第2章·有理数运算·基础巩固·期中复习讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年人教版七年级数学上册

第2章·有理数运算·基础巩固·期中复习讲义 （知识梳理+典例+练习）2026-2027·人教版七年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 熟练掌握有理数乘除法的运算法则与符号法则 · 理解乘方的意义，掌握幂的符号判断与基本运算 · 会用科学记数法表示大数，会求近似数与精确度 · 掌握有理数混合运算的顺序与简便方法 · 会化简含绝对值的数轴问题，能解决新定义与生活实际运算问题 📚 知识梳理 ☆ 1.有理数的乘法与除法 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘都得0 几个不为0的数相乘，负因数个数为偶数时积为正，为奇数时积为负 除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数，0除以任何不为0的数都得0 乘积为1的两个数互为倒数，0没有倒数 概念辨析例题：计算：(-6)×(-3)× 答案：9 解析：三个因数中负因数有2个（偶数），积为正；6×3×=9，所以结果为9。 ☆ 2.有理数的乘方 求n个相同因数的积的运算叫乘方，an中a叫底数，n叫指数 正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数 -an与(-a)n不同：前者是先乘方再取相反数，后者是底数为-a的乘方 1的任何次幂都是1，0的正整数次幂都是0 概念辨析例题：计算：(-2)3和-23 答案：-8，-8 解析：(-2)3表示3个-2相乘，结果为-8；-23表示23的相反数，23=8，所以也为-8。 ☆ 3.科学记数法与近似数 科学记数法：把一个大于10的数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为正整数 n等于原数的整数位数减1 近似数的精确度：精确到哪一位就看哪一位的下一位，用四舍五入法 科学记数法中a×10n的精确度取决于a的末位所在数位 概念辨析例题：用科学记数法表示 1560000，并把 3.14159 精确到千分位 答案：1.56×106；3.142 解析：1560000的整数位有7位，所以n=6，写作1.56×106；3.14159精确到千分位，看万分位5，四舍五入得3.142。 ☆ 4.有理数的混合运算 运算顺序：先乘方，再乘除，后加减；有括号先算括号里面的 同级运算从左到右依次进行 灵活运用运算律：加法交换律结合律、乘法交换律结合律分配律简化计算 除以一个数等于乘它的倒数，把除法统一为乘法后可用运算律 概念辨析例题：计算：-14-×(2-(-3)2) 答案：- 解析：(-3)2=9，2-9=-7；×(-7)=-；-14=-1；-1-(-)=-1+=。 ☆ 5.新定义运算与数轴综合 新定义运算：按题目给定的新运算规则代入计算，注意运算顺序 取整符号[x]表示不超过x的最大整数，负数取整要向左取 数轴上两点距离=|a-b|，化简含绝对值式子先判断正负 实际问题（温差、时差、质量等）转化为有理数运算求解 概念辨析例题：定义新运算a★b=a×b-a-b，计算3★(-2)的值 答案：1 解析：3★(-2)=3×(-2)-3-(-2)=-6-3+2=-7。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 乘法法则 同号得正异号得负，绝对值相乘 任何数乘0得0 除法法则 除以一个数等于乘它的倒数 0不能作除数 乘方 an=n个a相乘 负数的奇次幂负偶次幂正 科学记数法 a×10n，1≤|a|<10 n=整数位数-1 近似数 四舍五入到指定数位 看清精确到哪一位 混合运算 先乘方再乘除后加减 括号优先，同级从左到右 取整符号 [x]=不超过x的最大整数 负数向左取整 数轴距离 AB=|a-b| 化简前先判正负 ⚠️ 核心考点 【考点1】有理数的乘除运算与符号法则（第1-7题） · 积的符号看负因数个数：偶数个负号为正，奇数个负号为负 · 乘积为负时，正数个数与负数个数相互确定，用符号法则判断 · 除法化乘法：除以一个数等于乘它的倒数，再统一约分 · 新定义运算与阅读题：先读懂规则，再按规则逐步计算 1．（23-24七年级上·山东济宁·阶段检测）在，，，，，中，负数的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正负数的定义、有理数的乘方运算 2．（23-24七年级上·安徽六安·期中）已知，，，请计算的结果为(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数的加减混合运算 3．（25-26七年级上·河北唐山·期末）能被6整除的数是（） A．111 B．444 C．555 D．777 【答案】B 【知识点】有理数的除法运算 4．（24-25七年级上·广东广州·期中）定义新运算“★”，，则______． 【答案】16 【知识点】两个有理数的乘法运算 5．（25-26七年级上·湖北荆门·期中）a是不为2的有理数，我们把称为a的“哈利数”，如3的“哈利数”是，的“哈利数”是，已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，…，依此类推，则为________． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索 6．（19-20七年级上·云南丽江·期末）阅读：计算 解：原式① ② ③ 回答： (1)上面解题过程中有两处出现了错误：第一处是第 步，错误原因是 ；第二处是 步，错误原因是 ． (2)这个计算题的正确结果应是什么？ (2) 【知识点】有理数乘除混合运算 7．（23-24七年级上·广西河池·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数的加减混合运算、含乘方的有理数混合运算 【考点2】有理数的乘方与幂运算（第8-15题） · 判断幂的符号：底数为负数看指数奇偶，底数为正数结果必正 · 区分(-a)n与-an：前者底数含负号，后者先乘方再取相反数 · 进位制问题：十进制逢十进一，二进制逢二进一，按位权展开 · 计算乘方时先算幂再算乘除，注意运算顺序 8．（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）把写成省略加号的和的形式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】省略加法和括号的形式 9．（25-26七年级上·广东珠海·期末）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．对于任何一种进制，进制就表示某一位置上的数运算时是逢进一位，进制表示的数中，右起第一位上的1表示，第二位上的1表示，第三位上的1表示，第四位上的1表示．故，其中．例如：，因此转化为十进制数是11．则转化为十进制数是（   ） A．1403 B．233 C．228 D．225 【答案】C 【知识点】乘方的应用 10．（25-26七年级上·河北邢台·阶段检测）计算机中常用的十六进制是一种逢进1的计数制，采用数字和字母共16个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如表： 例如，用十六进制表示，用十进制表示也就是，则用十六进制表示为（    ） A． B．2D C．6 D．210 【答案】A 【知识点】两个有理数的乘法运算 11．（2.6 有理数的乘方（6大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂（苏科版2024））计算： （1）____； （2）____． 【答案】 【知识点】有理数的乘方运算 12．（22-23七年级上·全国·期末）计算： ______． 【答案】4 【知识点】有理数的减法运算、有理数的乘方运算 13．（25-26七年级上·山西朔州·期中）计算机中常用的十六进制是逢16进1的记数制，采用数字0～9和字母A～F共16个记数符号，这些记数符号与十进制的数之间的对应关系如表所示： 例如：十进制中的，可用十六进制表示为；在十六进制中，等．由上可知，在十六进制中，______．（运算结果用十六进制表示） 【答案】 【知识点】两个有理数的乘法运算、有理数的除法运算 14．（20-21六年级上·山东淄博·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数乘除混合运算、含乘方的有理数混合运算 15．（25-26七年级上·山东·期末）计算：． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【考点3】科学记数法与近似数（第16-24题） · 确定科学记数法指数n=整数位数-1，a的绝对值在1到10之间 · 含亿、万等单位的大数：先写出完整数字再转换 · 近似数看精确度：精确到哪一位，看下一位四舍五入 · 科学记数法表示的数的精确度看a的末位所在数位 16．（25-26七年级上·全国·期中）染色体是细胞核中遗传物质的载体，由于易被碱性染料染成深色而命名．据报道，1号染色体共有超过245000000个碱基对，将245000000用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 17．（2025·江苏南京·一模）百年大计，教育为本．年，我国全年一般公共预算教育支出约为元．用科学记数法表示是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 18．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）目前东台沿海拥有1560000亩滩涂，数据1560000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 19．（24-25七年级上·陕西渭南·期末）我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星，它的高度大约是米．将数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 20．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）“东风”液体洲际战略核导弹是我国战略反击体系中的重要组成，打击范围覆盖全球，导弹在末段攻击时，速度可达约公里/小时．将数据用科学记数法表示为__________． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 21．（25-26九年级下·重庆巫山·阶段检测）2026年清明假期，重庆旅游热度位居全国第一，4月4日至4月6日期间，全市共接待游客58000000人次．数据58000000用科学记数法可表示为_____． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 22．（24-25九年级下·上海浦东新·阶段检测）公司开发了一款先进的人工智能模型，其训练参数量达到175亿个，将175亿表示为科学记数法为______个． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 23．（23-24七年级上·陕西商洛·期末）柞水县地表水年总流量654000000立方米，被中国气象局授予“中国天然氧吧”的称号．将654000000用科学记数法表示为_______． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 24．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段检测）是一种基于深度学习的自然语言处理模型，它的参数量巨大．截至2024年1月的参数量已经超过200亿．将200亿用科学记数法表示为_______． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【考点4】有理数混合运算（第25-41题） · 严格按顺序：括号→乘方→乘除→加减，同级从左到右 · 乘除混合统一为乘法，利用运算律简化（分配律、结合律） · 含分数乘除：先约分再计算，符号提前确定 · 含乘方的混合运算：先算幂，注意-14与(-1)4的区别 25．（24-25七年级上·浙江温州·期中）下列说法正确的是（   ） A．近似数精确到万位 B．近似数精确到百分位 C．近似数精确到千位 D．近似数万精确到百位 【答案】D 【知识点】求近似数的精确度 26．（24-25七年级上·全国·单元复习）下列运算中结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】有理数加法运算、有理数的减法运算 27．（23-24七年级上·广东广州·期中）已知，若，则________． 【答案】 【知识点】有理数加法运算律、有理数的乘方运算 28．（25-26七年级上·河北保定·阶段检测）比高的温度是______ 【答案】 【知识点】有理数加法在生活中的应用 29．（25-26七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）________． 【答案】 【知识点】有理数的乘方运算 30．（24-25七年级上·全国·单元复习）中考新趋势·一题多问：是最小的正整数，是最小的非负数，表示大于且小于3的整数的个数，则________；_________． 【答案】 6 7 【知识点】有理数的分类、有理数的加减混合运算 31．（26-27七年级上·湖南永州·阶段检测）计算：_______． 【答案】/ 【知识点】有理数加法运算 32．（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）的倒数是______． 【答案】/ 【知识点】倒数 33．（25-26七年级上·河南开封·期中），则__． 【答案】 【知识点】绝对值非负性、有理数的乘方运算 34．（23-24七年级上·江苏南通·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)0； (4)7． 【知识点】含乘方的有理数混合运算 35．（23-24七年级上·陕西渭南·阶段检测）计算：． 【答案】 【知识点】有理数乘法运算律、有理数的除法运算 36．（24-25七年级上·广西南宁·阶段检测）计算：． 【答案】7 【知识点】含乘方的有理数混合运算 37．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【知识点】有理数加法运算、有理数的减法运算、有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算 38．（23-24七年级上·福建三明·阶段检测）用适当的方法计算下列各式： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数加法运算、有理数的减法运算、有理数的加减混合运算 39．（23-24七年级上·湖北襄阳·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)9.5 【知识点】有理数加减中的简便运算、含乘方的有理数混合运算 40．（24-25七年级上·重庆秀山·阶段检测）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数乘法运算律、含乘方的有理数混合运算 41．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）计算： 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【考点5】数轴化简与综合应用（第42-52题） · 数轴化简：先由数轴判断a、b、c的正负与大小，再去绝对值符号 · 新定义运算：按规则代入，注意括号与运算顺序 · 实际问题：温差=最高温-最低温，时差按正负号相加，身高差等先定基准 · 规律探究：先算前几项观察变化，再归纳一般结论并验证 42．（23-24六年级上·上海·阶段检测）甲跑100米用15秒，乙跑80米用13秒，则甲的速度比乙的速度（     ） A．快 B．慢 C．一样快 D．无法判断 【答案】A 【知识点】有理数大小比较的实际应用、有理数除法的应用 43．（24-25七年级上·广西南宁·阶段检测）西汉时的数学著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数．三国时大数学家刘徽在《九章算术注》中用赤、黑色的算筹（注：小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（本试卷用白色表示正数，黑色表示负数），并完善了正负数加减方法，图1所表示的是的计算过程，则图2所表示的计算过程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】有理数加法运算 44．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）把一个底面半径是5厘米的圆锥，完全浸没在一个底面直径是20厘米的圆柱形水槽中（如图），取出圆锥后，水面下降了3厘米，这个圆锥高（   ）． A．6 B．12 C．36 D．48 【答案】C 【知识点】含乘方的有理数混合运算、求圆锥的高、 圆柱的体积 45．（22-23七年级上·广东广州·开学考试）在小数的乘法中，一个因数的小数点向左移动一位，另一个因数的小数点向右移动两位，则积变为原来的（　　） A． B．倍 C．倍 D． 【答案】B 【知识点】两个有理数的乘法运算 46．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）将有理数a，b，c表示在数轴上如图所示，那么化简式子的结果是______． 【答案】 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、有理数的加减混合运算 47．（22-23七年级上·广东湛江·期中）某地一周内每天的最高气温与最低气温记录如下表，通过观察与计算，你会发现：周_____的温差最大，周_____的温差最小． 【答案】 日 一 【知识点】有理数减法的实际应用 48．（24-25九年级下·重庆·阶段检测）对于一个四位自然数M，其各个数位上的数字互不相同且均不为0，若满足个位数字与百位数字之差等于千位数字与十位数字之差的两倍，则称它为“缤纷数”，并规定等于M的前两位数所组成的数字与后两位数所组成的数字之差．记“缤纷数”，若为完全平方数，则__ ；在前面的条件下，令，若为整数，则满足条件的M最大值与最小值之差为__ ． 【答案】 4040 【知识点】有理数除法的应用、整式加减的应用 ①；②；③；④． 【答案】④ 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、绝对值的几何意义、有理数加法运算、两个有理数的乘法运算 49．（25-26七年级上·全国·期中）某种植物成活的主要条件是该地区的四季温差（最高气温与最低气温的差）不得超过，若不考虑其他因素，如表中的四个地区中，哪个地区最适合大面积栽培这种植物？ 【答案】B地区最适合大面积栽培这种植物 【知识点】正负数的实际应用、有理数减法的实际应用 50．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）观察下列两组算式： ①与； ②与． (1)每组两个算式的结果是否相等？ (2)根据（1）的结果猜想等于什么？ (3)用（2）的结论计算． 【答案】(1)相等； (2)； (3)1 【知识点】两个有理数的乘法运算、有理数的乘方运算 51．（25-26七年级上·山东青岛·阶段检测）下表列出了国外几个城市与北京的时差（带正号的数表示同一时刻比北京时间早的时数） (1)如果北京时间14：00，那么三个地区的时间分别是多少？ (2)如果小明想给远在纽约旅游的爸爸打电话，他在北京时间下午2：00打电话，你认为合适吗？说明理由 【答案】(1)纽约时间为1：00，巴黎时间为7：00，东京时间为15：00 (2) 解：由（1）知，纽约时间此时为凌晨1点， ∴不合适． 【知识点】正负数的实际应用、有理数加法在生活中的应用 52．（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）有理数a，b，c在数轴上的对应点位置如图所示， (1)判断：_______，_______，_______；（填“”、“”或“”） (2)化简式子：． 【答案】(1)，， (2) 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算 💯 课后巩固 复习建议 · 复习乘除法符号法则：积的符号由负因数个数决定，除法化为乘法 · 掌握乘方意义与幂符号判断，区分(-a)n与-an · 熟练科学记数法与近似数，注意精确度的判断方法 · 混合运算严格按顺序，学会用运算律简化计算 · 多做新定义运算与数轴综合题，注意符号与绝对值化简 【作业1】．（24-25七年级上·河南商丘·期中）如果3个有理数的乘积为负数，那么这3个有理数中正数有（   ） A．0个或1个 B．1个或2个 C．0个或2个 D．2个或3个 【答案】C 【知识点】多个有理数的乘法运算 【作业2】．（23-24七年级上·河北秦皇岛·期中）下列乘方运算中幂为负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正负数的定义、有理数的乘方运算 【作业3】．（25-26七年级上·江苏南通·期中）上半年某市消费品零售总额89.92亿元，将亿精确到亿位，用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数、求一个数的近似数 【作业4】．（25-26七年级上·天津河西·期末）计算的结果等于（   ） A． B．4 C． D．3 【答案】D 【知识点】有理数的除法运算 【作业5】．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简后的结果为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算 【作业6】．（25-26七年级上·安徽阜阳·阶段检测）已知，为有理数，定义新运算：解决下列问题： （1）计算：______； （2）计算：______． 【答案】 0 【知识点】有理数四则混合运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【作业7】．（24-25七年级上·广西南宁·阶段检测）的底数为______． 【答案】 【知识点】有理数幂的概念理解 【作业8】．（25-26七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）有理数1.3429精确到千分位的近似数为______． 【答案】1.343 【知识点】求一个数的近似数 【作业9】．（23-24六年级下·上海虹口·期末）计算：______． 【答案】9 【知识点】有理数的乘方运算 【作业10】．（21-22七年级上·广西河池·阶段检测）初一数学平均分是82分，小明考了90分，记作分，小军考了80分，应记作 __分，小红的成绩记作分，她考了 __分． 【答案】 77 【知识点】正负数的实际应用、有理数减法的实际应用 【作业11】．（25-26七年级上·江苏南京·期中）若规定表示不超过的最大整数，例如若，，则在此规定下的值为__________． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算 【作业12】．（25-26九年级上·山东日照·阶段检测）据国内产品榜统计数据，某款搜索工具在上线仅天后，其日活跃用户数迅速突破两千万大关，达．将数据用科学记数法表示为______． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【作业13】．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数乘法运算律、含乘方的有理数混合运算 【作业14】．（21-22六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）某地区高度每增加米，气温降低，小美和小加想出一个测量山峰高度的办法，小美在山脚，小加在山顶，她们在同一时刻测得山脚温度是，山顶温度是． (1)求山峰的高度； (2)小美和小加分别从山脚和山顶同时出发，小美的速度是米/分，小加的速度是米/分，多长时间小美和小加相遇？ 【答案】(1)山峰高度为米 (2)分钟后小美和小加相遇 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【作业15】．（25-26七年级上·辽宁铁岭·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)0 (4) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【作业16】．（专题04 有理数的除法（计算题专项训练）数学北师大版2024七年级上册）计算： 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算 【作业17】．（23-24七年级上·山东青岛·阶段检测）下表是某气象小组记录的5月20日至24日每天最高气温的变化情况，且19日的最高气温为（＋表示气温比前一天升高，－表示气温比前一天降低） (1)请计算出5月22日的最高气温 (2)这五天中哪一天气温最高？哪一天气温最低？ 【答案】(1)31℃ (2)22日气温最高，21日气温最低 【知识点】有理数加减混合运算的应用 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章·有理数运算·基础巩固·期中复习讲义 （知识梳理+典例+练习）2026-2027·人教版七年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 熟练掌握有理数乘除法的运算法则与符号法则 · 理解乘方的意义，掌握幂的符号判断与基本运算 · 会用科学记数法表示大数，会求近似数与精确度 · 掌握有理数混合运算的顺序与简便方法 · 会化简含绝对值的数轴问题，能解决新定义与生活实际运算问题 📚 知识梳理 ☆ 1.有理数的乘法与除法 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘都得0 几个不为0的数相乘，负因数个数为偶数时积为正，为奇数时积为负 除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数，0除以任何不为0的数都得0 乘积为1的两个数互为倒数，0没有倒数 概念辨析例题：计算：(-6)×(-3)× 答案：9 解析：三个因数中负因数有2个（偶数），积为正；6×3×=9，所以结果为9。 ☆ 2.有理数的乘方 求n个相同因数的积的运算叫乘方，an中a叫底数，n叫指数 正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数 -an与(-a)n不同：前者是先乘方再取相反数，后者是底数为-a的乘方 1的任何次幂都是1，0的正整数次幂都是0 概念辨析例题：计算：(-2)3和-23 答案：-8，-8 解析：(-2)3表示3个-2相乘，结果为-8；-23表示23的相反数，23=8，所以也为-8。 ☆ 3.科学记数法与近似数 科学记数法：把一个大于10的数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为正整数 n等于原数的整数位数减1 近似数的精确度：精确到哪一位就看哪一位的下一位，用四舍五入法 科学记数法中a×10n的精确度取决于a的末位所在数位 概念辨析例题：用科学记数法表示 1560000，并把 3.14159 精确到千分位 答案：1.56×106；3.142 解析：1560000的整数位有7位，所以n=6，写作1.56×106；3.14159精确到千分位，看万分位5，四舍五入得3.142。 ☆ 4.有理数的混合运算 运算顺序：先乘方，再乘除，后加减；有括号先算括号里面的 同级运算从左到右依次进行 灵活运用运算律：加法交换律结合律、乘法交换律结合律分配律简化计算 除以一个数等于乘它的倒数，把除法统一为乘法后可用运算律 概念辨析例题：计算：-14-×(2-(-3)2) 答案：- 解析：(-3)2=9，2-9=-7；×(-7)=-；-14=-1；-1-(-)=-1+=。 ☆ 5.新定义运算与数轴综合 新定义运算：按题目给定的新运算规则代入计算，注意运算顺序 取整符号[x]表示不超过x的最大整数，负数取整要向左取 数轴上两点距离=|a-b|，化简含绝对值式子先判断正负 实际问题（温差、时差、质量等）转化为有理数运算求解 概念辨析例题：定义新运算a★b=a×b-a-b，计算3★(-2)的值 答案：1 解析：3★(-2)=3×(-2)-3-(-2)=-6-3+2=-7。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 乘法法则 同号得正异号得负，绝对值相乘 任何数乘0得0 除法法则 除以一个数等于乘它的倒数 0不能作除数 乘方 an=n个a相乘 负数的奇次幂负偶次幂正 科学记数法 a×10n，1≤|a|<10 n=整数位数-1 近似数 四舍五入到指定数位 看清精确到哪一位 混合运算 先乘方再乘除后加减 括号优先，同级从左到右 取整符号 [x]=不超过x的最大整数 负数向左取整 数轴距离 AB=|a-b| 化简前先判正负 ⚠️ 核心考点 【考点1】有理数的乘除运算与符号法则（第1-7题） · 积的符号看负因数个数：偶数个负号为正，奇数个负号为负 · 乘积为负时，正数个数与负数个数相互确定，用符号法则判断 · 除法化乘法：除以一个数等于乘它的倒数，再统一约分 · 新定义运算与阅读题：先读懂规则，再按规则逐步计算 1．（23-24七年级上·山东济宁·阶段检测）在，，，，，中，负数的个数为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·安徽六安·期中）已知，，，请计算的结果为(　　) A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·河北唐山·期末）能被6整除的数是（） A．111 B．444 C．555 D．777 4．（24-25七年级上·广东广州·期中）定义新运算“★”，，则______． 5．（25-26七年级上·湖北荆门·期中）a是不为2的有理数，我们把称为a的“哈利数”，如3的“哈利数”是，的“哈利数”是，已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，…，依此类推，则为________． 6．（19-20七年级上·云南丽江·期末）阅读：计算 解：原式① ② ③ 回答： (1)上面解题过程中有两处出现了错误：第一处是第 步，错误原因是 ；第二处是 步，错误原因是 ． (2)这个计算题的正确结果应是什么？ 7．（23-24七年级上·广西河池·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【考点2】有理数的乘方与幂运算（第8-15题） · 判断幂的符号：底数为负数看指数奇偶，底数为正数结果必正 · 区分(-a)n与-an：前者底数含负号，后者先乘方再取相反数 · 进位制问题：十进制逢十进一，二进制逢二进一，按位权展开 · 计算乘方时先算幂再算乘除，注意运算顺序 8．（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）把写成省略加号的和的形式为（     ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级上·广东珠海·期末）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．对于任何一种进制，进制就表示某一位置上的数运算时是逢进一位，进制表示的数中，右起第一位上的1表示，第二位上的1表示，第三位上的1表示，第四位上的1表示．故，其中．例如：，因此转化为十进制数是11．则转化为十进制数是（   ） A．1403 B．233 C．228 D．225 10．（25-26七年级上·河北邢台·阶段检测）计算机中常用的十六进制是一种逢进1的计数制，采用数字和字母共16个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如表： 例如，用十六进制表示，用十进制表示也就是，则用十六进制表示为（    ） A． B．2D C．6 D．210 11．（2.6 有理数的乘方（6大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂（苏科版2024））计算： （1）____； （2）____． 12．（22-23七年级上·全国·期末）计算： ______． 13．（25-26七年级上·山西朔州·期中）计算机中常用的十六进制是逢16进1的记数制，采用数字0～9和字母A～F共16个记数符号，这些记数符号与十进制的数之间的对应关系如表所示： 例如：十进制中的，可用十六进制表示为；在十六进制中，等．由上可知，在十六进制中，______．（运算结果用十六进制表示） 14．（20-21六年级上·山东淄博·期末）计算： (1) (2) 15．（25-26七年级上·山东·期末）计算：． 【考点3】科学记数法与近似数（第16-24题） · 确定科学记数法指数n=整数位数-1，a的绝对值在1到10之间 · 含亿、万等单位的大数：先写出完整数字再转换 · 近似数看精确度：精确到哪一位，看下一位四舍五入 · 科学记数法表示的数的精确度看a的末位所在数位 16．（25-26七年级上·全国·期中）染色体是细胞核中遗传物质的载体，由于易被碱性染料染成深色而命名．据报道，1号染色体共有超过245000000个碱基对，将245000000用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 17．（2025·江苏南京·一模）百年大计，教育为本．年，我国全年一般公共预算教育支出约为元．用科学记数法表示是（   ） A． B． C． D． 18．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）目前东台沿海拥有1560000亩滩涂，数据1560000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 19．（24-25七年级上·陕西渭南·期末）我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星，它的高度大约是米．将数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 20．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）“东风”液体洲际战略核导弹是我国战略反击体系中的重要组成，打击范围覆盖全球，导弹在末段攻击时，速度可达约公里/小时．将数据用科学记数法表示为__________． 21．（25-26九年级下·重庆巫山·阶段检测）2026年清明假期，重庆旅游热度位居全国第一，4月4日至4月6日期间，全市共接待游客58000000人次．数据58000000用科学记数法可表示为_____． 22．（24-25九年级下·上海浦东新·阶段检测）公司开发了一款先进的人工智能模型，其训练参数量达到175亿个，将175亿表示为科学记数法为______个． 23．（23-24七年级上·陕西商洛·期末）柞水县地表水年总流量654000000立方米，被中国气象局授予“中国天然氧吧”的称号．将654000000用科学记数法表示为_______． 24．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段检测）是一种基于深度学习的自然语言处理模型，它的参数量巨大．截至2024年1月的参数量已经超过200亿．将200亿用科学记数法表示为_______． 【考点4】有理数混合运算（第25-41题） · 严格按顺序：括号→乘方→乘除→加减，同级从左到右 · 乘除混合统一为乘法，利用运算律简化（分配律、结合律） · 含分数乘除：先约分再计算，符号提前确定 · 含乘方的混合运算：先算幂，注意-14与(-1)4的区别 25．（24-25七年级上·浙江温州·期中）下列说法正确的是（   ） A．近似数精确到万位 B．近似数精确到百分位 C．近似数精确到千位 D．近似数万精确到百位 26．（24-25七年级上·全国·单元复习）下列运算中结果正确的是（   ） A． B． C． D． 27．（23-24七年级上·广东广州·期中）已知，若，则________． 28．（25-26七年级上·河北保定·阶段检测）比高的温度是______ 29．（25-26七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）________． 30．（24-25七年级上·全国·单元复习）中考新趋势·一题多问：是最小的正整数，是最小的非负数，表示大于且小于3的整数的个数，则________；_________． 31．（26-27七年级上·湖南永州·阶段检测）计算：_______． 32．（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）的倒数是______． 33．（25-26七年级上·河南开封·期中），则__． 34．（23-24七年级上·江苏南通·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 35．（23-24七年级上·陕西渭南·阶段检测）计算：． 36．（24-25七年级上·广西南宁·阶段检测）计算：． 37．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 38．（23-24七年级上·福建三明·阶段检测）用适当的方法计算下列各式： (1) (2) (3) (4) 39．（23-24七年级上·湖北襄阳·期末）计算： (1)； (2)． 40．（24-25七年级上·重庆秀山·阶段检测）计算： (1) (2) 41．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）计算： 【考点5】数轴化简与综合应用（第42-52题） · 数轴化简：先由数轴判断a、b、c的正负与大小，再去绝对值符号 · 新定义运算：按规则代入，注意括号与运算顺序 · 实际问题：温差=最高温-最低温，时差按正负号相加，身高差等先定基准 · 规律探究：先算前几项观察变化，再归纳一般结论并验证 42．（23-24六年级上·上海·阶段检测）甲跑100米用15秒，乙跑80米用13秒，则甲的速度比乙的速度（     ） A．快 B．慢 C．一样快 D．无法判断 43．（24-25七年级上·广西南宁·阶段检测）西汉时的数学著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数．三国时大数学家刘徽在《九章算术注》中用赤、黑色的算筹（注：小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（本试卷用白色表示正数，黑色表示负数），并完善了正负数加减方法，图1所表示的是的计算过程，则图2所表示的计算过程是（   ） A． B． C． D． 44．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）把一个底面半径是5厘米的圆锥，完全浸没在一个底面直径是20厘米的圆柱形水槽中（如图），取出圆锥后，水面下降了3厘米，这个圆锥高（   ）． A．6 B．12 C．36 D．48 45．（22-23七年级上·广东广州·开学考试）在小数的乘法中，一个因数的小数点向左移动一位，另一个因数的小数点向右移动两位，则积变为原来的（　　） A． B．倍 C．倍 D． 46．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）将有理数a，b，c表示在数轴上如图所示，那么化简式子的结果是______． 47．（22-23七年级上·广东湛江·期中）某地一周内每天的最高气温与最低气温记录如下表，通过观察与计算，你会发现：周_____的温差最大，周_____的温差最小． 48．（24-25九年级下·重庆·阶段检测）对于一个四位自然数M，其各个数位上的数字互不相同且均不为0，若满足个位数字与百位数字之差等于千位数字与十位数字之差的两倍，则称它为“缤纷数”，并规定等于M的前两位数所组成的数字与后两位数所组成的数字之差．记“缤纷数”，若为完全平方数，则__ ；在前面的条件下，令，若为整数，则满足条件的M最大值与最小值之差为__ ． ①；②；③；④． 49．（25-26七年级上·全国·期中）某种植物成活的主要条件是该地区的四季温差（最高气温与最低气温的差）不得超过，若不考虑其他因素，如表中的四个地区中，哪个地区最适合大面积栽培这种植物？ 50．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）观察下列两组算式： ①与； ②与． (1)每组两个算式的结果是否相等？ (2)根据（1）的结果猜想等于什么？ (3)用（2）的结论计算． 51．（25-26七年级上·山东青岛·阶段检测）下表列出了国外几个城市与北京的时差（带正号的数表示同一时刻比北京时间早的时数） (1)如果北京时间14：00，那么三个地区的时间分别是多少？ (2)如果小明想给远在纽约旅游的爸爸打电话，他在北京时间下午2：00打电话，你认为合适吗？说明理由 52．（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）有理数a，b，c在数轴上的对应点位置如图所示， (1)判断：_______，_______，_______；（填“”、“”或“”） (2)化简式子：． 💯 课后巩固 复习建议 · 复习乘除法符号法则：积的符号由负因数个数决定，除法化为乘法 · 掌握乘方意义与幂符号判断，区分(-a)n与-an · 熟练科学记数法与近似数，注意精确度的判断方法 · 混合运算严格按顺序，学会用运算律简化计算 · 多做新定义运算与数轴综合题，注意符号与绝对值化简 【作业1】．（24-25七年级上·河南商丘·期中）如果3个有理数的乘积为负数，那么这3个有理数中正数有（   ） A．0个或1个 B．1个或2个 C．0个或2个 D．2个或3个 【作业2】．（23-24七年级上·河北秦皇岛·期中）下列乘方运算中幂为负数的是（    ） A． B． C． D． 【作业3】．（25-26七年级上·江苏南通·期中）上半年某市消费品零售总额89.92亿元，将亿精确到亿位，用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【作业4】．（25-26七年级上·天津河西·期末）计算的结果等于（   ） A． B．4 C． D．3 【作业5】．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简后的结果为（   ） A．0 B． C． D． 【作业6】．（25-26七年级上·安徽阜阳·阶段检测）已知，为有理数，定义新运算：解决下列问题： （1）计算：______； （2）计算：______． 【作业7】．（24-25七年级上·广西南宁·阶段检测）的底数为______． 【作业8】．（25-26七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）有理数1.3429精确到千分位的近似数为______． 【作业9】．（23-24六年级下·上海虹口·期末）计算：______． 【作业10】．（21-22七年级上·广西河池·阶段检测）初一数学平均分是82分，小明考了90分，记作分，小军考了80分，应记作 __分，小红的成绩记作分，她考了 __分． 【作业11】．（25-26七年级上·江苏南京·期中）若规定表示不超过的最大整数，例如若，，则在此规定下的值为__________． 【作业12】．（25-26九年级上·山东日照·阶段检测）据国内产品榜统计数据，某款搜索工具在上线仅天后，其日活跃用户数迅速突破两千万大关，达．将数据用科学记数法表示为______． 【作业13】．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【作业14】．（21-22六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）某地区高度每增加米，气温降低，小美和小加想出一个测量山峰高度的办法，小美在山脚，小加在山顶，她们在同一时刻测得山脚温度是，山顶温度是． (1)求山峰的高度； (2)小美和小加分别从山脚和山顶同时出发，小美的速度是米/分，小加的速度是米/分，多长时间小美和小加相遇？ 【作业15】．（25-26七年级上·辽宁铁岭·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【作业16】．（专题04 有理数的除法（计算题专项训练）数学北师大版2024七年级上册）计算： 【作业17】．（23-24七年级上·山东青岛·阶段检测）下表是某气象小组记录的5月20日至24日每天最高气温的变化情况，且19日的最高气温为（＋表示气温比前一天升高，－表示气温比前一天降低） (1)请计算出5月22日的最高气温 (2)这五天中哪一天气温最高？哪一天气温最低？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $