01有理数与有理数的运算 期中讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

期中讲义01有理数与有理数的运算（9大考点专练） 【考点一】正负数的意义与有理数分类（选择/填空） 【考点六】乘方运算与化简（易错题型） 【考点二】数轴的应用（选择/填空高频） 【考点七】有理数混合运算（期中压轴计算） 【考点三】相反数、绝对值化简与求值（重难点） 【考点八】科学记数法与近似数（填空必考） 【考点四】有理数大小比较（基础题型） 【考点九】有理数实际应用题（期中解答题） 【考点五】有理数四则简便运算（计算大题） 考点1 正数、负数与有理数分类（基础必考） 1. 基本定义 正数：大于0的数（可带“+”，也可省略）；负数：小于0的数（必须带“-”）；0既不是正数，也不是负数，是正负数的分界点。 相反意义的量：用正负数表示生活中意义相反的量（如收入与支出、上升与下降、向东与向西），需满足意义相反、具有数量两个要素。 2. 有理数分类（两种标准，期中高频考点） （1）按定义分类 整数：正整数、0、负整数 分数：正分数、负分数（有限小数、无限循环小数都属于分数，是有理数） 有理数 = 整数 + 分数 （2）按性质（符号）分类 正有理数：正整数、正分数 0（单独一类） 负有理数：负整数、负分数 易错提醒：无限不循环小数（如π）不是有理数；-a不一定是负数，+a不一定是正数。 考点2 数轴（工具性核心考点） 1. 数轴三要素 原点、正方向、单位长度，三者缺一不可，单位长度必须统一。 2. 数轴核心性质 所有有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数 数轴上右边的数总比左边的数大 正数在原点右侧，负数在原点左侧，0在原点处 考点3 相反数（高频基础考点） 1. 定义 只有符号不同的两个数互为相反数，相反数成对出现，单独一个数不能称为相反数。 2. 核心性质 0的相反数是0（唯一相反数等于自身的数） 数a的相反数是-a（a可为正数、负数、0） 互为相反数的两个数，在数轴上关于原点对称，到原点距离相等 若a、b互为相反数，则a+b=0（期中必考结论） 3. 多重符号化简 规则：负号个数为偶数，结果为正；负号个数为奇数，结果为负。与正号个数无关。 考点4 绝对值（重难点、易错点） 1. 定义 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|，距离非负，因此绝对值恒≥0。 2. 绝对值代数法则 若a＞0，则|a|=a（正数的绝对值是本身） 若a=0，则|a|=0（0的绝对值是0） 若a＜0，则|a|=-a（负数的绝对值是它的相反数） 3. 核心结论 绝对值最小的有理数是0 若|a|=|b|，则a=b或a=-b 任意有理数a，都有|a|≥0（非负性，常考求值题型） 考点5 有理数大小比较 1. 数轴法：右大左小（通用方法） 2. 法则法：正数＞0＞负数；两个负数比较，绝对值大的反而小（期中高频易错） 考点6 有理数的四则运算（核心计算考点） 1. 有理数加法 同号两数相加：取相同符号，绝对值相加 异号两数相加：取绝对值较大的数的符号，用大绝对值减小绝对值 互为相反数的两数相加得0；一个数加0仍得原数 加法运算律：交换律a+b=b+a；结合律(a+b)+c=a+(b+c) 2. 有理数减法 法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即a-b=a+(-b)（所有减法统一为加法计算） 3. 有理数乘法 两数相乘：同号得正，异号得负，绝对值相乘 任何数乘0得0；1乘任何数得原数，-1乘任何数得其相反数 多个非0数相乘：负因数个数为偶数，积为正；负因数个数为奇数，积为负 乘法运算律：交换律、结合律、分配律（简便运算必考） 4. 有理数除法 法则1：除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数，即a÷b=a×1/b（b≠0） 法则2：两数相除，同号得正，异号得负，绝对值相除；0除以任何非0数得0，0不能做除数 考点7 有理数的乘方（重难点） 1. 定义 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，结果叫做幂。aⁿ中，a是底数，n是指数，读作a的n次方。 2. 符号规律 正数的任何次幂都是正数 负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数 0的任何正整数次幂都是0；1的任何次幂都是1；-1的奇次幂是-1，偶次幂是1 易错区分：(-2)²=4，-2²=-4（底数不同，结果不同） 考点8 有理数混合运算（期中大题必考） 运算顺序（优先级从高到低）： 1.先乘方，再乘除，最后加减 2.同级运算，从左到右依次进行 3.有括号先算括号内，先小括号、再中括号、最后大括号 考点9 科学记数法与近似数（基础填空考点） 1. 科学记数法 把大数表示为a×10ⁿ（1≤|a|＜10，n为正整数），n=原数整数位数-1 2. 近似数 精确位数判断：普通数看最后一位；科学记数法看a的最后一位对应原数的位数 【考点一】正负数的意义与有理数分类（选择/填空） 1．（24-25七年级上·广东惠州·期中）温度上升记作“”，那么温度下降记作（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】相反意义的量 【分析】本题主要考查正负数的实际意义，熟练掌握正负数的实际意义是解题的关键．根据正负数的实际意义判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：温度下降记作． 故选D． 2．（24-25七年级上·四川自贡·期中）肥料口袋上标有，以下哪个重量（单位）是合格的（  ） A．52 B． C．49.25 D．50.12 【答案】D 【知识点】正负数的实际应用 【分析】本题考查了正数和负数在生活中的应用，有理数的加法和减法，熟悉相关性质是解题的关键． 根据有理数的加法和减法，可得合格范围，根据有理数的大小比较，可得答案． 【详解】解：一种面粉包装袋上的质量标识为“”，可知合格的范围是到， ，故不合格； ，故不合格； ，所以C 不合格； ，所以D合格； 故选：D． 3．（24-25七年级上·广东深圳·期中）三国时期的学者刘徽在建立负数的概念上有重大贡献．他明确提出了正负数的定义，指出在遇到具有相反意义的量时，要用正数和负数来区分它们．若收入元记作元，则元表示（　　） A．收入元 B．收入元 C．支出元 D．支出元 【答案】C 【知识点】相反意义的量 【分析】本题考查了正数和负数，利用正数和负数的意义解答即可求解，掌握正数和负数的意义是解题的关键． 【详解】解：∵收入元记作元， ∴元表示支出元． 故选：． 4．（24-25七年级上·福建漳州·期中）如果表示“上涨”，那么“下跌”可以记作______． 【答案】 【知识点】正负数的定义、相反意义的量 【分析】本题考查了正负数的意义，根据正负数表示一对意义相反的量即可求解，理解正负数的意义是解题的关键． 【详解】解：如果表示“上涨”，那么“下跌”可以记作， 故答案为：． 5．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）在足球比赛中，如果甲队进3个球，记作个，那么甲队失2个球，记作______个． 【答案】 【知识点】相反意义的量 【分析】此题考查了正负数的应用，根据正负数的意义解答即可，解题的关键是能准确理解正负数的意义和具有相反意义的量． 【详解】解：∵甲队进3个球，记作个， ∴甲队失2个球，记作个， 故答案为：． 6．（25-26七年级上·福建福州·期中）桌子上有8个杯口朝上的茶杯，每次翻转其中的4个，只要翻转2次，就能把它们全部翻成杯口朝下．如果将8个茶杯改为6个，每次任意翻转其中的4个，最少经过_____次翻转就能把它们全部翻成杯口朝下． 【答案】3 【知识点】正负数的实际应用 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，通过模拟翻转过程，用表示杯口朝上，表示杯口朝下，从初始状态开始，逐步翻转，找到使所有杯口朝下的最少次数即可． 【详解】解：设杯口朝上用“”表示，杯口朝下用“”表示， 初始状态全部杯口朝上，即为6个， 第一次翻转任意4个，变为4个和2个，即状态为：， 第二次翻转选择第2、3、4、5个杯子，翻转后状态为： ． 第三次翻转选择第2、3、4、6个杯子，翻转后状态为：，即全部杯口朝下． ∴最少翻转3次就能把它们全部翻成杯口朝下， 故答案为：3． 【考点二】数轴的应用（选择/填空高频） 7．（25-26七年级上·河南南阳·期中）如图，小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在数轴上，根据图中数值，可以确定墨迹盖住的所有整数的和是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数加法运算、数轴上整点覆盖问题 【分析】本题主要考查数轴，解题的关键是熟练掌握数轴上的点对应的数的规律．结合数轴找到与之间的整数，然后相加即可． 【详解】解：根据图中数值，确定墨迹盖住的数在与之间， ∴盖住的整数是， ∴所盖住的整数的和为： ． 故选：C． 8．（25-26七年级上·浙江台州·期中）如图所示的数轴单位长度为1，点，，，分别表示数，，，．若的值为6，则的值为（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是掌握数轴知识． 根据数轴可知，之间的距离为4，则，由此可以得出，的值，再根据数轴上，的位置，可以得出，的值，即可得出答案． 【详解】解：根据数轴可知，之间的距离为4，则， 又，    ， ，． ，． ． 故选：A． 9．（25-26七年级上·江西吉安·期中）如图，将刻度尺放在数轴上，让和刻度线分别与数轴上表示和的两点重合对齐，则数轴上与刻度线对齐的点表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查数轴与有理数，根据数轴的概念即可求解； 根据题意先判断出数轴的单位长度是，得到原点对应的刻度，即可求得数轴上与刻度线对齐的点表示的数． 【详解】解：∵和刻度分别与数轴上表示和的两点对齐， ∴数轴的单位长度是， ∴原点对应的刻度， ∴数轴上与刻度线对齐的点表示的数是， 故选：B． 10．（25-26七年级上·浙江温州·期中）如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对应刻度，点对齐刻度．则数轴上点所对应的数为(   ) A． B． C． D．1.8 【答案】A 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了数轴，根据刻度尺上的刻度与数轴上得单位长度的比值不变求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 11．（25-26七年级上·江西宜春·期中）数轴上点A表示的数为，点B到点A的距离为5，点C到点B距离为2（点C不在原点上），则点C表示的数为__________． 【答案】或或 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离 【分析】利用两点间的距离公式可以知道点表示的数为或，再由点C到点B距离为2（点C不在原点上），可得答案． 【详解】解：数轴上点A表示的数为，点B到点A的距离为5， 点表示的数为或， 点C到点B距离为2（点C不在原点上）， 点C表示的数为（舍去）或或或． 综上，点C表示的数为或或． 12．（25-26七年级上·山西临汾·期末）如图，点在同一条数轴上，其中点表示的数分别为，1，若，则点表示的数为___________． 【答案】0或4 【知识点】数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查数轴上线段的长度，通过确定点的不同位置，结合线段和差关系计算． 【详解】解：∵点、表示的数为、， ∴． 当点在线段上时： ∵，且， ∴，解得， ∴点表示的数为； 当点在线段的延长线上时： ∵，且， ∴，即， ∴点表示的数为； 当点在线段的延长线上时： 此时，与矛盾，故此情况不成立； 综上，点表示的数为或， 故答案为：或． 13．（25-26七年级上·浙江金华·期中）如图，A点的初始位置位于数轴上的原点，现对A点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至B点，第2次从B点向左移动4个单位长度至C点，第3次从C点向右移动7个单位长度至D点，第4次从D点向左移动10个单位长度至E点，…以此类推，移动5次后该点对应的数为 ___ ，这样移动2025次后该点到原点的距离为 ______ ． 【答案】 7 3037 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数字类规律探索、数轴上的规律探究 【分析】本题考查数轴、数字类规律探究，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键． 依次求出每次移动后点所对应的数，可得移动n(n为奇数）次后该点对应的数为（n为自然数）；再进一步根据发现的规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 移动1次后该点对应的数为1； 移动2次后该点对应的数为； 移动3次后该点对应的数为； 移动4次后该点对应的数为； 移动5次后该点对应的数为； 移动6次后该点对应的数为； …， 所以移动n(n为奇数）次后该点对应的数为（n为自然数）； 当时， ∴， 即移动2025次后该点对应的数为3037． 所以该点到原点的距离为3037． 故答案为：7，3037． 【考点三】相反数、绝对值化简与求值（重难点） 14．（25-26七年级上·四川成都·期中）若 a，b 互为相反数，c 为最大的负整数，则的值为____． 【答案】 【知识点】有理数的分类、相反数的定义、已知字母的值 ，求代数式的值、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了相反数的性质、最大负整数的概念、绝对值的运算，解题的关键是熟练掌握“互为相反数的两数和为0”“最大的负整数是”这些基础概念，再代入式子逐步计算． 先根据相反数性质得，确定最大负整数并计算，最后将值代入式子求出结果． 【详解】解：∵，互为相反数， ∴根据相反数性质，得； ∵为最大的负整数， ∴，则； 将、代入式子，得 故答案为：． 15．（25-26七年级上·四川达州·期中）在中，非负整数有个，分数有个，则值为_____． 【答案】1 【知识点】有理数的分类、带“非”字的有理数、化简多重符号、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了有理数分类、相反数、绝对值、代数式求值等知识点，掌握有理数的分类是解题的关键．先化简数字并分类，找出非负整数和分数的个数，从而确定a、b的值，再代入求值即可． 【详解】解：（分数）、（负整数）、（非负整数）、（非负整数）、（非负整数）、（非负整数）、（分数）、（分数）、（无理数，不是分数，也不是整数）， 综上，非负整数有 ，共 4 个， 分数有 ，共 3 个， 即， 则 ． 故答案为：1． 16．（24-25七年级上·云南红河·期末）如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，若相对的两个面上的数互为相反数，则的值为______． 【答案】 【知识点】相反数的定义、已知字母的值 ，求代数式的值、正方体相对两面上的字 【分析】本题主要考查了正方体展开图的特点，代数式求值，相反数的定义，正方体展开图中相对的面之间必定相隔一个小正方形，据此确定出相对面，再根据相反数的定义得到x与y的关系，z的值，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解：由题意得，数字z所在的面与数字2所在的面相对，数字x所在的面与数字y所在的面相对，数字6所在的面与数字所在的面相对， ∵若相对的两个面上的数互为相反数， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（25-26七年级上·辽宁盘锦·期中）（1）计算： （2）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为3，的值． 【答案】（1）；（2）或26 【知识点】相反数的定义、倒数、有理数乘法运算律、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了乘法分配律，代数式求值，相反数，倒数和绝对值的定义，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据乘法分配律求解即可； （2）互为相反数的两个数的和为0，互为倒数的两个数的乘积为1，再由绝对值的定义推出和的值，据此求解即可． 【详解】解：（1） ； （2）∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为3， ∴， 当时，， 当时，， 综上所述，的值为或26． 18．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）（1）已知和互为相反数，和互为倒数，是绝对值最小的有理数，求代数式的值． （2）当时，，求当时，的值． 【答案】（1）； （2） 【知识点】相反数的定义、倒数、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，相反数和倒数的定义，代数式求值，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）互为相反数的两个数的和为0，乘积为1的两个数互为倒数，绝对值最小的有理数是0，据此可得，，，再代值计算即可； （2）先根据题意得，再将代入得，然后整体代入求值即可． 【详解】解：（1）根据条件可知：，，， ∴； （2）∵当时，， ∴，即， ∴当时， ． 19．（25-26七年级上·贵州毕节·期中）已知a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示． (1)在数轴上标出a，c相反数的对应点的位置； (2)判断下列各式与0的大小：①________0；②________0；③________0；④________0； (3)化简式子：． 【答案】(1) 如图所示： (2)，，， (3) 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、相反数的定义、带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算 【分析】本题考查了数轴、相反数、绝对值的性质以及有理数的大小比较，解题的关键是根据数轴上点的位置判断数的正负及绝对值的大小关系． （1）根据相反数的定义，在数轴上找出，相反数的对应点； （2）依据数轴上，，的位置，判断数的正负及运算结果的符号； （3）根据绝对值的性质，判断绝对值内式子的正负，进而化简式子． 【详解】（1）略 （2）解：由数轴可知，且， ①因为、都是负数，且，所以， ②是正数，是负数，正数减负数等于正数加正数，所以， ③两个负数相乘，结果为正数，所以， ④是负数，是正数，异号两数相除，结果为负数，所以， 故答案为：，，，； （3）由数轴可知，且， ∴ ∴ ． 【考点四】有理数大小比较（基础题型） 20．（25-26七年级上·陕西西安·期中）是一个小于的整数，与，比较，大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题考查有理数的大小比较．由于 是小于 的整数，故 为负整数， 为正数， 为负分数且绝对值小于 1．比较三者大小，可得 ． 【详解】解：∵ ， ∴ 为负数，， 又 ∵ ， ∴ ，故，且， ∴ 为介于和之间的负数， ∵ ，， ∴ ， 又 ∵ ， ∴ ，且， ∴ ． 故选：C． 21．（25-26七年级上·全国·期中）下表记录了四个地区的最低海拔，其中海拔最低的地区是（   ） 死海 吐鲁番 乌鲁木齐 青岛 A．死海 B．吐鲁番 C．乌鲁木齐 D．青岛 【答案】A 【知识点】有理数大小比较的实际应用 【分析】本题考查了有理数的大小比较，通过比较四个地区海拔数值的大小，找出最小值，即可确定海拔最低的地区，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴ 海拔最低的地区是死海， 故选：A． 22．（25-26七年级上·山东德州·期中）已知a，b为有理数，，，且，将a，，b，从小到大排列，用“”连接：___________ 【答案】 【知识点】绝对值的几何意义、有理数大小比较 【分析】先区分四个数的正负，再根据绝对值比较同号数的大小，结合负数小于所有正数得到排序结果． 【详解】解：由题意得，，， 因此可得，， 比较两个负数：， 因此， 比较两个正数：， 因此， 综上所述，． 23．（24-25七年级上·北京·期中）比较大小（填“”、“”、“”）： ________；________；________． 【答案】 【知识点】化简多重符号、求一个数的绝对值、有理数大小比较 【分析】本题主要考查有理数的大小比较． 根据负数，绝对值大的反而小；先化简表达式，再比较大小即可． 【详解】解：比较和： ，， 由于，所以， 即． 比较和： ，， 由于，所以． 比较和： ，所以， ， 由于，所以． 故答案为：，，． 24．（25-26七年级上·湖北襄阳·期中）有理数、、在数轴上的位置如图所示，且． (1)填空：______；______；（用“”或“”或“”填空） (2)化简代数式：． 【答案】(1)； (2) 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、有理数大小比较、整式的加减运算 【分析】本题考查了数轴、绝对值的性质以及整式的加减运算，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． （1）根据数轴上、、的位置关系，判断、的正负； （2）先根据数轴确定绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后化简式子即可． 【详解】（1）解：由图可知，， ， ， ； 故答案为：；； （2）解：由图可知，， ， ， ， 原式 ． 【考点五】有理数四则简便运算（计算大题） 25．（24-25七年级上·广东揭阳·期中）计算：． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数带乘方的混合运算，关键是熟练应用运算法则解题； 先算乘方及绝对值化简、乘法分配律，最后算加减． 【详解】解：原式 ． 26．（25-26七年级上·辽宁盘锦·期中）（1）计算： （2）用简便方法计算： 【答案】 【知识点】有理数乘法运算律、有理数的乘方运算、有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，乘法分配律． （1）先算乘方，化简绝对值，再算乘除法，随后算加减法； （2）将原式化为，再根据乘法分配律计算． 【详解】解：（1）； （2）． 27．（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)5 (2) 【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查有理数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式将除法转换为乘法，再运用乘法分配律进行计算即可； （2）原式先计算乘方，再计算乘除法，最后进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 28．（25-26七年级上·四川达州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）先计算括号里的减法，再计算乘除即可； （2）先计算乘方，再计算括号里的加法，最后计算乘法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 29．（25-26七年级上·甘肃张掖·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4)7 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查有理数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式运用有理数加减法法则进行计算即可； （2）原式先计算乘方和绝对值，再计算乘除法，最后进行加减运算即可； （3）原式运用乘法分配律进行计算即可； （4）原式先计算乘方，再计算乘法和除法，最后进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 30．（25-26七年级上·海南海口·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）先算乘法，再算加法即可； （2）根据乘法分配律计算即可； （3）先变形，然后根据乘法分配律计算即可； （4）先算乘方和括号内的式子，再算括号外的除法，然后算减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 31．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)499 (2)7 (3)885 (4) 【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算、有理数乘除中的简便运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握乘法分配律及裂项法是解题的关键. （1）把写成，再运用乘法分配律计算即可； （2）把写成，再运用乘法分配律计算即可； （3）根据同分母分数加法运算法则进行计算，再变形，根据同分母分数加法运算法则，进行计算即可； （4）将原式变形为，然后裂项，再根据加法交换律和结合律，结合裂项法，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：                   ； （3）解： ； （4）解： ． 【考点六】乘方运算与化简（易错题型） 32．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）化简结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的运算是解题的关键． 先根据乘方的意义计算所要化简的式子，然后对各个选项进行判断即可． 【详解】解：， ，，选项的化简结果错误，选项的化简结果正确， 选项符合题意， 故选：． 33．（25-26七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）我们生活中常用的数是十进制，而计算机程序处理中使用的是只有数字0和1组成的二进制．这两者可以相互换算，将二进制数转换为十进制数时，需根据每一位数字的位置确定其对应的“权值”（从右往左第1位权值为，第2位为，第3位为，以此类推），再用每一位数字乘以对应的权值，最后将所有结果相加．例如：将二进制数101转换为十进制数，计算过程为（注：）．按照以上方式将二进制数10110换算成十进制数应该为（    ） A．20 B．21 C．24 D．22 【答案】D 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，根据题意．解题的关键是弄清二进制数转化为十进制数的计算方法． 【详解】解：. 故选：D． 34．（24-25七年级上·天津西青·期末）如图，每个小正方形的边长为1，观察图中阴影部分面积的计算方法与图形下方对应算式的计算规律，完成填空： （Ⅰ）写出最后一个图形中阴影部分的面积对应的算式及其结果：_______； （Ⅱ）根据以上观察，式子化简的结果为_______； （Ⅲ）结合以上规律，计算的结果为_______． 【答案】 40 【知识点】含乘方的有理数混合运算、用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题主要考查图形的变化规律，有理数的混合运算． （Ⅰ）分析所给的三个图形与算式即可求解； （Ⅱ）对上述的图形与算式进行总结即可； （Ⅲ）利用所得的规律进行求解即可． 【详解】解：（Ⅰ）∵，，，…， ∴所求的图形的算式为， 故答案为：； （Ⅱ）， 故答案为：； （Ⅲ）原式 故答案为：40． 35．（25-26七年级上·四川成都·期中）阅读理解：进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说：“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制．使用0至9十个数字记数时，几个数字排成一行，从右起，第一位是个位，个位上的数字是几就表示几个一；第二位是十位，十位上的数字是几就表示几个十；接着依次是百位、千位…．例如，十进制数中的3表示3个百，0表示0个十，4表示4个一，于是我们就可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式：．（规定当时，，304右下角的10代表以10为基数） 问题解决： (1)“二进制”是逢二进一，其各数位上的数字为0或1．请把二进制数表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式：___________； (2)一个位数为6位数的二进制数（此处研究对象为非负数）能表示的十进制数值范围___________； (3)计算（结果转化为十进制）：． 【答案】(1) (2)不小于32且不大于63 (3)259 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解不同进制的数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式是解答本题的关键． （1）根据题目介绍的方法表示即可； （2）分别求出最小和最大二进制的6位数转化后的结果即可； （3）先分别将和转化为十进制数，然后相加即可． 【详解】（1）， 故答案为：； （2）∵， ， ∴表示的十进制数值范围是不小于32且不大于63， 故答案为：不小于32且不大于63； （3）∵ ， ， ∴． 36．（25-26七年级上·北京延庆·期中）【阅读学习】给出如下规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”，记作，读作“的下4次方”一般地，把（个为大于等于2的整数）记作，读作“的下次方”． （1）直接写出计算结果：___________；___________； 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：． （2）仿照上面的算式，将下列运算结果写成幂的形式：___________，___________； 【探索应用】（3）计算：． 【答案】（1），2；（2），；（3）33 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，除方的定义，正确理解除方的定义是解题的关键． （1）根据除方的定义求解即可； （2）仿照题干的方法求解即可； （3）先计算出和的结果，再计算乘方，接着计算乘除法，最后计算减法即可得到答案． 【详解】解：（1）； ； （2）； ； （3） ， ， ∴ ． 37．（24-25七年级上·广东深圳·期中）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等． 类比有理数的乘方，我们把记作，读作2的圈3次方，记作，读作的圈4次方． 【初步探究】（1）直接写出计算结果：_____，______． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，则有理数的除方运算也可以按如图所示的方式转化为乘法运算． 【探究应用】（2）试一试：仿照图中算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式： ______，=_______，=______（其中，n为正整数）． （3）请利用（2）中结论计算： ． 【答案】（1），；（2），，；（3）43 【知识点】有理数幂的概念理解、有理数的乘方运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了新定义、新定义运算的应用及有理数的混合运算； （1）根据运算规定，用除法运算直接得出结果； （2）根据运算规定，用除法运算直接得出结果； （3）根据的运算规定，按照有理数的运算顺序、运算法则计算出结果． 【详解】解：（1）， ， ， ， 故答案为：，； （2） ， ， ， ， ， 故答案为：，，； （3）原式， ， ， ． 【考点七】有理数混合运算（期中压轴计算） 38．（25-26七年级上·陕西西安·期中）计算：． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减即可得解． 【详解】解：原式 ． 39．（25-26七年级上·广东东莞·期中）计算： 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【详解】解： ． 40．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数的乘方运算、有理数四则混合运算 【分析】本题考查有理数加减混合运算和有理数加减乘除乘方混合运算，按照有理数的计算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 41．（25-26七年级上·陕西西安·期中）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数乘法运算律、含乘方的有理数混合运算 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 42．（25-26七年级上·陕西商洛·期中）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数乘除混合运算、含乘方的有理数混合运算 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 43．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)（或或） (2) 【知识点】有理数的加减混合运算、含乘方的有理数混合运算 【详解】（1）解： ， （2）解：． 44．（25-26七年级上·重庆·期中）计算题，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】（1）利用含乘方的有理数的混合运算法则计算即可； （2）利用含乘方的有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【考点八】科学记数法与近似数（填空必考） 45．（25-26七年级上·湖北随州·期中）下列说法正确的是（    ） A．精确到百分位 B．精确到千分位 C．38万精确到个位 D．精确到千位 【答案】D 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数、求近似数的精确度 【详解】本题考查了科学记数法，近似数的精确度判断． 根据小数和科学记数法的精确度规则，逐一分析每个选项． 【分析】解：A．的最后一位是千分位，精确到千分位，不是百分位，错误； B．，最后一位9在十位，精确到十位，不是千分位，错误； C．38万，精确到万位，不是个位，错误； D．，最后一位是千位，即精确到千位，正确； 故选：D． 46．（24-25七年级下·河北张家口·期中）地球上水的总储量为，但目前能被人们利用的水仅占总储量的，即约为，关于数据“”，下列说法正确的是（     ） A．用科学记数法可以表示为 B．用科学记数法可以表示为 C．该数是一个18位数 D．该数是一个19位数 【答案】A 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数、将用科学记数法表示的数变回原数 【分析】用科学记数法表示绝对值大于的数，其科学记数法的表示形式为，其中，n为整数，且的值为原数的整数位数减，据此求解即可． 【详解】解：，故A正确，B错误； 该数是一个位数，故C，D错误． 47．（24-25七年级上·全国·期中）某市实现年生产总值4417.9亿元，比上年增长．将数据“4417.9亿元”精确到十亿位表示为_________元． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数、求一个数的近似数 【分析】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．根据科学记数法的表示方法解答，将近似数的精确度精确到十亿位． 【详解】解：数据“4 417.9亿元”精确到十亿位表示为元． 故答案为：． 48．（24-25七年级上·河南安阳·期中）月球沿着一定的轨道围绕地球运动，它在近地点时与地球的距离约为363300千米，则可表示为___________千米（精确到千位，用科学记数法表示）． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数、求一个数的近似数 【分析】先将363300精确到千位，百位数字是3，小于5，故舍去，得363000．然后用科学记数法表示． 本题考查了科学记数法和近似数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故答案为． 49．（24-25七年级上·山东聊城·期中）中国国家图书馆是亚洲规模最大的图书馆，居世界国家图书馆第三位．截至2022年12月底，中国国家图书馆馆藏中文实体书籍14284892册，外文实体书籍4502319册．请用科学记数法将14284892精确到百万位______． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数、求一个数的近似数 【分析】本题主要考查科学记数法和求近似数，熟练掌握科学记数法是解题的关键．根据科学记数法表示数即可得到答案． 【详解】解：将一个数表示为，其中，为整数， 故答案为：． 【考点九】 有理数实际应用题（期中解答题） 50．（25-26七年级上·河南郑州·期中）某家商店购入一批苹果，在运输过程中花去100元运费，后来决定将这些苹果的价格降到原定价的卖出，这样所得的总利润就只有原计划的 ．已知这批苹果的进价是每千克6元4角，原计划可获得利润2700元．这批苹果一共有多少千克? 【答案】这批苹果一共有500千克 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】先计算出这些苹果的原利润及降价后的利润，进而可得总售价、成本价，然后计算重量即可． 【详解】解：原来需要这些苹果获利（元）， 降价后需要这些苹果获利（元）， 价格降低，少获利（元）， 则这些苹果总售价为（元）， 成本为（元）， 这批苹果一共有（千克）， 答：这批苹果一共有500千克． 51．（25-26七年级上·湖南湘西·期中）为了更好地推进“阳光体育”活动，在八年级的足球联赛活动期间，某足球守门员在直线跑道上练习折返跑，从初始位置出发，向前跑记作正数，向后跑记作负数，他的练习记录如下（单位：m）：，，，，，，． (1)守门员最后是否回到了初始位置？请说明理由； (2)本次练习中守门员共跑了多少米？若每跑10米奖守门员2个苹果，则守门员可得到多少个苹果？ 【答案】(1)守门员最后回到了初始位置． (2)本次练习中守门员共跑了60米，可得到12个苹果． 【知识点】正负数的实际应用、求一个数的绝对值、有理数加法在生活中的应用、有理数乘法的实际应用 【分析】（1）计算所有跑动记录的代数和，根据和是否为0，即可判断是否回到初始位置； （2）先计算所有跑动记录的绝对值之和得到总路程，再结合奖励规则计算苹果数量即可． 【详解】（1）解：守门员最后回到了初始位置，理由如下： ，即守门员最后回到了初始位置． （2）解：总路程为各段跑动距离的绝对值之和：（米） ， 苹果数量： （个）． 答：守门员共跑了60米，可得到12个苹果． 52．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）2025年9月3日是中国人民抗日战争胜利80周年，为了保障天安门广场阅兵顺利进行，检修小组在一条直路上检修线路．连续5天，第一天开始检修前的里程数为，5天内每天检修结束后的行车里程表上显示的数字（单位：）依先后次序如下：10530，10568，10591，10615，10650． (1)这五天里，哪天的行驶路程最多？ (2)若每千米耗油，这辆车这5天共耗油多少升？ 【答案】(1) 第二天的行驶路程最多 (2) 这辆车这5天共耗油 【知识点】有理数大小比较的实际应用、有理数加减混合运算的应用、有理数乘法的实际应用 【分析】（1）计算每日行驶路程，比较大小即可得出结果； （2）先求5天总行驶路程，再乘每千米耗油量即可得到总耗油量． 【详解】（1）解：分别计算五天的行驶路程： 第1天：； 第2天：； 第3天：； 第4天：； 第5天：； ∵， ∴第二天的行驶路程最多； （2）解：5天总行驶路程：， 总耗油量：． 答：这辆车这5天共耗油． 53．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）某高速公路检修队开车从A地出发，在东西走向的公路上检修道路，规定向东走为正，向西走为负，从出发到收工时所行驶的路程记录如下（单位：千米）：，，，，，，，． (1)问收工时，检修队在A地哪边，距A地多远？ (2)问从出发到收工时，汽车共行驶多少千米？ (3)在汽车行驶过程中，若每行驶1千米耗油升，共用油费元．问油价是每升多少元？ 【答案】(1)收工时检修队在A地东边，距A地10千米 (2)汽车共行驶52千米 (3)油价是每升元 【知识点】正负数的实际应用、绝对值的其他应用、有理数加法在生活中的应用、有理数乘法的实际应用、有理数除法的应用 【分析】（1）将所有行驶路程记录求和，根据结果正负判断方向，结果的绝对值为距A地的距离； （2）计算所有行驶路程记录的绝对值之和，即为总行驶路程； （3）先由总行驶路程和单位耗油量求出总耗油量，再用总油费除以总耗油量得到油价． 【详解】（1）解：各段路程的和为 （千米）， ∵规定向东走为正， ∴收工时检修队在A地东边，距A地10千米． （2）解： （千米）， 答：汽车共行驶52千米． （3）解：总耗油量为（升）， 油价为（元/升）， 答：油价是每升元． 54．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）张明将自家的猕猴桃放到网上销售，他原计划每天卖猕猴桃，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值/ (1)根据上表的数据可知，销售量最多的一天是星期_______，有_______；最少的一天是星期_______，有_______． (2)若猕猴桃的售价是元，成本是元，则张明当周销售猕猴桃获得的总利润是多少元？（利润售价成本） 【答案】(1)六，，五， (2)元 【知识点】正负数的实际应用、有理数加法在生活中的应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】（1）根据正负数的意义，结合表格数据得出销售量最多的和最少的是哪一天，进而用加上与计划量的差值，即可求解； （2）先计算猕猴桃的销售总量，再根据利润售价成本，进行计算即可求解． 【详解】（1）解：根据上表的数据可知，销售量最多的一天是星期六，有；最少的一天是星期五，有． （2）解：猕猴桃的销售总量为 （元） 答：张明当周销售猕猴桃获得的总利润是元． 55．（25-26七年级上·四川达州·期中）好又多超市“国庆”搞促销，对顾客实行优惠购物，规则如下：若顾客一次性购物不超过300元，则每满100立减10元；若顾客一次性购物超过300元，但不超过600元，则按标价给予八折优惠；若顾客一次性购物超过600元，其中600元按上述给予八折优惠，超过600元的部分给予七折优惠． (1)李阿姨在该超市购买了一台标价350元的电饭煲，王阿姨在该超市购买了一台标价850元的微波炉，她们各应付多少元？ (2)张叔叔先后两次去该超市购物，分别付款256元和648元，如果张叔叔一次性购买，则可以节约多少元？ 【答案】(1)李阿姨应付280元，王阿姨应付655元 (2)如果张叔叔一次性购买，则可以节约元或32元 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的实际应用．根据题意确定付款方式是解题的关键． （1）根据题意列出算式计算即可； （2）先对第一次进行分情况求解，然后求出张叔叔第二次优惠前要付的费用，最后结合优惠方案，分别计算两种情况下的费用之和，并作差即可解答． 【详解】（1）解：李阿姨应付：（元）； 王阿姨应付：（元）； 答：李阿姨应付280元，王阿姨应付655元． （2）解：∵， ∴第一次购物有两种情况：若标价没有超过300元时，标价应为：（元）； 若标价超过300元时，标价应为：（元）； ∵标价600元时，按8折应付元，而， ∴第二次标价一定超过600元， ∴（元）， ∴第二次标价为840元， 当第一次标价为276元时，张叔叔一次性购买需付元，可节约：元； 当第一次标价为320元时，张叔叔一次性购买需付 元，可节约：元． ∴如果张叔叔一次性购买，则可以节约元或32元． 56．（25-26七年级上·广东佛山·期中）根据背景素材，探索解决问题． 周末小明打算去露营基地野餐 素材1 路线图：家→炸鸡店→面包店→水果店→奶茶店→露营基地； 素材2 这条路线近似看成东西走向．如果规定向东为正，向西为负，他这天行车里程（单位：）如下：，，，，； 素材3 滴滴车价目表：起步价（不超过时）车费8元；超过的部分，按2元/千米收费，消费满10元赠送一张8折优惠券和一张7折优惠券（每人限赠一次，优惠券在下一订单生效，且每笔订单仅限使用一张优惠券）． 问题解决 任务1 求露营基地在家的哪个方向，并求出与家的距离； 任务2 计算炸鸡店到面包店所用的车费； 任务3 该路线如何正确使用优惠券，能使总车费最低？最低总车费是多少？（假设小明每到一个地点都会下车购物，然后换乘另一辆滴滴车前往下一个地点．） 【答案】任务1：露营基地在家的西边处； 任务2：炸鸡店到面包店所需费用12元； 任务3：水果店到奶茶店用8折券，奶茶店到露营基地用7折券，能使总车费最低；最低总车费是52.8元 【知识点】正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查有理数的运算与分段计费问题；关键是掌握有理数运算和分段计费规则，易错点是里程计算错误或优惠券使用逻辑混乱． 任务1：用有理数加法确定方向和距离； 任务2：用分段计费思想计算车费； 任务3：通过优惠券策略分析找最低总车费． 【详解】解：任务1：如果规定向东为正，向西为负，则， 答：露营基地在家的西边处． 任务2：（元）． 答：炸鸡店到面包店所需费用12元． 任务3： （元）． 答：水果店到奶茶店用8折券，奶茶店到露营基地用7折券，能使总车费最低；最低总车费是52.8元. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中讲义01有理数与有理数的运算（9大考点专练） 【考点一】正负数的意义与有理数分类（选择/填空） 【考点六】乘方运算与化简（易错题型） 【考点二】数轴的应用（选择/填空高频） 【考点七】有理数混合运算（期中压轴计算） 【考点三】相反数、绝对值化简与求值（重难点） 【考点八】科学记数法与近似数（填空必考） 【考点四】有理数大小比较（基础题型） 【考点九】有理数实际应用题（期中解答题） 【考点五】有理数四则简便运算（计算大题） 考点1 正数、负数与有理数分类（基础必考） 1. 基本定义 正数：大于0的数（可带“+”，也可省略）；负数：小于0的数（必须带“-”）；0既不是正数，也不是负数，是正负数的分界点。 相反意义的量：用正负数表示生活中意义相反的量（如收入与支出、上升与下降、向东与向西），需满足意义相反、具有数量两个要素。 2. 有理数分类（两种标准，期中高频考点） （1）按定义分类 整数：正整数、0、负整数 分数：正分数、负分数（有限小数、无限循环小数都属于分数，是有理数） 有理数 = 整数 + 分数 （2）按性质（符号）分类 正有理数：正整数、正分数 0（单独一类） 负有理数：负整数、负分数 易错提醒：无限不循环小数（如π）不是有理数；-a不一定是负数，+a不一定是正数。 考点2 数轴（工具性核心考点） 1. 数轴三要素 原点、正方向、单位长度，三者缺一不可，单位长度必须统一。 2. 数轴核心性质 所有有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数 数轴上右边的数总比左边的数大 正数在原点右侧，负数在原点左侧，0在原点处 考点3 相反数（高频基础考点） 1. 定义 只有符号不同的两个数互为相反数，相反数成对出现，单独一个数不能称为相反数。 2. 核心性质 0的相反数是0（唯一相反数等于自身的数） 数a的相反数是-a（a可为正数、负数、0） 互为相反数的两个数，在数轴上关于原点对称，到原点距离相等 若a、b互为相反数，则a+b=0（期中必考结论） 3. 多重符号化简 规则：负号个数为偶数，结果为正；负号个数为奇数，结果为负。与正号个数无关。 考点4 绝对值（重难点、易错点） 1. 定义 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|，距离非负，因此绝对值恒≥0。 2. 绝对值代数法则 若a＞0，则|a|=a（正数的绝对值是本身） 若a=0，则|a|=0（0的绝对值是0） 若a＜0，则|a|=-a（负数的绝对值是它的相反数） 3. 核心结论 绝对值最小的有理数是0 若|a|=|b|，则a=b或a=-b 任意有理数a，都有|a|≥0（非负性，常考求值题型） 考点5 有理数大小比较 1. 数轴法：右大左小（通用方法） 2. 法则法：正数＞0＞负数；两个负数比较，绝对值大的反而小（期中高频易错） 考点6 有理数的四则运算（核心计算考点） 1. 有理数加法 同号两数相加：取相同符号，绝对值相加 异号两数相加：取绝对值较大的数的符号，用大绝对值减小绝对值 互为相反数的两数相加得0；一个数加0仍得原数 加法运算律：交换律a+b=b+a；结合律(a+b)+c=a+(b+c) 2. 有理数减法 法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即a-b=a+(-b)（所有减法统一为加法计算） 3. 有理数乘法 两数相乘：同号得正，异号得负，绝对值相乘 任何数乘0得0；1乘任何数得原数，-1乘任何数得其相反数 多个非0数相乘：负因数个数为偶数，积为正；负因数个数为奇数，积为负 乘法运算律：交换律、结合律、分配律（简便运算必考） 4. 有理数除法 法则1：除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数，即a÷b=a×1/b（b≠0） 法则2：两数相除，同号得正，异号得负，绝对值相除；0除以任何非0数得0，0不能做除数 考点7 有理数的乘方（重难点） 1. 定义 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，结果叫做幂。aⁿ中，a是底数，n是指数，读作a的n次方。 2. 符号规律 正数的任何次幂都是正数 负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数 0的任何正整数次幂都是0；1的任何次幂都是1；-1的奇次幂是-1，偶次幂是1 易错区分：(-2)²=4，-2²=-4（底数不同，结果不同） 考点8 有理数混合运算（期中大题必考） 运算顺序（优先级从高到低）： 1.先乘方，再乘除，最后加减 2.同级运算，从左到右依次进行 3.有括号先算括号内，先小括号、再中括号、最后大括号 考点9 科学记数法与近似数（基础填空考点） 1. 科学记数法 把大数表示为a×10ⁿ（1≤|a|＜10，n为正整数），n=原数整数位数-1 2. 近似数 精确位数判断：普通数看最后一位；科学记数法看a的最后一位对应原数的位数 【考点一】正负数的意义与有理数分类（选择/填空） 1．（24-25七年级上·广东惠州·期中）温度上升记作“”，那么温度下降记作（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·四川自贡·期中）肥料口袋上标有，以下哪个重量（单位）是合格的（  ） A．52 B． C．49.25 D．50.12 3．（24-25七年级上·广东深圳·期中）三国时期的学者刘徽在建立负数的概念上有重大贡献．他明确提出了正负数的定义，指出在遇到具有相反意义的量时，要用正数和负数来区分它们．若收入元记作元，则元表示（　　） A．收入元 B．收入元 C．支出元 D．支出元 4．（24-25七年级上·福建漳州·期中）如果表示“上涨”，那么“下跌”可以记作______． 5．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）在足球比赛中，如果甲队进3个球，记作个，那么甲队失2个球，记作______个． 6．（25-26七年级上·福建福州·期中）桌子上有8个杯口朝上的茶杯，每次翻转其中的4个，只要翻转2次，就能把它们全部翻成杯口朝下．如果将8个茶杯改为6个，每次任意翻转其中的4个，最少经过_____次翻转就能把它们全部翻成杯口朝下． 【考点二】数轴的应用（选择/填空高频） 7．（25-26七年级上·河南南阳·期中）如图，小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在数轴上，根据图中数值，可以确定墨迹盖住的所有整数的和是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级上·浙江台州·期中）如图所示的数轴单位长度为1，点，，，分别表示数，，，．若的值为6，则的值为（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 9．（25-26七年级上·江西吉安·期中）如图，将刻度尺放在数轴上，让和刻度线分别与数轴上表示和的两点重合对齐，则数轴上与刻度线对齐的点表示的数为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级上·浙江温州·期中）如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对应刻度，点对齐刻度．则数轴上点所对应的数为(   ) A． B． C． D．1.8 11．（25-26七年级上·江西宜春·期中）数轴上点A表示的数为，点B到点A的距离为5，点C到点B距离为2（点C不在原点上），则点C表示的数为__________． 12．（25-26七年级上·山西临汾·期末）如图，点在同一条数轴上，其中点表示的数分别为，1，若，则点表示的数为___________． 13．（25-26七年级上·浙江金华·期中）如图，A点的初始位置位于数轴上的原点，现对A点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至B点，第2次从B点向左移动4个单位长度至C点，第3次从C点向右移动7个单位长度至D点，第4次从D点向左移动10个单位长度至E点，…以此类推，移动5次后该点对应的数为 ___ ，这样移动2025次后该点到原点的距离为 ______ ． 【考点三】相反数、绝对值化简与求值（重难点） 14．（25-26七年级上·四川成都·期中）若 a，b 互为相反数，c 为最大的负整数，则的值为____． 15．（25-26七年级上·四川达州·期中）在中，非负整数有个，分数有个，则值为_____． 16．（24-25七年级上·云南红河·期末）如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，若相对的两个面上的数互为相反数，则的值为______． 17．（25-26七年级上·辽宁盘锦·期中）（1）计算： （2）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为3，的值． 18．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）（1）已知和互为相反数，和互为倒数，是绝对值最小的有理数，求代数式的值． （2）当时，，求当时，的值． 19．（25-26七年级上·贵州毕节·期中）已知a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示． (1)在数轴上标出a，c相反数的对应点的位置； (2)判断下列各式与0的大小：①________0；②________0；③________0；④________0； (3)化简式子：． 【考点四】有理数大小比较（基础题型） 20．（25-26七年级上·陕西西安·期中）是一个小于的整数，与，比较，大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 21．（25-26七年级上·全国·期中）下表记录了四个地区的最低海拔，其中海拔最低的地区是（   ） 死海 吐鲁番 乌鲁木齐 青岛 A．死海 B．吐鲁番 C．乌鲁木齐 D．青岛 22．（25-26七年级上·山东德州·期中）已知a，b为有理数，，，且，将a，，b，从小到大排列，用“”连接：___________ 23．（24-25七年级上·北京·期中）比较大小（填“”、“”、“”）： ________；________；________． 24．（25-26七年级上·湖北襄阳·期中）有理数、、在数轴上的位置如图所示，且． (1)填空：______；______；（用“”或“”或“”填空） (2)化简代数式：． 【考点五】有理数四则简便运算（计算大题） 25．（24-25七年级上·广东揭阳·期中）计算：． 26．（25-26七年级上·辽宁盘锦·期中）（1）计算： （2）用简便方法计算： 27．（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算： (1)； (2)． 28．（25-26七年级上·四川达州·期中）计算： (1) (2) 29．（25-26七年级上·甘肃张掖·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 30．（25-26七年级上·海南海口·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 31．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 【考点六】乘方运算与化简（易错题型） 32．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）化简结果为（    ） A． B． C． D． 33．（25-26七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）我们生活中常用的数是十进制，而计算机程序处理中使用的是只有数字0和1组成的二进制．这两者可以相互换算，将二进制数转换为十进制数时，需根据每一位数字的位置确定其对应的“权值”（从右往左第1位权值为，第2位为，第3位为，以此类推），再用每一位数字乘以对应的权值，最后将所有结果相加．例如：将二进制数101转换为十进制数，计算过程为（注：）．按照以上方式将二进制数10110换算成十进制数应该为（    ） A．20 B．21 C．24 D．22 34．（24-25七年级上·天津西青·期末）如图，每个小正方形的边长为1，观察图中阴影部分面积的计算方法与图形下方对应算式的计算规律，完成填空： （Ⅰ）写出最后一个图形中阴影部分的面积对应的算式及其结果：_______； （Ⅱ）根据以上观察，式子化简的结果为_______； （Ⅲ）结合以上规律，计算的结果为_______． 35．（25-26七年级上·四川成都·期中）阅读理解：进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说：“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制．使用0至9十个数字记数时，几个数字排成一行，从右起，第一位是个位，个位上的数字是几就表示几个一；第二位是十位，十位上的数字是几就表示几个十；接着依次是百位、千位…．例如，十进制数中的3表示3个百，0表示0个十，4表示4个一，于是我们就可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式：．（规定当时，，304右下角的10代表以10为基数） 问题解决： (1)“二进制”是逢二进一，其各数位上的数字为0或1．请把二进制数表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式：___________； (2)一个位数为6位数的二进制数（此处研究对象为非负数）能表示的十进制数值范围___________； (3)计算（结果转化为十进制）：． 36．（25-26七年级上·北京延庆·期中）【阅读学习】给出如下规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”，记作，读作“的下4次方”一般地，把（个为大于等于2的整数）记作，读作“的下次方”． （1）直接写出计算结果：___________；___________； 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：． （2）仿照上面的算式，将下列运算结果写成幂的形式：___________，___________； 【探索应用】（3）计算：． 37．（24-25七年级上·广东深圳·期中）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等． 类比有理数的乘方，我们把记作，读作2的圈3次方，记作，读作的圈4次方． 【初步探究】（1）直接写出计算结果：_____，______． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，则有理数的除方运算也可以按如图所示的方式转化为乘法运算． 【探究应用】（2）试一试：仿照图中算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式： ______，=_______，=______（其中，n为正整数）． （3）请利用（2）中结论计算： ． 【考点七】有理数混合运算（期中压轴计算） 38．（25-26七年级上·陕西西安·期中）计算：． 39．（25-26七年级上·广东东莞·期中）计算： 40．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）计算 (1) (2) 41．（25-26七年级上·陕西西安·期中）计算： (1)． (2)． 42．（25-26七年级上·陕西商洛·期中）计算： (1)． (2)． 43．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）计算： (1)； (2)． 44．（25-26七年级上·重庆·期中）计算题，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． (1) (2) 【考点八】科学记数法与近似数（填空必考） 45．（25-26七年级上·湖北随州·期中）下列说法正确的是（    ） A．精确到百分位 B．精确到千分位 C．38万精确到个位 D．精确到千位 46．（24-25七年级下·河北张家口·期中）地球上水的总储量为，但目前能被人们利用的水仅占总储量的，即约为，关于数据“”，下列说法正确的是（     ） A．用科学记数法可以表示为 B．用科学记数法可以表示为 C．该数是一个18位数 D．该数是一个19位数 47．（24-25七年级上·全国·期中）某市实现年生产总值4417.9亿元，比上年增长．将数据“4417.9亿元”精确到十亿位表示为_________元． 48．（24-25七年级上·河南安阳·期中）月球沿着一定的轨道围绕地球运动，它在近地点时与地球的距离约为363300千米，则可表示为___________千米（精确到千位，用科学记数法表示）． 49．（24-25七年级上·山东聊城·期中）中国国家图书馆是亚洲规模最大的图书馆，居世界国家图书馆第三位．截至2022年12月底，中国国家图书馆馆藏中文实体书籍14284892册，外文实体书籍4502319册．请用科学记数法将14284892精确到百万位______． 【考点九】 有理数实际应用题（期中解答题） 50．（25-26七年级上·河南郑州·期中）某家商店购入一批苹果，在运输过程中花去100元运费，后来决定将这些苹果的价格降到原定价的卖出，这样所得的总利润就只有原计划的 ．已知这批苹果的进价是每千克6元4角，原计划可获得利润2700元．这批苹果一共有多少千克? 51．（25-26七年级上·湖南湘西·期中）为了更好地推进“阳光体育”活动，在八年级的足球联赛活动期间，某足球守门员在直线跑道上练习折返跑，从初始位置出发，向前跑记作正数，向后跑记作负数，他的练习记录如下（单位：m）：，，，，，，． (1)守门员最后是否回到了初始位置？请说明理由； (2)本次练习中守门员共跑了多少米？若每跑10米奖守门员2个苹果，则守门员可得到多少个苹果？ 52．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）2025年9月3日是中国人民抗日战争胜利80周年，为了保障天安门广场阅兵顺利进行，检修小组在一条直路上检修线路．连续5天，第一天开始检修前的里程数为，5天内每天检修结束后的行车里程表上显示的数字（单位：）依先后次序如下：10530，10568，10591，10615，10650． (1)这五天里，哪天的行驶路程最多？ (2)若每千米耗油，这辆车这5天共耗油多少升？ 53．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）某高速公路检修队开车从A地出发，在东西走向的公路上检修道路，规定向东走为正，向西走为负，从出发到收工时所行驶的路程记录如下（单位：千米）：，，，，，，，． (1)问收工时，检修队在A地哪边，距A地多远？ (2)问从出发到收工时，汽车共行驶多少千米？ (3)在汽车行驶过程中，若每行驶1千米耗油升，共用油费元．问油价是每升多少元？ 54．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）张明将自家的猕猴桃放到网上销售，他原计划每天卖猕猴桃，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值/ (1)根据上表的数据可知，销售量最多的一天是星期_______，有_______；最少的一天是星期_______，有_______． (2)若猕猴桃的售价是元，成本是元，则张明当周销售猕猴桃获得的总利润是多少元？（利润售价成本） 55．（25-26七年级上·四川达州·期中）好又多超市“国庆”搞促销，对顾客实行优惠购物，规则如下：若顾客一次性购物不超过300元，则每满100立减10元；若顾客一次性购物超过300元，但不超过600元，则按标价给予八折优惠；若顾客一次性购物超过600元，其中600元按上述给予八折优惠，超过600元的部分给予七折优惠． (1)李阿姨在该超市购买了一台标价350元的电饭煲，王阿姨在该超市购买了一台标价850元的微波炉，她们各应付多少元？ (2)张叔叔先后两次去该超市购物，分别付款256元和648元，如果张叔叔一次性购买，则可以节约多少元？ 56．（25-26七年级上·广东佛山·期中）根据背景素材，探索解决问题． 周末小明打算去露营基地野餐 素材1 路线图：家→炸鸡店→面包店→水果店→奶茶店→露营基地； 素材2 这条路线近似看成东西走向．如果规定向东为正，向西为负，他这天行车里程（单位：）如下：，，，，； 素材3 滴滴车价目表：起步价（不超过时）车费8元；超过的部分，按2元/千米收费，消费满10元赠送一张8折优惠券和一张7折优惠券（每人限赠一次，优惠券在下一订单生效，且每笔订单仅限使用一张优惠券）． 问题解决 任务1 求露营基地在家的哪个方向，并求出与家的距离； 任务2 计算炸鸡店到面包店所用的车费； 任务3 该路线如何正确使用优惠券，能使总车费最低？最低总车费是多少？（假设小明每到一个地点都会下车购物，然后换乘另一辆滴滴车前往下一个地点．） 1 学科网（北京）股份有限公司 $