专题02 一元一次方程应用行程与工程问题（题型专练）数学新教材北师大版七年级上册

专题02 一元一次方程应用:行程与工程问题 （题型突破·举一反三） 题型01 相遇问题 题型02 追及问题 题型03 流水行船问题 题型04 环形跑道问题 题型05 火车过桥问题 题型06 火车错车问题 题型07 工程问题 ▌题型01 相遇问题 1.本质与原理 相遇问题是指两个运动物体从不同地点出发，相向而行，最终在途中某点相遇。其核心等量关系是：两人所走的路程之和等于两地之间的总距离。基本公式为：，即 （若同时出发，则时间相同）。相遇问题的本质是“路程的叠加”——两个物体共同走完了全程。 2.深度识别特征 题目中出现“相向而行” “相对而行” “迎面走来” “从两地同时出发”等关键词。 通常给出两地距离、两人速度，求相遇时间；或给出相遇时间、速度，求距离；或给出距离、时间，求某一方速度。 可能有一方先出发或中途停留的情况，此时时间不再相同。 常见情境：甲乙两人从两地相向而行、两车从两地相对开出、两人合作走完一段路等。 3.操作细化步骤 画线段示意图：画一条线段表示总路程，两端标出出发点和方向箭头，中间标出相遇点。 标注已知量和未知量：将速度、时间、路程分别标注在图上。 设未知数：通常设相遇时间为 （若同时出发），或设某一方速度为 。 用含 的代数式表示各路程： 甲走的路程 = 甲的速度 × 甲的时间； 乙走的路程 = 乙的速度 × 乙的时间。 列方程：根据“甲路程 + 乙路程 = 总路程”列方程。 解方程并检验：求出未知数，检验是否符合实际意义（时间、速度、路程均为正数）。 4.易错点与注意事项 时间不一致：若一方先出发，则两方运动时间不同，不能直接用同一个 。需分别表示各自的时间。 单位不统一：速度单位（km/h、m/s）与时间单位（h、min、s）必须统一，路程单位也要对应。 相遇点位置：相遇点应在两地之间，若解出相遇点在两地之外，说明方程列错或题意理解有误。 “相向”与“同向”混淆：相向是面对面，同向是追及，两者等量关系完全不同。 中途停留：若某人中途停留，其实际运动时间 = 总时间 - 停留时间。 5.与其他方法的联系 与“追及问题”对应——相遇是路程之和等于总距离，追及是路程之差等于初始距离。 与“环形跑道问题”中的“相遇”情形一致——环形跑道上的相遇本质上也是路程之和等于一圈。 与“火车错车问题”类似——两车错车也是路程之和等于两车长度之和。 与“工程问题”有共同思想——合作完成工作对应相遇中的“共同走完全程”。 6.变化形式 一方先出发：如甲先走1小时，乙再出发，则甲的时间比乙多1小时。 中途相遇后继续走：相遇后继续前行，求到达对方出发点的时间。 多次相遇：两人在两地间往返行走，第二次、第三次相遇。 相遇后距离某地还有多远：结合相遇后的运动状态求解。 含停留的相遇：一方到达某地后返回再相遇。 【典例1】我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有凫起南海，七日至北海．雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问：何日相逢？其大意为：野鸭从南海飞到北海用7天，大雁从北海飞到南海用9天．它们从两地同时起飞，几天后相遇？设天后相遇，根据题意所列方程正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式1-1】甲、乙两同学从400米环形跑道上的某一点背向出发，分别以每秒2米和每秒3米的速度跑步．6秒钟后，一只小狗从甲处以每秒6米的速度向乙跑，遇到乙后，又从乙处以每秒6米速度向甲跑，如此往返，直至甲乙第一次相遇，那么小狗一共跑了_______米 ． 【变式1-2】A，B两地相距260千米．甲，乙两车分别从A，B两地出发，相向而行．甲车先出发1小时，乙车出发2小时后与甲车相遇．已知甲车每小时行驶千米，乙车每小时比甲车多行5千米．请根据下面示意图中的等量关系列方程，并求甲、乙两车的速度． 【变式1-3】甲、乙两车分别从A、B两地出发沿同一公路相向而行，已知乙车的速度是甲车速度的1.5倍，A、B两地相距180公里． (1)若甲车比乙车先出发1小时，则乙车出发2小时恰好与甲车相遇，求甲车的速度； (2)若甲、乙两车同时出发，则甲车到B地的时间比乙车到A地的时间晚1小时，求甲车的速度． 【变式1-4】A、B两地相距3千米，甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发步行到A地，两人同时出发，20分钟后两人相遇，又经过10分钟，甲所余路程为乙所余路程的2倍． (1)求甲、乙每小时各行多少千米？ (2)在他们出发后几分钟两人相距1.5千米（直接写出结果）？ ▌题型02 追及问题 1.本质与原理 追及问题是指两个运动物体同向而行，速度慢的在前，速度快的在后，最终后者追上前者。其核心等量关系是：追者所走的路程减去被追者所走的路程等于初始距离差。基本公式为：，即 （若同时出发，时间相同）。追及问题的本质是“路程的差值”——速度差乘以时间等于初始距离。 2.深度识别特征 题目中出现“同向而行” “追及” “赶上” “追上” “从后面出发”等关键词。 通常给出初始距离、两者速度，求追及时间；或给出追及时间、速度，求初始距离。 可能有一方先出发或中途停留的情况。 常见情境：甲追乙、汽车追自行车、快车追慢车等。 3.操作细化步骤 画线段示意图：画一条线段表示运动路径，标出起点位置和追及点，用不同标记区分快慢两者。 标注已知量和未知量：标明初始距离、速度、时间。 设未知数：通常设追及时间为 ，或设某一方速度为 。 用含 的代数式表示各路程： 快者路程 = 快者速度 × 快者时间； 慢者路程 = 慢者速度 × 慢者时间。 列方程：根据“快者路程 - 慢者路程 = 初始距离”列方程。 解方程并检验：求出未知数，检验是否符合实际意义。 4.易错点与注意事项 时间不一致：若慢者先出发，则快者运动时间较短，需分别表示时间。 初始距离的确定：初始距离是追及开始时刻两者之间的距离，不是出发时的距离（若一方先走了一段）。 “追上”的位置：追上时两者在同一位置，快者总路程 = 慢者总路程 + 初始距离。 速度差的理解：追及时间 = 初始距离 ÷ 速度差，这是核心公式。 环形跑道中的追及：追及路程差为整数圈的长度（见题型四）。 5.与其他方法的联系 与“相遇问题”对应——相遇是速度和，追及是速度差。 与“环形跑道问题”中的“追及”情形一致——环形跑道上的追及本质上也是路程之差等于一圈。 与“火车过桥问题”中的“完全通过”有相似之处——都是路程差的概念。 与“工程问题”中的“效率差”有相通之处。 6.变化形式 慢者先出发：如乙先走2小时，甲再追，则甲的时间比乙少2小时。 追及后继续走：追上后两者继续前行，求再次相距某距离的时间。 多次追及：环形跑道上的多次追及。 含停留的追及：追者中途停留，被追者继续前进。 速度变化的追及：如先以某速度追，之后加速再追。 【典例1】我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书，有一道题目是：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里.驽马先行一十二日，问良马几何日追及之.”译文是：“跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里.慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？”若慢马和快马从同一地点出发，设快马天可以追上慢马，则可以列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】小明每天早上要在7：50之前赶到距家1 000米的学校上学，一天，小明以80米/分的速度出发，5分钟后，小明的爸爸发现他忘了带语文课本，于是爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他． (1)爸爸追上小明用了多长时间？ (2)追上小明时，距离学校还有多远？ 【变式1-2】小明每天早上要到距家1000米的学校上学，一天，小明以80米/分钟的速度出发，5分钟后，小明的爸爸发现他忘带了数学书，于是，爸爸立即以180米/分钟的速度去追赶小明． （1）若爸爸在途中追上了小明，请问爸爸追上小明用了多长时间？ （2）若爸爸出发2分钟后，小明也发现自己忘带数学书，于是他以100米/分钟往回走，与爸爸在途中相遇了，请问这种情况下爸爸出发多久追上小明？ （3）小明家养了一条聪明伶俐的小狗，小狗跟着爸爸冲出了门，以240米/分钟的速度去追小明，小明看到小狗的一刹那醒悟到自己忘了带数学书，立即以120米/分钟的速度往回返，小狗仍以原速度往爸爸这边跑，跑到爸爸身边又折回往小明身边跑，直到爸爸和小明相遇方停下，随后又跟着爸爸回到家，请问小狗从出门到回家共跑了多少米？ 【变式1-3】奥帆中心位于青岛市浮山湾畔，毗邻五四广场，2008年北京奥运会和13届残奥会帆船比赛就是在这里举行的．近年来，青岛市人民政府逐渐将奥帆中心建成了独具海上运动特色的建筑区域，体现了“绿色奥运、科技奥运、人文奥运”的理念． (1)奥帆中心在广场上安装了太阳能灯和风能灯用来夜间照明，依据图中提供的信息，填空：设风能灯有盏，列出关于的一元一次方程：________________； (2)一天放学后，小亮从学校去奥帆中心观看一场比赛，他以的速度出发，后，小明在学校发现小亮忘了带入场券．于是，小明立即以的速度去追小亮，并且在途中追上了他． ①小明追上小亮用了多长时间？ ②如果学校距离奥帆中心，追上小亮时，距离奥帆中心还有多远？（直接写出结果） 【变式1-4】A，B两地相距46千米，甲骑自行车从A地前往B地，速度为每小时15千米，1小时后，乙骑摩托车也沿相同的路线从A地前往B地，速度为每小时40千米， (1)乙出发多长时间后能追上甲？ (2)若乙到达B地后立即返回，返回途中与甲相遇的地点距B地多少千米？ ▌题型03 流水行船问题 1.本质与原理 流水行船问题是指船在流动的水中航行，船的实际速度受水流速度的影响。其核心关系是： 顺水速度 = 船在静水中的速度 + 水流速度； 逆水速度 = 船在静水中的速度 - 水流速度。 由此可推导出： 船在静水中的速度 = （顺水速度 + 逆水速度）÷ 2； 水流速度 = （顺水速度 - 逆水速度）÷ 2。 流水行船问题的本质是“速度的合成与分解”——船速和水速是矢量，顺水时相加，逆水时相减。 2.深度识别特征 题目中出现“顺水” “逆水” “水流速度” “静水速度” “船速”等关键词。 通常给出顺水、逆水的时间或速度关系，求船速或水速。 常见情境：船在两码头间往返、飞机顺风逆风飞行等（飞机问题与流水行船完全类似）。 可能结合相遇或追及问题。 3.操作细化步骤 明确各速度的含义：区分船在静水中的速度（船速）、水流速度（水速）、顺水速度、逆水速度。 建立速度关系： 顺水速度 = 船速 + 水速； 逆水速度 = 船速 - 水速。 若涉及往返：顺水路程 = 逆水路程（同一段航道），但顺水时间 ≠ 逆水时间。 设未知数：通常设船速为 ，或设水速为 ，或设两地距离为 。 列方程：根据“顺水时间 + 逆水时间 = 总时间”或“顺水路程 = 逆水路程”列方程。 解方程并检验：注意船速必须大于水速（否则无法逆水航行）。 4.易错点与注意事项 混淆“船速”与“顺水速度” ：船速是静水中的速度，顺水速度是船速加水速，两者不同。 忘记水速的影响：顺水时速度增加，逆水时速度减少，不能直接用船速计算。 往返问题中时间关系：往返总时间 = 顺水时间 + 逆水时间，不是2倍的单程时间。 单位统一：速度单位与时间单位必须一致。 水速大于船速：若水速大于船速，船无法逆流而上，此时逆水速度为负，不符合实际。 飞机顺风逆风问题：与流水行船完全类似，风相当于水流，飞机在静风中的速度相当于船速。 5.与其他方法的联系 与“相遇问题”结合——两船相向而行时，若一顺一逆，速度和为两船速之和（水速抵消）。 与“追及问题”结合——两船同向而行时，若同顺或同逆，速度差为两船速之差（水速抵消）。 与“工程问题”中的“效率”类比——船速相当于工作效率，水速相当于额外影响因素。 6.变化形式 往返问题：船在两码头间往返，求船速或水速。 两船相遇：一船顺水、一船逆水，相向而行，求相遇时间。 两船追及：两船同向而行，一快一慢，求追及时间。 丢物问题：船航行中丢失物品，发现后返回寻找，求水速或时间。 飞机顺风逆风：与流水行船完全类似，只需将“水速”改为“风速”。 【典例1】甲、乙两艘轮船分别从同一地点出发（在一条直线上航行），两船在静水时的速度均是m千米/时，水流速度为n千米/时，甲船顺水航行2小时，乙船逆水航行3小时，此时甲、乙两艘船相距（    ）km A． B． C． D． 【变式1-1】轮船往返两港之间，逆水航行需要3小时，顺水航行需要2小时，水流速度为3千米/时，则船在静水中的速度是_________千米/时． 【变式1-2】某船在A、B两地之间航行，顺水航行需要4小时，逆水行需要5小时，水流速度为2千米/时． （1）求船在静水中的速度． （2）若船从A地顺水航行到B地，然后逆流返回，到达距离A地26千米的C地，一共航行了多少小时？ 【变式1-3】已知、、三地是同一条河流上的三个不同地方，且、、在同一直线上，且A在B、C之间，、相距千米，某船先从地顺流而下来到地，再立刻调头逆流而上到达地，一共用了小时，调头时间忽略不计．已知该船的静水速度为，水流速度为，请问： (1)船在顺水中航行的速度是 ，船在逆水中航行的速度是 ． (2)、两地相距多少千米？ 【变式1-4】数学问题：如图，在数轴上点A表示的数为，点B表示的数为40，动点P从点A出发以每秒5个单位长度的速度沿正方向运动，动点Q从原点出发以每秒4个单位长度的速度沿正方向运动，动点N从点B出发以每秒8个单位的速度先沿负方向运动，到达原点后立即按原速返回，三点同时出发，当点N回到点B时，三点停止运动． （1）三个动点运动秒时，则P、Q、N三点在数轴上所表示的三个数分别为_____，______，_____． （2）当个单位长度时，求此时点P在数轴上所表示的数． （3）尝试借助上面数学问题的解题经验，建立数轴完成下面实际问题： 码头C位于A、B两码头之间，且知海里，海里，甲船从A码头顺流驶向B码头，乙船从C码头顺流驶向B码头，丙船从B码头开往C码头后立即调头返回B码头，已知甲船在静水中航速为5海里/小时，乙船在静水中航速为4海里/小时，丙船在静水中航速为8海里/小时，水流速度为2海里/小时，三船同时出发，每艘船都行驶到B码头停止．在整个运动过程中，是否存某一时刻，这三艘船中的一艘恰好在另外两船之间，且与两船的距离相等？若存在，请求出此时甲船离B码头的距离：若不存在，请说明理由．提示：如果你不用上面数学问题中的解题方法也能完成本题，可得满分． ▌题型04 环形跑道问题 1.本质与原理 环形跑道问题是指运动物体在封闭的环形跑道上运动，分为相遇和追及两种基本情形： 相遇（相向而行）：两人所走路程之和等于跑道一圈的长度（或整数圈）。 追及（同向而行）：两人所走路程之差等于跑道一圈的长度（或整数圈）。 环形跑道问题的本质是将直线上的相遇和追及问题“卷”成环形，路程关系中的“总距离”变为“一圈的长度”或“整数圈的长度”。 2.深度识别特征 题目中出现“环形跑道” “圆形跑道” “绕圈”等关键词。 两人从同一点出发，同向或相向运动。 可能问“第一次相遇” “第二次相遇” “多久后再次相遇”等。 常见情境：甲乙在环形跑道上跑步、骑车等。 3.操作细化步骤 判断运动方向：是相向（相遇）还是同向（追及）。 确定等量关系： 相向：路程之和 = 一圈长度 × 相遇次数； 同向：路程之差 = 一圈长度 × 追及次数。 设未知数：通常设时间为 ，或设某一方速度为 。 用含 的代数式表示路程：路程 = 速度 × 时间。 列方程：根据上述等量关系列方程。 解方程并检验：注意“第一次相遇”意味着路程和/差恰好为一圈，“第二次相遇”则为两圈，以此类推。 4.易错点与注意事项 “相遇”与“追及”的区分：相向而行是相遇（路程和），同向而行是追及（路程差），不能混淆。 “第一次”与“第二次” ：第一次相遇时路程和（或差）为一圈，第二次为两圈，第 次为 圈。 起点不同的情况：若两人从不同点出发，初始距离差不为0，需在方程中体现。 环形跑道上的“相遇”不一定是面对面：在环形跑道上，同向而行的追及有时也被称为“相遇”，需根据题意判断。 速度方向变化：若有人中途反向，需重新分析。 5.与其他方法的联系 是“相遇问题”和“追及问题”在环形情境下的特殊形式。 与“最小公倍数”相关——两人再次在起点相遇的时间是各自跑一圈时间的公倍数。 与“周期问题”有联系——多次相遇的时间呈周期性。 6.变化形式 同一点出发，相向而行：第一次相遇时间为 一圈 ÷（速度和）。 同一点出发，同向而行：第一次追及时间为 一圈 ÷（速度差）。 不同点出发：初始距离差为两点间的弧长。 多次相遇：第 次相遇的时间为 倍第一次相遇时间。 含停留的环形问题：某人在某处停留，需分段讨论。 变速问题：速度变化后重新计算。 【典例1】运动场的环形跑道长为，甲、乙两人在跑道上练习跑步，已知甲平均每分钟跑，乙平均每分钟跑，如果两人同时从同一起点同向出发，经过x分钟后第一次相遇，得到的方程是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，甲、乙两人沿着边长为90米的正方形，按…方向，甲从以65米/分的速度，乙从以72米/分的速度同时行走，当乙第一次追上甲时在正方形的（   ） A．边上 B．边上 C．边上 D．边上 【变式1-2】如图，甲、乙两人同时沿着边长为30 m的等边三角形按逆时针的方向行走，甲从A以65 m/min的速度，乙从B以71 m/min的速度行走，当乙第一次追上甲时，在等边三角形的(     ) A．边AB上 B．点B处 C．边BC上 D．边AC上 【变式1-3】甲、乙两人在400米环形跑道上练习跑步，已知甲的速度为每分钟200米，乙的速度为每分钟120米，且两人都是同时出发，同向而行的， (1)如果甲、乙两人从同一个地点出发，那么几分钟后两人第一次相遇？ (2)如果甲在乙前方80米处，那么几分钟后两人第一次相遇？ 【变式1-4】如图所示，甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，已知环形跑道一圈长400米，乙每秒钟跑6米，甲的速度是乙的倍． (1)如果甲、乙在跑道上相距8米处同时反向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？ (2)如果甲在乙前面8米处同时同向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？ ▌题型05 火车过桥问题 1.本质与原理 火车过桥问题是指火车通过桥梁、隧道等障碍物时，从车头上桥到车尾离桥的过程。其核心特点是：火车本身有长度，不能忽略。因此： 完全通过（车头上桥到车尾离桥）：火车行驶的路程 = 桥长 + 车长； 完全在桥上（车尾上桥到车头离桥）：火车行驶的路程 = 桥长 - 车长。 火车过桥问题的本质是“路程的组成”——火车运动的路程不仅包括桥长，还包括自身的长度。 2.深度识别特征 题目中出现“火车” “列车” “过桥” “通过隧道” “完全通过” “完全在桥上”等关键词。 给出火车速度、车长、桥长中的某些量，求时间或路程。 常见问法：“火车完全通过大桥需要多长时间” “火车完全在桥上的时间是多少”。 3.操作细化步骤 明确“完全通过”与“完全在桥上”的区别： 完全通过：从车头上桥开始，到车尾离桥结束，路程 = 桥长 + 车长。 完全在桥上：从车尾上桥开始，到车头离桥结束，路程 = 桥长 - 车长。 画示意图：画出火车在不同位置的状态，标明车头、车尾与桥的相对位置。 设未知数：通常设时间为 ，或设桥长（车长）为 。 列方程：根据“路程 = 速度 × 时间”列方程，注意路程的组成。 解方程并检验：注意桥长必须大于车长（对于“完全在桥上”的情形）。 4.易错点与注意事项 忽略火车长度：这是最常见的错误，火车过桥的总路程必须加上车长。 “完全通过”与“完全在桥上”混淆： 完全通过：路程 = 桥长 + 车长（车头进、车尾出）。 完全在桥上：路程 = 桥长 - 车长（车尾进、车头出）。 桥长与车长的关系：对于“完全在桥上”，必须桥长 > 车长，否则火车始终有一部分在桥外。 单位统一：车长通常用米，桥长可能用千米，速度可能用千米/小时，需统一单位。 多座桥或隧道：若火车连续通过多座桥，需分别计算或整体考虑。 5.与其他方法的联系 与“相遇问题”和“追及问题”结合形成“错车问题”（见题型六）。 与“行程问题”的基本公式一致，只是路程的计算需要加上车长。 与“工程问题”中的“工作量”类比——火车过桥的“工作量”是“桥长+车长”。 6.变化形式 火车过隧道：与过桥完全相同，只是将“桥”换成“隧道”。 火车过桥+过隧道：连续通过，总路程为各段路程之和。 两列火车同向过桥：一列火车完全通过另一列火车（错车），见题型六。 已知完全通过时间，求车长或桥长：逆向求解。 火车在桥上的时间：从车头上桥到车尾上桥的时间，路程 = 车长。 【典例1】一列火车匀速行驶，经过一条长600米的隧道需要25秒的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10秒，求火车的速度.设火车的速度为xm/s,列方程得(    ) A． B． C． D． 【变式1-1】【问题引入】 一列火车匀速行驶，经过一条长400米的隧道需要30秒的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是15秒，你能求出这列火车的长度吗？ 【情境分析】 设这列火车的长度是x米． （1）从车头经过灯下到车尾经过灯下，火车所走的路程是________米，这段时间内火车的平均速度是________米/秒． （2）从车头进入隧道到车尾离开隧道，火车所走的路程是________米，这段时间内火车的平均速度是_________米/秒． （3）火车经过灯下和火车通过隧道的平均速度的关系是_______． 【问题解决】 （4）请列出方程并求出这列火车的长度． 【变式1-2】列方程解应用题： 一列火车要以每秒20米的速度通过第一、第二两座铁桥（火车的长度忽略不计）过第二座铁桥比过第一座铁桥多50秒，已知铁桥的长度比第一座铁桥的长度的两倍短500米，求两座铁桥各自的长． 【变式1-3】一列火车匀速行驶，经过一条长的隧道需要的时间．隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是． (1)设火车的长度为，用含的式子表示火车经过隧道的速度以及火车经过灯下的速度； (2)求这列火车的长度． 【变式1-4】一列普通列车匀速行驶，经过一条长的隧道，从车头进入隧道，到车尾离开隧道，共需要的时间．隧道口的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在列车上的时间是 设该列车的长度为． (1)用含的式子表示：从车头进入隧道到车尾离开隧道，列车所走的路程为__________，这段时间内列车的平均速度为___________； (2)求这列普通列车的长度； (3)相邻车道有一列长度为，匀速相向行驶的高铁列车经过．普通列车与高铁列车完成会车即从车头相遇开始到车尾相离时结束的时间是 求高铁列车的平均速度为多少？ ▌题型06 火车错车问题 1.本质与原理 火车错车问题是指两列火车在相邻轨道上相向而行（或同向而行），从车头相遇（或追及）到车尾分离的过程。其核心特点是：两列火车都有长度，错车过程中两车相对运动的路程等于两车长度之和。 相向错车（相遇）：两车相对速度 = 两车速度之和，错车路程 = 两车长度之和。 同向错车（追及）：两车相对速度 = 两车速度之差，错车路程 = 两车长度之和。 火车错车问题的本质是“相对运动”——以其中一列车为参照物，另一列车的相对速度是两者速度之和（相向）或之差（同向）。 2.深度识别特征 题目中出现“两列火车” “错车” “相向而行” “同向而行” “从车头相遇到车尾相离”等关键词。 给出两车速度、两车长度，求错车时间；或给出错车时间、速度，求车长。 常见问法：“两车错车需要多长时间” “从车头相遇到车尾相离经过多少秒”。 3.操作细化步骤 判断错车方向：是相向错车（相遇）还是同向错车（追及）。 确定相对速度： 相向：相对速度 = 两车速度之和； 同向：相对速度 = 两车速度之差（快车减慢车）。 确定错车路程：错车路程 = 两车长度之和（无论相向还是同向）。 设未知数：通常设错车时间为 ，或设某车长度为 。 列方程：根据“错车路程 = 相对速度 × 错车时间”列方程。 解方程并检验：注意同向错车时，快车速度必须大于慢车速度。 4.易错点与注意事项 相对速度的计算：相向是速度和，同向是速度差，不能混淆。 错车路程：无论相向还是同向，错车路程都是两车长度之和。 “从车头相遇到车尾相离” ：这是错车的完整过程，路程为两车长之和。 同向错车的条件：快车速度必须大于慢车速度，否则无法错车。 单位统一：两车速度单位、长度单位、时间单位必须一致。 与过桥问题的区别：过桥是单车与桥，错车是两车之间的相对运动。 5.与其他方法的联系 是“相遇问题”和“追及问题”在火车情境下的特殊形式。 与“火车过桥问题”结合——两车同向过桥时可能涉及错车。 与“流水行船问题”中的相对速度有相似之处。 6.变化形式 相向错车：两车相向而行，错车时间为两车长之和除以速度和。 同向错车：快车追慢车，错车时间为两车长之和除以速度差。 一车静止：若一车静止，另一车通过，相当于单车过“桥”（桥长=静止车长）。 错车后继续行驶：错车后两车继续前行，求再次相距某距离的时间。 多列车错车：三列或更多列车相互错车，情形更复杂。 【典例1】在一段铁路上，两列火车相向驶过，若A列火车全长180m，B列火车全长160m，两列火车的错车时间为1.7秒，已知A列车的速度比B火车每秒快5m，则A、B两车的速度分别是___________． 【变式1-1】现有两列火车同时同向齐头行进，快车每秒行20米，慢车每秒行12米，15秒后快车超过慢车．如果这两辆火车车尾对齐同时同向行进，则9秒后快车超过慢车．如果两列火车相向而行，它们从车头相遇到车尾相离需要多少秒？ 【变式1-2】有两列同方向行驶的火车，快车每秒行米，慢车每秒行米．如果从两车头对齐开始算，则行20秒后快车超过慢车；如果从两车尾对齐开始算，则行秒后快车超过慢车．那么，两车长分别是多少？如果两车相对行驶，两车从车头重叠起到车尾相离需要经过多少时间？ 【变式1-3】甲、乙两列火车的长分别为160米和200米，甲车比乙车每秒多行4米． (1)若两列火车相向行驶，从相遇到全部错开需9秒，问两车速度各是多少？ (2)若两车同向行驶，甲车的车头从乙车的车尾追及到甲车全部超出乙车，需要多长时间？ (3)在（1）的条件下，甲、乙两车车头对齐停在同一车站，若乙车先行100秒后，甲车开始追乙车，经过多长时间甲车车头追上乙车车尾？ 【变式1-4】A，B两列火车的长分别为156m和180m，A车比B车每秒多行4m． (1)若两列火车相向而行，从相遇到全部错开，需要8s．问两车速度各是多少？ (2)在（1）的条件下，若两列火车同向行驶，且B车行驶在A车前方，求A车的车头从B车的车尾开始追及到A车车尾超过B车车头需多少时间？ ▌题型07 工程问题 1.本质与原理 工程问题是指关于工作总量、工作效率和工作时间的问题。其核心公式是：工作总量 = 工作效率 × 工作时间。在工程问题中，通常将工作总量设为“1”（即一项工程的总量为1），则工作效率 = 1 ÷ 单独完成所需时间。工程问题的本质是“效率的叠加”——多人合作时，合作效率等于各人效率之和。 2.深度识别特征 题目中出现“一项工程” “一件工作” “修一条路” “挖一条水渠”等关键词。 通常给出各人单独完成所需时间，求合作完成时间；或给出合作时间，求某人单独完成时间。 可能涉及多人合作、中途加入或离开、交替工作等。 常见情境：甲乙合作完成一项工程、先由甲做一段时间再由乙做等。 3.操作细化步骤 设工作总量为1：这是工程问题的通用做法（也可设为其他方便的数，如各单独完成时间的最小公倍数）。 表示各人的工作效率：若甲单独完成需 天，则甲的效率为 ；乙单独完成需 天，则乙的效率为 。 分析工作过程：明确谁做了多少时间，各阶段的工作量如何分配。 列方程：根据“各阶段工作量之和 = 工作总量（=1）”列方程。 解方程并检验：注意时间必须为正数，效率也必须为正数。 4.易错点与注意事项 工作总量设为1的依据：这是一种“归一化”思想，使效率可以用分数的形式简洁表示。 效率的叠加：合作效率 = 各人效率之和，但注意只有同时工作的时间才能叠加。 中途加入或离开：需分段计算工作量，不能简单地将时间相加。 交替工作：若甲乙轮流工作，需按周期计算工作量。 单位统一：时间单位（天、小时）必须一致。 工作效率与时间的关系：效率越高，完成同一工作所需时间越短，两者成反比。 5.与其他方法的联系 与“相遇问题”有共同思想——合作完成工作对应相遇中的“共同走完全程”。 与“流水行船问题”中的“效率”类比——船速相当于工作效率。 与“一元一次方程”的解法步骤完全一致——去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。 6.变化形式 两人合作：最基本的形式，合作时间 = 1 ÷（效率和）。 多人合作：三人或更多人合作，效率和为各人效率之和。 中途加入：先由一人做一段时间，另一人再加入。 中途离开：一人做一段时间后离开，剩余由另一人完成。 交替工作：甲乙轮流做，按周期计算。 效率变化：如某人效率提高或降低，需重新计算。 先做后合作：先由一人单独做一部分，剩余部分两人合作。 【典例1】甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时．丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，水池注满还要（     ）个小时． A．15 B．20 C．35 D．40 【变式1-1】一批工人到甲、乙两个工地工作，甲工地的工作量是乙工地工作量的1.5倍，上午在乙工地工作的人数是甲工地的，下午这批工人中的在乙工地工作，其余的工人在甲工地工作．一天下来，甲工地的工作已完成，乙工地的工作还需4名工人再做一天．这批工人有( )人．（假设上午、下午工作时间相同，每个工人的工作效率相同） 【变式1-2】某县农业园养殖了许多的黄牛，黄牛品种优良，肉质鲜美．农业园中养殖牛的排泄物是制作有机肥的主要材料．农业园响应“绿色环保”号召建设了有机肥生产线．有机肥生产线原计划每天生产吨，天完成，实际前天就完成了吨．照这样的效率，完成这批任务只需多少天？ 【变式1-3】2025年，旺苍县为聚焦城市建设“舒筋活络”，助推“民生愿景”变为幸福实景，统筹推进多项民生工程．其中，某一项工程由甲、乙两个工程队承接，已知甲队单独完成此项工程需要20天，乙队单独完成需要30天．该工程施工情况如下：甲队先单独施工10天，之后因工期紧张，安排乙队加入，甲、乙两队合作完成剩余工程． (1)甲、乙两队合作还需要多少天完成此项工作？ (2)已知甲队每天的劳务费比乙队多30元，完成这项工程共需支付劳务费11480元．则甲、乙两队每天的劳务费各是多少元？ 【变式1-4】近年来，城市更新行动速度在加快，保障和改善民生的步伐也在加快．某社区在一次改造中，预算施工费用为万元，计划由甲、乙两队先后接力施工天完成．已知甲队单独施工完成此次改造需要天，每天的施工费用为万元，乙队单独施工完成此次改造需要天，每天的施工费用为万元，请通过计算说明预算施工费用是否够用？ 【变式1-5】某企业聘用甲、乙两队完成一项工程，已知乙队单独完成这项工程需天，甲队单独完成所需天数是乙队单独完成所需天数的倍．如果甲、乙两队先合作天，接着甲队因故停工天（乙队不停工），后继续与乙队合作完成剩下的工程． (1)甲队单独完成这项工程需要 天． (2)完成这项工程总共用了多少天？ (3)该企业为了这项工程一共支付万元的费用．如果你是决策者，你会将这笔费用如何分配给甲、乙两队？请设计一个分配的方案，并说明分配的依据． 【变式1-6】一项工程，甲队单独完成需30天，乙队单独完成需45天，现甲队先单独做20天，之后两队合作完成此项工程． (1)甲、乙两队合作还需多少天才能把该工程完成？ (提示：工程问题中可设总工作量为单位“1”，工作效率总工作量工作时间) (2)甲队施工一天需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元，若该工程计划在40天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队单独完成、乙队单独完成该工程省钱？还是由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱？ 【变式1-7】某科技公司要生产一批智能手表，计划由A、B两个工厂负责生产．已知A厂每天能生产12件，B厂每天能生产18件，A厂单独生产比B厂单独生产要多用15天． (1)求这批智能手表共有多少件？ (2)若A、B两厂生产一段时间后，A厂停止生产智能手表去为该公司生产其他产品，剩下的智能手表生产任务全部由B厂单独完成，经核算，B厂需将每天的生产件数提高．任务完成时，B厂生产智能手表的全部工作时间正好比A厂生产智能手表的时间的2倍多3天，求B厂生产智能手表共用多少天？ (3)如果在生产智能手表过程中，公司每天需要付给A厂100元，付给B厂150元，另外，每个工厂需要配备一名工程师进行生产技术指导，并由公司提供每天15元的午餐补助费． 经公司研究，拟定如下三种生产方案： 方案一，由A厂单独完成； 方案二，由B厂单独完成； 方案三，按（2）问方式完成． 请你通过计算，帮公司选择一种既省时又省钱的生产方案． 【变式1-8】有10根大小相同的进水管给、两个水池注水，原计划用4根进水管给水池注水，其余6根给水池注水．那么5小时可同时注满，因为发现水池以一定的速度漏水，所以改为各用5根进水管给水池注水，结果也是同时注满． (1)如果用10根进水管给漏水的水池注水，需要多少分钟注满？ (2)如果增加4根同样的进水管，水池仍然漏水，并且要求在注水过程中每个水池的进水管的数量保持不变，那么要把两个水池注满最少需要多少分钟？（结果用进一法精确到个位） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元一次方程应用:行程与工程问题 （题型突破·举一反三） ▌题型01 相遇问题 【典例1】 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系是解此题的关键．将南海到北海的总距离视为单位1，则野鸭的速度为，大雁的速度为，它们相向而行，相遇时路程之和等于1，由此列方程． 【详解】解：设天后相遇， ∵野鸭飞行的路程为，大雁飞行的路程为，且相遇时总路程为1， ∴， 故选B． 【变式1-1】 【答案】444 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，找到等量关系列方程是解题的关键．设经过x秒甲乙第一次相遇，根据“甲、乙两人第一次相遇时，共走了400米”列方程求解即可． 【详解】解：设经过x秒甲乙第一次相遇， 根据题意，得， 解得， ∴小狗一共跑了米， 故答案为：444． 【变式1-2】 【答案】甲车的速度是50千米/小时，乙车的速度是55千米/小时 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据甲车每小时行驶千米，乙车每小时比甲车多行5千米，两地相距260千米，列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解： 解得， 所以 答：甲车的速度是50千米/小时，乙车的速度是55千米/小时． 【变式1-3】 【答案】(1)30公里/小时 (2)60公里/小时 【分析】（1）设甲车的速度为公里/小时，则乙车的速度为公里/小时，根据“若甲车比乙车先出发1小时，则乙车出发2小时恰好与甲车相遇”、“两车所走的路程之和等于180公里”建立方程，解方程即可得； （2）设甲车的速度为公里/小时，则乙车的速度为公里/小时，根据“若甲、乙两车同时出发，则甲车到地的时间比乙车到地的时间晚1小时”建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：设甲车的速度为公里/小时，则乙车的速度为公里/小时， 由题意得：， 解得， 答：甲车的速度为30公里/小时． （2）解：设甲车的速度为公里/小时，则乙车的速度为公里/小时， 由题意得：， 解得， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， 答：甲车的速度为60公里/小时． 【点睛】本题考查了一元一次方程和分式方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． 【变式1-4】 【答案】(1)甲每小时行4千米，乙每小时行5千米 (2)10分钟或30分钟 【分析】（1）这是行程问题中的相遇问题，三个基本量：路程、速度、时间．关系式为：路程=速度×时间．题中的两个等量关系是：20分钟×甲的速度+20分钟×乙的速度=3千米，3千米-30分钟×甲的速度=（3千米-30分钟×乙的速度）×2，依此列出方程求解即可，注意单位换算； （2）先求出两人一共行驶的路程，再除以速度和即可求解． 【详解】（1）解：设甲每小时行千米． 乙每小时行千米． 依题意： 解方程组得 答：甲每小时行4千米，乙每小时行5千米． （2）相遇前：（3-1.5）÷（+） =1.5÷ =10（分钟）， 相遇后：（3+1.5）÷（+） =4.5÷ =30（分钟）． 故在他们出发后10分钟或30分钟两人相距1.5千米． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，本题是行程问题中的相遇问题，解题关键是如何建立二元一次方程组的模型． ▌题型02 追及问题 【典例1】 【答案】C 【分析】设快马x天可以追上慢马，根据慢马先行的路程=快慢马速度之差×快马行走天数，即可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】设快马x天可以追上慢马， 由题意，得240x-150x=150×12． 故选：C． 【点睛】考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据数量关系列出关于x的一元一次方程是解题的关键． 【变式1-1】 【答案】(1)4分钟．(2)280米 【分析】（1）设小明爸爸追上小明用了x分钟，由题意知小明比爸爸多走5分钟且找出等量关系，小明和他爸爸走的路程一样，由此等量关系列出方程求解； （2）根据题意，先求出小明此时已经行走的路程，然后求解即可． 【详解】解：（1）先设小明爸爸追上小明用了x分钟，那么小明走了（x+5）分钟， 由题意得：80（x+5）=180x， 解得：x=4， 所以，小明爸爸追上小明用了4分钟． （2）小明此时已经行走的路程为：180×4=720米， ∴追上小明时，距离学校的距离为：1000﹣720=280米． 故：追上小明时，距离学校的距离为280米． 【变式1-2】 【答案】（1）爸爸追上小明用了4分钟；（2）爸爸出发分钟追上小明；（3）小狗从出门到回家共跑了1260米． 【分析】（1）本题属于追及问题，根据追及的基本等量关系进行列式求解即可得解； （2）本题分两部分，以爸爸出发的前2分钟为追及问题，后面第二部分为相遇问题进行列式计算即可得解； （3）根据题意，用小明与爸爸的相遇时间乘以小狗的速度即可得到小狗的行驶路程. 【详解】（1）设小明爸爸追上小明用了x分钟，依题意得： ， 解得x＝4， 答：爸爸追上小明用了4分钟； （2）设爸爸出发y分钟追上小明，依题意得： ， 解得， 答：爸爸出发分钟追上小明； （3）（分）， （分）， （米）． 答：小狗从出门到回家共跑了1260米． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程实际问题中的行程问题，熟练掌握行程问题的基本等量关系是解决本题的关键. 【变式1-3】 【答案】(1)； (2)①小明追上小亮用了；②距离奥帆中心还有． 【分析】本题考查一元一次方程的应用． （1）设风能灯有盏，根据小明说的“太阳能灯比风能灯的4倍还多4盏”，列出方程即可； （2）①设小明追上小亮用了时间，根据小亮走的总路程等于小明走的路程，列出方程，求解即可； ②用学校距离奥帆中心的距离减去小明走的路程即可求解． 【详解】（1）解：设风能灯有盏，根据题意，得 ； （2）解：①设小明追上小亮用了时间，根据题意，得 ， 解得：， 答：设小明追上小亮用了时间． ② 答：追上小亮时，距离奥帆中心还有． 【变式1-4】 【答案】(1)小时 (2)10千米 【分析】（1）设乙出发x小时后能追上甲，则此时甲出发了（x+1）小时，根据路程=速度×时间，结合甲、乙的路程相等，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设返回途中与甲相遇的地点距B地y千米，利用时间=路程÷速度，结合甲比乙早出发1小时，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【小题1】解：设乙出发x小时后能追上甲，则此时甲出发了（x+1）小时， 依题意得：40x=15（x+1）， 解得：x=， 答：乙出发小时后能追上甲． 【小题2】设返回途中与甲相遇的地点距B地y千米， 依题意得：， 解得：y=10． 答：若乙到达B地后立即返回，返回途中与甲相遇的地点距B地10千米． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． ▌题型03 流水行船问题 【典例1】 【答案】C 【分析】本题主要考查了列代数式、整式的加减运算等知识点，掌握顺水航行速度为静水速度加水流速度、逆水航行速度为静水速度减水流速度是解题的关键． 先分别求出甲乙两艘轮船的速度、再求出它们的行驶距离，然后求和即可． 【详解】解：∵甲船顺水速度：，航行2小时， ∴甲船行驶距离：． ∵乙船逆水速度：，航行3小时， ∴乙船行驶距离：． ∵两船方向相反， ∴甲、乙两艘船相距． 故选：C． 【变式1-1】 【答案】15 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，逆水速度静水速度水流速度；顺水速度静水速度水流速度是船航行之类的题中的必备内容．设船在静水中的速度是x千米/时，则逆水航行的速度为千米/时，顺水航行的速度为千米/时，根据逆水航行需要3小时，顺水航行需要2小时，列出方程求解即可． 【详解】解：设船在静水中的速度是x千米/时，则逆水航行的速度为千米/时，顺水航行的速度为千米/时，根据题意得： ， 解得：， 故答案为：15． 【变式1-2】 【答案】(1) 船在静水中的速度18千米/时;(2) 船一共航行了小时或小时 【分析】（1）首先设船在静水中的速度是x千米/时，根据逆水时间×逆水速度=顺水时间×顺水速度可得方程，再解方程即可； （2）由题意，列出方程即可解决问题； 【详解】(1)设该船在静水中的速度x千米/时， 根据题意，得4（x+2）=5（x﹣2）， 解得：x=18， 答：船在静水中的速度18千米/时； （2）由（1）得，A、B两地之间航程是5×（18﹣2）=80千米，逆水航行速度为16千米/时， 设该船一共航行了y小时，根据题意，得80﹣16（y﹣4）=26或16（y﹣4）﹣80=26 解得：小时或， 答：船一共航行了小时或小时． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系列出方程． 【变式1-3】 【答案】(1)，； (2)、两地相距千米． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用； （1）已知船的静水速度为，水流速度为，根据“顺流速度静水速度水流速度，逆流速度静水速度水流速度”即可得结果； （2）设、两地相距千米，根据题目中的等量关系“某船从地顺流而下来到地所用的时间调头从地逆流而上到达地所用的时间小时”列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：船在顺水中航行的速度是（）， 船在逆水中航行的速度是（）； （2）设、两地相距千米，根据题意得 ， 解得． 答：、两地相距千米． 【变式1-4】 【答案】（1）-20+5t，4t，40-8t；（2）-7.5或或17.5；（3）存在，甲船离B码头的距离为海里或32海里或20海里 【分析】（1）根据路程=速度×时间即可求解； （2）Q、N相遇的时间为秒，Q到B的时间为10秒，N到O的时间为5秒，N到B的时间为10秒．N到O前，P所表示的数为-20+5t；Q所表示的数为4t；N所表示的数为40-8t．分三种情况：①Q、N相遇前；②Q、N相遇后，N到O前；③Q、N相遇后，N到O后．分别根据QN=10列出方程； （3）建立如图所示的数轴A所表示的数为-20；C所表示的数为0；B所表示的数为40．分四种情况：①乙丙相遇前；②甲丙相遇前；③甲丙相遇后，丙到C前；④甲丙相遇后，丙到C后．根据这三艘船中的一艘恰好在另外两船之间，且与两船的距离相等列出方程． 【详解】 解：（1）三个动点运动t（0＜t＜5）秒时，则P、Q、N三点在数轴上所表示的三个数分别为-20+5t，4t，40-8t． 故答案为-20+5t，4t，40-8t； （2）Q、N相遇的时间为秒，Q到B的时间为10秒，N到O的时间为5秒，N到B的时间为10秒． N到O前，P所表示的数为-20+5t；Q所表示的数为4t；N所表示的数为40-8t． ①Q、N相遇前：40-8t-4t=10，解得t=2.5， 所以P所表示的数为-20+5×2.5=-7.5； ②Q、N相遇后，N到O前，4t-（40-8t）=10，解得t=， 所以P所表示的数为-20+5×=； ③Q、N相遇后，N到O后： P所表示的数为-20+5t；Q所表示的数为4t；N所表示的数为8（t-5）， 4t-8（t-5）=10，解得t=7.5， 所以P所表示的数为-20+5×7.5=17.5； （3）建立如图所示的数轴A所表示的数为-20；C所表示的数为0；B所表示的数为40． 甲到C的时间为秒，甲到B的时间为秒，乙到B的时间为秒， 丙到C的时间为秒，丙到B的时间为秒，甲遇丙的时间为秒，乙遇丙的时间为秒，甲追乙的时间为20（舍），丙追甲的时间为（舍）． 丙到C前，甲所表示的数为-20+7t；乙所表示的数为6t；丙所表示的数为40-6t， ①乙丙相遇前：6t-（-20+7t）=40-6t-6t，解得t=， 所以甲船离B码头的距离为40-（-20+7×）=（海里）； ②甲丙相遇前：40-6t-（-20+7t）=6t-（40-6t），解得t=4， 所以甲船离B码头的距离为40-（-20+7×4）=32（海里）； ③甲丙相遇后，丙到C前：6t-（-20+7t）=-20+7t-（40-6t），解得t= 所以甲船离B码头的距离为40-（-20+7×）=20（海里）； ④甲丙相遇后，丙到C后：甲所表示的数为-20+7t；乙所表示的数为40；丙所表示的数为10（t-）． 40-（-20+7t）=-20+7t-10（t-），解得t=（舍）． 综上所述，在整个运动过程中，分别在小时、4小时、小时时，这三艘船中的一艘恰好在另外两船之间，且与两船的距离相等，此时甲船离B码头的距离分别为海里，32海里，20海里． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，两点间的距离．正确进行分类讨论是解题的关键也是本题的难点． ▌题型04 环形跑道问题 【典例1】 【答案】B 【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，掌握行程问题中的基本数量关系是解决问题的关键．设两人同时从同一地点同向而行，经过x分钟两人才能第一次相遇，根据行驶的路程差为列出方程即可． 【详解】解：由题意得：． 故选：B． 【变式1-1】 【答案】B 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设经过x分乙第一次追上甲，根据题意得：，再解方程并进一步分析即可得到答案． 【详解】解：设经过x分乙第一次追上甲， 根据题意得：， 解得：， ∴（周）， ∵， ∴当乙第一次追上甲时在正方形的边上． 故选：B． 【变式1-2】 【答案】A 【分析】首先求得乙追上甲的时间,再求甲走过的路程,从而确定位置. 【详解】解：设乙第一次追上甲需要x分钟,由题可知, （71-65）x=60 解得：x=10, 故甲走的路程为650米, ∵650=21......20（米） ∴此时甲在AB上. 故选A. 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用,求得乙追上甲的时间是解题关键. 【变式1-3】 【答案】(1)5分钟后两人第一次相遇； (2)经过4分钟后两人首次相遇 【分析】（1）设x分钟后两人第一次相遇，根据两人第一次相遇时甲比乙多跑400米，列出方程，即可求解； （2）设经过秒，甲乙两人首次相遇，根据两人第一次相遇时甲比乙多跑米，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设x分钟后两人第一次相遇，根据题意得： ， 解得：， 答：5分钟后两人第一次相遇． （2）解：设经过秒，甲乙两人首次相遇， 根据题意，得：， 解得：． 答：经过4分钟后两人首次相遇． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 【变式1-4】 【答案】(1)28 (2)196 【分析】（1）环形跑道上，相距8米处同时反向出发，首次相遇即两人共走了米； （2）甲在乙前面8米处同时同向出发，那么首次相遇即为甲比乙多跑米． 【详解】（1）设经过秒甲、乙两人首次相遇， 则：， 解得． 答：经过28秒甲、乙两人首次相遇． （2）设经过秒甲、乙两人首次相遇， 则， 解得：． 答：经过196秒甲、乙两人首次相遇． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，注意路程问题中的等量关系：（1）是相遇问题；（2）是追及问题． ▌题型05 火车过桥问题 【典例1】 【答案】C 【分析】由经过一条长600米的隧道需要25秒的时间，知火车25秒行驶的路程为隧道和火车长度和，由此列出方程即可. 【详解】由灯光照在火车上的时间是10秒，则火车长为10x米， 再根据经过一条长600米的隧道需要25秒的时间，知火车25秒行驶的路程为隧道和火车长度和，则列出方程为：，故选C. 【点睛】本题是对一元一次方程实际运用的考查，准确根据题意列出方程是解决本题的关键. 【变式1-1】 【答案】（1），  （2），  （3）相等  （4）这列火车的长度为米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用,解答本题注意理解“完全通过”的含义,完全通过:火车所走的路程=隧道长度+火车长度． （1）火车长度为，根据题意列出代数式即可； （2）根据题意列出代数式即可； （3）上述问题中火车的平均速度不发生变化； （4）根据速度相等列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解：（1）设这列火车的长度是x米，从车头经过灯下到车尾经过灯下，火车所走的路程是米，这段时间内火车的平均速度是米/秒， 故答案为：，； （2）设这列火车的长度是x米，从车头进入隧道到车尾离开隧道，火车所走的路程是米，这段时间内火车的平均速度是米/秒， 故答案为：，； （3）火车经过灯下和火车通过隧道的平均速度的关系是相等， 故答案为：相等； （4）列方程为：， 解得， 答：这列火车的长度为米． 【变式1-2】 【答案】第一座铁桥长1500米，第二座铁桥长2500米 【详解】试题分析：根据题意，设第一铁桥的长为x米，那么第二铁桥的长为（2x﹣500）米，然后根据火车头过桥的时间列方程求解求解即可. 试题解析：设第一铁桥的长为x米，那么第二铁桥的长为（2x﹣500）米，火车车头在第一铁桥所需的时间为秒．火车车头在第二铁桥所需的时间为秒． 依题意，可列出方程+50=， 解方程x+1000=2x﹣500， 得x=1500， ∴2x﹣500=2×1500﹣500=2500． 答：第一铁桥长1500米，第二铁桥长2500米． 【变式1-3】 【答案】(1)； (2)米 【分析】（1）火车的长度为，根据题意列出代数式即可求解； （2）根据火车的速度相等，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：火车经过隧道的速度为： ， 火车经过灯下的速度 ； （2）火车的长度是米， 则依题意得 ， 解得． 答：火车的长度是米． 【点睛】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，根据题意列出代数式是解题的关键． 【变式1-4】 【答案】(1)， (2)这列普通列车的长为 (3)高铁列车的平均速度为 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的应用： （1）列车所走路程为隧道长与车身长之和，所走路程除以通过时间可得平均速度； （2）根据时间、速度、路程之间的关系列一元一次方程求解； （3）设高铁列车速度是，根据时间、速度、路程之间的关系列一元一次方程求解． 【详解】（1）解：列车所走的路程为 ，这段时间内列车的平均速度为 ， 故答案为：，； （2）解：由题意可得，， 解得：， 答：这列普通列车的长为； （3）解：设高铁列车速度是， 普通列车的速度是， 依题意得：， 解得： 答：高铁列车的平均速度为． ▌题型06 火车错车问题 【典例1】 【答案】秒、秒 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用中的行程问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 可设B车的速度是 秒，则A车的速度是 秒，根据等量关系：A列火车全长，B列火车全长，两列火车的错车时间为1.7秒，列出方程求解即可． 【详解】解：设B车的速度是m/秒，则A车的速度是 秒，依题意有 ， 解得， 故答案为：秒、秒． 【变式1-1】 【答案】从车头相遇到车尾相离需要6秒． 【分析】本题考查一元一次方程的应用．设它们从车头相遇到车尾相离需要x秒，先求出快、慢车的车长，再根据两车的路程之和=两车的车长之和列方程求解即可． 【详解】解：设它们从车头相遇到车尾相离需要x秒， 由题意知，快车长为：（米）， 慢车长为：（米）， ∴， 解得， 答：从车头相遇到车尾相离需要6秒． 【变式1-2】 【答案】快车车长240米，慢车车长300米；如果两车相对行驶，两车从车头重叠起到车尾相离需要经过10秒 【分析】如果从两车头对齐开始算，那么超车距离为快车的车长；如果从两车尾对齐开始算，那么超车距离为慢车车长，即可根据路程÷速度=时间求解． 【详解】快车车长： （米） 慢车车长： （米） 重叠起到车尾相离时间： （秒） 答：快车车长240米，慢车车长300米；如果两车相对行驶，两车从车头重叠起到车尾相离需要经过10秒． 【点睛】本题考查了路程÷速度=时间，根据题意求出快车和慢车的车长是解题的关键． 【变式1-3】 【答案】(1)甲车的速度为22米/秒，乙车的速度为18米/秒； (2)90秒； (3)400秒 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程． （1）设甲车的速度为x米/秒，乙车的速度为y米/秒，由题意得等量关系：①甲车速度乙车速度米；②甲车9秒行驶的路程乙车9秒行驶的路程，根据等量关系列出方程组，再解即可； （2）设需要a秒，由题意得：甲车a秒的路程乙车a秒的路程，根据等量关系列出方程，再解即可； （3）设经过b秒甲车车头追上乙车车尾，由题意得等量关系：甲车与乙车速度差乘以b秒的路程乙车100秒的路程乙车车身长，根据等量关系列出方程，再解即可． 【详解】（1）解：设甲车的速度为米/秒，乙车的速度为米/秒， 由题意得： 解得：2， ∴乙车的速度为：（米/秒） 答：甲车的速度为22米/秒，乙车的速度为18米/秒； （2）解：设需要a秒， 由题意得：， 解得：， 答：需要90秒； （3）解：设经过b秒甲车车头追上乙车车尾， 由题意得：， 解得：， 答：经过400秒甲车车头追上乙车车尾． 【变式1-4】 【答案】(1)A车的速度为23m/s，则B车的速度为19m/s； (2)84s 【分析】（1）设A车的速度为xm/s，则B车的速度为（x-4）m/s，根据题意，列出方程，即可求解； （2）设A车的车头从B车的车尾开始追及到A车车尾超过B车车头需ts，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设A车的速度为xm/s，则B车的速度为（x-4）m/s，根据题意得： ， 解得：x=23， ∴x-4=19， 答：A车的速度为23m/s，则B车的速度为19m/s； （2）解：设A车的车头从B车的车尾开始追及到A车车尾超过B车车头需ts，根据题意得： ， 解得：t=84， 答：A车的车头从B车的车尾开始追及到A车车尾超过B车车头需84s． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． ▌题型07 工程问题 【典例1】 【答案】C 【分析】将一池水总水量看作单位，先求出各水管的工作效率，设水池注满还要小时，根据题意，列出方程，求解即可． 【详解】解：把一池水总水量看作单位， 甲单独注满需小时，乙单独注满需小时，丙单独排完整池水需小时 甲进水效率为，乙进水效率为，丙排水效率为， 设水池注满还要小时， 根据题意可得，， 解得， 即水池注满还要小时． 【变式1-1】 【答案】36 【分析】假设每个工人每个上午（或下午）的工作量为1，设这批工人有人，根据甲工地的总工作量乙工地的总工作量，再结合工程问题基本公式“工作总量人数工作时间”(每人工作效率相同)推导而来． 【详解】解：假设每个工人每个上午（或下午）的工作量为1，设这批工人有人， 答：这批工人共有36人． 【变式1-2】 【答案】完成这批任务只需天 【分析】设按照实际效率完成这批任务只需天，由生产有机肥总量不变，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：实际前天就完成了吨， 这样的效率为（吨/天）， 设按照实际效率完成这批任务只需天，则， 解得， 答：完成这批任务只需天． 【变式1-3】 【答案】(1)甲、乙两队合作还需要6天完成此项工作 (2)甲队每天的劳务费是530元，乙队每天的劳务费是500元 【分析】（1）将总工程量视为单位1，根据甲单独完成的工作量与甲乙合作完成的工作量之和等于总工程量，列一元一次方程求解． （2）先确定甲、乙两队各自的施工总天数，根据“这项工程共需支付劳务费11480元”列一元一次方程求解． 【详解】（1）解：设总工程量为单位1，甲、乙两队合作还需要𝑥天完成此项工作，甲队工作效率为 ，乙队工作效率为，根据题意得 ， 解得， ∴甲、乙两队合作还需要6天完成此项工作． （2）解：由（1）知甲队共施工天，乙队施工6天， 设乙队每天的劳务费为y元，则甲队每天的劳务费为元，根据题意得 ， 解得， ∴乙队每天的劳务费为500元，甲队每天的劳务费为元． 【变式1-4】 【答案】 预算施工费用够用，实际总施工费用为万元 【分析】以总工作量为等量关系列一元一次方程，求出甲、乙两队的施工天数，再计算总费用与预算对比． 【详解】解：将此次改造的总工作量看作单位，设甲队施工天，则乙队施工天， ∵甲队单独施工完成此次改造需要天，乙队单独施工完成此次改造需要天， ∴甲队单日完成总工作量的，乙队单日完成总工作量的， ∵两队总工作量为， ∴， 解得， 乙队施工天数：（天）， 总施工费用：（万元）， ∵， ∴ 预算施工费用够用． 【变式1-5】 【答案】(1) (2)完成这项工程总共用了天． (3)分配方案：甲队分得万元，乙队分得万元．分配依据：按两队完成的工作量占总工作量的比例分配，多劳多得． 【分析】（1）利用甲队天数是乙队的倍，直接列式计算甲单独完成工程的天数． （2）把总工程看作单位，求出甲乙工作效率，设后续合作天数为未知数，根据各阶段工作量之和等于总工作量列方程求解，再累加全部阶段得到总天数． （3）先算出甲、乙两队各自完成的工作量，按照工作量占比对总费用万元进行分配． 【详解】（1）解：（天）， 故甲队单独完成这项工程需要天． （2）解：设甲队复工后，两队继续合作天完成剩余工程．则 ， 解得， （天）， 答：完成这项工程总共用了天． （3）解：∵甲实际工作天数（天）， ∴甲完成工作量， ∵乙实际工作天数为天， ∴乙完成工作量， ∴甲队费用（万元），乙队费用（万元）， ∴分配方案：甲队分得万元，乙队分得万元．分配依据：按两队完成的工作量占总工作量的比例分配，多劳多得． 【变式1-6】 【答案】(1)甲、乙两队再合作6天才能把该工程完成 (2)甲、乙两队全程合作完成该工程省钱 【分析】（1） 设甲、乙两队再合作x天才能把该工程完成，按工程问题列方程求解即可； （2）因为45天大于40天，所以不能由乙队单独完成，分两种情况：由甲队单独完成和甲、乙两队全程合作完成，分别求出费用，再比较大小即可得解． 【详解】（1）解：设甲、乙两队再合作x天才能把该工程完成， 根据题意列方程为， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 答：甲、乙两队再合作6天才能把该工程完成． （2）因为45天大于40天，所以不能由乙队单独完成， 若由甲队单独完成工程的费用：(万元) 设由甲、乙两队全程合作完成需要m天，则，解得， 甲、乙两队全程合作完成工程的费用：(万元)， 因为万元万元． 所以由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱． 【变式1-7】 【答案】(1)540件 (2)21天 (3)选方案三 【分析】（1）设这批智能手表共有x件，根据“A厂单独生产比B厂单独生产要多用15天”列出一元一次方程，解方程即可求解； （2）设A厂工作y天，则B厂工作天，根据题意列一元一次方程，解方程即可求解； （3）应分为三种情况讨论：①由A厂单独完成；②由B厂单独完成；③按（2）问方式完成，分别比较三种情况下，所耗时间和花费金额，求出既省钱，又省时间的加工方案． 【详解】（1）解：设这批智能手表共有x件，根据题意列方程得， ， 解得：． 答：这批智能手表共有540件； （2）解：设A厂工作y天，则B厂工作天，根据题意列方程得， ， 解得：． 所以，（天）． 答：B厂共生产智能手表21天； （3）解：方案一：A厂单独完成，时间为天，费用为元． 方案二：B厂单独完成，时间为天，费用为元． 方案三：A厂工作9天，B厂工作21天，时间为21天，费用为元． 比较时间：；比较费用：． 所以，方案三既省时又省钱． 【变式1-8】 【答案】(1)144分钟 (2)258分钟 【分析】本题主要考查工程问题，读懂题意，正确列出算式和方程是做题的关键． （1）先设每根进水管每小时进水1份，水池每小时漏水份，再根据题意，列出算式和方程，进行计算即可； （2）先设14根进水管分配给水池根，则分配给水池根，由题意得，，得出，最后根据分配给水池6根或7根，分类讨论即可． 【详解】（1）解：设每根进水管每小时进水1份，水池每小时漏水份， 则水池的容量：（份）， 水池的容量：（份）， 改为各用5根进水管给水池注水时， 注满水池用时：（小时）， 故根据题意得，， 解得，， 用10根进水管给漏水的水池注水，注满用时：（小时）（分钟）． 答：用10根进水管给漏水的水池注水，需要144分钟注满． （2）解：设14根进水管分配给水池根，则分配给水池根， 由题意得，， 整理得，， 解得，， 经检验，是原方程的解， 又因为必须为整数， 所以分配给水池6根或7根时，把两个水池注满需要的时间最少， 当分配给水池6根，水池8根时， 注满水池用时：（分钟）， 注满水池用时：（分钟）； 当分配给水池7根，水池7根时， 注满水池用时：（分钟）， 注满水池用时：（分钟），故最少需要258分钟， 因为， 所以综上所述，把两个水池注满最少需要258分钟． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元一次方程应用:行程与工程问题 （题型突破·举一反三） 题型01 相遇问题 题型02 追及问题 题型03 流水行船问题 题型04 环形跑道问题 题型05 火车过桥问题 题型06 火车错车问题 题型07 工程问题 ▌题型01 相遇问题 1.本质与原理 相遇问题是指两个运动物体从不同地点出发，相向而行，最终在途中某点相遇。其核心等量关系是：两人所走的路程之和等于两地之间的总距离。基本公式为：，即 （若同时出发，则时间相同）。相遇问题的本质是“路程的叠加”——两个物体共同走完了全程。 2.深度识别特征 题目中出现“相向而行” “相对而行” “迎面走来” “从两地同时出发”等关键词。 通常给出两地距离、两人速度，求相遇时间；或给出相遇时间、速度，求距离；或给出距离、时间，求某一方速度。 可能有一方先出发或中途停留的情况，此时时间不再相同。 常见情境：甲乙两人从两地相向而行、两车从两地相对开出、两人合作走完一段路等。 3.操作细化步骤 画线段示意图：画一条线段表示总路程，两端标出出发点和方向箭头，中间标出相遇点。 标注已知量和未知量：将速度、时间、路程分别标注在图上。 设未知数：通常设相遇时间为 （若同时出发），或设某一方速度为 。 用含 的代数式表示各路程： 甲走的路程 = 甲的速度 × 甲的时间； 乙走的路程 = 乙的速度 × 乙的时间。 列方程：根据“甲路程 + 乙路程 = 总路程”列方程。 解方程并检验：求出未知数，检验是否符合实际意义（时间、速度、路程均为正数）。 4.易错点与注意事项 时间不一致：若一方先出发，则两方运动时间不同，不能直接用同一个 。需分别表示各自的时间。 单位不统一：速度单位（km/h、m/s）与时间单位（h、min、s）必须统一，路程单位也要对应。 相遇点位置：相遇点应在两地之间，若解出相遇点在两地之外，说明方程列错或题意理解有误。 “相向”与“同向”混淆：相向是面对面，同向是追及，两者等量关系完全不同。 中途停留：若某人中途停留，其实际运动时间 = 总时间 - 停留时间。 5.与其他方法的联系 与“追及问题”对应——相遇是路程之和等于总距离，追及是路程之差等于初始距离。 与“环形跑道问题”中的“相遇”情形一致——环形跑道上的相遇本质上也是路程之和等于一圈。 与“火车错车问题”类似——两车错车也是路程之和等于两车长度之和。 与“工程问题”有共同思想——合作完成工作对应相遇中的“共同走完全程”。 6.变化形式 一方先出发：如甲先走1小时，乙再出发，则甲的时间比乙多1小时。 中途相遇后继续走：相遇后继续前行，求到达对方出发点的时间。 多次相遇：两人在两地间往返行走，第二次、第三次相遇。 相遇后距离某地还有多远：结合相遇后的运动状态求解。 含停留的相遇：一方到达某地后返回再相遇。 【典例1】我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有凫起南海，七日至北海．雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问：何日相逢？其大意为：野鸭从南海飞到北海用7天，大雁从北海飞到南海用9天．它们从两地同时起飞，几天后相遇？设天后相遇，根据题意所列方程正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系是解此题的关键．将南海到北海的总距离视为单位1，则野鸭的速度为，大雁的速度为，它们相向而行，相遇时路程之和等于1，由此列方程． 【详解】解：设天后相遇， ∵野鸭飞行的路程为，大雁飞行的路程为，且相遇时总路程为1， ∴， 故选B． 【变式1-1】甲、乙两同学从400米环形跑道上的某一点背向出发，分别以每秒2米和每秒3米的速度跑步．6秒钟后，一只小狗从甲处以每秒6米的速度向乙跑，遇到乙后，又从乙处以每秒6米速度向甲跑，如此往返，直至甲乙第一次相遇，那么小狗一共跑了_______米 ． 【答案】444 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，找到等量关系列方程是解题的关键．设经过x秒甲乙第一次相遇，根据“甲、乙两人第一次相遇时，共走了400米”列方程求解即可． 【详解】解：设经过x秒甲乙第一次相遇， 根据题意，得， 解得， ∴小狗一共跑了米， 故答案为：444． 【变式1-2】A，B两地相距260千米．甲，乙两车分别从A，B两地出发，相向而行．甲车先出发1小时，乙车出发2小时后与甲车相遇．已知甲车每小时行驶千米，乙车每小时比甲车多行5千米．请根据下面示意图中的等量关系列方程，并求甲、乙两车的速度． 【答案】甲车的速度是50千米/小时，乙车的速度是55千米/小时 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据甲车每小时行驶千米，乙车每小时比甲车多行5千米，两地相距260千米，列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解： 解得， 所以 答：甲车的速度是50千米/小时，乙车的速度是55千米/小时． 【变式1-3】甲、乙两车分别从A、B两地出发沿同一公路相向而行，已知乙车的速度是甲车速度的1.5倍，A、B两地相距180公里． (1)若甲车比乙车先出发1小时，则乙车出发2小时恰好与甲车相遇，求甲车的速度； (2)若甲、乙两车同时出发，则甲车到B地的时间比乙车到A地的时间晚1小时，求甲车的速度． 【答案】(1)30公里/小时 (2)60公里/小时 【分析】（1）设甲车的速度为公里/小时，则乙车的速度为公里/小时，根据“若甲车比乙车先出发1小时，则乙车出发2小时恰好与甲车相遇”、“两车所走的路程之和等于180公里”建立方程，解方程即可得； （2）设甲车的速度为公里/小时，则乙车的速度为公里/小时，根据“若甲、乙两车同时出发，则甲车到地的时间比乙车到地的时间晚1小时”建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：设甲车的速度为公里/小时，则乙车的速度为公里/小时， 由题意得：， 解得， 答：甲车的速度为30公里/小时． （2）解：设甲车的速度为公里/小时，则乙车的速度为公里/小时， 由题意得：， 解得， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， 答：甲车的速度为60公里/小时． 【点睛】本题考查了一元一次方程和分式方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． 【变式1-4】A、B两地相距3千米，甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发步行到A地，两人同时出发，20分钟后两人相遇，又经过10分钟，甲所余路程为乙所余路程的2倍． (1)求甲、乙每小时各行多少千米？ (2)在他们出发后几分钟两人相距1.5千米（直接写出结果）？ 【答案】(1)甲每小时行4千米，乙每小时行5千米 (2)10分钟或30分钟 【分析】（1）这是行程问题中的相遇问题，三个基本量：路程、速度、时间．关系式为：路程=速度×时间．题中的两个等量关系是：20分钟×甲的速度+20分钟×乙的速度=3千米，3千米-30分钟×甲的速度=（3千米-30分钟×乙的速度）×2，依此列出方程求解即可，注意单位换算； （2）先求出两人一共行驶的路程，再除以速度和即可求解． 【详解】（1）解：设甲每小时行千米． 乙每小时行千米． 依题意： 解方程组得 答：甲每小时行4千米，乙每小时行5千米． （2）相遇前：（3-1.5）÷（+） =1.5÷ =10（分钟）， 相遇后：（3+1.5）÷（+） =4.5÷ =30（分钟）． 故在他们出发后10分钟或30分钟两人相距1.5千米． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，本题是行程问题中的相遇问题，解题关键是如何建立二元一次方程组的模型． ▌题型02 追及问题 1.本质与原理 追及问题是指两个运动物体同向而行，速度慢的在前，速度快的在后，最终后者追上前者。其核心等量关系是：追者所走的路程减去被追者所走的路程等于初始距离差。基本公式为：，即 （若同时出发，时间相同）。追及问题的本质是“路程的差值”——速度差乘以时间等于初始距离。 2.深度识别特征 题目中出现“同向而行” “追及” “赶上” “追上” “从后面出发”等关键词。 通常给出初始距离、两者速度，求追及时间；或给出追及时间、速度，求初始距离。 可能有一方先出发或中途停留的情况。 常见情境：甲追乙、汽车追自行车、快车追慢车等。 3.操作细化步骤 画线段示意图：画一条线段表示运动路径，标出起点位置和追及点，用不同标记区分快慢两者。 标注已知量和未知量：标明初始距离、速度、时间。 设未知数：通常设追及时间为 ，或设某一方速度为 。 用含 的代数式表示各路程： 快者路程 = 快者速度 × 快者时间； 慢者路程 = 慢者速度 × 慢者时间。 列方程：根据“快者路程 - 慢者路程 = 初始距离”列方程。 解方程并检验：求出未知数，检验是否符合实际意义。 4.易错点与注意事项 时间不一致：若慢者先出发，则快者运动时间较短，需分别表示时间。 初始距离的确定：初始距离是追及开始时刻两者之间的距离，不是出发时的距离（若一方先走了一段）。 “追上”的位置：追上时两者在同一位置，快者总路程 = 慢者总路程 + 初始距离。 速度差的理解：追及时间 = 初始距离 ÷ 速度差，这是核心公式。 环形跑道中的追及：追及路程差为整数圈的长度（见题型四）。 5.与其他方法的联系 与“相遇问题”对应——相遇是速度和，追及是速度差。 与“环形跑道问题”中的“追及”情形一致——环形跑道上的追及本质上也是路程之差等于一圈。 与“火车过桥问题”中的“完全通过”有相似之处——都是路程差的概念。 与“工程问题”中的“效率差”有相通之处。 6.变化形式 慢者先出发：如乙先走2小时，甲再追，则甲的时间比乙少2小时。 追及后继续走：追上后两者继续前行，求再次相距某距离的时间。 多次追及：环形跑道上的多次追及。 含停留的追及：追者中途停留，被追者继续前进。 速度变化的追及：如先以某速度追，之后加速再追。 【典例1】我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书，有一道题目是：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里.驽马先行一十二日，问良马几何日追及之.”译文是：“跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里.慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？”若慢马和快马从同一地点出发，设快马天可以追上慢马，则可以列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设快马x天可以追上慢马，根据慢马先行的路程=快慢马速度之差×快马行走天数，即可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】设快马x天可以追上慢马， 由题意，得240x-150x=150×12． 故选：C． 【点睛】考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据数量关系列出关于x的一元一次方程是解题的关键． 【变式1-1】小明每天早上要在7：50之前赶到距家1 000米的学校上学，一天，小明以80米/分的速度出发，5分钟后，小明的爸爸发现他忘了带语文课本，于是爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他． (1)爸爸追上小明用了多长时间？ (2)追上小明时，距离学校还有多远？ 【答案】(1)4分钟．(2)280米 【分析】（1）设小明爸爸追上小明用了x分钟，由题意知小明比爸爸多走5分钟且找出等量关系，小明和他爸爸走的路程一样，由此等量关系列出方程求解； （2）根据题意，先求出小明此时已经行走的路程，然后求解即可． 【详解】解：（1）先设小明爸爸追上小明用了x分钟，那么小明走了（x+5）分钟， 由题意得：80（x+5）=180x， 解得：x=4， 所以，小明爸爸追上小明用了4分钟． （2）小明此时已经行走的路程为：180×4=720米， ∴追上小明时，距离学校的距离为：1000﹣720=280米． 故：追上小明时，距离学校的距离为280米． 【变式1-2】小明每天早上要到距家1000米的学校上学，一天，小明以80米/分钟的速度出发，5分钟后，小明的爸爸发现他忘带了数学书，于是，爸爸立即以180米/分钟的速度去追赶小明． （1）若爸爸在途中追上了小明，请问爸爸追上小明用了多长时间？ （2）若爸爸出发2分钟后，小明也发现自己忘带数学书，于是他以100米/分钟往回走，与爸爸在途中相遇了，请问这种情况下爸爸出发多久追上小明？ （3）小明家养了一条聪明伶俐的小狗，小狗跟着爸爸冲出了门，以240米/分钟的速度去追小明，小明看到小狗的一刹那醒悟到自己忘了带数学书，立即以120米/分钟的速度往回返，小狗仍以原速度往爸爸这边跑，跑到爸爸身边又折回往小明身边跑，直到爸爸和小明相遇方停下，随后又跟着爸爸回到家，请问小狗从出门到回家共跑了多少米？ 【答案】（1）爸爸追上小明用了4分钟；（2）爸爸出发分钟追上小明；（3）小狗从出门到回家共跑了1260米． 【分析】（1）本题属于追及问题，根据追及的基本等量关系进行列式求解即可得解； （2）本题分两部分，以爸爸出发的前2分钟为追及问题，后面第二部分为相遇问题进行列式计算即可得解； （3）根据题意，用小明与爸爸的相遇时间乘以小狗的速度即可得到小狗的行驶路程. 【详解】（1）设小明爸爸追上小明用了x分钟，依题意得： ， 解得x＝4， 答：爸爸追上小明用了4分钟； （2）设爸爸出发y分钟追上小明，依题意得： ， 解得， 答：爸爸出发分钟追上小明； （3）（分）， （分）， （米）． 答：小狗从出门到回家共跑了1260米． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程实际问题中的行程问题，熟练掌握行程问题的基本等量关系是解决本题的关键. 【变式1-3】奥帆中心位于青岛市浮山湾畔，毗邻五四广场，2008年北京奥运会和13届残奥会帆船比赛就是在这里举行的．近年来，青岛市人民政府逐渐将奥帆中心建成了独具海上运动特色的建筑区域，体现了“绿色奥运、科技奥运、人文奥运”的理念． (1)奥帆中心在广场上安装了太阳能灯和风能灯用来夜间照明，依据图中提供的信息，填空：设风能灯有盏，列出关于的一元一次方程：________________； (2)一天放学后，小亮从学校去奥帆中心观看一场比赛，他以的速度出发，后，小明在学校发现小亮忘了带入场券．于是，小明立即以的速度去追小亮，并且在途中追上了他． ①小明追上小亮用了多长时间？ ②如果学校距离奥帆中心，追上小亮时，距离奥帆中心还有多远？（直接写出结果） 【答案】(1)； (2)①小明追上小亮用了；②距离奥帆中心还有． 【分析】本题考查一元一次方程的应用． （1）设风能灯有盏，根据小明说的“太阳能灯比风能灯的4倍还多4盏”，列出方程即可； （2）①设小明追上小亮用了时间，根据小亮走的总路程等于小明走的路程，列出方程，求解即可； ②用学校距离奥帆中心的距离减去小明走的路程即可求解． 【详解】（1）解：设风能灯有盏，根据题意，得 ； （2）解：①设小明追上小亮用了时间，根据题意，得 ， 解得：， 答：设小明追上小亮用了时间． ② 答：追上小亮时，距离奥帆中心还有． 【变式1-4】A，B两地相距46千米，甲骑自行车从A地前往B地，速度为每小时15千米，1小时后，乙骑摩托车也沿相同的路线从A地前往B地，速度为每小时40千米， (1)乙出发多长时间后能追上甲？ (2)若乙到达B地后立即返回，返回途中与甲相遇的地点距B地多少千米？ 【答案】(1)小时 (2)10千米 【分析】（1）设乙出发x小时后能追上甲，则此时甲出发了（x+1）小时，根据路程=速度×时间，结合甲、乙的路程相等，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设返回途中与甲相遇的地点距B地y千米，利用时间=路程÷速度，结合甲比乙早出发1小时，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【小题1】解：设乙出发x小时后能追上甲，则此时甲出发了（x+1）小时， 依题意得：40x=15（x+1）， 解得：x=， 答：乙出发小时后能追上甲． 【小题2】设返回途中与甲相遇的地点距B地y千米， 依题意得：， 解得：y=10． 答：若乙到达B地后立即返回，返回途中与甲相遇的地点距B地10千米． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． ▌题型03 流水行船问题 1.本质与原理 流水行船问题是指船在流动的水中航行，船的实际速度受水流速度的影响。其核心关系是： 顺水速度 = 船在静水中的速度 + 水流速度； 逆水速度 = 船在静水中的速度 - 水流速度。 由此可推导出： 船在静水中的速度 = （顺水速度 + 逆水速度）÷ 2； 水流速度 = （顺水速度 - 逆水速度）÷ 2。 流水行船问题的本质是“速度的合成与分解”——船速和水速是矢量，顺水时相加，逆水时相减。 2.深度识别特征 题目中出现“顺水” “逆水” “水流速度” “静水速度” “船速”等关键词。 通常给出顺水、逆水的时间或速度关系，求船速或水速。 常见情境：船在两码头间往返、飞机顺风逆风飞行等（飞机问题与流水行船完全类似）。 可能结合相遇或追及问题。 3.操作细化步骤 明确各速度的含义：区分船在静水中的速度（船速）、水流速度（水速）、顺水速度、逆水速度。 建立速度关系： 顺水速度 = 船速 + 水速； 逆水速度 = 船速 - 水速。 若涉及往返：顺水路程 = 逆水路程（同一段航道），但顺水时间 ≠ 逆水时间。 设未知数：通常设船速为 ，或设水速为 ，或设两地距离为 。 列方程：根据“顺水时间 + 逆水时间 = 总时间”或“顺水路程 = 逆水路程”列方程。 解方程并检验：注意船速必须大于水速（否则无法逆水航行）。 4.易错点与注意事项 混淆“船速”与“顺水速度” ：船速是静水中的速度，顺水速度是船速加水速，两者不同。 忘记水速的影响：顺水时速度增加，逆水时速度减少，不能直接用船速计算。 往返问题中时间关系：往返总时间 = 顺水时间 + 逆水时间，不是2倍的单程时间。 单位统一：速度单位与时间单位必须一致。 水速大于船速：若水速大于船速，船无法逆流而上，此时逆水速度为负，不符合实际。 飞机顺风逆风问题：与流水行船完全类似，风相当于水流，飞机在静风中的速度相当于船速。 5.与其他方法的联系 与“相遇问题”结合——两船相向而行时，若一顺一逆，速度和为两船速之和（水速抵消）。 与“追及问题”结合——两船同向而行时，若同顺或同逆，速度差为两船速之差（水速抵消）。 与“工程问题”中的“效率”类比——船速相当于工作效率，水速相当于额外影响因素。 6.变化形式 往返问题：船在两码头间往返，求船速或水速。 两船相遇：一船顺水、一船逆水，相向而行，求相遇时间。 两船追及：两船同向而行，一快一慢，求追及时间。 丢物问题：船航行中丢失物品，发现后返回寻找，求水速或时间。 飞机顺风逆风：与流水行船完全类似，只需将“水速”改为“风速”。 【典例1】甲、乙两艘轮船分别从同一地点出发（在一条直线上航行），两船在静水时的速度均是m千米/时，水流速度为n千米/时，甲船顺水航行2小时，乙船逆水航行3小时，此时甲、乙两艘船相距（    ）km A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列代数式、整式的加减运算等知识点，掌握顺水航行速度为静水速度加水流速度、逆水航行速度为静水速度减水流速度是解题的关键． 先分别求出甲乙两艘轮船的速度、再求出它们的行驶距离，然后求和即可． 【详解】解：∵甲船顺水速度：，航行2小时， ∴甲船行驶距离：． ∵乙船逆水速度：，航行3小时， ∴乙船行驶距离：． ∵两船方向相反， ∴甲、乙两艘船相距． 故选：C． 【变式1-1】轮船往返两港之间，逆水航行需要3小时，顺水航行需要2小时，水流速度为3千米/时，则船在静水中的速度是_________千米/时． 【答案】15 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，逆水速度静水速度水流速度；顺水速度静水速度水流速度是船航行之类的题中的必备内容．设船在静水中的速度是x千米/时，则逆水航行的速度为千米/时，顺水航行的速度为千米/时，根据逆水航行需要3小时，顺水航行需要2小时，列出方程求解即可． 【详解】解：设船在静水中的速度是x千米/时，则逆水航行的速度为千米/时，顺水航行的速度为千米/时，根据题意得： ， 解得：， 故答案为：15． 【变式1-2】某船在A、B两地之间航行，顺水航行需要4小时，逆水行需要5小时，水流速度为2千米/时． （1）求船在静水中的速度． （2）若船从A地顺水航行到B地，然后逆流返回，到达距离A地26千米的C地，一共航行了多少小时？ 【答案】(1) 船在静水中的速度18千米/时;(2) 船一共航行了小时或小时 【分析】（1）首先设船在静水中的速度是x千米/时，根据逆水时间×逆水速度=顺水时间×顺水速度可得方程，再解方程即可； （2）由题意，列出方程即可解决问题； 【详解】(1)设该船在静水中的速度x千米/时， 根据题意，得4（x+2）=5（x﹣2）， 解得：x=18， 答：船在静水中的速度18千米/时； （2）由（1）得，A、B两地之间航程是5×（18﹣2）=80千米，逆水航行速度为16千米/时， 设该船一共航行了y小时，根据题意，得80﹣16（y﹣4）=26或16（y﹣4）﹣80=26 解得：小时或， 答：船一共航行了小时或小时． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系列出方程． 【变式1-3】已知、、三地是同一条河流上的三个不同地方，且、、在同一直线上，且A在B、C之间，、相距千米，某船先从地顺流而下来到地，再立刻调头逆流而上到达地，一共用了小时，调头时间忽略不计．已知该船的静水速度为，水流速度为，请问： (1)船在顺水中航行的速度是 ，船在逆水中航行的速度是 ． (2)、两地相距多少千米？ 【答案】(1)，； (2)、两地相距千米． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用； （1）已知船的静水速度为，水流速度为，根据“顺流速度静水速度水流速度，逆流速度静水速度水流速度”即可得结果； （2）设、两地相距千米，根据题目中的等量关系“某船从地顺流而下来到地所用的时间调头从地逆流而上到达地所用的时间小时”列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：船在顺水中航行的速度是（）， 船在逆水中航行的速度是（）； （2）设、两地相距千米，根据题意得 ， 解得． 答：、两地相距千米． 【变式1-4】数学问题：如图，在数轴上点A表示的数为，点B表示的数为40，动点P从点A出发以每秒5个单位长度的速度沿正方向运动，动点Q从原点出发以每秒4个单位长度的速度沿正方向运动，动点N从点B出发以每秒8个单位的速度先沿负方向运动，到达原点后立即按原速返回，三点同时出发，当点N回到点B时，三点停止运动． （1）三个动点运动秒时，则P、Q、N三点在数轴上所表示的三个数分别为_____，______，_____． （2）当个单位长度时，求此时点P在数轴上所表示的数． （3）尝试借助上面数学问题的解题经验，建立数轴完成下面实际问题： 码头C位于A、B两码头之间，且知海里，海里，甲船从A码头顺流驶向B码头，乙船从C码头顺流驶向B码头，丙船从B码头开往C码头后立即调头返回B码头，已知甲船在静水中航速为5海里/小时，乙船在静水中航速为4海里/小时，丙船在静水中航速为8海里/小时，水流速度为2海里/小时，三船同时出发，每艘船都行驶到B码头停止．在整个运动过程中，是否存某一时刻，这三艘船中的一艘恰好在另外两船之间，且与两船的距离相等？若存在，请求出此时甲船离B码头的距离：若不存在，请说明理由．提示：如果你不用上面数学问题中的解题方法也能完成本题，可得满分． 【答案】（1）-20+5t，4t，40-8t；（2）-7.5或或17.5；（3）存在，甲船离B码头的距离为海里或32海里或20海里 【分析】（1）根据路程=速度×时间即可求解； （2）Q、N相遇的时间为秒，Q到B的时间为10秒，N到O的时间为5秒，N到B的时间为10秒．N到O前，P所表示的数为-20+5t；Q所表示的数为4t；N所表示的数为40-8t．分三种情况：①Q、N相遇前；②Q、N相遇后，N到O前；③Q、N相遇后，N到O后．分别根据QN=10列出方程； （3）建立如图所示的数轴A所表示的数为-20；C所表示的数为0；B所表示的数为40．分四种情况：①乙丙相遇前；②甲丙相遇前；③甲丙相遇后，丙到C前；④甲丙相遇后，丙到C后．根据这三艘船中的一艘恰好在另外两船之间，且与两船的距离相等列出方程． 【详解】 解：（1）三个动点运动t（0＜t＜5）秒时，则P、Q、N三点在数轴上所表示的三个数分别为-20+5t，4t，40-8t． 故答案为-20+5t，4t，40-8t； （2）Q、N相遇的时间为秒，Q到B的时间为10秒，N到O的时间为5秒，N到B的时间为10秒． N到O前，P所表示的数为-20+5t；Q所表示的数为4t；N所表示的数为40-8t． ①Q、N相遇前：40-8t-4t=10，解得t=2.5， 所以P所表示的数为-20+5×2.5=-7.5； ②Q、N相遇后，N到O前，4t-（40-8t）=10，解得t=， 所以P所表示的数为-20+5×=； ③Q、N相遇后，N到O后： P所表示的数为-20+5t；Q所表示的数为4t；N所表示的数为8（t-5）， 4t-8（t-5）=10，解得t=7.5， 所以P所表示的数为-20+5×7.5=17.5； （3）建立如图所示的数轴A所表示的数为-20；C所表示的数为0；B所表示的数为40． 甲到C的时间为秒，甲到B的时间为秒，乙到B的时间为秒， 丙到C的时间为秒，丙到B的时间为秒，甲遇丙的时间为秒，乙遇丙的时间为秒，甲追乙的时间为20（舍），丙追甲的时间为（舍）． 丙到C前，甲所表示的数为-20+7t；乙所表示的数为6t；丙所表示的数为40-6t， ①乙丙相遇前：6t-（-20+7t）=40-6t-6t，解得t=， 所以甲船离B码头的距离为40-（-20+7×）=（海里）； ②甲丙相遇前：40-6t-（-20+7t）=6t-（40-6t），解得t=4， 所以甲船离B码头的距离为40-（-20+7×4）=32（海里）； ③甲丙相遇后，丙到C前：6t-（-20+7t）=-20+7t-（40-6t），解得t= 所以甲船离B码头的距离为40-（-20+7×）=20（海里）； ④甲丙相遇后，丙到C后：甲所表示的数为-20+7t；乙所表示的数为40；丙所表示的数为10（t-）． 40-（-20+7t）=-20+7t-10（t-），解得t=（舍）． 综上所述，在整个运动过程中，分别在小时、4小时、小时时，这三艘船中的一艘恰好在另外两船之间，且与两船的距离相等，此时甲船离B码头的距离分别为海里，32海里，20海里． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，两点间的距离．正确进行分类讨论是解题的关键也是本题的难点． ▌题型04 环形跑道问题 1.本质与原理 环形跑道问题是指运动物体在封闭的环形跑道上运动，分为相遇和追及两种基本情形： 相遇（相向而行）：两人所走路程之和等于跑道一圈的长度（或整数圈）。 追及（同向而行）：两人所走路程之差等于跑道一圈的长度（或整数圈）。 环形跑道问题的本质是将直线上的相遇和追及问题“卷”成环形，路程关系中的“总距离”变为“一圈的长度”或“整数圈的长度”。 2.深度识别特征 题目中出现“环形跑道” “圆形跑道” “绕圈”等关键词。 两人从同一点出发，同向或相向运动。 可能问“第一次相遇” “第二次相遇” “多久后再次相遇”等。 常见情境：甲乙在环形跑道上跑步、骑车等。 3.操作细化步骤 判断运动方向：是相向（相遇）还是同向（追及）。 确定等量关系： 相向：路程之和 = 一圈长度 × 相遇次数； 同向：路程之差 = 一圈长度 × 追及次数。 设未知数：通常设时间为 ，或设某一方速度为 。 用含 的代数式表示路程：路程 = 速度 × 时间。 列方程：根据上述等量关系列方程。 解方程并检验：注意“第一次相遇”意味着路程和/差恰好为一圈，“第二次相遇”则为两圈，以此类推。 4.易错点与注意事项 “相遇”与“追及”的区分：相向而行是相遇（路程和），同向而行是追及（路程差），不能混淆。 “第一次”与“第二次” ：第一次相遇时路程和（或差）为一圈，第二次为两圈，第 次为 圈。 起点不同的情况：若两人从不同点出发，初始距离差不为0，需在方程中体现。 环形跑道上的“相遇”不一定是面对面：在环形跑道上，同向而行的追及有时也被称为“相遇”，需根据题意判断。 速度方向变化：若有人中途反向，需重新分析。 5.与其他方法的联系 是“相遇问题”和“追及问题”在环形情境下的特殊形式。 与“最小公倍数”相关——两人再次在起点相遇的时间是各自跑一圈时间的公倍数。 与“周期问题”有联系——多次相遇的时间呈周期性。 6.变化形式 同一点出发，相向而行：第一次相遇时间为 一圈 ÷（速度和）。 同一点出发，同向而行：第一次追及时间为 一圈 ÷（速度差）。 不同点出发：初始距离差为两点间的弧长。 多次相遇：第 次相遇的时间为 倍第一次相遇时间。 含停留的环形问题：某人在某处停留，需分段讨论。 变速问题：速度变化后重新计算。 【典例1】运动场的环形跑道长为，甲、乙两人在跑道上练习跑步，已知甲平均每分钟跑，乙平均每分钟跑，如果两人同时从同一起点同向出发，经过x分钟后第一次相遇，得到的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，掌握行程问题中的基本数量关系是解决问题的关键．设两人同时从同一地点同向而行，经过x分钟两人才能第一次相遇，根据行驶的路程差为列出方程即可． 【详解】解：由题意得：． 故选：B． 【变式1-1】如图，甲、乙两人沿着边长为90米的正方形，按…方向，甲从以65米/分的速度，乙从以72米/分的速度同时行走，当乙第一次追上甲时在正方形的（   ） A．边上 B．边上 C．边上 D．边上 【答案】B 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设经过x分乙第一次追上甲，根据题意得：，再解方程并进一步分析即可得到答案． 【详解】解：设经过x分乙第一次追上甲， 根据题意得：， 解得：， ∴（周）， ∵， ∴当乙第一次追上甲时在正方形的边上． 故选：B． 【变式1-2】如图，甲、乙两人同时沿着边长为30 m的等边三角形按逆时针的方向行走，甲从A以65 m/min的速度，乙从B以71 m/min的速度行走，当乙第一次追上甲时，在等边三角形的(     ) A．边AB上 B．点B处 C．边BC上 D．边AC上 【答案】A 【分析】首先求得乙追上甲的时间,再求甲走过的路程,从而确定位置. 【详解】解：设乙第一次追上甲需要x分钟,由题可知, （71-65）x=60 解得：x=10, 故甲走的路程为650米, ∵650=21......20（米） ∴此时甲在AB上. 故选A. 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用,求得乙追上甲的时间是解题关键. 【变式1-3】甲、乙两人在400米环形跑道上练习跑步，已知甲的速度为每分钟200米，乙的速度为每分钟120米，且两人都是同时出发，同向而行的， (1)如果甲、乙两人从同一个地点出发，那么几分钟后两人第一次相遇？ (2)如果甲在乙前方80米处，那么几分钟后两人第一次相遇？ 【答案】(1)5分钟后两人第一次相遇； (2)经过4分钟后两人首次相遇 【分析】（1）设x分钟后两人第一次相遇，根据两人第一次相遇时甲比乙多跑400米，列出方程，即可求解； （2）设经过秒，甲乙两人首次相遇，根据两人第一次相遇时甲比乙多跑米，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设x分钟后两人第一次相遇，根据题意得： ， 解得：， 答：5分钟后两人第一次相遇． （2）解：设经过秒，甲乙两人首次相遇， 根据题意，得：， 解得：． 答：经过4分钟后两人首次相遇． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 【变式1-4】如图所示，甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，已知环形跑道一圈长400米，乙每秒钟跑6米，甲的速度是乙的倍． (1)如果甲、乙在跑道上相距8米处同时反向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？ (2)如果甲在乙前面8米处同时同向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？ 【答案】(1)28 (2)196 【分析】（1）环形跑道上，相距8米处同时反向出发，首次相遇即两人共走了米； （2）甲在乙前面8米处同时同向出发，那么首次相遇即为甲比乙多跑米． 【详解】（1）设经过秒甲、乙两人首次相遇， 则：， 解得． 答：经过28秒甲、乙两人首次相遇． （2）设经过秒甲、乙两人首次相遇， 则， 解得：． 答：经过196秒甲、乙两人首次相遇． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，注意路程问题中的等量关系：（1）是相遇问题；（2）是追及问题． ▌题型05 火车过桥问题 1.本质与原理 火车过桥问题是指火车通过桥梁、隧道等障碍物时，从车头上桥到车尾离桥的过程。其核心特点是：火车本身有长度，不能忽略。因此： 完全通过（车头上桥到车尾离桥）：火车行驶的路程 = 桥长 + 车长； 完全在桥上（车尾上桥到车头离桥）：火车行驶的路程 = 桥长 - 车长。 火车过桥问题的本质是“路程的组成”——火车运动的路程不仅包括桥长，还包括自身的长度。 2.深度识别特征 题目中出现“火车” “列车” “过桥” “通过隧道” “完全通过” “完全在桥上”等关键词。 给出火车速度、车长、桥长中的某些量，求时间或路程。 常见问法：“火车完全通过大桥需要多长时间” “火车完全在桥上的时间是多少”。 3.操作细化步骤 明确“完全通过”与“完全在桥上”的区别： 完全通过：从车头上桥开始，到车尾离桥结束，路程 = 桥长 + 车长。 完全在桥上：从车尾上桥开始，到车头离桥结束，路程 = 桥长 - 车长。 画示意图：画出火车在不同位置的状态，标明车头、车尾与桥的相对位置。 设未知数：通常设时间为 ，或设桥长（车长）为 。 列方程：根据“路程 = 速度 × 时间”列方程，注意路程的组成。 解方程并检验：注意桥长必须大于车长（对于“完全在桥上”的情形）。 4.易错点与注意事项 忽略火车长度：这是最常见的错误，火车过桥的总路程必须加上车长。 “完全通过”与“完全在桥上”混淆： 完全通过：路程 = 桥长 + 车长（车头进、车尾出）。 完全在桥上：路程 = 桥长 - 车长（车尾进、车头出）。 桥长与车长的关系：对于“完全在桥上”，必须桥长 > 车长，否则火车始终有一部分在桥外。 单位统一：车长通常用米，桥长可能用千米，速度可能用千米/小时，需统一单位。 多座桥或隧道：若火车连续通过多座桥，需分别计算或整体考虑。 5.与其他方法的联系 与“相遇问题”和“追及问题”结合形成“错车问题”（见题型六）。 与“行程问题”的基本公式一致，只是路程的计算需要加上车长。 与“工程问题”中的“工作量”类比——火车过桥的“工作量”是“桥长+车长”。 6.变化形式 火车过隧道：与过桥完全相同，只是将“桥”换成“隧道”。 火车过桥+过隧道：连续通过，总路程为各段路程之和。 两列火车同向过桥：一列火车完全通过另一列火车（错车），见题型六。 已知完全通过时间，求车长或桥长：逆向求解。 火车在桥上的时间：从车头上桥到车尾上桥的时间，路程 = 车长。 【典例1】一列火车匀速行驶，经过一条长600米的隧道需要25秒的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10秒，求火车的速度.设火车的速度为xm/s,列方程得(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由经过一条长600米的隧道需要25秒的时间，知火车25秒行驶的路程为隧道和火车长度和，由此列出方程即可. 【详解】由灯光照在火车上的时间是10秒，则火车长为10x米， 再根据经过一条长600米的隧道需要25秒的时间，知火车25秒行驶的路程为隧道和火车长度和，则列出方程为：，故选C. 【点睛】本题是对一元一次方程实际运用的考查，准确根据题意列出方程是解决本题的关键. 【变式1-1】【问题引入】 一列火车匀速行驶，经过一条长400米的隧道需要30秒的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是15秒，你能求出这列火车的长度吗？ 【情境分析】 设这列火车的长度是x米． （1）从车头经过灯下到车尾经过灯下，火车所走的路程是________米，这段时间内火车的平均速度是________米/秒． （2）从车头进入隧道到车尾离开隧道，火车所走的路程是________米，这段时间内火车的平均速度是_________米/秒． （3）火车经过灯下和火车通过隧道的平均速度的关系是_______． 【问题解决】 （4）请列出方程并求出这列火车的长度． 【答案】（1），  （2），  （3）相等  （4）这列火车的长度为米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用,解答本题注意理解“完全通过”的含义,完全通过:火车所走的路程=隧道长度+火车长度． （1）火车长度为，根据题意列出代数式即可； （2）根据题意列出代数式即可； （3）上述问题中火车的平均速度不发生变化； （4）根据速度相等列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解：（1）设这列火车的长度是x米，从车头经过灯下到车尾经过灯下，火车所走的路程是米，这段时间内火车的平均速度是米/秒， 故答案为：，； （2）设这列火车的长度是x米，从车头进入隧道到车尾离开隧道，火车所走的路程是米，这段时间内火车的平均速度是米/秒， 故答案为：，； （3）火车经过灯下和火车通过隧道的平均速度的关系是相等， 故答案为：相等； （4）列方程为：， 解得， 答：这列火车的长度为米． 【变式1-2】列方程解应用题： 一列火车要以每秒20米的速度通过第一、第二两座铁桥（火车的长度忽略不计）过第二座铁桥比过第一座铁桥多50秒，已知铁桥的长度比第一座铁桥的长度的两倍短500米，求两座铁桥各自的长． 【答案】第一座铁桥长1500米，第二座铁桥长2500米 【详解】试题分析：根据题意，设第一铁桥的长为x米，那么第二铁桥的长为（2x﹣500）米，然后根据火车头过桥的时间列方程求解求解即可. 试题解析：设第一铁桥的长为x米，那么第二铁桥的长为（2x﹣500）米，火车车头在第一铁桥所需的时间为秒．火车车头在第二铁桥所需的时间为秒． 依题意，可列出方程+50=， 解方程x+1000=2x﹣500， 得x=1500， ∴2x﹣500=2×1500﹣500=2500． 答：第一铁桥长1500米，第二铁桥长2500米． 【变式1-3】一列火车匀速行驶，经过一条长的隧道需要的时间．隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是． (1)设火车的长度为，用含的式子表示火车经过隧道的速度以及火车经过灯下的速度； (2)求这列火车的长度． 【答案】(1)； (2)米 【分析】（1）火车的长度为，根据题意列出代数式即可求解； （2）根据火车的速度相等，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：火车经过隧道的速度为： ， 火车经过灯下的速度 ； （2）火车的长度是米， 则依题意得 ， 解得． 答：火车的长度是米． 【点睛】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，根据题意列出代数式是解题的关键． 【变式1-4】一列普通列车匀速行驶，经过一条长的隧道，从车头进入隧道，到车尾离开隧道，共需要的时间．隧道口的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在列车上的时间是 设该列车的长度为． (1)用含的式子表示：从车头进入隧道到车尾离开隧道，列车所走的路程为__________，这段时间内列车的平均速度为___________； (2)求这列普通列车的长度； (3)相邻车道有一列长度为，匀速相向行驶的高铁列车经过．普通列车与高铁列车完成会车即从车头相遇开始到车尾相离时结束的时间是 求高铁列车的平均速度为多少？ 【答案】(1)， (2)这列普通列车的长为 (3)高铁列车的平均速度为 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的应用： （1）列车所走路程为隧道长与车身长之和，所走路程除以通过时间可得平均速度； （2）根据时间、速度、路程之间的关系列一元一次方程求解； （3）设高铁列车速度是，根据时间、速度、路程之间的关系列一元一次方程求解． 【详解】（1）解：列车所走的路程为 ，这段时间内列车的平均速度为 ， 故答案为：，； （2）解：由题意可得，， 解得：， 答：这列普通列车的长为； （3）解：设高铁列车速度是， 普通列车的速度是， 依题意得：， 解得： 答：高铁列车的平均速度为． ▌题型06 火车错车问题 1.本质与原理 火车错车问题是指两列火车在相邻轨道上相向而行（或同向而行），从车头相遇（或追及）到车尾分离的过程。其核心特点是：两列火车都有长度，错车过程中两车相对运动的路程等于两车长度之和。 相向错车（相遇）：两车相对速度 = 两车速度之和，错车路程 = 两车长度之和。 同向错车（追及）：两车相对速度 = 两车速度之差，错车路程 = 两车长度之和。 火车错车问题的本质是“相对运动”——以其中一列车为参照物，另一列车的相对速度是两者速度之和（相向）或之差（同向）。 2.深度识别特征 题目中出现“两列火车” “错车” “相向而行” “同向而行” “从车头相遇到车尾相离”等关键词。 给出两车速度、两车长度，求错车时间；或给出错车时间、速度，求车长。 常见问法：“两车错车需要多长时间” “从车头相遇到车尾相离经过多少秒”。 3.操作细化步骤 判断错车方向：是相向错车（相遇）还是同向错车（追及）。 确定相对速度： 相向：相对速度 = 两车速度之和； 同向：相对速度 = 两车速度之差（快车减慢车）。 确定错车路程：错车路程 = 两车长度之和（无论相向还是同向）。 设未知数：通常设错车时间为 ，或设某车长度为 。 列方程：根据“错车路程 = 相对速度 × 错车时间”列方程。 解方程并检验：注意同向错车时，快车速度必须大于慢车速度。 4.易错点与注意事项 相对速度的计算：相向是速度和，同向是速度差，不能混淆。 错车路程：无论相向还是同向，错车路程都是两车长度之和。 “从车头相遇到车尾相离” ：这是错车的完整过程，路程为两车长之和。 同向错车的条件：快车速度必须大于慢车速度，否则无法错车。 单位统一：两车速度单位、长度单位、时间单位必须一致。 与过桥问题的区别：过桥是单车与桥，错车是两车之间的相对运动。 5.与其他方法的联系 是“相遇问题”和“追及问题”在火车情境下的特殊形式。 与“火车过桥问题”结合——两车同向过桥时可能涉及错车。 与“流水行船问题”中的相对速度有相似之处。 6.变化形式 相向错车：两车相向而行，错车时间为两车长之和除以速度和。 同向错车：快车追慢车，错车时间为两车长之和除以速度差。 一车静止：若一车静止，另一车通过，相当于单车过“桥”（桥长=静止车长）。 错车后继续行驶：错车后两车继续前行，求再次相距某距离的时间。 多列车错车：三列或更多列车相互错车，情形更复杂。 【典例1】在一段铁路上，两列火车相向驶过，若A列火车全长180m，B列火车全长160m，两列火车的错车时间为1.7秒，已知A列车的速度比B火车每秒快5m，则A、B两车的速度分别是___________． 【答案】秒、秒 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用中的行程问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 可设B车的速度是 秒，则A车的速度是 秒，根据等量关系：A列火车全长，B列火车全长，两列火车的错车时间为1.7秒，列出方程求解即可． 【详解】解：设B车的速度是m/秒，则A车的速度是 秒，依题意有 ， 解得， 故答案为：秒、秒． 【变式1-1】现有两列火车同时同向齐头行进，快车每秒行20米，慢车每秒行12米，15秒后快车超过慢车．如果这两辆火车车尾对齐同时同向行进，则9秒后快车超过慢车．如果两列火车相向而行，它们从车头相遇到车尾相离需要多少秒？ 【答案】从车头相遇到车尾相离需要6秒． 【分析】本题考查一元一次方程的应用．设它们从车头相遇到车尾相离需要x秒，先求出快、慢车的车长，再根据两车的路程之和=两车的车长之和列方程求解即可． 【详解】解：设它们从车头相遇到车尾相离需要x秒， 由题意知，快车长为：（米）， 慢车长为：（米）， ∴， 解得， 答：从车头相遇到车尾相离需要6秒． 【变式1-2】有两列同方向行驶的火车，快车每秒行米，慢车每秒行米．如果从两车头对齐开始算，则行20秒后快车超过慢车；如果从两车尾对齐开始算，则行秒后快车超过慢车．那么，两车长分别是多少？如果两车相对行驶，两车从车头重叠起到车尾相离需要经过多少时间？ 【答案】快车车长240米，慢车车长300米；如果两车相对行驶，两车从车头重叠起到车尾相离需要经过10秒 【分析】如果从两车头对齐开始算，那么超车距离为快车的车长；如果从两车尾对齐开始算，那么超车距离为慢车车长，即可根据路程÷速度=时间求解． 【详解】快车车长： （米） 慢车车长： （米） 重叠起到车尾相离时间： （秒） 答：快车车长240米，慢车车长300米；如果两车相对行驶，两车从车头重叠起到车尾相离需要经过10秒． 【点睛】本题考查了路程÷速度=时间，根据题意求出快车和慢车的车长是解题的关键． 【变式1-3】甲、乙两列火车的长分别为160米和200米，甲车比乙车每秒多行4米． (1)若两列火车相向行驶，从相遇到全部错开需9秒，问两车速度各是多少？ (2)若两车同向行驶，甲车的车头从乙车的车尾追及到甲车全部超出乙车，需要多长时间？ (3)在（1）的条件下，甲、乙两车车头对齐停在同一车站，若乙车先行100秒后，甲车开始追乙车，经过多长时间甲车车头追上乙车车尾？ 【答案】(1)甲车的速度为22米/秒，乙车的速度为18米/秒； (2)90秒； (3)400秒 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程． （1）设甲车的速度为x米/秒，乙车的速度为y米/秒，由题意得等量关系：①甲车速度乙车速度米；②甲车9秒行驶的路程乙车9秒行驶的路程，根据等量关系列出方程组，再解即可； （2）设需要a秒，由题意得：甲车a秒的路程乙车a秒的路程，根据等量关系列出方程，再解即可； （3）设经过b秒甲车车头追上乙车车尾，由题意得等量关系：甲车与乙车速度差乘以b秒的路程乙车100秒的路程乙车车身长，根据等量关系列出方程，再解即可． 【详解】（1）解：设甲车的速度为米/秒，乙车的速度为米/秒， 由题意得： 解得：2， ∴乙车的速度为：（米/秒） 答：甲车的速度为22米/秒，乙车的速度为18米/秒； （2）解：设需要a秒， 由题意得：， 解得：， 答：需要90秒； （3）解：设经过b秒甲车车头追上乙车车尾， 由题意得：， 解得：， 答：经过400秒甲车车头追上乙车车尾． 【变式1-4】A，B两列火车的长分别为156m和180m，A车比B车每秒多行4m． (1)若两列火车相向而行，从相遇到全部错开，需要8s．问两车速度各是多少？ (2)在（1）的条件下，若两列火车同向行驶，且B车行驶在A车前方，求A车的车头从B车的车尾开始追及到A车车尾超过B车车头需多少时间？ 【答案】(1)A车的速度为23m/s，则B车的速度为19m/s； (2)84s 【分析】（1）设A车的速度为xm/s，则B车的速度为（x-4）m/s，根据题意，列出方程，即可求解； （2）设A车的车头从B车的车尾开始追及到A车车尾超过B车车头需ts，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设A车的速度为xm/s，则B车的速度为（x-4）m/s，根据题意得： ， 解得：x=23， ∴x-4=19， 答：A车的速度为23m/s，则B车的速度为19m/s； （2）解：设A车的车头从B车的车尾开始追及到A车车尾超过B车车头需ts，根据题意得： ， 解得：t=84， 答：A车的车头从B车的车尾开始追及到A车车尾超过B车车头需84s． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． ▌题型07 工程问题 1.本质与原理 工程问题是指关于工作总量、工作效率和工作时间的问题。其核心公式是：工作总量 = 工作效率 × 工作时间。在工程问题中，通常将工作总量设为“1”（即一项工程的总量为1），则工作效率 = 1 ÷ 单独完成所需时间。工程问题的本质是“效率的叠加”——多人合作时，合作效率等于各人效率之和。 2.深度识别特征 题目中出现“一项工程” “一件工作” “修一条路” “挖一条水渠”等关键词。 通常给出各人单独完成所需时间，求合作完成时间；或给出合作时间，求某人单独完成时间。 可能涉及多人合作、中途加入或离开、交替工作等。 常见情境：甲乙合作完成一项工程、先由甲做一段时间再由乙做等。 3.操作细化步骤 设工作总量为1：这是工程问题的通用做法（也可设为其他方便的数，如各单独完成时间的最小公倍数）。 表示各人的工作效率：若甲单独完成需 天，则甲的效率为 ；乙单独完成需 天，则乙的效率为 。 分析工作过程：明确谁做了多少时间，各阶段的工作量如何分配。 列方程：根据“各阶段工作量之和 = 工作总量（=1）”列方程。 解方程并检验：注意时间必须为正数，效率也必须为正数。 4.易错点与注意事项 工作总量设为1的依据：这是一种“归一化”思想，使效率可以用分数的形式简洁表示。 效率的叠加：合作效率 = 各人效率之和，但注意只有同时工作的时间才能叠加。 中途加入或离开：需分段计算工作量，不能简单地将时间相加。 交替工作：若甲乙轮流工作，需按周期计算工作量。 单位统一：时间单位（天、小时）必须一致。 工作效率与时间的关系：效率越高，完成同一工作所需时间越短，两者成反比。 5.与其他方法的联系 与“相遇问题”有共同思想——合作完成工作对应相遇中的“共同走完全程”。 与“流水行船问题”中的“效率”类比——船速相当于工作效率。 与“一元一次方程”的解法步骤完全一致——去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。 6.变化形式 两人合作：最基本的形式，合作时间 = 1 ÷（效率和）。 多人合作：三人或更多人合作，效率和为各人效率之和。 中途加入：先由一人做一段时间，另一人再加入。 中途离开：一人做一段时间后离开，剩余由另一人完成。 交替工作：甲乙轮流做，按周期计算。 效率变化：如某人效率提高或降低，需重新计算。 先做后合作：先由一人单独做一部分，剩余部分两人合作。 【典例1】甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时．丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，水池注满还要（     ）个小时． A．15 B．20 C．35 D．40 【答案】C 【分析】将一池水总水量看作单位，先求出各水管的工作效率，设水池注满还要小时，根据题意，列出方程，求解即可． 【详解】解：把一池水总水量看作单位， 甲单独注满需小时，乙单独注满需小时，丙单独排完整池水需小时 甲进水效率为，乙进水效率为，丙排水效率为， 设水池注满还要小时， 根据题意可得，， 解得， 即水池注满还要小时． 【变式1-1】一批工人到甲、乙两个工地工作，甲工地的工作量是乙工地工作量的1.5倍，上午在乙工地工作的人数是甲工地的，下午这批工人中的在乙工地工作，其余的工人在甲工地工作．一天下来，甲工地的工作已完成，乙工地的工作还需4名工人再做一天．这批工人有( )人．（假设上午、下午工作时间相同，每个工人的工作效率相同） 【答案】36 【分析】假设每个工人每个上午（或下午）的工作量为1，设这批工人有人，根据甲工地的总工作量乙工地的总工作量，再结合工程问题基本公式“工作总量人数工作时间”(每人工作效率相同)推导而来． 【详解】解：假设每个工人每个上午（或下午）的工作量为1，设这批工人有人， 答：这批工人共有36人． 【变式1-2】某县农业园养殖了许多的黄牛，黄牛品种优良，肉质鲜美．农业园中养殖牛的排泄物是制作有机肥的主要材料．农业园响应“绿色环保”号召建设了有机肥生产线．有机肥生产线原计划每天生产吨，天完成，实际前天就完成了吨．照这样的效率，完成这批任务只需多少天？ 【答案】完成这批任务只需天 【分析】设按照实际效率完成这批任务只需天，由生产有机肥总量不变，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：实际前天就完成了吨， 这样的效率为（吨/天）， 设按照实际效率完成这批任务只需天，则， 解得， 答：完成这批任务只需天． 【变式1-3】2025年，旺苍县为聚焦城市建设“舒筋活络”，助推“民生愿景”变为幸福实景，统筹推进多项民生工程．其中，某一项工程由甲、乙两个工程队承接，已知甲队单独完成此项工程需要20天，乙队单独完成需要30天．该工程施工情况如下：甲队先单独施工10天，之后因工期紧张，安排乙队加入，甲、乙两队合作完成剩余工程． (1)甲、乙两队合作还需要多少天完成此项工作？ (2)已知甲队每天的劳务费比乙队多30元，完成这项工程共需支付劳务费11480元．则甲、乙两队每天的劳务费各是多少元？ 【答案】(1)甲、乙两队合作还需要6天完成此项工作 (2)甲队每天的劳务费是530元，乙队每天的劳务费是500元 【分析】（1）将总工程量视为单位1，根据甲单独完成的工作量与甲乙合作完成的工作量之和等于总工程量，列一元一次方程求解． （2）先确定甲、乙两队各自的施工总天数，根据“这项工程共需支付劳务费11480元”列一元一次方程求解． 【详解】（1）解：设总工程量为单位1，甲、乙两队合作还需要𝑥天完成此项工作，甲队工作效率为 ，乙队工作效率为，根据题意得 ， 解得， ∴甲、乙两队合作还需要6天完成此项工作． （2）解：由（1）知甲队共施工天，乙队施工6天， 设乙队每天的劳务费为y元，则甲队每天的劳务费为元，根据题意得 ， 解得， ∴乙队每天的劳务费为500元，甲队每天的劳务费为元． 【变式1-4】近年来，城市更新行动速度在加快，保障和改善民生的步伐也在加快．某社区在一次改造中，预算施工费用为万元，计划由甲、乙两队先后接力施工天完成．已知甲队单独施工完成此次改造需要天，每天的施工费用为万元，乙队单独施工完成此次改造需要天，每天的施工费用为万元，请通过计算说明预算施工费用是否够用？ 【答案】 预算施工费用够用，实际总施工费用为万元 【分析】以总工作量为等量关系列一元一次方程，求出甲、乙两队的施工天数，再计算总费用与预算对比． 【详解】解：将此次改造的总工作量看作单位，设甲队施工天，则乙队施工天， ∵甲队单独施工完成此次改造需要天，乙队单独施工完成此次改造需要天， ∴甲队单日完成总工作量的，乙队单日完成总工作量的， ∵两队总工作量为， ∴， 解得， 乙队施工天数：（天）， 总施工费用：（万元）， ∵， ∴ 预算施工费用够用． 【变式1-5】某企业聘用甲、乙两队完成一项工程，已知乙队单独完成这项工程需天，甲队单独完成所需天数是乙队单独完成所需天数的倍．如果甲、乙两队先合作天，接着甲队因故停工天（乙队不停工），后继续与乙队合作完成剩下的工程． (1)甲队单独完成这项工程需要 天． (2)完成这项工程总共用了多少天？ (3)该企业为了这项工程一共支付万元的费用．如果你是决策者，你会将这笔费用如何分配给甲、乙两队？请设计一个分配的方案，并说明分配的依据． 【答案】(1) (2)完成这项工程总共用了天． (3)分配方案：甲队分得万元，乙队分得万元．分配依据：按两队完成的工作量占总工作量的比例分配，多劳多得． 【分析】（1）利用甲队天数是乙队的倍，直接列式计算甲单独完成工程的天数． （2）把总工程看作单位，求出甲乙工作效率，设后续合作天数为未知数，根据各阶段工作量之和等于总工作量列方程求解，再累加全部阶段得到总天数． （3）先算出甲、乙两队各自完成的工作量，按照工作量占比对总费用万元进行分配． 【详解】（1）解：（天）， 故甲队单独完成这项工程需要天． （2）解：设甲队复工后，两队继续合作天完成剩余工程．则 ， 解得， （天）， 答：完成这项工程总共用了天． （3）解：∵甲实际工作天数（天）， ∴甲完成工作量， ∵乙实际工作天数为天， ∴乙完成工作量， ∴甲队费用（万元），乙队费用（万元）， ∴分配方案：甲队分得万元，乙队分得万元．分配依据：按两队完成的工作量占总工作量的比例分配，多劳多得． 【变式1-6】一项工程，甲队单独完成需30天，乙队单独完成需45天，现甲队先单独做20天，之后两队合作完成此项工程． (1)甲、乙两队合作还需多少天才能把该工程完成？ (提示：工程问题中可设总工作量为单位“1”，工作效率总工作量工作时间) (2)甲队施工一天需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元，若该工程计划在40天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队单独完成、乙队单独完成该工程省钱？还是由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱？ 【答案】(1)甲、乙两队再合作6天才能把该工程完成 (2)甲、乙两队全程合作完成该工程省钱 【分析】（1） 设甲、乙两队再合作x天才能把该工程完成，按工程问题列方程求解即可； （2）因为45天大于40天，所以不能由乙队单独完成，分两种情况：由甲队单独完成和甲、乙两队全程合作完成，分别求出费用，再比较大小即可得解． 【详解】（1）解：设甲、乙两队再合作x天才能把该工程完成， 根据题意列方程为， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 答：甲、乙两队再合作6天才能把该工程完成． （2）因为45天大于40天，所以不能由乙队单独完成， 若由甲队单独完成工程的费用：(万元) 设由甲、乙两队全程合作完成需要m天，则，解得， 甲、乙两队全程合作完成工程的费用：(万元)， 因为万元万元． 所以由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱． 【变式1-7】某科技公司要生产一批智能手表，计划由A、B两个工厂负责生产．已知A厂每天能生产12件，B厂每天能生产18件，A厂单独生产比B厂单独生产要多用15天． (1)求这批智能手表共有多少件？ (2)若A、B两厂生产一段时间后，A厂停止生产智能手表去为该公司生产其他产品，剩下的智能手表生产任务全部由B厂单独完成，经核算，B厂需将每天的生产件数提高．任务完成时，B厂生产智能手表的全部工作时间正好比A厂生产智能手表的时间的2倍多3天，求B厂生产智能手表共用多少天？ (3)如果在生产智能手表过程中，公司每天需要付给A厂100元，付给B厂150元，另外，每个工厂需要配备一名工程师进行生产技术指导，并由公司提供每天15元的午餐补助费． 经公司研究，拟定如下三种生产方案： 方案一，由A厂单独完成； 方案二，由B厂单独完成； 方案三，按（2）问方式完成． 请你通过计算，帮公司选择一种既省时又省钱的生产方案． 【答案】(1)540件 (2)21天 (3)选方案三 【分析】（1）设这批智能手表共有x件，根据“A厂单独生产比B厂单独生产要多用15天”列出一元一次方程，解方程即可求解； （2）设A厂工作y天，则B厂工作天，根据题意列一元一次方程，解方程即可求解； （3）应分为三种情况讨论：①由A厂单独完成；②由B厂单独完成；③按（2）问方式完成，分别比较三种情况下，所耗时间和花费金额，求出既省钱，又省时间的加工方案． 【详解】（1）解：设这批智能手表共有x件，根据题意列方程得， ， 解得：． 答：这批智能手表共有540件； （2）解：设A厂工作y天，则B厂工作天，根据题意列方程得， ， 解得：． 所以，（天）． 答：B厂共生产智能手表21天； （3）解：方案一：A厂单独完成，时间为天，费用为元． 方案二：B厂单独完成，时间为天，费用为元． 方案三：A厂工作9天，B厂工作21天，时间为21天，费用为元． 比较时间：；比较费用：． 所以，方案三既省时又省钱． 【变式1-8】有10根大小相同的进水管给、两个水池注水，原计划用4根进水管给水池注水，其余6根给水池注水．那么5小时可同时注满，因为发现水池以一定的速度漏水，所以改为各用5根进水管给水池注水，结果也是同时注满． (1)如果用10根进水管给漏水的水池注水，需要多少分钟注满？ (2)如果增加4根同样的进水管，水池仍然漏水，并且要求在注水过程中每个水池的进水管的数量保持不变，那么要把两个水池注满最少需要多少分钟？（结果用进一法精确到个位） 【答案】(1)144分钟 (2)258分钟 【分析】本题主要考查工程问题，读懂题意，正确列出算式和方程是做题的关键． （1）先设每根进水管每小时进水1份，水池每小时漏水份，再根据题意，列出算式和方程，进行计算即可； （2）先设14根进水管分配给水池根，则分配给水池根，由题意得，，得出，最后根据分配给水池6根或7根，分类讨论即可． 【详解】（1）解：设每根进水管每小时进水1份，水池每小时漏水份， 则水池的容量：（份）， 水池的容量：（份）， 改为各用5根进水管给水池注水时， 注满水池用时：（小时）， 故根据题意得，， 解得，， 用10根进水管给漏水的水池注水，注满用时：（小时）（分钟）． 答：用10根进水管给漏水的水池注水，需要144分钟注满． （2）解：设14根进水管分配给水池根，则分配给水池根， 由题意得，， 整理得，， 解得，， 经检验，是原方程的解， 又因为必须为整数， 所以分配给水池6根或7根时，把两个水池注满需要的时间最少， 当分配给水池6根，水池8根时， 注满水池用时：（分钟）， 注满水池用时：（分钟）； 当分配给水池7根，水池7根时， 注满水池用时：（分钟）， 注满水池用时：（分钟），故最少需要258分钟， 因为， 所以综上所述，把两个水池注满最少需要258分钟． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $