律、倒数等考点，用表格对比呈现乘除混合运算步骤与注意事项，结合考频标注（★）突出重难点，构建清晰的知识内在联系。 讲义亮点在于分层例题设计，如实际应用题（消费税计算、血液质量范围）培养应用意识，新定义问题（“⊙”运算）发展创新思维，通过错题方法总结提升运算能力。不同难度例题满足分层需求，助力学生自主复习，为教师精准教学提供支持。

专题03 有理数的乘法与除法 考点01（★★）倒数 4 考点02（★★）有理数的乘除运算 5 考点03（★★）有理数的乘法运算律 7 考点04（★★）有理数的运算在实际生活中的应用 8 考点05（★★）新定义问题 10 1．有理数的乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积． 任何数与0相乘，都得0． 显然，两个有理数相乘，积是一个有理数． 2．有理数的乘法运算律 （1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即ab=ba． （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等，即（ab）c=a（bc）． （3）分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加，即a（b+c）=ab+bc． 3．有理数乘法法则的推广 （1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正． （2）几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 4．倒数 （1）定义：乘积是1的两个数互为倒数． （2）求倒数的方法： ①求分数的倒数：交换分子、分母的位置． ②求整数的倒数：整数分之1． ③求带分数的倒数：先化成假分数，再求倒数． ④求小数的倒数：先化成分数再求倒数． 5．有理数的除法 （1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即（b≠0）． （2）从有理数除法法则，容易得出：两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． 6．有理数的乘除混合运算 （1）因为乘法与除法是同一级运算，应按从左到右的顺序运算． （2）结果的符号由算式中负因数的个数决定，负因数的个数是偶数时结果为正，负因数个数是奇数时结果为负． （3）化成乘法后，应先约分再相乘． （4）有理数的乘除混合运算往往先将除法化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果． 7．有理数的加减乘除混合运算 先乘除，后加减，有括号的先计算括号里面的．同级运算中，按照从左到右的顺序计算，并能合理运用运算律简化运算． 1．除法没有运算律，只有将除法转化为乘法后，才可以利用乘法运算律简化运算． 2．有理数乘除混合运算的步骤： （1）将除法转化为乘法，除数转化为倒数； （2）先确定积的符号，再把绝对值相乘； （3）运用乘法运算律简化计算； （4）求出最简结果． 3．有理数加减乘除混合运算的注意事项： （1）常以加减号为界，把式子分成若干个部分，每一部分同时单独运算． （2）通常把小数化为分数，把带分数化为假分数，以便于通分、约分计算． （3）除法没有运算律，只有将除法转化为乘法后，才可以利用乘法的运算律简化运算． （4）不能随意改变运算顺序． ►考点中的“★”代表考频，★的数量越多，表示考试频度越高◄ 考点01（★★）倒数 1．求倒数的方法： （1）求分数的倒数：交换分子、分母的位置． （2）求整数的倒数：整数分之1． （3）求带分数的倒数：先化成假分数，再求倒数． （4）求小数的倒数：先化成分数再求倒数． 2．1的倒数是它本身，因为11=1． 0没有倒数，因为任何数乘0积都是0，且0不能作分母． 3．任意数a（a≠0），它的倒数为． 4．真分数的倒数是假分数，真分数的倒数大于1，也大于它本身； 假分数的倒数小于或等于1；带分数的倒数小于1． 【例1】　（2025•台江区校级模拟）﹣3的倒数是（　　） A．3 B． C． D．﹣3 【答案】B 【分析】根据倒数的定义即可求解． 【解答】解：∵﹣3×（）＝1， ∴﹣3的倒数是． 故选：B． 【例2】　（2025•茂南区校级模拟）的倒数是（　　） A． B．2025 C． D．﹣2025 【答案】D 【分析】利用倒数的定义求解即可． 【解答】解：的倒数是﹣2025． 故选：D． 【例3】　（2024秋•东坡区期末）的倒数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 【分析】利用倒数的定义求解即可． 【解答】解：的倒数是． 故选：B． 【例4】　（2024秋•岚山区期末）若一个数的倒数是，则这个数的相反数是（　　） A．2024 B．﹣2024 C． D． 【答案】B． 【分析】利用倒数，相反数的定义求解即可． 【解答】解：2024的倒数是， 则2024的相反数是﹣2024． 故选：B． 考点02（★★）有理数的乘除运算 1．在进行除法运算时，若能整除，则根据“两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除”进行计算；若不能整除，则根据“除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数”进行计算；除法算式中的小数常化成分数，带分数常化成假分数，以利于转化为乘法时约分；0不能作除数（即分母）． 2．有理数乘除混合运算的步骤： （1）将除法转化为乘法，除数转化为倒数； （2）先确定积的符号，再把绝对值相乘； （3）运用乘法运算律简化计算； （4）求出最简结果． 【例5】　（2025秋•桂平市校级月考）计算（﹣1）×5的结果为（　　） A．﹣5 B．5 C．4 D． 【答案】A 【分析】根据有理数乘法法则计算即可求解． 【解答】解：（﹣1）×5＝﹣5． 故选：A． 【例6】　（2025春•中山市校级期中）计算（﹣2025）×（﹣1）的结果等于（　　） A．2025 B．﹣2025 C． D． 【答案】A 【分析】根据有理数乘法法则直接计算即可． 【解答】解：（﹣2025）×（﹣1） ＝2025×1 ＝2025． 故选：A． 【例7】　（2025春•埇桥区校级月考）计算：（　　） A．﹣8 B．﹣4 C．4 D．8 【答案】A 【分析】除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数，由此计算即可． 【解答】解：2×（﹣4）＝﹣8， 故选：A． 【例8】　（2025•怀远县二模）计算：　6　 ． 【答案】6． 【分析】根据有理数除法法则计算即可． 【解答】解：：3×2＝6， 故答案为：6． 考点03（★★）有理数的乘法运算律 （1）运用交换律时，在交换因数的位置时，要连同符号一起交换． （2）运用分配律时，要用括号外的因数乘括号内每一个因数，不能有遗漏． （3）逆用：有时可以把运算律“逆用”，例如逆用乘法分配律的符号表示为：ab+ac=a（b+c）． （4）推广：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘，如abcd=d（ac）b． 【例9】　（2024秋•泸县期末）计算：． 【答案】见试题解答内容 【分析】利用乘法分配律进行计算即可得解． 【解答】解：（）×（﹣36）， （﹣36）（﹣36）（﹣36）， ＝﹣3+6﹣27， ＝﹣30+6， ＝﹣24． 【例10】　（2025春•西安月考）简便计算：． 【答案】． 【分析】根据题意将原式变形得到，运用平方差公式计算即可求解． 【解答】解：原式 ． 【例11】　（2025秋•紫阳县月考）简便计算：． 【答案】﹣2． 【分析】根据有理数乘法运算方法求出结果即可． 【解答】解：原式 ＝﹣2×1 ＝﹣2． 【例12】　（2024秋•黄浦区期末）用简便方法计算：． 【答案】﹣1078． 【分析】变形后利用乘法分配律计算即可． 【解答】解：原式 ＝﹣1080+2 ＝﹣1078． 考点04（★★）有理数的运算在实际生活中的应用 1．生活中计算水费、电费、出租车费用时常用到有理数的混合运算．解决这类问题的关键是： （1）观察好每个阶段未知数的取值范围及收费标准； （2）辨别问题中所求量在哪个阶段中，并进行计算． 2．解题步骤： （1）读题列式，将实际问题转化为有理数四则运算问题． （2）按照有理数的四则运算法则进行变形． （3）根据运算法则、运算律进行计算． 【例13】　（2022春•恒山区校级期中）妈妈买了一瓶香水花了240元，其中消费税为售价的25%，妈妈为此支付消费税（　　）元． A．60 B．192 C．48 D．180 【答案】A 【分析】根据题意直接列式计算即可． 【解答】解：根据题意可得，240×25%＝60（元）． 故选：A． 【例14】　（2024秋•平顶山期末）人体血液的质量占人体体重的7%与8%之间，已知小亮的体重为35kg，则他体内的血液质量可能为（　　） A．2.1kg B．2.4kg C．2.7kg D．3kg 【答案】C 【分析】分别计算35×7%与35×8%，即可知道小亮体内血液质量所处的范围，根据选项即可作出判断． 【解答】解：∵35×7%＝2.45（kg），35×8%＝2.8（kg）， ∴小亮方血液质量的范围为：2.45kg～2.8kg， 故选：C． 【例15】　（2024•铜山区校级开学）一个排球79元，王老师买了8个，需要花费　632　 元． 【答案】632． 【分析】根据题意列出除法算式即可． 【解答】解：79×8＝632（元）． 故答案为：632． 【例16】　（2025•雨花区校级开学）小华买了5张射击票，按规定每射中一次可以免费再射两次，他一共射了17次，他射中了　6　 次． 【答案】6． 【分析】根据每射中一次可以免费再射两次，可知每射中一次一共可以射三次，根据除法的意义列出算式17÷3计算即可求解． 【解答】解：设小华射中了x次，小华买了5张射击票，所以一开始能射5次，因为每射中一次可以免费再射两次， 所以射中x次能额外射2x次，一共射了17次，可列方程5+2x＝17，解得x＝6， ∴他射中了6次． 故答案为：6． 考点05（★★）新定义问题 认真理解新定义，在给出的式子中，有括号先算括号里的．新定义的运算，不一定满足加法或乘法运算律，不能应用运算律去括号． 【例17】　（2024秋•金凤区校级期中）已知a、b皆为正有理数，定义运算符号“⊙”表示一种新的运算，它是这样定义的：a⊙b＝﹣a+b．则4⊙（5⊙3）的值等于（　　） A．﹣2 B．5 C．﹣6 D．10 【答案】C 【分析】根据题干中提供的信息，列出算式进行计算即可． 【解答】解：由题意可得：a⊙b＝﹣a+b． ∵5⊙3＝﹣5+3＝﹣2， ∴4⊙（5⊙3）＝4⊙（﹣2）＝﹣4+（﹣2）＝﹣6． 故选：C． 【例18】　（2024秋•泗水县期中）定义：对于一个有理数，我们把称[x]为x的有缘数．若x≥0，则[x]x﹣1；若x＜0，则[x]x+2．计算[3]+[﹣1]的结果为（　　） A．3.5 B．2.5 C．1.5 D．0.5 【答案】B 【分析】先根据新定义，求出[3]和[﹣1]的值，再代入求值即可． 【解答】解：∵若x≥0，则[x]x﹣1；若x＜0，则[x]x+2， ∴[3]，[﹣1]2.5， ∴[3]+[﹣1] ＝0+2.5 ＝2.5， 故选：B． 【例19】　（2024秋•扬中市校级月考）已知[x]表示不超过x的最大整数，如：[4.7]＝4，[﹣1.3]＝﹣2．现定义：{x}＝[x]﹣x，如{1.5}＝[1.5]﹣1.5＝﹣0.5，则　﹣0.8　 ． 【答案】﹣0.8/ 【分析】根据题意可得，进行计算即可得到答案． 【解答】解： ＝﹣0.5﹣0.5﹣（﹣0.2） ＝﹣0.8． 故答案为：﹣0.8． 【例20】　（2024秋•东城区校级期中）我们定义一种新运算，规定：图表示a﹣b+c，图形表示﹣x+y﹣z，则+的值为　﹣3　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】先认真读题，再根据列出算式，最后根据有理数的加法法则进行计算即可． 【解答】解：+ ＝2﹣3+4+（﹣5+6﹣7） ＝2﹣3+4﹣5+6﹣7 ＝﹣3， 故答案为：﹣3． 学科网（北京）股份有限公司 $