专题8 将军饮马-最短路径压轴题（重难点培优讲义）2026-2027学年人教版八年级数学上册

专题8 将军饮马-最短路径压轴题 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型01 将军饮马——“两定一动” 题型02 将军饮马——“两动一定” 题型03 将军饮马——“两定两动” 题型04 将军饮马——“三动点” 题型05 将军饮马——“定点一定长” A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点一 将军饮马模型 名称 图形 已知与结论 将军饮马——“两定一动” A B l P 已知：如图，定点A，B在直线l的两侧 结论：PA+PB的最小值为线段AB的长 A B l P B’ 已知：如图，定点A，B在直线l的同侧 结论： PA+PB的最小值为线段AB’的长A B l P B’ A B l P P’ 已知：如图，两定点A，B在直线l的同侧 结论：当A，B，P三点共线时，|PA－PB|的值最大为线段AB的长 A B l P’ P B’ 已知：如图，两定点A，B在直线l的两侧 结论：当A，B’，P三点共线时，|PA－PB|的值最大为线段AB’的长 将军饮马——“两动一定” A P O B P1 N M P2 已知：如图，P为∠AOB内一点 结论：当P1，M，N，P2，四点共线时，PM+PN+MN的最小值为线段P1P2的长 将军饮马——“两定两动” l1 P O l2 Q M N P’ Q’ F E D C A B D’’ D’ 已知：如图，P，Q为角内两定点 结论：当Q’，M，N，P’四点共线时，四边形PQMN的周长最小值为线段PQ+P’Q’的值 将军饮马——“三动点” 已知：如图，已知D，E，F分别为AB，AC，BC上的动点 结论：当CD最短，即CD⊥AB时，△DEF周长的最小值为线段D’D’’的长 将军饮马——“定点一定长” M N B A n m A’ 已知：如图，直线m∥n，A，B分别为直线m上方和直线n下方的两个定点（直线AB不与m垂直） 结论：AM+MN+BN的最小值为A’B+MN的值 A B l N M A’’ A’ 已知：如图，定点A，B在直线l的同侧 结论：AM+MN+BN的最小值为A’’B+MN的值 【针对训练】 【典例精讲】已知，是，两个城镇和一条河流． (1)如图1，，两个城镇在河流同一侧，现计划在河边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，在河边找出点的位置，使的值最小（保留作图痕迹）． (2)如图2，，两个城镇在河流的两侧，现计划在河流靠镇的一边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，因条件限制，铺在河流中的管道必须垂直于河边，请在河边找出点的位置，使铺设管道的总长最小（保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了轴对称的性质、平移的性质、最短路径问题，根据轴对称和平移的性质正确作图是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据平移的性质作图即可． 【规范解答】（1）解：如图1，作关于河边（直线）的对称点，连接交直线于点，连接， 由轴对称的性质得， ∴， ∴当三点共线时，的值最小， ∴如图所示，点的位置即为所求； （2）解：设河流宽度（直线与直线之间的距离）为， 将点向下平移至，连接交直线于点，作直线交直线于点，连接，如图2： 则， 由平移的性质得，， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，即铺设管道的总长最小， ∴如图所示，点的位置即为所求． 【变式训练1】（按要求完成作图∶ (1)画出关于x轴对称的图形（点A、C分布对应） (2)请在y轴上找出一点P，满足线段的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查坐标与轴对称，熟练掌握成轴对称的性质，是解题的关键． （1）根据成轴对称的性质，画出即可； （2）利用将军饮马模型找到点即可． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求； （2）如图所示，点即为所求． 知识点二 最短路径选址问题 如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水． (1)若要使厂址到A，B两村的距离相等，则应选择在哪建厂(要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明)? (2)若要使厂址到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？ 思路引导：(1)欲求到A、B两村的距离相等，即作出AB的垂直平分线与EF的交点即可，交点即为厂址所在位置；(2)利用轴对称求最短路线的方法是作出A点关于直线EF的对称点A′，再连接A′B交EF于点N，即可得出答案． 解题过程：(1)作出AB的垂直平分线与EF的交点M，交点M即为厂址所在位置； 　　 (2)如图所示：作A点关于直线EF的对称点A′，再连接A′B交EF于点N，点N即为所求． 【针对训练】 【典例精讲】如图，某城镇要在街道旁修建一个牛奶站，向居民区，区提供牛奶． (1)任务一：利用尺规作图，在图1中确定街道上牛奶站所建的位置，使区，区到它的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）； (2)任务二：为了配送到区和区的距离之和最短，那么牛奶站在街道上的哪个位置？ 小明同学将利用所学的知识巧妙地解决了这个问题．如图2，作关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是所求的位置． 请你阅读下列解题的过程，并完成填空： 证明：如图2，在直线上另取任一点，连结，，， 直线是点，的对称轴，点，在上， __________，__________， __________． 在中， ， ． ，即最小． (3)任务三：如图3，有两条公路和经过村庄，它们的夹角，现要在距离村庄500米的种植园处新建如图所示的三条小路，，，使三条小路刚好围成一个三角形，求周长的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)，， (3)500米 【思路引导】本题考查轴对称，最短路径问题，等边三角形的判定与性质，文字量多，读懂题意是解题的关键． （1）根据题意利用垂直平分线的性质，连接，作的垂直平分线即可； （2）根据最短最短路径问题，结合对称的性质，填空即可； （3）分别作点关于，的对称点、，连接，分别交，于点M、N，此时的周长最小，其最小值等于的长，证明是等边三角形，即可得解． 【规范解答】（1）解：如图1所示，牛奶站应建在点处． （2）证明：如图2，在直线上另取任一点，连结，，， 直线是点，的对称轴，点，在上， ，， ． 在中， ， ． ，即最小； （3）解：如图3所示，分别作点关于，的对称点、，连接， 分别交，于点M、N，此时的周长最小，其最小值等于的长． 由对称的性质可得米，，， ， 是等边三角形， 米 米． 【变式训练1】如图所示，在，两村之间有两条河，且每条河的宽度相同，从村往村，要经过两座桥，．现在要设计一条道路，并在两条河上分别架这两座垂直于河岸的大桥，问：如何设计这两座桥，的位置，使由村到村的路程最短？（要求在图上标出道路和大桥的位置） 【答案】见解析 【思路引导】本题主要考查了最短路径问题，平移的性质，如图所示，分别过点P和点Q作的垂线，垂足分别为A、B，在上截取等于河宽，在上截取等于河宽，连接交于E、M，分别过点E、M作的垂线，垂足分别为F、N，则，即为所求． 【规范解答】解：如图所示，分别过点P和点Q作的垂线，垂足分别为A、B，在上截取等于河宽，在上截取等于河宽，连接交于E、M，分别过点E、M作的垂线，垂足分别为F、N，则，即为所求； 易证明的长即为最短路径长． 典例精析 题型1：将军饮马——“两定一动” 【例1】如图，在等边中，点E是边的中点，点P是的中线上的动点，且，则的最小值是（    ） A．12 B．10 C．6 D．3 【分析】本题主要考查了轴对称-最短路线问题以及等边三角形的性质，要求的最小值，需考虑通过作辅助线转化，的值，从而找出其最小值求解即可． 【详解】解：作点关于的对称点，连接， 是等边三角形，是边上的中线， ， 是的垂直平分线， 点关于的对应点为点， 就是的最小值． 是等边三角形，是边的中点， 是的中点， 是的中线， ， 即的最小值为， 故选：B． 【变式1-1】M是直线l上一点，N是直线l外一点，在直线l上求作一点P，使得的值最大，则这点P（    ） A．与M重合 B．在M的左边 C．在M的右边 D．是直线l上任一点 【分析】点P，点M，点可构成，根据三角形三边关系分析即可． 【详解】当点P，点M，点N可构成，根据三角形三边关系得： ； 点P与点M重合时，； ∴， 即当点P与点M重合时，的值最大， 故选：A． 【点睛】本题考查最短路线问题，利用三角形三边关系分析问题是解题的关键． 题型2：将军饮马——“两动一定” 【例1】如图，，点P为内一点，点、分别在、上、当周长最小时，的度数是（  ）      A． B． C． D． 【分析】分别作点关于、的对称点、，连接、，交于，交于，的周长最小值等于长，依据等腰△中，， 即可得出． 【详解】解：分别作点关于、的对称点、，连接、，交于，交于，则 ，，， 根据轴对称的性质可得，， 的周长的最小值， 由轴对称的性质可得， 等腰△中，， ， 故选：B．    【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，正确正确作出辅助线，得到等腰△中的度数是关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点． 【变式1-1】如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP=，若点M，N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（　　） A． B． C．6 D．3 【分析】作点P关于OB的对称点D，点P关于OA的对称点C，连接CD与OA，OB分别交于点M与N则CD的长即为△PMN周长的最小值；连接OC，OD，过点O作OH⊥CD，在Rt△OCH中求出HC即可求出CD． 【详解】解：作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图， 则MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=4，∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC， ∴PN+PM+MN=ND+MN+MC=DC，∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120°， ∴此时△PMN周长最小，最小值是DC的长， 作OH⊥CD于H，则CH=DH， ∵∠OCH=30°， ∴OH=OC=2，CH==2， ∴CD=2CH=4． ∴△PMN周长的最小值是4， 故选：B． 【点睛】本题考查利用轴对称求最短距离问题；通过轴对称将△PMN周长转化为CD的长是解题的关键． 题型3：将军饮马——“两定两动” 【例1】如图，，，分别为，上的点，，，分别为，上的动点，则的最小值为 ． 【分析】本题考查轴对称最短路线问题，能用一条线段的长表示出三条线段的和的最小值是解题的关键． 作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接、，，根据轴对称的性质，得到的最小值为，推出△为等边三角形，进一步得出结果． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接、，， 则，，， 的最小值为的长． ，，，，，， ，△为等边三角形，， 即 的值最小为3； 故答案为：3 【变式1-1】如图，点A在y轴上，G、B两点在x轴上，且G（﹣3，0），B（﹣2，0），HC与GB关于y轴对称，∠GAH＝60°，P、Q分别是AG、AH上的动点，则BP＋PQ＋CQ的最小值是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】分别作B、C关于AG和AH对称的点、，连接BP、CQ、、，PQ，得出BP＋PQ＋CQ的最小值为，再依据等边三角形的性质和判定和轴对称的性质分别求得和即可求得． 【详解】解：分别作B、C关于AG和AH对称的点、，连接BP、CQ、、，PQ ∵HC与GB关于y轴对称， ∴GO=HO,BO=CO,∵x轴⊥y轴，∴AG=AH，、关于y轴对称， ∴当、，P、Q在同一条直线上时，最小，此时轴， ∵∠GAH＝60°，∴△AGH为等边三角形，∴∠AGO=60°， ∵轴，B、关于AG对称，∴,， ∴△BPG为等边三角形，过作PM⊥GO交x轴与M， ∵G（﹣3，0），B（﹣2，0），∴BG=1，BO=2，∴， ∴，同理可得,即．故选：B． 【点睛】本题考查轴对称的性质，等边三角形的性质和判断，坐标与图形变化．能借助轴对称的性质正确变形将折线的长化成一条线段的长是解题关键． 题型4：将军饮马——“三动点” 【例1】如图，锐角中，，，的面积是，D，E，F分别是三边上的动点，则周长的最小值是 ． 【分析】作于，作关于和的对称点和，连接交于，交于，则，求得即可； 【详解】解：如图2，作于，作关于和的对称点和， 连接交于，交于， 由对称性得， ，， ，，，， ，即△DEF周长的最小值是GH的长， ， ， 是正三角形， ， ， ， ， ， 的周长的最小值是； 故答案为： 【变式1-1】如图，在面积为的锐角中，，，D是内部一点，E，F分别是边上的动点，连接．若的面积为2，则周长的最小值为 ． 【分析】过点D作直线，过点C作于点G，交直线l于点H，求出，推出的最小值为，再作点D关于的对称点，，连接，、，证明出是等边三角形，且边长等于，由此可解决问题． 本题考查了轴对称——最短路线问题，三角形面积计算，等边三角形的判定与性质，垂线段最短，熟练掌握相关知识，证明出是等边三角形，且边长等于，是解题的关键． 【详解】解：过点D作直线，过点C作于点G，交直线l于点H，如图， 由题意，知为的边上的高，等于的边上的高， ∵锐角的面积为，， ∴， ， ∵的面积为2，， ∴，点D是直线l上的动点， ∴， ， ∵， 的最小值为， 作点D关于的对称点，，连接，、，，， 则，，，，， 当共线时，周长最小为， ∵， ∴， ∴是等边三角形， 周长的最小值为， 故答案为：． 题型5：将军饮马——“定点一定长” 【例1】如图，直线，表示一条河的两岸，且．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄的路程最短，应该选择路线（ ） A． B． C． D． 【分析】根据两点间直线距离最短，使为平行四边形即可，即垂直河岸且等于河宽，接连即可． 【详解】解：作垂直于河岸，使等于河宽， 连接，与另一条河岸相交于F，作于点E， 则且， ∴四边形为平行四边形， ∴， 根据“两点之间线段最短”，最短，即最短． ∴C选项符合题意， 故选：C． 【变式1-1】如图，等腰三角形的底边长为6，腰的垂直平分线分别交边、于点，，若为边的中点，为线段上一动点，若三角形的周长的最小值为，则等腰三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，由于是等腰三角形，点D是边的中点，可得，再根据是线段的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，再根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：如图：连接，交于点M， 是等腰三角形，点D是边的中点， ，， 是线段的垂直平分线， 点C关于直线的对称点为点A，， 此时的周长最小， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查的是轴对称−最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形的面积，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 1．如图，天然气主管道l的一侧有A，B两个居民区，计划从主管道l引支管道连接这两个居民区，下面的方案中，所引天然气支管道长度最短的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】两点之间线段最短、最短路径问题、垂线段最短 【分析】根据垂线段最短得到C方案小于A方案，再根据垂线段的长短进行判断即可解题． 【详解】解：根据垂线段最短和图中所给垂线段长度，可得所引天然气支管道长度最短的是C选项． 2．如图，将军要牵着马从点到水渠饮水，下列可选择的4条路径中最短的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】最短路径问题 【详解】解：根据直线外一点到直线上所有点中垂线段最短可知，最短路径为． 3．某区计划在公路旁修建一个核酸采集点，现有如下四种方案，则核酸采集点到两个小区之间的距离之和最短的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】两点之间线段最短、最短路径问题 【分析】本题考查了最短路径的数学问题，熟练掌握两点之间，线段最短是解题的关键． 用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线转化为两点之间的距离． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于，根据两点之间线段最短，可知选项B中的核酸采集点到两个小区之间的距离之和最短， 故选：B． 4．如图，在中，，的面积为18，，平分，，分别是，上的动点，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．9 【答案】A 【知识点】最短路径问题、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，关键是将的最小值转化为； 过点作于点，交于点，过点作于点，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值． 【详解】解：如图所示，过点作于点，交于点，过点作于点， ∵平分，，， ∴， ∴，此时的值最小， ∵的面积为18，， ∴， ∴， 即的最小值为， 故选：A． 5．如图，点P，Q在直线l的同一侧，现需在l上找一点M，使得的和最小，下列做法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】两点之间线段最短、最短路径问题、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了对称的性质以及两点之间线段最短，理解两点之间线段最短是解题的关键． 作Q点关于l的对称点，连接与l的交点为M，此时最小． 【详解】解：∵点P，Q在直线l的同侧， ∴作Q点关于l的对称点，连接与l的交点为M， 由对称性可知， 此时，最小， 故选：D． 6．如图，A，B两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边l上修建一个自来水厂O，分别向两个小镇供水，考虑到供水所用水管铺设的长度应最短的选址要求，从数学的角度看，下列图形中自来水厂O的选址设计正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】两点之间线段最短、最短路径问题、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了轴对称图形最短线段问题，掌握轴对称的性质是解题的关键；根据轴对称的性质作图即可求解． 【详解】解：作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点O，可得，则，由两点之间线段最短，此时的值最小，即所用水管总长度最短， 故选：A． 7．如图，在正方形网格中有，两点，在直线上求一点，使最短，则点应选在（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【知识点】最短路径问题、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查轴对称，两点之间线段最短等知识点，作点关于的对称点，连接，与的交点即可所求． 【详解】解：点关于的对称点，连接，如图， 由图可知点应选在点； 故选：D． 8．如图，、、是一条公路上的三个村庄，、间的路程为，、间的路程为、现要在之间建一个车站，若要使车站到三个村庄的路程之和最小，则车站应建在___________． 【答案】点处 【知识点】两点间的距离、最短路径问题 【分析】本题主要考查了两点之间的距离， 设P，C间的路程为，再分类讨论，当点P在点C左侧时，当点P在点C右侧时，根据两点之间的距离解答即可. 【详解】解：设P，C间的路程为，当点P在点C左侧时， 车站到三个村庄的路程为； 当点P在点C右侧时， 车站到三个村庄的路程为； 当点P与点C重合时，车站到三个村庄的距离是， 所以当车站建在村庄C处时，车站到三个村庄的距离之和最小. 故答案为：点C处. 9．如图所示的是某公园的部分路线示意图，则路线①和路线②相比，路程更短的路线是________（填序号）． 【答案】② 【知识点】最短路径问题 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，掌握三角形的任意两边之和大于第三边式解决问题的关键． 由三角形三边关系得到，根据图形即可得到答案． 【详解】解：∵在中，， ∴ 路线的长度为， 路线的长度为， 故答案为：②． 10．如图，在中，，，垂直平分线段，P是直线上的任意一点，则周长的最小值是_______． 【答案】10 【知识点】最短路径问题、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了轴对称——最短路线问题，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质．如图，连接，求出的最小值可得结论． 【详解】解：如图，连接， ∵垂直平分线段， ， ， 的最小值为6， 的周长的最小值为， 故答案为：10． 11．如图所示，在四边形中，，，，，在上找一点，使的值最小，则的最小值为____________． 【答案】6 【知识点】最短路径问题、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】此题主要考查了轴对称的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，判断出是解本题的关键． 先作出点C关于的对称点，判断出，进而判断出，再构造出直角三角形，利用含30度角的直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：如图，延长至，使， ∵， ∴点与点C关于对称， 连接交于，此时最小， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点B作交的延长线于E， 则（平行线间的距离处处相等）， 在中，， ∴， 即的值最小值为6， 故答案为：6． 12．已知平面内四点． 根据要求画图（不要求写作法，但保留作图痕迹）： (1)作射线，线段； (2)在射线上找到一点，使； (3)在图中找一点，使的值最小． 【答案】(1) 如下图，射线，线段即为所求作； (2) 如下图，点即为所求作； (3) 如下图，点即为所求作． 【知识点】作线段(尺规作图)、线段的和与差、最短路径问题、画出直线、射线、线段 【分析】本题考查的是尺规作图—作一条线段等于已知线段及作射线，线段， （1）按要求作射线，线段即可； （2）在射线上依次截取线段，则； （3）连接交于点O，即为所求作． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 13．如图，点在直线同侧，在直线上取一点，使得最小，对点的位置叙述正确的是（     ） A．作线段的垂直平分线与直线的交点，即为点 B．过点作直线的垂线，垂足即为点 C．作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点，即为点 D．连接并延长与直线的交点，即为点 【答案】C 【知识点】最短路径问题、线段垂直平分线的性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】要使最短，根据“两点之间线段最短”可知：作点关于直线的对称点，连接交直线于点即可． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接 ∴直线垂直平分， ∴， ∵， ∴此时的值最小，最小值为线段的长， 则点即为所作． 14．如图，牧马营地在点处，每天牧马人要赶着马群先到草地处吃草，再到河边饮水，最后回到营地，点到a，b的距离分别为，则牧马人所走最短的放牧总路程可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】最短路径问题、三角形三边关系的应用、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】分别作点关于草地所在直线的对称点、关于河流所在直线的对称点，因为对称点到对应直线上任意点的距离与原点到该点的距离相等，所以总路程可转化为到草地上的点、再到河流上的点、再到的路径长度，再根据两点之间线段最短，可知最短总路程为线段的长度，再根据三角形三边关系判断其范围即可． 【详解】如图所示，作点关于草地所在直线的对称点、关于河流所在直线的对称点， ∴，， ∴根据三角形三边关系可得， ∴． ∴只有符合题意 15．如图，直线外不重合的两点，，在直线上求一点，使得的长度最短，作法是：①作点关于直线的对称点；②连接交直线于点，则点为所求作的点．在解决这个问题时没有用到的知识或方法是（     ） A．转化思想 B．三角形两边之和大于第三边 C．两点之间线段最短 D．垂线段最短 【答案】D 【知识点】最短路径问题、垂线段最短、三角形三边关系的应用、根据成轴对称图形的特征进行求解 【详解】解：∵点B和点关于直线l对称，且点C在l上， ∴， ∵交l于C，且两条直线相交只有一个交点， ∴，即． 任取直线l上一点，与点C不重合，则， 即是的最小值． 综上，用到的知识或方法有转化思想、两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边； 没有用到的知识或方法是：垂线段最短． 16．如图是一个底面为正方形的长方体容器，顶点B处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁从顶点A处出发沿侧面爬向点B处．现将顶点A，B所在的两个侧面展开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】几何体展开图的认识、最短路径问题 【分析】本题考查了长方体的侧面展开，掌握两点之间线段最短是解题关键．根据长方体的侧面展开特征，两点之间线段最短判断即可． 【详解】解：蚂蚁爬行的最短路线如图所示： 故选：B． 17．如图，点P位于内部，点M，N分别在射线，上．若，，则周长的最小值为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【知识点】最短路径问题、等边三角形的判定和性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，等边三角形的判定和性质．将三角形的周长利用轴对称转化为线段的长，构造等边三角形是解题的关键．设点关于的对称点为，关于的对称点为，根据当点、在上时，的周长最小，再结合等边三角形的判定和性质即可解答． 【详解】解：如图，分别作点P关于，的对称点C，D，连接，，，，． 点P关于的对称点为点C， ，，， 点P关于的对称点为点D， ，，， ，， 是等边三角形， ， 的周长， 即周长的最小值是7． 故选：A． 18．如图，在等边中，于点，，点是上一个动点，是边的中点，在点运动的过程中，的最小值是（    ） A．12 B．14 C．18 D．24 【答案】A 【知识点】最短路径问题、与三角形的高有关的计算问题、线段垂直平分线的性质、等边三角形的性质 【分析】连接，，由等边三角形的性质，可得，，，可得，从而可得当点为与的交点时，取得最小值，最小值为，由的面积可得，即可得的最小值． 【详解】解：连接，， ∵是等边三角形， ∴， 又∵于点， ∴， ∵点是上一个动点， ∴， ∴， 当点为与的交点时，取得最小值，最小值为， ∵在等边中，是边的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴的最小值是． 故选：A． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，最短路径，与三角形的高相关的计算，找到取最小值的位置是解答的关键． 19．如图为某工厂厂区示意图，办公大楼在工厂主干道上，车间，与办公大楼的距离皆为，且，．在主干道上选址仓库，从仓库到车间，修建厂区支路，，使得支路总长最短，测得仓库与办公大楼距离为．已修建的支路长为，还需修建的支路的长度用代数式可以表示为__________． 【答案】 【知识点】列代数式、最短路径问题、线段问题(轴对称综合题) 【分析】本题考查轴对称的性质与最短路径问题，解题关键是利用轴对称将线段和转化为两点之间线段，结合等边三角形判定求总长，再作差得长度． 作点关于的对称点，连接，则（最短路径），由角度计算得，结合，判定为等边三角形，得．由，得． 【详解】解：作点C关于直线的对称点连接，交于点D， 此时，，根据两点之间线段最短，即为所求的仓库位置． 由对称性，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵，且， ∴， 故答案为：． 20．如图，在中，D是上一点，连接，将沿折叠，点B的对应点E恰好落在上，M是上一动点，连接，，若，，，则的最小值为______． 【答案】5 【知识点】最短路径问题、折叠问题 【分析】本题考查了折叠性质，轴对称−最短路线问题，关键是确定点M的位置． 根据折叠可知B和E关于AD对称，由对称的性质得出当M和D重合时，此时的值最小，即为． 【详解】解：连接，由题可知B和E关于AD对称， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当点M和点D重合时，此时的值最小，即为， ∴则的最小值为5， 故答案为：5． 21．如图，，，，在，上分别找一点，当的周长最小时，的度数是______． 【答案】/20度 【知识点】最短路径问题、三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】延长至点，使得，延长至点，使得，由线段垂直平分线的性质得到，，从而得出，即当、、、四点共线时，周长最小，再根据三角形内角和定理以及外角的性质求解即可． 【详解】解：如图，延长至点，使得，延长至点，使得，连接、、， ∵，， ∴， 垂直平分，垂直平分， ，， ， 当、、、四点共线时，最小，即周长最小，如图， ， ， ，， ，， ，， ， ∴. 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理以及外角的性质，最短路径问题等知识，得出当、、、四点共线时，周长最小是解题关键． 22．在中，于点D，点M、N分别是线段上的动点，且．当的值最小时，的度数为______． 【答案】/10度 【知识点】最短路径问题、三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了最短路线问题、全等三角形的性质、等边对等角等知识，正确作出辅助线是解题关键．在下方作，使，连接，则的最小值为，此时三点在同一直线上，解得，进而可得，然后由求解即可． 【详解】解：在下方作，使，连接， 则， ∴， 即的最小值为，此时三点在同一直线上， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 23．在如图所示的方格中，每个小正方形的顶点都叫做格点，的三个顶点均在格点处，请利用网格作图． (1)画出关于直线对称的；（不需要写出结论，但要标清字母） (2)在直线上找一个点，使最短．（标出点，作图要体现出确定点的过程） 【答案】(1)如图，即为所求． (2)如图，点即为所求． 【知识点】两点之间线段最短、最短路径问题、画轴对称图形 【分析】（1）根据轴对称的性质及网格特征，找出点、、的对应点、、，顺次连接即可； （2）连接，交直线于，连接，根据轴对称的性质得出，根据两点之间，线段最短即可得出的最小值为，可得点即为所求． 【详解】（1）解：略 （2）解：略 24．如图，在中，平分交于点D，过点D作交于点E，点P是上的动点，点Q是上的动点，则的最小值为（     ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【知识点】最短路径问题、角平分线的有关计算、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】过点D作于H，并延长，先判断出，再判断出，在上取一点，使，连接，进而判断出，得出，即可判断出时，最小，即可求出答案． 【详解】解：如图，过点D作于H，并延长， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在上取一点，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∴，当点B、P、共线时取等号， ∵点Q是动点， ∴当时，即点与点H重合，的值最小，最小值为． 25．如图，在中，，点O为内一点，过点O分别作，的垂线，垂足分别为点M，N，点P，Q分别为，上的动点，连接，，，当的周长最小时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】最短路径问题、三角形内角和定理的应用、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查轴对称解决最短路线问题，其中涉及三角形内角，三角形外角性质等知识，作出正确的辅助线、掌握相关知识是解题关键； 作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，根据轴对称——最短路线问题，当点，点P，点Q，点四点共线时，的周长最小，作出相应的图形，再结合三角形内角和、三角形一个外角等于不相邻两个内角和定理等知识解题即可． 【详解】解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，如图： ， ∵，，，， ∴，， ∴，， 当点，点P，点Q，点四点共线时， 的周长最小，即， 此时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：C； 26．如图，在中，，点，分别是，上的点，，点，分别是边，上的动点，在点，运动的过程中，的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】最短路径问题、等边三角形的判定和性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查轴对称最短路线问题，等边三角形的判定与性质，两点之间线段最短．作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，，，，由对称的性质，得，，，，，，推出的最小值是的长，再证明是等边三角形，即可解决问题． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，，，， 则，，，，，， ， 的最小值是的长； ，， ，， 是等边三角形， ， 的最小值是， 故选：B． 27．如图，已知，点P是内一定点，将军牵马从军营P出发，先到河流边上一点C饮马，再到草地边上一点D吃草，最后回到军营P．当将军走过的路程最短时，则__________． 【答案】70 【知识点】最短路径问题、三角形内角和定理的应用、等边对等角、根据成轴对称图形的特征进行求解、角度问题(轴对称综合题) 【分析】作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，分别交、于点、，连接，此时，路程最短；通过对称性得出为等腰三角形且顶角为，进而求出底角；最后利用对称性将底角转化为和，求和即可得到． 【详解】解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，分别交、于点、，连接，如下图： 此时，路程最短， 由对称性质可知，，． ， ， ， ∵， ， 由对称性质可知，， ，， ． 28．如图，在中，，的面积为12，平分交于，，分别是和上的动点，连接，，则的最小值为________． 【答案】4 【知识点】两点之间线段最短、最短路径问题、垂线段最短、角平分线的性质定理、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】利用角平分线的轴对称性质作线段等量代换，借助两点之间线段最短、垂线段最短锁定最短路径，套用三角形面积公式算出高线长度，得到所求最小值． 【详解】解：作点关于的对称点，作边上的高，连接，如图： ∵平分， ∴点必在上， ∵点关于的对称点为， ∴， ∴， ∴当，，三点共线时，有最小值，最小值为， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为， ∵的面积是12，，边上的高为， ∴， 解得， ∴的最小值为4． 29．如图，在中，点，在边上，连接，，满足，且，点在边上，连接交于点．    (1)若平分，，求的度数； (2)如图，若，连接，证明：； (3)在（2）的条件下，如图，点，在边上，且，连接，，已知，，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)证明：作，交于点， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； (3)7 【知识点】最短路径问题、角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明、三角形内角和定理的应用、全等三角形综合问题 【分析】（1）先由三角形的内角和定理求得，再根据三角形的内角和定理求得，，然后根据角平分线的定义求得，进而可求解； （2）作，交于点，分别证明，得到，，进而由可证得结论； （3）由（2）知，，作，，连接，，证明得到，再证明得到，利用两点之间线段最短得到，当D、M、共线时取等号，进而得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，解得， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）略 （3）解：∵，， ∴由（2）知，， 作，，连接，， 则， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴ ∴， ∴，当D、M、共线时取等号， ∴的最小值是7． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8 将军饮马-最短路径压轴题 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型01 将军饮马——“两定一动” 题型02 将军饮马——“两动一定” 题型03 将军饮马——“两定两动” 题型04 将军饮马——“三动点” 题型05 将军饮马——“定点一定长” A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点一 将军饮马模型 名称 图形 已知与结论 将军饮马——“两定一动” A B l P 已知：如图，定点A，B在直线l的两侧 结论：PA+PB的最小值为线段AB的长 A B l P B’ 已知：如图，定点A，B在直线l的同侧 结论： PA+PB的最小值为线段AB’的长A B l P B’ A B l P P’ 已知：如图，两定点A，B在直线l的同侧 结论：当A，B，P三点共线时，|PA－PB|的值最大为线段AB的长 A B l P’ P B’ 已知：如图，两定点A，B在直线l的两侧 结论：当A，B’，P三点共线时，|PA－PB|的值最大为线段AB’的长 将军饮马——“两动一定” A P O B P1 N M P2 已知：如图，P为∠AOB内一点 结论：当P1，M，N，P2，四点共线时，PM+PN+MN的最小值为线段P1P2的长 将军饮马——“两定两动” l1 P O l2 Q M N P’ Q’ F E D C A B D’’ D’ 已知：如图，P，Q为角内两定点 结论：当Q’，M，N，P’四点共线时，四边形PQMN的周长最小值为线段PQ+P’Q’的值 将军饮马——“三动点” 已知：如图，已知D，E，F分别为AB，AC，BC上的动点 结论：当CD最短，即CD⊥AB时，△DEF周长的最小值为线段D’D’’的长 将军饮马——“定点一定长” M N B A n m A’ 已知：如图，直线m∥n，A，B分别为直线m上方和直线n下方的两个定点（直线AB不与m垂直） 结论：AM+MN+BN的最小值为A’B+MN的值 A B l N M A’’ A’ 已知：如图，定点A，B在直线l的同侧 结论：AM+MN+BN的最小值为A’’B+MN的值 【针对训练】 【典例精讲】已知，是，两个城镇和一条河流． (1)如图1，，两个城镇在河流同一侧，现计划在河边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，在河边找出点的位置，使的值最小（保留作图痕迹）． (2)如图2，，两个城镇在河流的两侧，现计划在河流靠镇的一边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，因条件限制，铺在河流中的管道必须垂直于河边，请在河边找出点的位置，使铺设管道的总长最小（保留作图痕迹）． 【变式训练1】按要求完成作图∶ (1)画出关于x轴对称的图形（点A、C分布对应） (2)请在y轴上找出一点P，满足线段的值最小． 知识点二 最短路径选址问题 如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水． (1)若要使厂址到A，B两村的距离相等，则应选择在哪建厂(要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明)? (2)若要使厂址到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？ 思路引导：(1)欲求到A、B两村的距离相等，即作出AB的垂直平分线与EF的交点即可，交点即为厂址所在位置；(2)利用轴对称求最短路线的方法是作出A点关于直线EF的对称点A′，再连接A′B交EF于点N，即可得出答案． 解题过程：(1)作出AB的垂直平分线与EF的交点M，交点M即为厂址所在位置； 　　 (2)如图所示：作A点关于直线EF的对称点A′，再连接A′B交EF于点N，点N即为所求． 【针对训练】 【典例精讲】如图，某城镇要在街道旁修建一个牛奶站，向居民区，区提供牛奶． (1)任务一：利用尺规作图，在图1中确定街道上牛奶站所建的位置，使区，区到它的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）； (2)任务二：为了配送到区和区的距离之和最短，那么牛奶站在街道上的哪个位置？ 小明同学将利用所学的知识巧妙地解决了这个问题．如图2，作关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是所求的位置． 请你阅读下列解题的过程，并完成填空： 证明：如图2，在直线上另取任一点，连结，，， 直线是点，的对称轴，点，在上， __________，__________， __________． 在中， ， ． ，即最小． (3)任务三：如图3，有两条公路和经过村庄，它们的夹角，现要在距离村庄500米的种植园处新建如图所示的三条小路，，，使三条小路刚好围成一个三角形，求周长的最小值． 【变式训练1】如图所示，在，两村之间有两条河，且每条河的宽度相同，从村往村，要经过两座桥，．现在要设计一条道路，并在两条河上分别架这两座垂直于河岸的大桥，问：如何设计这两座桥，的位置，使由村到村的路程最短？（要求在图上标出道路和大桥的位置） 典例精析 题型1：将军饮马——“两定一动” 【例1】如图，在等边中，点E是边的中点，点P是的中线上的动点，且，则的最小值是（    ） A．12 B．10 C．6 D．3 【变式1-1】M是直线l上一点，N是直线l外一点，在直线l上求作一点P，使得的值最大，则这点P（    ） A．与M重合 B．在M的左边 C．在M的右边 D．是直线l上任一点 题型2：将军饮马——“两动一定” 【例1】如图，，点P为内一点，点、分别在、上、当周长最小时，的度数是（  ）      A． B． C． D． 【变式1-1】如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP=，若点M，N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（　　） A． B． C．6 D．3 题型3：将军饮马——“两定两动” 【例1】如图，，，分别为，上的点，，，分别为，上的动点，则的最小值为 ． 【变式1-1】如图，点A在y轴上，G、B两点在x轴上，且G（﹣3，0），B（﹣2，0），HC与GB关于y轴对称，∠GAH＝60°，P、Q分别是AG、AH上的动点，则BP＋PQ＋CQ的最小值是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 题型4：将军饮马——“三动点” 【例1】如图，锐角中，，，的面积是，D，E，F分别是三边上的动点，则周长的最小值是 ． 【变式1-1】如图，在面积为的锐角中，，，D是内部一点，E，F分别是边上的动点，连接．若的面积为2，则周长的最小值为 ． 题型5：将军饮马——“定点一定长” 【例1】如图，直线，表示一条河的两岸，且．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄的路程最短，应该选择路线（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，等腰三角形的底边长为6，腰的垂直平分线分别交边、于点，，若为边的中点，为线段上一动点，若三角形的周长的最小值为，则等腰三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 1．如图，天然气主管道l的一侧有A，B两个居民区，计划从主管道l引支管道连接这两个居民区，下面的方案中，所引天然气支管道长度最短的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，将军要牵着马从点到水渠饮水，下列可选择的4条路径中最短的是（     ） A． B． C． D． 3．某区计划在公路旁修建一个核酸采集点，现有如下四种方案，则核酸采集点到两个小区之间的距离之和最短的是（ ） A．B．C． D． 4．如图，在中，，的面积为18，，平分，，分别是，上的动点，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．9 5．如图，点P，Q在直线l的同一侧，现需在l上找一点M，使得的和最小，下列做法正确的是（   ） A．B． B. C． D． 6．如图，A，B两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边l上修建一个自来水厂O，分别向两个小镇供水，考虑到供水所用水管铺设的长度应最短的选址要求，从数学的角度看，下列图形中自来水厂O的选址设计正确的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在正方形网格中有，两点，在直线上求一点，使最短，则点应选在（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 8．如图，、、是一条公路上的三个村庄，、间的路程为，、间的路程为、现要在之间建一个车站，若要使车站到三个村庄的路程之和最小，则车站应建在___________． 9．如图所示的是某公园的部分路线示意图，则路线①和路线②相比，路程更短的路线是________（填序号）． 10．如图，在中，，，垂直平分线段，P是直线上的任意一点，则周长的最小值是_______． 11．如图所示，在四边形中，，，，，在上找一点，使的值最小，则的最小值为____________． 12．已知平面内四点． 根据要求画图（不要求写作法，但保留作图痕迹）： (1)作射线，线段； (2)在射线上找到一点，使； (3)在图中找一点，使的值最小． 13．如图，点在直线同侧，在直线上取一点，使得最小，对点的位置叙述正确的是（     ） A．作线段的垂直平分线与直线的交点，即为点 B．过点作直线的垂线，垂足即为点 C．作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点，即为点 D．连接并延长与直线的交点，即为点 14．如图，牧马营地在点处，每天牧马人要赶着马群先到草地处吃草，再到河边饮水，最后回到营地，点到a，b的距离分别为，则牧马人所走最短的放牧总路程可能是（     ） A． B． C． D． 15．如图，直线外不重合的两点，，在直线上求一点，使得的长度最短，作法是：①作点关于直线的对称点；②连接交直线于点，则点为所求作的点．在解决这个问题时没有用到的知识或方法是（     ） A．转化思想 B．三角形两边之和大于第三边 C．两点之间线段最短 D．垂线段最短 16．如图是一个底面为正方形的长方体容器，顶点B处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁从顶点A处出发沿侧面爬向点B处．现将顶点A，B所在的两个侧面展开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线，正确的是（    ） A． B． C． D． 17．如图，点P位于内部，点M，N分别在射线，上．若，，则周长的最小值为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 18．如图，在等边中，于点，，点是上一个动点，是边的中点，在点运动的过程中，的最小值是（    ） A．12 B．14 C．18 D．24 19．如图为某工厂厂区示意图，办公大楼在工厂主干道上，车间，与办公大楼的距离皆为，且，．在主干道上选址仓库，从仓库到车间，修建厂区支路，，使得支路总长最短，测得仓库与办公大楼距离为．已修建的支路长为，还需修建的支路的长度用代数式可以表示为__________． 20．如图，在中，D是上一点，连接，将沿折叠，点B的对应点E恰好落在上，M是上一动点，连接，，若，，，则的最小值为______． 21．如图，，，，在，上分别找一点，当的周长最小时，的度数是______． 22．在中，于点D，点M、N分别是线段上的动点，且．当的值最小时，的度数为______． 23．在如图所示的方格中，每个小正方形的顶点都叫做格点，的三个顶点均在格点处，请利用网格作图． (1)画出关于直线对称的；（不需要写出结论，但要标清字母） (2)在直线上找一个点，使最短．（标出点，作图要体现出确定点的过程） 24．如图，在中，平分交于点D，过点D作交于点E，点P是上的动点，点Q是上的动点，则的最小值为（     ） A．5 B．10 C．15 D．20 25．如图，在中，，点O为内一点，过点O分别作，的垂线，垂足分别为点M，N，点P，Q分别为，上的动点，连接，，，当的周长最小时，的度数为（    ） A． B． C． D． 26．如图，在中，，点，分别是，上的点，，点，分别是边，上的动点，在点，运动的过程中，的最小值是（    ） A． B． C． D． 27．如图，已知，点P是内一定点，将军牵马从军营P出发，先到河流边上一点C饮马，再到草地边上一点D吃草，最后回到军营P．当将军走过的路程最短时，则__________． 28．如图，在中，，的面积为12，平分交于，，分别是和上的动点，连接，，则的最小值为________． 29．如图，在中，点，在边上，连接，，满足，且，点在边上，连接交于点．    (1)若平分，，求的度数； (2)如图，若，连接，证明：； (3)在（2）的条件下，如图，点，在边上，且，连接，，已知，，直接写出的最小值． 试卷第1页（共2页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $