绝对值性质与几何意义 期中复习讲义 2026-2027学年人教版数学七年级上册

七年级数学（上）· 期中考点大串讲 绝对值的性质与几何意义的拓展运用 人教版 · 2026—2027 学年 · 上学期 【复习导语】绝对值是《有理数》一章的核心考点，也是期中考试的压轴常客。它既是化简有理数运算的“钥匙”，又承载着“数形结合”与“分类讨论”两大数学思想。本讲先系统通关知识，再以高频题型带练，最后限时检测，帮你把绝对值彻底学透。 一、考点精读 · 知识通关 考点1 绝对值的定义与求法 几何定义：数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值，记作 |a|。 代数定义：正数的绝对值是它本身；0 的绝对值是 0；负数的绝对值是它的相反数。 典例 考点2 绝对值的几何意义（重点） |a| 的几何意义：数 a 的点到原点的距离，故 |a| ≥ 0。 |a − b| 的几何意义：数轴上 a、b 两点之间的距离，故 |a − b| = |b − a|。 图1 |a| 表示数 a 的点到原点的距离 图2 |a − b| 表示数轴上 a、b 两点间的距离 考点3 绝对值的常用性质 ① 非负性：|a| ≥ 0； ② 对称性：|a| = |−a|（互为相反数的两数绝对值相等）； ③ 平方不变：|a|² = a²； ④ 积商：|ab| = |a|·|b|； ⑤ 两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 考点4 去绝对值的关键 —— 判断整体的符号 去绝对值时，把“绝对值内的整体”当成一个数，判断它是正、负还是 0，再决定“原样去号”还是“取相反数”。这是化简唯一关键的一步。 图3 由数轴读出 a>0、b<0、c<0，进而判断 a+b、a−c 的符号 考点5 几个非负数之和为 0 结论 若 |a| + (b − 1)² + … = 0，因为每一项都 ≥ 0，只能每一项都 = 0，从而分别求出各字母的值。 二、高频题型 · 典例精讲 【题型1】 利用数轴化简含绝对值的式子 典例 有理数 a、b、c 在数轴上位置如图3，化简 |a| − |a + b| + 2|c|。 思路：由图得 a>0，b<0 且 |b|>|a|，c<0，故 a+b<0、c<0。 变式 若 |a| = 5，|b| = 3，且 a < b，求 a + b 的所有可能值。 【题型2】 含字母绝对值的化简 —— 分类讨论 典例 化简：|x − 2|。 思路：绝对值内的整体 x−2 正负随 x 变化，需分类讨论。 点睛：含字母的绝对值，先找“零点”分段，再逐段去号，切勿直接写 |x−2| = x−2。 【题型3】 绝对值的非负性 典例 已知 |a − 1| + |b + 2| = 0，求 a + b 与 a − b。 思路：两个非负数之和为 0，则各为 0。由 |a−1|=0 得 a=1；由 |b+2|=0 得 b=−2。 【题型4】 数轴上两点距离与绝对值最值 典例 求 |x − 1| + |x + 3| 的最小值。 思路：|x−1| 是 x 到 1 的距离，|x+3|=|x−(−3)| 是 x 到 −3 的距离，x 在 −3 与 1 之间时和最小，等于两点距离。 规律：|x−a| + |x−b| 的最小值为 |a−b|，此时 x 取在 a、b 之间（含端点）。 【题型5】 含绝对值的运算与化简求值 典例 计算： 思路：先算乘方与绝对值——(−2)²=4，|−4|=4，|−6|=6。 【题型6】 含绝对值的方程（拓展） 典例 解方程：|x − 1| = 3。 思路：绝对值等于 3 的数有两个——3 与 −3，故 x−1=3 或 x−1=−3。 三、方法提炼 · 易错警示 1. 去号先定符号：去绝对值前必须先判断“整体”的正负，切忌把 |−a| 直接写成 −a（−a 不一定是负数）。 2. 分类讨论不重不漏：出现字母就找零点分段，边界（=0）单独说明。 3. 距离思维处理最值：把 |x−a| 看成“x 到 a 的距离”，多段距离之和的最小值等于两端点间的距离。 4. 非负性巧用：几个非负数相加为 0，只能各为 0，是求字母取值的高频入口。 5. 负数比大小：两个负数，绝对值大的反而小；先求绝对值再比较。 四、限时通关训练（建议 30 分钟） 一、选择题（每题 5 分） 1. −5 的绝对值是（ ） A. 5 B. −5 C. D. − 2. 若 |a| = a，则 a 一定是（ ） A. 正数 B. 负数 C. 非正数 D. 非负数 3. 数轴上表示 −2 与 5 的两点之间的距离是（ ） A. 3 B. 7 C. −7 D. −3 4. 若 |x| = 3，|y| = 2 且 x < y，则 x + y 的值为（ ） A. 1 B. −1 C. −1 或 −5 D. −5 5. 若 a < 0，则 |a| + |−a| 等于（ ） A. 0 B. 2a C. −2a D. 2a 或 −2a 二、填空题（每题 5 分） 6. 化简：|π − 3.14| = ______； 的相反数是 ______。 7. 若 |m − 2| + |n + 5| = 0，则 m·n = ______。 8. |x − 2| + |x + 4| 的最小值是 ______。 9. 已知 |a| = 5，|b| = 3，且 a > 0 > b，则 a − b = ______。 三、解答题（每题 10 分） 10. 已知 a、b、c 在数轴上如图3位置，化简 |a − c| − |a + b| + |c|。 11. 计算： 12. 若 |x − 2| = 5，求代数式 2x + 1 的值。 五、参考答案与解析 一、选择题 1. A。|−5| = 5。 2. D。|a| = a 说明 a 为非负数（含 0）。 3. B。|5 − (−2)| = 7。 4. C。由 x<y 得 x=−3，y=2 或 −2，故 x+y=−1 或 −5。 5. C。a<0 时 |a|=−a，|−a|=−a，和为 −2a。 二、填空题 6. π − 3.14 ； 。（π>3.14 故直接去号；|−| = ，其相反数为 。） 7. −10。（m = 2，n = −5，m·n = −10。） 8. 6。（最小值 = |2 − (−4)| = 6。） 9. 8。（a = 5，b = −3，a − b = 8。） 三、解答题 10. 由图知 a>0，b<0，c<0 且 |b|>|a|，故 a−c>0、a+b<0。 11. 先算乘方与绝对值：(−1)²=1，|3−5|=2，且 1÷|−½|=1÷½=2。 12. 由 |x−2|=5 得 x−2=5 或 x−2=−5，即 x=7 或 x=−3。 当 x=7 时 2x+1=15；当 x=−3 时 2x+1=−5。故 2x+1 的值为 15 或 −5。 2 2 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $