江西省南昌市高三数学一轮复习导数的概念及其几何意义、导数的运算（北师大版）

一、作品基础信息 项目 填写内容 作品名称 导数的概念及其几何意义、导数的运算 学段学科 高中 适用年级 高三年级 教材版本 北师大版 对应内容 一轮复习，第二章，第一节 作业类型 备考复习作业 完成时长 总时长45分钟 设计者 吴飞 二、设计背景与意图 1. 课标与教材分析 课标要求：本作业对应的学科核心素养是数学运算、直观想象、逻辑推理，需达成水平2学业质量标准。学生能够理解导数的几何意义，会求基本初等函数的导数，能利用导数求解切线相关问题。 · 教材地位：导数是微积分的基础，导数的运算与几何意义是研究函数单调性、极值最值的前置工具；本节课承载“局部近似、以直代曲”核心思想，培养学生运算求解、数形结合分析问题的能力，为后续导数综合大题打下基础。 教学重难点：导数的运算、导数的几何意义，求函数在某点处切线、过某点的切线方程。 难点：区分“在某点的切线”与“过某点的切线”；切线斜率与平行垂直关系综合；恒成立背景下切线斜率范围问题。 · 2. 学情分析 维度 具体描述 已有基础 学生已经复习完基本初等函数，初步掌握导数公式与四则运算法则，知道导数的几何意义是切线斜率，会简单求切线方程。 现有困惑 混淆“在点处切线”和“过点的切线”；复合函数、乘积函数求导运算出错；切线与直线平行、垂直综合问题不会转化；过原点等外部点求切点容易直接代点计算，忽略设切点的步骤。 差异分析 基础薄弱学生：导数公式记忆不准，运算失误多，只能完成直接套公式的简单切线题；中等学生能解决基础切线，对过点切线、恒成立综合题容易丢分；优生可以熟练解决常规切线，需要训练创新开放型填空、多选项综合辨析题。 3. 设计意图 本套高三一轮复习作业围绕导数运算、导数几何意义（切线）为主线，设置单选、多选、填空、解答分层题型，由基础求导辨析，到定点切线、过点切线、切线平行垂直、切线与面积、开放性构造函数，层层递进，落实数学运算与逻辑推理素养，诊断学生求导运算漏洞与切线问题易错点，兼顾不同层次学生训练需求，夯实一轮复习基础，提升学生处理切线综合题型的应试能力。 三、作业目标 目标维度 编号 具体目标 对应核心素养 评价证据 知识理解 A 复述导数基本求导公式、四则运算法则；辨析导数运算正误；理解导数几何意义为切线斜率，区分“在某点切线”与“过某点切线” 数学运算 选择题正确率，切线概念答题表述 能力运用 B 会计算函数在指定点切线方程；会求过外部点的切线、利用切线平行垂直条件求参数；能结合切线斜率恒成立求解参数范围；会结合切线与坐标轴围成面积建立方程求解参数 数学运算、逻辑推理 计算题步骤书写、参数求解结果 思维发展 C 能对切线相关选项做多角度辨析；能根据限制条件构造满足要求的函数；能处理切线综合情境下的推理运算问题 逻辑推理、直观想象 多选题选择、开放填空题构造、解答题推理过程 情感态度 D 体会“以直代曲”微积分思想；养成规范求导、规范书写切线解题步骤习惯，主动发现运算错误并订正 数学抽象 错题订正，解题步骤完整性 四、作业评价 维度 A（优秀） B（良好） C（待改进） 权重 得分 知识理解 基础题全对，导数公式、切线概念理解精确，能区分“在某点切线”“过某点切线” 少量运算细节错误，概念基本理解，偶尔混淆两类切线 较多基础求导公式错误，分不清切线两类题型 20% 能力运用 求导方法恰当，切线解题过程完整清晰，参数求解逻辑严谨 求导方法基本正确，个别综合题计算出错，步骤略有缺失 求导公式误用，切线解题方法错误，关键步骤缺失 30% 思维发展 多选、开放填空题完成质量高；解答题论证思路清晰，构造函数合理，有自我检验意识 多选题少量漏选，开放题可以写出正确答案，解题思路清楚，深度不足 思路混乱，不会处理过点切线、恒成立综合问题，开放题无法作答 30% 情感态度 按时完成作业，解题步骤书写规范；错题主动订正，能反思自己求导、切线易错点 态度端正，全部完成作业，书写较工整；能完成订正 态度消极，存在空白题目，书写潦草，不订正错题 20% 5、 试题内容 导数的概念及其几何意义、导数的运算 一、单项选择题 1．下列求导运算不正确的是(　　) A． B． C． D． 2．已知，若，则(　　) A． B． C． D．e 3．函数f(x)＝xex－2ex＋x＋e在(1，f(1))处的切线方程为(　　) A． B． C． D． 4．设函数在处的切线与直线平行，则(　　) A．－2 B．2 C．－1 D．1 5．已知函数的图象在点处的切线斜率为2，则(　　) A．－1 B．1 C．－2 D．2 6．若函数f(x)＝2ln x＋x2＋mx＋1的图象上任意一点的切线的斜率都大于0，则实数m的取值范围为(　　) A．(－∞，－4) B．(－∞，4) C．(－4，＋∞) D．(4，＋∞) 7．已知函数，.若曲线和在公共点处有相同的切线，则，的值分别为(　　) A． B． C． D． 8．已知曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为，则(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 二、多项选择题 9．下列命题为真命题的有（    ） A．若，则 B．若函数，则 C．若，则 D．曲线上点处切线的倾斜角的取值范围是 10．已知函数的导函数为，且，，则（    ） A． B． C． D． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 三、填空题 11．若曲线在处切线的倾斜角为，则__________． 12.过坐标原点作曲线的切线，则切点的横坐标为__________． 四、解答题 13．已知函数. (1)求曲线y＝f(x)在点处的切线方程； (2)直线l为曲线的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标． 6、 答案 导数的概念及其几何意义、导数的运算 1．解析：根据导数的四则运算法则和常用函数导数公式知(ln 3)′＝0，故选项B不正确．故选B. 答案：B 2．解析：因为f(x)＝ln ＝－ln x．所以f′(x)＝－， 由f′(x0)＝－＝，解得x0＝－e.故选B. 答案：B 3．解析：f′(x)＝ex＋xex－2ex＋1＝(x－1)ex＋1，f′(1)＝1，f(1)＝1，所以所求切线方程为y－1＝x－1，即y＝x.故选A. 答案：A 4．解析：函数f(x)＝ln (x＋a)的定义域为(－a，＋∞)， 由已知1>－a，故a>－1， 函数f(x)＝ln (x＋a)的导函数f′(x)＝， 所以f′(1)＝， 因为函数f(x)＝ln (x＋a)在x＝1处的切线与直线y＝＋1平行， 所以＝，所以a＝1，经验证，此时满足题意．故选D. 答案：D 5．解析：由函数f(x)＝x2ex－1－ax，可得f′(x)＝(x2＋2x)ex－1－a， 因为函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线斜率为2， 可得f′(1)＝3－a＝2，解得a＝1.故选B. 答案：B 6．解析：f(x)的定义域是(0，＋∞)， 依题意，f′(x)＝＋2x＋m>0恒成立， 即－m<＋2x恒成立， 由于＋2x≥2 ＝4， 当且仅当＝2x，x＝1时等号成立， 所以－m<4，m>－4.故选C. 答案：C 7．解析：因为g′(x)＝2x－1，所以g′(1)＝1，f′(x)＝ex－a， 由题意，解得故选A. 答案：A 8．解析：由题意可得y＝ex－m，y′＝ex－m，则y|x＝2＝e2－m，y′|x＝2＝e2－m， 即切点坐标为(2，e2－m)，斜率k＝e2－m， 切线方程为y－e2－m＝e2－m(x－2)， 令x＝0，解得y＝－e2－m，即切线与y轴交点坐标为(0，－e2－m)； 令y＝0，解得x＝1，即切线与x轴交点坐标为(1，0)； 可得与坐标轴围成的面积为×1×|－e2－m|＝＝，解得m＝1.故选A. 答案：A 9．解析：，这是常数，常数的导数为0，所以，A选项正确； ， 求导得：，代入， ，B选项错误； ，对求导： ， 令：， 移项：，C选项正确； ，求导：， ， 设倾斜角为，，， 当时，， 当时，，D选项错误. 答案：AC 10．解析：已知，且，则，即， 令，求导得： ，故在定义域上单调递减， 已知，则； 在定义域上单调递减，则，故，解得， ，故，故A正确，B错误； 由单调性知，，， 故C正确，D错误． 11．解析：y′＝－，则y′|x＝2＝，故切线的斜率为，即tan α＝. 答案： 12．解析：由y＝(x＋2)ex可得y′＝(x＋3)ex，设切点坐标为(x0，y0)， 所以切线斜率k＝(x0＋3)ex0，又因为y0＝(x0＋2)ex0， 则切线方程为y－(x0＋2)ex0＝(x0＋3)ex0(x－x0)， 把(0，0)代入并整理可得x＋2x0－2＝0，解得x0＝－1＋或x0＝－1－. 答案：－1＋或－1－ 13．解析：(1)由f(x)＝x3＋x－16，得f′(x)＝3x2＋1， 所以f′(2)＝3×22＋1＝13， 所以曲线y＝f(x)在点(2，6)处的切线方程为y－6＝13(x－2)，即13x－y－20＝0. (2)设切点为(x0，x＋x0－16)，由(1)得f′(x0)＝3x＋1， 所以切线方程为y－(x＋x0－16)＝(3x＋1)(x－x0)， 因为切线经过原点， 所以－(x＋x0－16)＝－x0(3x＋1)， 所以2x＝－16，x0＝－2. 则f′(－2)＝3×(－2)2＋1＝13， 所以所求的切线方程为y＝13x，切点为(－2，－26). $