专题13.3 三角形的内角与外角（暑假预习讲义）（3大知识点+8大分层题型+易错重难点+巩固练习）2026-2027学年人教版八年级数学上学期培优讲义

专题13.3 三角形的内角与外角 【本节预习目标】 1.经历三角形内角和定理的探究与证明过程，掌握“三角形内角和等于”，能运用定理进行角度计算与简单几何推理。 2.掌握直角三角形“两锐角互余”的性质与“两角互余的三角形是直角三角形”的判定方法，能完成相关计算与形状判断。 3.理解三角形外角的概念，掌握三角形外角的核心性质，能利用外角性质快速求解角度问题。 4.能结合角平分线、高、平行线等知识综合解决角度计算问题，熟悉常见角度几何模型，发展逻辑推理能力。 5.能从生活、医学、工程等实际情境中抽象出三角形角度模型，解决实际问题，提升数学建模核心素养。 【前置旧知回顾】 知识模块 已学旧知 本节新知关联 角的基础 平角等于；角的和差计算 内角和定理的证明依托平角定义，角度计算依赖角的和差运算 平行线 平行线的性质：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补 通过作平行线辅助线，将三角形内角转化为平角或同旁内角，完成内角和定理的证明 三角形初步 小学已知三角形内角和为，能直观识别三类三角形 从直观认知上升到严格几何证明，系统学习内角、外角的性质与判定方法 角平分线 角平分线的定义，能平分任意一个角 内角、外角与角平分线结合的综合计算，是本节高频考查方向 知识点1：三角形内角和定理 1.定理内容 三角形三个内角的和等于。 符号语言：在中，。 2.证明思路 过三角形的一个顶点作一边的平行线，利用平行线的性质，将三个内角转化为一个平角，从而证明内角和为，核心是通过平行线实现角的转移。 3.重要推论 三角形中最多有1个直角或钝角，最少有2个锐角； 三角形中最大的内角不小于，最小的内角不大于。 知识点2：直角三角形的性质与判定 类别 核心内容 符号语言 图例 性质 直角三角形的两个锐角互余 在中， 判定 有两个角互余的三角形是直角三角形 在中，，即是直角三角形 知识点3：三角形的外角 1.外角的定义 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。每个顶点处有两个互为对顶角的外角，一个三角形共有6个外角。 2.外角的性质 核心性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。 符号语言：若是的外角，则。 外角和：在三角形每个顶点处各取一个外角，它们的和为。 【基础巩固题型】 【题型1】直接利用内角和定理求角度 1.核心知识点 三角形内角和定理；角度的比例、和差倍分关系 2.解题方法技巧 ①已知两个内角，直接用减去两个角的和，求解第三个角； ②已知角度比例，设每份角度为，根据内角和列一元一次方程求解； ③已知角的和差倍分关系，结合内角和建立等式，逐步推导未知角。 【例题1】.（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，在中，，的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26七年级下·江苏扬州·期末）将一副直角三角板按如图方式叠放在一起，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（2026·山西太原·二模）如图，将含角的直角三角板和长方形直尺按如图的方式摆放在同一平面内，其中，，三角板的边，与直尺一条边的两个交点分别为点，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）已知是等腰三角形，若，则的底角度数为（    ） A． B． C． D．或 【题型2】三角形外角的识别与计算 1.核心知识点 外角的定义；外角的核心性质 2.解题方法技巧 ①判断外角三要素：顶点在三角形顶点上，一边是三角形的边，另一边是另一边的延长线； ②计算外角时，直接用不相邻的两个内角相加，比用邻补角计算更快捷； ③推论：三角形的外角一定大于任意一个与它不相邻的内角。 【例题2】.（25-26七年级下·河南周口·期末）若等腰三角形的一个外角为，则它的底角为（     ） A． B． C．或 D．或 【变式题2-1】.（2026·河北邢台·二模）下图中一定比的度数大的一个角是（     ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（25-26七年级下·河南周口·期末）一天，妈妈带着淇淇去超市，在停车场时看到如图1所示的地锁，图2为其示意图．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式题2-3】.（2026·内蒙古通辽·模拟预测）如图，点A和点E是边，延长线上的两点，F是上一点，连接，，，，（     ） A． B． C． D． 【题型3】直角三角形两锐角互余的应用 1.核心知识点 直角三角形的性质：两锐角互余 2.解题方法技巧 ①已知直角三角形一个锐角，直接用减去该角，得到另一个锐角； ②图形中有多条高、多个直角时，利用“同角的余角相等”快速推导角相等； ③结合垂直条件先确定直角三角形，再用互余关系计算未知角度。 【例题3】.（25-26七年级下·四川乐山·期末）如图，中，平分，于点．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（2026·四川凉山·中考真题）如图，，，若，则（     ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·广东佛山·期中）在中，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·江西抚州·期中）如图，在中，，，分别是的高、角平分线、中线． (1)若，，则与的周长差为______； (2)若的面积为5，则的面积______； (3)当，时，求的度数． 【培优提升题型】 【题型4】外角性质与平行线的综合应用 1.核心知识点 三角形外角的性质；平行线的性质 2.解题方法技巧 ①利用平行线的同位角、内错角相等，将角度转移到三角形中； ②结合外角性质，将分散的角集中到同一个三角形或外角关系中； ③解题时先标记相等的角，再结合外角公式逐步推导，避免反复用内角和绕路。 【例题4】.（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）如图，，已知，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，在中，，，D是边上一点，连接，将沿折叠，点B落在点处，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式题4-2】.（2026·福建三明·二模）工地手推车主要用于短程运输砖头、沙土、砂浆、混凝土等建筑材料，是建筑工地常用的一种搬运设备，又叫斗车．如图，这是一款工地手推车的平面示意图，其中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式题4-3】.（2026·北京海淀·二模）如图，，且，点在的延长线上．若，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【题型5】内角和与角平分线、高的综合计算 1.核心知识点 三角形内角和定理；角平分线的定义；高的垂直性质 2.解题方法技巧 ①先利用内角和求出总角度，再根据角平分线得到平分后的对应角度； ②结合高的垂直性质，在直角三角形中用两锐角互余计算相关角度； ③经典结论：高与角平分线的夹角（），可用于快速验算结果。 【例题5】.（25-26七年级下·安徽芜湖·期末）已知：如图，，． (1)求证：； (2)若平分，平分，且，求的度数． 【变式题5-1】.（重庆南岸区2025-2026学年下学期期末质量监测试题八年级数学）如图，，分别是的高和角平分线． (1)若，，求和的度数； (2)若，，且，直接写出和的度数（用含，的代数式表示）． 【变式题5-2】.（25-26七年级下·辽宁大连·期中）读句画图：如图，用直尺和三角尺根据下列要求画图： (1)过点作直线； (2)过点作线段直线，垂足为； (3)若，则__________度，理由如下： 直线 ∴____________________（____________________） __________． (4)若，，，则点到的距离为__________． 【变式题5-3】.（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）在中，，三个内角的平分线交于点． (1)填空：如图，若，则的大小为______度； (2)如图，过点作，交于点，证明： ； (3)如图，的延长线交于点．点是边上的一动点（不与点重合），过点作于点，请直接写出、、三者之间的数量关系． 【题型6】三角板叠放中的角度计算 1.核心知识点 三角板的固定角度；内角和与外角性质 2.解题方法技巧 ①牢记两幅三角板的角度：等腰直角三角板为，细长三角板为； ②叠放问题先找公共角、对顶角，再结合内角和或外角性质计算未知角； ③遇到平行、垂直的特殊位置，先利用平行、垂直性质转移角度，再进行计算。 【例题6】.（2026·吉林长春·一模）如图，直线，一副三角板放置在，之间，含的直角三角板的斜边在上，且它较长的直角边与含的直角三角板的斜边在同一直线上．若含的直角三角板的直角顶点在上，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·江西上饶·期中）将一副三角板如图放置，使点落在上，三角板的顶点与三角板的直角顶点重合，若，与交于点，则的度数为_______． 【变式题6-2】.（25-26七年级下·辽宁铁岭·期中）已知直线，现将一个含的三角板按照如图1放置，使点A，B分别在直线上，，，平分交直线于点D，且． (1)求的度数； (2)将一个含有的三角板按照如图2所示放置，直角顶点G与点A重合，直角边与重合．若三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒（）． ①若三角板保持不动，作的平分线，当时，求t的值； ②若三角板同时绕点B以每秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，当边与三角板的一条直角边平行时，直接写出所有满足条件的t的值． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）已知直线，现将一个含的三角板按照如图放置，使点，分别在直线，上，，，平分交直线于点，且． (1)求的度数； (2)将一个含有的三角板按照如图所示放置，直角顶点与点重合，直角边与重合．若将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒（）． ①若三角板保持不动，作的角平分线，当时，求的值； ②若三角板同时绕点以每秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，的角平分线与三角板的一条边平行时，直接写出所有满足条件的t的值． 【压轴素养题型】 【题型7】三角形折叠问题中的角度计算 1.核心知识点 折叠前后对应角相等；三角形内角和定理 2.解题方法技巧 ①折叠前后重合的角相等，先标记出所有相等的对应角； ②结合平角、三角形内角和，建立角度之间的等式关系； ③经典结论：三角形沿折叠，点落在图形内部，则。 【例题7】.（25-26七年级下·河北保定·期中）如图，把的一角折叠，若，则为（    ） A． B． C． D． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·河北沧州·阶段检测）如图，将纸片先沿折叠，再沿折叠，小高说：“知道的度数，就能求出的度数”，若，则的度数为__________． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·四川自贡·阶段检测）如图，是一个三角形的纸片，点分别是边上的两点． (1)如图（1），如果沿直线折叠，且，若，求______． (2)如图（2），如果沿直线折叠后落在四边形内部，探究，和的关系，并说明理由． (3)如果折成图（3）的形状，直接写出，和的关系． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·湖北黄石·阶段检测）综合与实践 问题情境：在综合与实践课上，老师要求同学们以“折纸中的数学”为主题开展活动． 独立思考：（1）如图①，将三角形纸片沿折叠，使点A落在四边形内点的位置，则与之间的数量关系为______，请说明理由； 深入探究：（2）如图②，若点落在四边形的边下方时，试猜想此时与，之间的数量关系，并说明理由； 结论运用：（3）如图③，在四边形中，，E，F分别是，边上的一点，沿将四边形折叠，点A的对应点G恰好落在边上，且．的度数为______； 【题型8】双角平分线模型的角度探究 1.核心知识点 角平分线的定义；三角形内角和与外角性质 2.解题方法技巧 ①双内角平分线模型：两内角平分线交于点，则； ②一内一外角平分线模型：一内角与一外角平分线交于点，则； ③双外角平分线模型：两外角平分线交于点，则； ④解题时优先通过内角和、外角性质逐步推导，结论可用于快速验算。 【例题8】.（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，在中，． (1)如图1，平分，平分，求的度数． (2)如图2，平分，平分外角，求的度数． 【变式题8-1】.（25-26八年级下·甘肃兰州·期中）【教材呈现】下面是北师版八年级下册数学教材习题52页第19题部分内容． 【问题回顾】 (1)已知：如图1，在中，，，分别平分和，的度数是 ． (2)已知：如图2，在中，平分，平分外角，试判断和的数量关系，并说明理由． (3)如图3，平分外角，平分外角，若设，则 ．（用含的式子表示） 【拓展与应用】 (4)如图4，平分，平分，把折叠，使点与点重合，若，则 ． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·河南周口·期中）求解下列各题： (1)【初步认识】如图1，在中，平分，平分．若，则____________；如图2，平分，平分外角，则与的数量关系是_________． (2)【继续探索】如图3，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系． (3)【拓展应用】如图4、是两内角平分线的交点，是两外角平分线的交点，延长，，交于点．请直接写出，与之间的数量关系． 【变式题8-3】.（25-26七年级下·吉林长春·期中）已知，点A，B分别在边上运动，点A、B均不与点O重合． (1)如图1，已知，平分，平分，求的度数； 小明的做法如下，请你补全解题过程： 解：∵ ∴ ∵平分，平分， ∴______，______ ∵ ∴ （______） ______°． (2)如图2，， 平分，平分，的反向延长线交于点D． ①若，则______度； ②点A，B在运动的过程中，是否发生变化，若不变，试求的度数；若变化，说明变化规律． (3)如图3，，平分，平分，平分，的反向延长线交于点O，若线段将分成的两部分，直接写出的度数． 易错点 1、外角概念理解偏差：误将顶点处的内角当作外角，或使用外角性质时加入相邻的内角，忽略“不相邻”的前提条件。 2、直角三角形性质与判定混淆：性质是“由直角得两角互余”，判定是“由两角互余得直角”，推理方向相反，证明题中易出现逻辑颠倒。 3、折叠问题角度对应出错：折叠后对应角找错，或忽略平角、内角和的隐含条件，导致角度计算出现偏差。 4、模型结论死记硬背：不理解模型推导过程，直接套用结论，遇到图形变形、条件变化时无法灵活迁移应用。 重点 1、三角形内角和定理，以及结合角平分线、高、平行线的综合角度计算。 2、三角形外角的核心性质，直角三角形的性质与判定方法。 难点 1、复杂几何图形中的角度推导，掌握常见角度模型的推导过程与灵活应用。 2、规律探究、开放性证明类问题，培养严谨的逻辑推理与归纳探究能力。 一、单选题 1．将一把直尺和一块含和角的三角板按如图所示的位置放置，如果，那么的大小为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，D是边上的一点，，，将沿折叠得到，与交于点F，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．如图，已知，，若平分，且，则的度数为（     ）． A． B． C． D． 二、填空题 4．如图，在中，是斜边上的高，，则为________． 5．如图，若，则________． 6．如图，，，，则的度数为_____ ． 三、解答题 7．如图，已知是的外角的平分线，且交的延长线于点E． (1)若，求的度数； (2)求证：． 8．如图，在中，是边上的高，，． (1)求的度数； (2)若是的角平分线，交于点，求的度数． 9．如图，在中，，垂足为，点在边上，，垂足为，． (1)试说明； (2)若，，求的度数． 10．为提升长治市某小区居民的休闲体验，物业计划在小区内的三角形休闲广场上进行景观升级．设计师借鉴古建筑中对称、规整的布局理念，计划通过广场内角与外角平分线形成的夹角，规划景观灯带的走向与布局．请你帮助设计师完成以下计算，为灯带施工提供数据支持： (1)如图1，在中，，，平分，平分，两条角平分线交于点P，求的度数； (2)如图2，在中，和的外角平分线相交于点D，若，求的度数． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13.3 三角形的内角与外角 【本节预习目标】 1.经历三角形内角和定理的探究与证明过程，掌握“三角形内角和等于”，能运用定理进行角度计算与简单几何推理。 2.掌握直角三角形“两锐角互余”的性质与“两角互余的三角形是直角三角形”的判定方法，能完成相关计算与形状判断。 3.理解三角形外角的概念，掌握三角形外角的核心性质，能利用外角性质快速求解角度问题。 4.能结合角平分线、高、平行线等知识综合解决角度计算问题，熟悉常见角度几何模型，发展逻辑推理能力。 5.能从生活、医学、工程等实际情境中抽象出三角形角度模型，解决实际问题，提升数学建模核心素养。 【前置旧知回顾】 知识模块 已学旧知 本节新知关联 角的基础 平角等于；角的和差计算 内角和定理的证明依托平角定义，角度计算依赖角的和差运算 平行线 平行线的性质：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补 通过作平行线辅助线，将三角形内角转化为平角或同旁内角，完成内角和定理的证明 三角形初步 小学已知三角形内角和为，能直观识别三类三角形 从直观认知上升到严格几何证明，系统学习内角、外角的性质与判定方法 角平分线 角平分线的定义，能平分任意一个角 内角、外角与角平分线结合的综合计算，是本节高频考查方向 知识点1：三角形内角和定理 1.定理内容 三角形三个内角的和等于。 符号语言：在中，。 2.证明思路 过三角形的一个顶点作一边的平行线，利用平行线的性质，将三个内角转化为一个平角，从而证明内角和为，核心是通过平行线实现角的转移。 3.重要推论 三角形中最多有1个直角或钝角，最少有2个锐角； 三角形中最大的内角不小于，最小的内角不大于。 知识点2：直角三角形的性质与判定 类别 核心内容 符号语言 图例 性质 直角三角形的两个锐角互余 在中， 判定 有两个角互余的三角形是直角三角形 在中，，即是直角三角形 知识点3：三角形的外角 1.外角的定义 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。每个顶点处有两个互为对顶角的外角，一个三角形共有6个外角。 2.外角的性质 核心性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。 符号语言：若是的外角，则。 外角和：在三角形每个顶点处各取一个外角，它们的和为。 【基础巩固题型】 【题型1】直接利用内角和定理求角度 1.核心知识点 三角形内角和定理；角度的比例、和差倍分关系 2.解题方法技巧 ①已知两个内角，直接用减去两个角的和，求解第三个角； ②已知角度比例，设每份角度为，根据内角和列一元一次方程求解； ③已知角的和差倍分关系，结合内角和建立等式，逐步推导未知角。 【例题1】.（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，在中，，的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴． 【变式题1-1】.（25-26七年级下·江苏扬州·期末）将一副直角三角板按如图方式叠放在一起，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用直角三角板的性质求出，再利用三角形的内角和为求出，进行求解即可． 【详解】解：如图： 和是两个直角三角板， ， ， ． 【变式题1-2】.（2026·山西太原·二模）如图，将含角的直角三角板和长方形直尺按如图的方式摆放在同一平面内，其中，，三角板的边，与直尺一条边的两个交点分别为点，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角形内角和定理求出然后利用平行线的性质求出，则利用三角形内角和定理即可求得. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【变式题1-3】.（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）已知是等腰三角形，若，则的底角度数为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，已知，未明确是顶角还是底角，因此需要分情况分类讨论计算底角度数． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当是等腰三角形的底角时，底角即为，符合三角形内角和定理； ②当是等腰三角形的顶角时，∵三角形内角和为，等腰三角形两底角相等， ∴底角度数为； 综上，的底角度数为或，故选D． 【题型2】三角形外角的识别与计算 1.核心知识点 外角的定义；外角的核心性质 2.解题方法技巧 ①判断外角三要素：顶点在三角形顶点上，一边是三角形的边，另一边是另一边的延长线； ②计算外角时，直接用不相邻的两个内角相加，比用邻补角计算更快捷； ③推论：三角形的外角一定大于任意一个与它不相邻的内角。 【例题2】.（25-26七年级下·河南周口·期末）若等腰三角形的一个外角为，则它的底角为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先根据外角性质求出相邻内角的度数，再分该内角为等腰三角形顶角或底角两种情况讨论，结合三角形内角和定理计算底角即可. 【详解】解：∵等腰三角形的一个外角为， ∴与该外角相邻的内角度数为. 分两种情况讨论： ① 若角为等腰三角形的顶角 ，则底角为，符合三角形内角和定理. ② 若角为等腰三角形的底角 ，此时顶角为，符合三角形内角和定理. ∴等腰三角形的底角为或. 【变式题2-1】.（2026·河北邢台·二模）下图中一定比的度数大的一个角是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形外角的性质进行判断即可． 【详解】解：∵是的外角， ∴， ∴． 【变式题2-2】.（25-26七年级下·河南周口·期末）一天，妈妈带着淇淇去超市，在停车场时看到如图1所示的地锁，图2为其示意图．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形外角的性质可得，根据邻补角的定义可得，进而即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴ 【变式题2-3】.（2026·内蒙古通辽·模拟预测）如图，点A和点E是边，延长线上的两点，F是上一点，连接，，，，（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形外角的性质进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型3】直角三角形两锐角互余的应用 1.核心知识点 直角三角形的性质：两锐角互余 2.解题方法技巧 ①已知直角三角形一个锐角，直接用减去该角，得到另一个锐角； ②图形中有多条高、多个直角时，利用“同角的余角相等”快速推导角相等； ③结合垂直条件先确定直角三角形，再用互余关系计算未知角度。 【例题3】.（25-26七年级下·四川乐山·期末）如图，中，平分，于点．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，然后在Rt中利用直角三角形两锐角互余求出的度数，最后根据计算即可 【详解】解：， 平分 ． 【变式题3-1】.（2026·四川凉山·中考真题）如图，，，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直定义得出，由平行线的性质得出，从而可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·广东佛山·期中）在中，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直角三角形两锐角互余的性质即可计算求解． 【详解】解：∵在中， ∴直角三角形两锐角和为，即 又∵ ∴ ． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·江西抚州·期中）如图，在中，，，分别是的高、角平分线、中线． (1)若，，则与的周长差为______； (2)若的面积为5，则的面积______； (3)当，时，求的度数． 【答案】(1)3 (2)10 (3) 【分析】（1）是中线，，共线，周长差，就是与的差值； （2）与以所在直线为底，高度相等，是中线，，所以； （3）根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线性质求出，再求出的余角，最后，求出． 【详解】（1）解：是中线， ， ． （2）解：是中线， ， 是的高， ，， ． （3）解：是的高， ， ， ， ， 是的角平分线，， ． 【培优提升题型】 【题型4】外角性质与平行线的综合应用 1.核心知识点 三角形外角的性质；平行线的性质 2.解题方法技巧 ①利用平行线的同位角、内错角相等，将角度转移到三角形中； ②结合外角性质，将分散的角集中到同一个三角形或外角关系中； ③解题时先标记相等的角，再结合外角公式逐步推导，避免反复用内角和绕路。 【例题4】.（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）如图，，已知，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设与交于点，根据平行线的性质得出，再根据三角形外角的性质得出，代入数据计算即可得出答案． 【详解】解：设与交于点，如图所示， ， ， 是的外角， ， ， ． 【变式题4-1】.（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，在中，，，D是边上一点，连接，将沿折叠，点B落在点处，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先由折叠得，，然后根据平行线的性质求出，然后利用三角形外角的性质求解． 【详解】解：由折叠得，， ∵ ∴ ∴ ∴． 【变式题4-2】.（2026·福建三明·二模）工地手推车主要用于短程运输砖头、沙土、砂浆、混凝土等建筑材料，是建筑工地常用的一种搬运设备，又叫斗车．如图，这是一款工地手推车的平面示意图，其中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由两直线平行，内错角相等可得，求出邻补角的定义，再由三角形外角的定义及性质计算即可得出结果． 【详解】解：如图： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式题4-3】.（2026·北京海淀·二模）如图，，且，点在的延长线上．若，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直角三角形两锐角互余求得，利用平行线的性质求得，再利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【题型5】内角和与角平分线、高的综合计算 1.核心知识点 三角形内角和定理；角平分线的定义；高的垂直性质 2.解题方法技巧 ①先利用内角和求出总角度，再根据角平分线得到平分后的对应角度； ②结合高的垂直性质，在直角三角形中用两锐角互余计算相关角度； ③经典结论：高与角平分线的夹角（），可用于快速验算结果。 【例题5】.（25-26七年级下·安徽芜湖·期末）已知：如图，，． (1)求证：； (2)若平分，平分，且，求的度数． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得到，，据此可证明结论； （2）根据平行线的性质得到，，由角平分线的定义得到，进而求出的度数，再由三角形内角和定理可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：， ，， 平分， ， ，        平分， ， ． 【变式题5-1】.（重庆南岸区2025-2026学年下学期期末质量监测试题八年级数学）如图，，分别是的高和角平分线． (1)若，，求和的度数； (2)若，，且，直接写出和的度数（用含，的代数式表示）． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先利用三角形内角和求出，结合角平分线定义得到，再用内角和算出；根据高线得到直角，利用直角三角形两锐角互余求出，最后作差得到； （2）先用三角形内角和表示出，结合角平分线得到，代入内角和公式化简求出；再由高线推出，通过角度相减化简得到的代数式． 【详解】（1）解：在中，由三角形内角和定理得：， 是的角平分线， ， 在中，由三角形内角和定理得：， 是的高， ， 在中，， ； （2）解：在中，由三角形内角和定理得：， 是的角平分线， ， 在中，由三角形内角和定理得：， 是的高， ， 在中，， ． 【变式题5-2】.（25-26七年级下·辽宁大连·期中）读句画图：如图，用直尺和三角尺根据下列要求画图： (1)过点作直线； (2)过点作线段直线，垂足为； (3)若，则__________度，理由如下： 直线 ∴____________________（____________________） __________． (4)若，，，则点到的距离为__________． 【答案】(1)如图，直线即为所求， (2)如图，线段即为所求， (3)60；；两直线平行，内错角相等；60 (4) 【分析】（1）用推平行线法作直线即可； （2）用三角板作垂线即可； （3）根据平行线的性质求解即可； （4）根据等面积法表示出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：若，则度，理由如下： 直线， ∴（两直线平行，内错角相等）， ． （4）解：∵， ∴，是直线与之间的距离， ∵，， ∴， 设点A到的距离为， ∴， ∵， ∴， 解得：， 即点A到的距离为． 【变式题5-3】.（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）在中，，三个内角的平分线交于点． (1)填空：如图，若，则的大小为______度； (2)如图，过点作，交于点，证明： ； (3)如图，的延长线交于点．点是边上的一动点（不与点重合），过点作于点，请直接写出、、三者之间的数量关系． 【答案】(1)125 (2)∵分别是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴； (3)或 【分析】（1）先由三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求得，即可由三角形内角和定理求解； （2）先由三角形内角和定理以及角平分线定义求得，从而得到，再由， 可得，即可得出结论； （3）分两种情况：当点M在线段上时；当点M在线段的延长线上时，画出图形，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵三个内角的平分线交于点， ∴分别是的平分线， ∴，， ∴， ∴； （2）略 （3）解：如图，当点M在线段上时， ∵，， ∴ ， ∵，即， ∵， ∴， 即； 当点M在线段的延长线上时，如图， 同理， ∵，即， ∴ 即； 综上所述，、、三者之间的数量关系为或． 【题型6】三角板叠放中的角度计算 1.核心知识点 三角板的固定角度；内角和与外角性质 2.解题方法技巧 ①牢记两幅三角板的角度：等腰直角三角板为，细长三角板为； ②叠放问题先找公共角、对顶角，再结合内角和或外角性质计算未知角； ③遇到平行、垂直的特殊位置，先利用平行、垂直性质转移角度，再进行计算。 【例题6】.（2026·吉林长春·一模）如图，直线，一副三角板放置在，之间，含的直角三角板的斜边在上，且它较长的直角边与含的直角三角板的斜边在同一直线上．若含的直角三角板的直角顶点在上，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·江西上饶·期中）将一副三角板如图放置，使点落在上，三角板的顶点与三角板的直角顶点重合，若，与交于点，则的度数为_______． 【答案】 【分析】利用平行线的性质得到，再利用三角形外角的性质计算即可． 【详解】解：， ， ． 【变式题6-2】.（25-26七年级下·辽宁铁岭·期中）已知直线，现将一个含的三角板按照如图1放置，使点A，B分别在直线上，，，平分交直线于点D，且． (1)求的度数； (2)将一个含有的三角板按照如图2所示放置，直角顶点G与点A重合，直角边与重合．若三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒（）． ①若三角板保持不动，作的平分线，当时，求t的值； ②若三角板同时绕点B以每秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，当边与三角板的一条直角边平行时，直接写出所有满足条件的t的值． 【答案】(1) (2)①2或8；②或或或 【分析】（1）先利用三角形内角和求出，由平行线的性质得，结合角平分线求出，进而即可求解； （2）①分在右边和左边两种情况，根据旋转性质表示出，结合角平分线定义及角的和差关系列方程求解；②分和两大情况，每种情况再细分小情况，利用平行线性质、旋转性质，结合角的和差关系列方程求解． 【详解】（1）解：中，，， ， ， ， 平分， ， ； （2）解：①依题意有以下两种情况： （ⅰ）当在的右边时，如图1所示： 由旋转得， 由（1）得，， ， 平分， ， ， ， 解得； （ⅱ）当在的左边时，如图2所示： 同理可得， ，， ， 解得， 综上所述，t的值为2或8； ②当时，有两种情况： （a）如图3所示，延长交于点K， ， ， 由旋转得，， ， ， ， 解得； （b）如图4所示，延长交于点W， 同理得：，， ， ， ， ， ， 解得； 当时，也有两种情况： （a）如图5所示，延长交于点R， 同理得：，，， ， ， ， ， ， 解得； （b）如图6所示，延长交于点T， 同理得：，，，， ， ， ， ， ， 解得； 综上所述，当边与三角板的一条直角边平行时，t的值为或或或． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）已知直线，现将一个含的三角板按照如图放置，使点，分别在直线，上，，，平分交直线于点，且． (1)求的度数； (2)将一个含有的三角板按照如图所示放置，直角顶点与点重合，直角边与重合．若将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒（）． ①若三角板保持不动，作的角平分线，当时，求的值； ②若三角板同时绕点以每秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，的角平分线与三角板的一条边平行时，直接写出所有满足条件的t的值． 【答案】(1) (2)①或；②1或4或7或13 【分析】（1）先利用三角形内角和求出，再根据平行线性质得，结合角平分线求出，进而求出，最后由平角求出． （2）①分在右边和左边两种情况，根据旋转性质表示出，结合角平分线定义及角的和差关系列方程求解． ②分四种情况：当时，当，在下方时，当，在上方时，当时，分别画出图形，根据平行线的性质，列出方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：①依题意有以下两种情况： （ⅰ）当在的右边时，如图所示： 由旋转的性质得：， 由（1）得：，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， 解得：； （ⅱ）当在的左边时，如图所示： 同理得：， ∴ 由得：， ∴， 解得：， 综上所述：的值为或； ②开始旋转时，如图所示： ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转， ∴绕点以每秒的速度逆时针旋转， ∵平分， ∴绕点以每秒的速度逆时针旋转； ∴， 当时，如图所示： ∵， ∴， 根据三角形内角和定理可得：， ∵， ∴， ∴， 解得：； 当，在下方时，如图所示： 根据旋转可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； 当，在上方时，如图所示： 根据旋转可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； 当时，如图所示： 根据旋转可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； 综上，的角平分线与三角板的一条边平行时，t的值为1或4或7或13． 【点睛】本题主要考查平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理以及图形的旋转，熟练掌握平行线的性质（两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补 ）、角平分线的定义（将一个角分成两个相等的角 ）、三角形内角和定理（三角形内角和为 ）以及准确分析图形旋转过程中角的变化关系是解题的关键． 【压轴素养题型】 【题型7】三角形折叠问题中的角度计算 1.核心知识点 折叠前后对应角相等；三角形内角和定理 2.解题方法技巧 ①折叠前后重合的角相等，先标记出所有相等的对应角； ②结合平角、三角形内角和，建立角度之间的等式关系； ③经典结论：三角形沿折叠，点落在图形内部，则。 【例题7】.（25-26七年级下·河北保定·期中）如图，把的一角折叠，若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先，由折叠的性质得，然后，根据平角的定义及，得，进而得，最后，根据三角形的内角和定理得． 【详解】解：如图， ∵把的一角折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·河北沧州·阶段检测）如图，将纸片先沿折叠，再沿折叠，小高说：“知道的度数，就能求出的度数”，若，则的度数为__________． 【答案】/80度 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，折叠的性质等知识，由三角形内角和定理得出，由折叠的性质可知：，，进而可得出，进而可得出，再根据邻补角的定义即可求出答案． 【详解】解：在中，， 则， 由折叠的性质可知：，， ， ， ， 故答案为：． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·四川自贡·阶段检测）如图，是一个三角形的纸片，点分别是边上的两点． (1)如图（1），如果沿直线折叠，且，若，求______． (2)如图（2），如果沿直线折叠后落在四边形内部，探究，和的关系，并说明理由． (3)如果折成图（3）的形状，直接写出，和的关系． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，翻折变换，熟知以上知识是解题的关键． （1）先根据折叠性质得，然后根据三角形外角性质易得即可求得结果； （2）连接，先根据三角形外角性质得，，则，整理可得结论； （3）由折叠性质得，，，再根据三角形内角和得，接着利用平角定理得到，然后整理即可得到答案． 【详解】（1）解：沿直线折叠，且， 点落在上，如图（1）， ∴， ； 故答案为：； （2）解：， 理由：连接，如图， ∵，， ， 又， ； （3）解：． 理由：如图（3），由翻折可得：，，， ∵， ∴ ， ． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·湖北黄石·阶段检测）综合与实践 问题情境：在综合与实践课上，老师要求同学们以“折纸中的数学”为主题开展活动． 独立思考：（1）如图①，将三角形纸片沿折叠，使点A落在四边形内点的位置，则与之间的数量关系为______，请说明理由； 深入探究：（2）如图②，若点落在四边形的边下方时，试猜想此时与，之间的数量关系，并说明理由； 结论运用：（3）如图③，在四边形中，，E，F分别是，边上的一点，沿将四边形折叠，点A的对应点G恰好落在边上，且．的度数为______； 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质，三角形外角的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）连接，由折叠的性质得出．由三角形外角的性质可得出结论； （2）由三角形外角的性质得出，则可得出结论； （3）①延长交的延长线于L，由（2）中结论可知，求出．则可得出答案． 【详解】解：（1），理由如下： 如图①，连接， 将三角形纸片沿折叠，点A落在四边形内点的位置， ． ， ， 即； 故答案为：； （2），理由如下： 如图②，设与交于点F， ， ， ； （3）如图③，延长交的延长线于L，由（2）中结论可知， ， ． ， ． 故答案为：． 【题型8】双角平分线模型的角度探究 1.核心知识点 角平分线的定义；三角形内角和与外角性质 2.解题方法技巧 ①双内角平分线模型：两内角平分线交于点，则； ②一内一外角平分线模型：一内角与一外角平分线交于点，则； ③双外角平分线模型：两外角平分线交于点，则； ④解题时优先通过内角和、外角性质逐步推导，结论可用于快速验算。 【例题8】.（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，在中，． (1)如图1，平分，平分，求的度数． (2)如图2，平分，平分外角，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，，再结合三角形内角和定理可得，即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，，再由三角形外角的性质可得，，即可求解． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴． （2）解：∵平分，平分外角， ∴，． ∵，， ∴． 【变式题8-1】.（25-26八年级下·甘肃兰州·期中）【教材呈现】下面是北师版八年级下册数学教材习题52页第19题部分内容． 【问题回顾】 (1)已知：如图1，在中，，，分别平分和，的度数是 ． (2)已知：如图2，在中，平分，平分外角，试判断和的数量关系，并说明理由． (3)如图3，平分外角，平分外角，若设，则 ．（用含的式子表示） 【拓展与应用】 (4)如图4，平分，平分，把折叠，使点与点重合，若，则 ． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) (4) 【分析】（1）根据角平分线的定义结合三角形的内角和定理，即可得出结果； （2）根据角平分线的定义结合三角形的外角的性质，即可得出结果； （3）根据角平分线的定义结合三角形的外角的性质，即可得出结果； （4）根据折叠的性质，平角的定义，以及（1）中的结论进行求解即可． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∵，分别平分和， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵平分，平分外角， ∴，， ∵是的外角，是的外角， ∴， ∴，即， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （4）解：∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， 由（1）得：． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·河南周口·期中）求解下列各题： (1)【初步认识】如图1，在中，平分，平分．若，则____________；如图2，平分，平分外角，则与的数量关系是_________． (2)【继续探索】如图3，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系． (3)【拓展应用】如图4、是两内角平分线的交点，是两外角平分线的交点，延长，，交于点．请直接写出，与之间的数量关系． 【答案】(1)    ； (2) (3) 【分析】（1）如图1，由角平分线可得，，由三角形内角和可求，根据，计算求解即可；如图2，由角平分线与外角可得，整理即可； （2）由角平分线可得，，由，可得，则根据，计算求解即可； （3）由（1）、（2）的结论即可得出． 【详解】（1）解：如图1，，分别平分，， ，． 如图2，∵平分，平分外角， ∴，． ，， ． ∴ （2）解：，， ，， ． （3）解：由（1）得，， 由（2）得，， ∴， ∴． 【变式题8-3】.（25-26七年级下·吉林长春·期中）已知，点A，B分别在边上运动，点A、B均不与点O重合． (1)如图1，已知，平分，平分，求的度数； 小明的做法如下，请你补全解题过程： 解：∵ ∴ ∵平分，平分， ∴______，______ ∵ ∴ （______） ______°． (2)如图2，， 平分，平分，的反向延长线交于点D． ①若，则______度； ②点A，B在运动的过程中，是否发生变化，若不变，试求的度数；若变化，说明变化规律． (3)如图3，，平分，平分，平分，的反向延长线交于点O，若线段将分成的两部分，直接写出的度数． 【答案】(1)，，，135． (2)①；②不变，理由见解析 (3)或． 【分析】（1）先利用角平分线的定义和三角形内角和定理求解即可； （2）①利用三角形的外角求出，再利用角平分线的定义求出和即可， ②利用①的思路可得即可解答； （3）分两种情况：①当时，②当时，利用角平分线的定义与三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵平分，平分， ∴，， ∵ ∴ ． （2）解：①，， ， ∵平分，平分， ，， ． ②不变，理由如下： ∵平分，平分， ，， ． （3）解：∵线段将分成的两部分， ∴分两种情况： ①当时，设，则，， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴； ②当时，设，则， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴． 综上，的度数为或． 易错点 1、外角概念理解偏差：误将顶点处的内角当作外角，或使用外角性质时加入相邻的内角，忽略“不相邻”的前提条件。 2、直角三角形性质与判定混淆：性质是“由直角得两角互余”，判定是“由两角互余得直角”，推理方向相反，证明题中易出现逻辑颠倒。 3、折叠问题角度对应出错：折叠后对应角找错，或忽略平角、内角和的隐含条件，导致角度计算出现偏差。 4、模型结论死记硬背：不理解模型推导过程，直接套用结论，遇到图形变形、条件变化时无法灵活迁移应用。 重点 1、三角形内角和定理，以及结合角平分线、高、平行线的综合角度计算。 2、三角形外角的核心性质，直角三角形的性质与判定方法。 难点 1、复杂几何图形中的角度推导，掌握常见角度模型的推导过程与灵活应用。 2、规律探究、开放性证明类问题，培养严谨的逻辑推理与归纳探究能力。 一、单选题 1．将一把直尺和一块含和角的三角板按如图所示的位置放置，如果，那么的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可确定，，再根据三角形外角的性质即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 2．如图，在中，D是边上的一点，，，将沿折叠得到，与交于点F，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据翻折的性质求出，然后利用三角形的外角定理求解． 【详解】解：根据翻折的性质可得， ∴， ∴． 3．如图，已知，，若平分，且，则的度数为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图：连接，利用三角形内角和定理可得、，进而得到；利用角平分线的定义可得，最后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵在中，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 二、填空题 4．如图，在中，是斜边上的高，，则为________． 【答案】35 【分析】根据直角三角形两锐角互余，结合同角的余角相等可得． 【详解】解：∵在中，是斜边上的高， ∴， ∴， ∴． 5．如图，若，则________． 【答案】 【分析】利用三角形内角和为求得，结合推导出的数值． 【详解】解：如图， ， ∴， ∵， ∴， ， ． 6．如图，，，，则的度数为_____ ． 【答案】 【分析】先根据垂直的定义得，由三角形内角和定理求出，再根据三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 三、解答题 7．如图，已知是的外角的平分线，且交的延长线于点E． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明：∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即． 【分析】（1）由题意易得，则有，即可求解； （2）由题意易得，然后根据三角形外角的性质可进行求证． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）略 8．如图，在中，是边上的高，，． (1)求的度数； (2)若是的角平分线，交于点，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由三角形内角和定理可求得的度数，再由直角三角形的两锐角互余可求得的度数； （2）先由角平分线的性质可求得的度数，再由外角的性质可求得的度数． 【详解】（1）解：，，， ， 是边上的高， ， ； （2）解：是的角平分线， ， 是的一个外角， ． 9．如图，在中，，垂足为，点在边上，，垂足为，． (1)试说明； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)解：，， ， ， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）先根据垂直定义得出，根据平行线判定可得出，故可得出，推出，根据平行线的判定即可得出结论； （2）先根据得出，由直角三角形的性质得出的度数，故可得出的度数，再根据平行线的性质即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）解：在中，，， ， ， 又， ． 10．为提升长治市某小区居民的休闲体验，物业计划在小区内的三角形休闲广场上进行景观升级．设计师借鉴古建筑中对称、规整的布局理念，计划通过广场内角与外角平分线形成的夹角，规划景观灯带的走向与布局．请你帮助设计师完成以下计算，为灯带施工提供数据支持： (1)如图1，在中，，，平分，平分，两条角平分线交于点P，求的度数； (2)如图2，在中，和的外角平分线相交于点D，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义求出相关角的度数，然后利用三角形内角和定理求解； （2）根据三角形内角和定理得出，利用角平分线得出，然后利用三角形内角和定理求解． 【详解】（1）解：∵，，平分，平分， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵和的外角平分线相交于点D， ∴， ∴， ∴． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $