河南省洛阳强基联盟2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题 目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签宇笔在答题卡上各题的答题区域内 作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.化简：AB+BD+DB,= A.DA B.BA C.AD D.AB 2.在空间直角坐标系Oxyz中，点M(一1,4,2)关于平面xOz对称的点的坐标是 A.(-1,-4,2) B.(1,-4,-2) C.(1,4,2) D.（-1,4,-2) 3.已知空间向量a=(-2,1,一4)，b=(1,x,2),且a⊥b,则x= A.-10 B-司 c D.10 4.在三棱柱ABC-A1B1C1中，E,F分别为棱AB,A1C的中点.设AB=a,AC=b,AA1=c,则F它= A-a+号b叶c B ja+b+o Cga-tb-e D.-ga-tb-o 5.若空间向量a=(4,0,3),b=(1,0,2),则向量a在向量b上的投影向量的坐标是 A.(8,0,6) B.(2,0,4) c(,) D.(1,0,2) 6,在正方体ABCD-A1B,CD中，E,F分别是DD1,DB的中点，G在棱CD上，且CG=号CD,则异面 直线EF与C1G所成角的余弦值为 A.-30 15 B.V30 15 C.-V195 D.Y195 15 15 【高二数学第1页（共4页）】 055-LY 7.已知空间内三点A(2,3,0),B(1,0,0),C(一1,0,4)，则点A到直线BC的距离为 A.3⑤ B.5 5 c D.2√5 8.已知空间向量a,b,c满足|a=|b|=1,|c=7,且a·b=0,c·a=c·b=23,则|c一ma一b|的最 小值为 A.5 B.6 C.25 D.36 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.若(a,b,c}为空间的一个基底，则下列是空间的一个基底的是 A.(a,a+b,a-b) B.(c,a+b,a-b) C.(a+b+c,a+b,a-b) D.(a+b,b+c,c+a) 10.已知A(1,0,0),B(1,1,1),C(0,2,0),D(2,2,0),m=(1,0,0),n=(0,1,1)分别是平面a,B的法向 量，则 A.AB⊥CD B.AB∥a C.CD⊥a D.a⊥B 11.如图，在正三棱柱ABC-A,B,C中，AB=AA,空间一点P满足B驴=λBC+μBB,A∈[0,1]，u∈ [0,1],则 A若A=4,则点P在线段BC1上 B.若λ十=1，则点P在线段B1C上 C若X=号，则不存在点P,使得APLBP D.若=，则存在点P,使得B.PLAB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量a=(1,x,2),b=(一4,4，y),若a与b共线，则x十y= 13.在四面体P-ABC中，点D满足Pò=号Pi十P克+2P元，若A,B,C,D四点共面，则λ= 14.已知正方体ABCD-A,B1CD1的棱长为2，点P是线段AB上的动点（不含端点），则当三棱锥 P-ACD1的外接球的表面积最小时，AP的长为 【高二数学第2页（共4页）】 055-LY 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知空间三点M(-2,0,2),N(-3,1,5),P(-1,3,4),设a=MN,b=M, (1)若(a十mb)⊥a,求m的值； (2)若向量c满足|cl=6,且c∥(b一a),求向量c的坐标. 16.(本小题满分15分) 如图，正方体ABCD-A1B1CD1的棱长为2，E,F分别为DD1,BC的中点. (1)求证：EF∥平面ABCD; D (2)求直线AF与平面BC1E所成角的正弦值. D 17.(本小题满分15分) 如图，在四棱柱ABCD-AB,CD,中，∠BAD=∠BAA1=∠DAA=S,四边形ABCD是边长为2 的菱形，AA1=3,O为AC与BD的交点. (1)求AO的长； D (2)证明：OA1⊥BD 【高二数学第3页（共4页）】 055-LY 18.(本小题满分17分) 如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC,AB⊥BC,M为AC的中点，G为线段PC上一 点，AB=BC=2,AP=BP=3. (1)求平面PBM与平面PBC夹角的余弦值； (②)若瓷=子，求点G到平面PMB的距离 19.(本小题满分17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为6的正方形，平面PAD⊥平面ABCD, 平面PAB⊥平面ABCD,点E是棱PD的中点，点F是棱PC上的一点（不包含端点）， (1)求证：PA⊥平面ABCD; (②)若PA=6,且平面AEF与平面ABCD的夹角的余弦值为源。 (I)求三棱锥P-AEF的体积； (I)记平面AEF交PB于点G,点H在平面PBC上，求GF与平面 HAD所成角的正弦值的取值范围. 【高二数学第4页（共4页）】 055-LY高二数学参考答案、提示及评分细则 1.DAB+BD+DB,=AD+DB,=AB.故选D. 2.A由空间直角坐标系,可得点M(一1,4,2)关于平面xOz对称的点的坐标为(一1,一4,2).故选A. 3.D因为a⊥b,所以a b=0,即-2 1十x十(-4) 2=0,解得x=10.故选D. 4C应=所+A方+应=访-A论-A不=2a-b-c故选C 反B向量a在向量6上的投影狗量的坐标是分品6号.10,2)=(20,40.放选B 5 6.B设AB=2,以D为坐标原点,DA,DC,DD所在直线分别为x轴,y轴,之轴建立如图所示 的空间直角坐标系,则D(0,0,2),B(2,2,0),C(0,2,0),C(0,2,2),所以E(0,0,1), F1.1,0.G(0,号0),序=(1,1,-1),GG=(0,-号,-2),设异面直线EF与CG所 0号+2 成角为0,则cos0= 1E市.CG C3 √(-号)+(-2) 图故选及 7.C由题意,得B=(1,3,0),BC=(-2,0,4),所以cos∠ABC= BA.BC -2 |BA| |BCL√10 √20 =号又∠ACe [0,],所以∠ABC-√-(一)-7语,所以点A到直线的距离d=ism∠ABC-而 语-75 105 故选C. 8.A因为|a=|b=1,a b=0,设a=(1,0,0),b=(0,1,0),c=(x,y,),又c a=c b=2√5,所以x=y=25,又 |c=/2+y2+妥=12+12+2=7,解得2=25,又c-a-b=(2√/5-m,2√/3-n,),所以|c-ma-b|= √/(23-m)2+(25-)2+2=√(2√3-m)2+(2√3-)2+25≥5,当且仅当m=n=25时取得等号,所以 c一ma一b|的最小值是5.故选A. a=1 9.BCD对于A,因为a-b=2a-(a十b),共面,不能构成基底;对于B,设a十b=A(a-b)十c,所以A=一1,无解,所以 =0 a十b,a一b,c是不共面的向量,能构成空间的一个基底,故B正确:对于C,设a十b+c=m(a十b)十n(a一b),显然无 解,所以能构成空间的一个基底,C正确:对于D,设a十b=m(b十c)十n(c十a),则a十b=a十b十(m十n)c,所以 n=1 m=1,无解,所以a十b,b十c,c十a是不共面的向量,能构成空间的一个基底,故D正确.故选BCD, 、m+n=0 10.ACD由题意,得Ai=(0,1,1),Ci=(2,0,0),所以A访.C市=0,A⊥Ci,即AB⊥CD,故A正确:因为A范 m= 0,所以AB∥a或ABC&,故B错误;因为CD=2m,所以CDLa,故C正确;因为m n=0,所以a⊥,故D正确.故 选ACD. 1L.ABD若X=,则B萨=A(BC+BB)=入BC,所以B驴∥C,又A∈[0,1门,所以点P在线段A BC上,故A正确:若入十4=1,所以B丽=ABC+(1-A)BB,所以B萨-BB=A(B武-B丽), 所以BP=AB1C,所以BP∥BC,又A∈[0,1],所以点P在线段BC上,故B正确:若A= 之,取棱BC的中点D,则Bi-B访+xBB,所以D市=rBB,则D币,∥B丽,取棱BC的中点A E,连接DE,则点P在线段DE上,连接AD,AE,易证AD,AE均垂直于平面BCC1B,当点 【高二数学参考答案第1页(共4页)】 055-LY P在点D,或点P在点E处时,APLBP,.故C错误:若A-弓,分别取棱BB,CC的中点M,N,连接MN,B,N,BE, 则点P在线段MN上,因为四边形BCC1B,为正方形,易证B1N⊥BE,AE⊥BN,从而可以证得BN⊥平面ABE, 从而可得BN⊥AB,所以当点P在点N处时,B,P⊥AB,故D正确.故选ABD. 12-9向量a=12,2》.6=(一440共线,得-兰=立解得=-1,=一8,所以x+y=-9 13.6由A,B,C,D四点共面,知2十+2以=1,解得入=合 14.专以D为坐标原点,DA,DC,DD所在直线分别为,x轴,建立如图所示空间直角 坐标系.设AP=m(0<m<2),则A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,2),P(2,m,0).设三棱维 P-ACD1的外接球球心为O(x,y,),外接球半径为r,则r=OA=OC=OD=OP,即 /(x-2)2+y2+2 = /x2十(y-2)2十2 √x2+y+(x-2)2 -2)+(0y-m+2,化简得x=y=之=罗,则=√x-2+x+2 V3一4干4-√3(红-号)+,当x=号时,r最小,外接球表面积最小,此时m=2=专,即AP= 4 15.解:(1)由题意知a=M不=(-3,1,5)-(-2,0,2)=(-1,1,3), b=Mp=(-1,3,4)-(-2,0,2)=(1,3,2), …2分 所以a+b=(-1,1,3)+m(1,3,2)=(m-1,3+1,2m十3),又(a+b)⊥a, 所以(a十b) a=一(m-1)十3m十1十3(2m+3)=0,…… 5分 解得加一是 …7分 (2)因为b-a=(1,3,2)-(-1,1,3)=(2,2,-1),又c∥(b-a), 设c=入(2,2,-1)=(2 ,2入,一A),又|c=6,所以/(2以)2十(2入)十(-入)=6,…9分 解得入=士2, …… 11分 当入=2时,c=(4,4,-2);当入=-2时,c=(一4,一4,2), 即向量c的坐标为(4,4,一2)或(一4,一4,2).… 13分 16.(1)证明:取BC的中点为G,连接FG,DG. 因为F,G分别是BC,BC的中点,所以FGL>CC.… …2分 在正方体中,DD LCC,又E为DD1的中点, 所以DEL?CC=FG,四边形DEFG是平行四边形,EF∥DG. …4分 又EF吐平面ABCD,DGC平面ABCD,所以EF∥平面ABCD. …7分 (2)解:以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 因为正方体ABCD-A,BCD的棱长为2,E,F分别为DD1,BC的中点, D 所以A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,2),E(0,0,1),F(1,2,1),…9分 所以AF=(-1,2,1),B2=(-2,-2,1),BC=(-2,0,2), A E 设m=(9g)是平面BC,E的法向量,则n 武=0,即{-2x+2=0, (n BE=0,1-2x-2y+x=0, 即 令x=1,则y=一之,=1,所以n=(1,一,1)是平面BCE的一个法向量,…1分 设直线AF与平面BCE所成角为0,则sin)=1cosA市,m=A疗.m=】。一6 即直线AF与平面BC,E所成角的正弦值为E 9 15分 【高二数学参考答案第2页(共4页)】 055-LY 17.1)解:以AB,A心,AA为一个基底,由题意知1A=|AD=2,1AA|=3,AB AD=2 2 号=2,A AA =A0.Ad=2X3 2=3,… …3分 又A0-A0-A-2A+2A市-A, …4分 所以AO:=(2A+2AD-AM) =A+A亦+AA+号A成.AD-A成.AA-A市.AA = 4+子 4+9+号 2-3-3=6, …7分 所以AO=1AO=6. 8分 (2)证明:由1)知A0=2Ai+2A市-A4, 在菱形ABCD中,BD-AD-AB, 10分 所以A . =(号A+A市-AA) (A市-A =号A.市+亦-AM.市-2A亦-2A市A成+A不 A店 7 2+2 4-3-7 4-2 2+3=0… 14分 所以AO⊥BD,即A OLBD. 15分 18.解:(1)如图,取AB中点N,连接PN,MN,则MN∥BC,而AB⊥BC,故MN⊥BA.因为PA= PB,所以PN⊥AB. 因为平面PAB⊥平面ABC,PAB∩平面ABC=AB,所以PN⊥平面ABC. 因为MNC平面PMN,所以PN⊥MN,故PN,AB,MN两两垂直.…2分 以N为原点,AB,MN,PN所在直线分别为x轴,y轴,之轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则N(0,0,0),A(-1,0,0),B(1,0,0),P(0,0,2√/2),M(0,1,0),C(1,2,0),BM=(-1,1,0),BC (0,2,0),Pi=(1,0,-22),P元=(1,2,-22).… 4分 设平面PBM的一个法向量为m=(x,y,), m BM=0,〔-x+y=0, 则 即 取x=1,得x=2√2,y=2√2,则m=(22,22,1). …6分 m Pi=0,x-22=0, 设平面PBC的一个法向量为n=(a,b,c), (n BC=0,2b=0, 则 即 取c=1,得a=22,b=0,则n=(2√2,0,1), n Pi=0,a-22c=0, …8分 新以os(mm小= 9-37 17 即平面PBM与平面PBC夹角的余弦值为3Y厘 17 10分 (2)1知平面PMB的法向量为m=(2E,2E,D,P元=P元-(,3,-号) 13分 故G到平面PMB的距离为忘,m-巨一 m 17 17 17分 19.(1)证明:因为底面ABCD是边长为6的正方形,所以AB⊥BC,AD⊥CD,又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平 面ABCD=AD,CDC平面ABCD,所以CD⊥平面PAD,… …2分 又PAC平面PAD,所以CD⊥PA, …3分 【高二数学参考答案第3页(共4页)】 055-LY 因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,AB⊥BC,BCC平面ABCD,所以BC⊥平面PAD,又PA C平面PAD,所以BC⊥PA,… …4分 又BC∩CD=C,BC,CDC平面ABCD,所以PA⊥平面ABCD. …5分 (2)解:(1)由(1)知PA⊥平面ABCD,又AB,ADC平面ABCD,所以PA⊥AB, PA⊥AD,又AB⊥AD,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y 轴,之轴,建立如图所示空间直角坐标系,则D(0,6,0),P(0,0,6),B(6,0,0),E(0, 3,3),C(6,6,0),所以AE=(0,3,3),P元=(6,6,-6),A2=(0,0,6),设P示= aPC=(6,6x,-6x)(0<入<1), 则AF-AP+P市=(0,0,6)+(6,6x,-6A)=(6以,6x,6-6x. D fn AE=0, 设平面AEF的法向量为n=(x,y,2),则 (n.AF=0, 13y+32=0, 即 6 x+6y+6(1- )z=0, 取y=入,解得之=一入,x=1一2 ,所以n=(1一2入,,一入)是平面AEF的一个法向量,…7分 因为AP⊥平面ABCD,所以AP=(0,0,6)是平面ABCD的一个法向量. 因为平面AEF与平面ABCD的夹角的余弦值为号。 所以|cos(n,AP)1= -6 6√/(1-2A)2+x+(- ) 3 …9分 解得X=3或A=1(舍),所以PF=号PC 10分 所以三棱锥P-AEF的体积VPAF=VPE= 3Vepe=pe=君e=nw=X号XX6X6X6=6 …11分 (i)设P心=uPi,则AG=AP+uPi=(0,0,6)+a(6,0,-6)=(6u,0,6-6), (i)可知m=(号,号,子)为平面ABGF的一个法向量,所以nLA心., 所以AG n=2 -(2-2 )=4-2=0,解得=2, 1 13分 所以G-P市-PG=(2,2,-2)-(3,0,-3)=(-1,2,1), 因为H在平面PBC上,所以B方=sB武+tB驴, 所以A方=Ai+sBC+1B=(6,0,0)十s(0,6,0)+1(-6,0,6)=(6-61,6s,610. m…AD=0,(6y=0, 设平面HAD的法向量m=(,y,之),则 即 m.Ai=0,1l(6-60)+6y+6=0, 取=t得y1=0,为=t1,所以m=(t,0,t一1)是平面HAD的一个法向量,…14分 设GF与平面HAD所成角为0,则sin0=|cos(G市,m)= 1 1 …15分 6√P+(t-1)z√6/22-21+1 因为2-2a+1e[合,+).所以sm0c(o,号] 即GF与平面HAD所成角的正弦值的取值范图为(o,号] …17分 【高二数学参考答案第4页(共4页)】 055-LY