精品解析：河南省洛阳市第一高级中学2025-2026学年高二上学期1月月考数学试题

洛阳一高2024级1月月考数学试卷 命题人：王玮琪 审核人：宋甜甜 刘宗毅 2026.1.7 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线与垂直，则实数的值为（ ） A. B. 1或 C. 1 D. 或5 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线垂直列方程，由此求得的值. 【详解】由于，所以， 解得或. 故选：B 2. 若等比数列满足，，则数列的公比等于（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式求解即可. 【详解】， ， 所以， 故选：C. 3. 求点到直线的距离的最大值为（ ） A. 3 B. C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】先说明直线所过的定点，当与定点的连线与直线垂直时距离有最大值，由此求解出结果. 【详解】因为直线的方程为，所以直线过定点， 所以直线表示过定点的斜率存在的直线， 如图，当时，表示点到直线的距离， 当不垂直于时，表示点到直线的距离，显然， 所以点到直线距离的最大值为, 所以点到直线距离的最大值为. 故选：D 4. 已知数列满足，，（），则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将变成,（）.根据，依次计算即可. 【详解】数列满足，（），所以,（）. 因为，所以，，，. 故选：D. 5. 表示的曲线为（ ） A. 两个半圆 B. 一个圆 C. 半个圆 D. 两个圆 【答案】A 【解析】 【分析】去方程中的绝对值符号，平方整理，再分类讨论方程表示的曲线即可得解. 【详解】依题意，，则有或， 当时，， 此时方程表示以点O2(-1，1)为圆心，1为半径的圆在直线x=-1及左侧的半圆， 当时，， 此时方程表示以点O1(1，1)为圆心，1为半径的圆在直线x=1及右侧的半圆， 如图， 表示的曲线为两个半圆. 故选：A 6. 在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可. 【详解】 如图，连接，因为∥， 所以或其补角为直线与所成的角， 因为平面，所以，又，， 所以平面，所以， 设正方体棱长为2，则， ，所以. 故选：D 7. 设点，若在圆上存在点，使，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过做作，垂足为，可得证明： ，从而可求的取值范围. 【详解】 如图，，垂足为， 因为，故，但， 故即，故， 故选：B. 8. 已知，C在上，则的面积（ ） A. 有最大值，但没有最小值 B. 没有最大值，但有最小值 C. 既有最大值，也有最小值 D. 既没有最大值，也没有最小值 【答案】A 【解析】 【分析】设出曲线上一点为，得出，将三角形的高转化成关于的函数,分析其单调性，从而求解. 【详解】设曲线上一点为，则，则， ，方程为：，即， 根据点到直线的距离公式，到的距离为：， 设， 由于，显然关于单调递减，，无最小值， 即中，边上的高有最大值，无最小值， 又一定，故面积有最大值，无最小值. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知实数x，y满足方程．则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】AB 【解析】 【分析】方程表示圆，设，可得圆心到的距离等于半径时斜率取得最大、最小值；设，利用圆心到直线距离等于半径可求得的最值；表示圆上的一点与原点的距离的平方，由圆的几何性质可求出. 【详解】方程化为，表示以点为圆心，以为半径的圆． 设，即，易知圆心到的距离等于半径时，直线与圆相切，斜率取得最大、最小值． 由，解得，所以或．所以的最大值为，最小值为．AB正确． 设则，由点到直线的距离公式，得，即．故的最大值为，最小值为，C不正确． 表示圆上的一点与原点的距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心的连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为，所以的最大值是，的最小值是，D不正确． 故选：AB. 10. 已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（ ）． A. 该圆锥的体积为 B. 该圆锥的侧面积为 C. D. 的面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据圆锥的体积、侧面积判断A、B选项的正确性，利用二面角的知识判断C、D选项的正确性. 【详解】依题意，，，所以， A选项，圆锥的体积为，A选项正确； B选项，圆锥的侧面积为，B选项错误； C选项，设是的中点，连接， 则，所以是二面角的平面角， 则，所以， 故，则，C选项正确； D选项，，所以，D选项错误. 故选：AC. 11. 设为坐标原点，直线过抛物线：的焦点，且与交于，两点，为的准线，则（ ） A. B. C. 为等腰三角形 D. 以为直径的圆与相切 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据抛物线的基本性质、焦半径公式、直线与抛物线联立求解、直线与圆相切逐项分析判断即可. 【详解】A：直线过点，所以抛物线：的焦点， 所以，，，抛物线的方程为，A正确； B： 由消去并化简得， 即，解得，， 所以，B正确； C：当时，；当时，. 可设，. 所以，， 又，三边互不相等，所以不是等腰三角形，C错误. D：设的中点为，，，到直线的距离分别为，，， 因为， 即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知递增等比数列前项和为，且，则数列的前项和为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式及前项和公式得到方程组，求出和，即可得到，从而得到，再利用裂项相消法求和即可； 【详解】由于，则， 解得或，因为等比数列为递增数列，， 所以 所以，故. 因为， 所以. 故答案为： 13. 直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于_________． 【答案】20π 【解析】 【详解】 14. 设F是椭圆的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点 ，使组成公差为 d的等差数列，则d的取值范围为 ________ ． 【答案】 【解析】 【分析】 当这个等差数列是增数列，则，可求出的取值范围；当这个等差数列是减数列，则，可求出的取值范围，由此可得答案. 【详解】由椭圆知，，则，由题知公差不为零， 当这个等差数列是增数列时，则， ， ， 解得； 当这个等差数列是减数列时，则， ， ， 解得， 综上所述，或. 故答案为：. 【点睛】本题以椭圆知识为载体考查数列知识，关键是利用增数列要找到，是减数列要找到，从而求得答案. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设抛物线，为坐标原点，点，过点的直线与交于两点． （1）证明：； （2）证明：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意设出直线方程，联立抛物线方程，并消元整理一元二次方程，写出韦达定理，结合向量的坐标运算，可得答案. （2）由题意设出直线方程，利用斜率的计算公式，研究两直线的斜率的数量关系，可得答案. 【小问1详解】 设的方程为，由，得. 设，由题意可知，则， ，，. 【小问2详解】 由（1）得， ∴， ∴，∴. 16. 记为数列的前n项和．已知． （1）证明：是等差数列； （2）若成等比数列，求的最小值． 【答案】（1） 因为，即①， 当时，②， ①②得，， 即， 即，所以，且， 所以是以为公差的等差数列． （2）． 【解析】 【分析】（1）依题意可得，根据，作差即可得到，从而得证； （2）法一：由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 [方法一]：二次函数的性质 由（1）可得，，， 又，，成等比数列，所以， 即，解得， 所以，所以， 所以，当或时，． [方法二]：【最优解】邻项变号法 由（1）可得，，， 又，，成等比数列，所以， 即，解得， 所以，即有. 则当或时，． 【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出的最小值，适用于可以求出的表达式； 法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解． 17. 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中． （1）求证：； （2）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质可得平面，再根据线面垂直的性质即可证明； （2）取的中点，以直线、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，令，，由二面角的向量公式求得，即可求解. 【小问1详解】 由于平面平面，平面平面， 又且平面，平面. 平面，. 【小问2详解】 取的中点，连接，，由为等边三角形，可得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，又平面，得， 由且得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线、、两两垂直， 以为坐标原点，直线、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，， 则，，， 令，， ， 设平面的法向量为，则， 取，得， 易知平面的一个法向量为， 于是， 化简得，又，故解得，即， 所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，此时. 18. 某牧场今年初牛的存栏数为，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出头牛．设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为，，，… （1）写出一个递推公式，表示与之间的关系； （2）将（1）中的递推公式表示成为的形式，其中，为常数； （3）求的值（精确到1）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】利用递推公式、待定系数法、等比数列及其求和公式运算即可得解. 【小问1详解】 解：由题意知，并且 ． ① 【小问2详解】 解：将化为 ． ② 比较①②的系数，可得， 解这个方程组，得， 所以，（1）中的递推公式可以化为． 【小问3详解】 解：由（2）可知，数列是以为首项， 为公比的等比数列，则 ． 所以． 19. 已知椭圆，圆，点均在椭圆上，为坐标原点，直线分别与圆相切于两点. （1）求椭圆的离心率； （2）当，四边形为菱形时，求圆的方程； （3）若直线的斜率乘积为定值，求的值. 【答案】（1） （2）或 （3）2 【解析】 【分析】（1）椭圆方程转化成标准方程，由离心率的定义即可求解； （2）由为菱形，得到，再结合及，即可求解； （3）设直线的方程分别为：，由圆心到两直线的距离为2，得到，进而得到，由其为定值即可求. 【小问1详解】 由椭圆得：， 所以，即椭圆的长半轴长为，短半轴长为， 所以； 【小问2详解】 当时，椭圆， 由（1），所以， 由圆知：，半径， 因为点在椭圆上， 所以①， 又因为直线分别与圆相切于两点， 所以，且， 因为四边形为菱形，所以四边形为正方形， 所以， 所以②， 联立①②解得：或， 所以圆的方程为：或； 【小问3详解】 因为直线都与圆相切，且直线的斜率乘积为定值， 所以直线斜率都存在， 设直线的方程分别为：， 因为点到直线的距离都为2， 所以， 两边平方可得， 所以为方程的两根， 所以， 因为点在椭圆上，所以， 所以， 因为直线的斜率乘积为定值，设定值为， 则：对恒成立，即对恒成立， 所以即， 所以的值为2. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 洛阳一高2024级1月月考数学试卷 命题人：王玮琪 审核人：宋甜甜 刘宗毅 2026.1.7 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线与垂直，则实数的值为（ ） A. B. 1或 C. 1 D. 或5 2. 若等比数列满足，，则数列的公比等于（ ） A. 或 B. 或 C. D. 3. 求点到直线的距离的最大值为（ ） A. 3 B. C. D. 5 4. 已知数列满足，，（），则（ ） A. B. C. D. 5. 表示的曲线为（ ） A. 两个半圆 B. 一个圆 C. 半个圆 D. 两个圆 6. 在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 7. 设点，若在圆上存在点，使，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，C在上，则的面积（ ） A. 有最大值，但没有最小值 B. 没有最大值，但有最小值 C. 既有最大值，也有最小值 D. 既没有最大值，也没有最小值 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知实数x，y满足方程．则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 10. 已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（ ）． A. 该圆锥的体积为 B. 该圆锥的侧面积为 C. D. 的面积为 11. 设为坐标原点，直线过抛物线：的焦点，且与交于，两点，为的准线，则（ ） A. B. C. 为等腰三角形 D. 以为直径的圆与相切 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知递增等比数列前项和为，且，则数列的前项和为__________． 13. 直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于_________． 14. 设F是椭圆的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点 ，使组成公差为 d的等差数列，则d的取值范围为 ________ ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设抛物线，为坐标原点，点，过点的直线与交于两点． （1）证明：； （2）证明：． 16. 记为数列的前n项和．已知． （1）证明：是等差数列； （2）若成等比数列，求的最小值． 17. 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中． （1）求证：； （2）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 18. 某牧场今年初牛的存栏数为，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出头牛．设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为，，，… （1）写出一个递推公式，表示与之间的关系； （2）将（1）中的递推公式表示成为的形式，其中，为常数； （3）求的值（精确到1）． 19. 已知椭圆，圆，点均在椭圆上，为坐标原点，直线分别与圆相切于两点. （1）求椭圆的离心率； （2）当，四边形为菱形时，求圆的方程； （3）若直线的斜率乘积为定值，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $