考案(4)本册素养等级测评-【成才之路·考案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（人教B版）

新数学必修·第一香UB 10.已知函数八x)对任意x∈R都有f八x+4)-八x)=2(2),若y=f八x-1)的图像关于直线x=1对称，且对任总的 习、究、练、测四位一体 考案（四） 1e(0,2).且玉年，都有）-九>0，则下列结论正确的是 ( 材 A.八x)是偶函数 B.f(x)在(-2,0)上单调递减 本册素养等级测评 C.f2)=0 D.八x)在(-4，-2)上单调递减 时间：120分钟满分：150分 1.已知漏数)=计-1，则下列正确的有 整 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， A.函数八x)在(0，+x)上为增函数 B.存在xeR,使得f八-x)=-(x) 1,已知全集为实数集R,集合A={x10≤x≤4，B={x1x2-8x+15>0,则An(C.B)= ( C.函数八x)的值城为(-，-2]U[-1,+) D.方程f(x)-x2=0只有一个实数根 A.[4.5] B.[0,3] C.[3.4] D.(3,4) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 2.下面四个条件中，使4>b成立的充分不必要条件是 )12.直线y=1与曲线y=x2-|x+a有四个交点，则a的取值范围是 A.a≥b+1 B.a>6-1 13.关于x的不等式2-x+a+3≥0在区闻[-2,0]上恒成立，则实数a的取值范固是 C.a'>b2 D.a'>b 14.函数八x)同时满足：①D对于定义域上的任总x,恒有八x)+八-x)=0:2对于定义域上的任意x1,无，当x≠x时 3函数)=斥++，的定文线为 恒有）-)<0.则称函数x)为理想雨数”.下列三个函数中：1)(x)=,(2)x)=,(3)x)= 11-x2 A.(-3.0] B.(-3.1] -x2,x≥0 C.[-1,3)U(3,+m D.[-1,3y 为“理想函数”的有·（填序号） x2,<0 4.设八x)=r+bx2++7(其中a.b,c为常数).若f(-7)=-17,则7)= ）四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A.31 B.17 15.(13分)已知关于x的方程x2-2(k-1)x+2=0有两个实数根，x C.24 D.-31 (1)求k的取值范用： 5.若x=1是函数f(x)=4+6(a≠0)的一个零点，则函数(x)=x2+b:的零点是 (2)若1名+2|=2一1，求的值 A.0或1 B.-1或1 C.0或-1 D.1或2 6.已知Xx)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)=八(x-1),则f2022)+八2024)的值为 ( A.-1 B.1 C.0 D.无法计算 7.某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出3种商晶，第三天售出18种商 品：前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店这三天售出的滴品最少有 A.25种 B.27种 C.29种 D.31种 8.用[x]表示不超过x的最大整数，如[1.8]=1.[-1.3]=-2，设1x=x-[x],若方程引x+k红-1=0有且只有3 个实数根，则正实数k的取值范围为 ( [分司 B(兮引 c片 n(公 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列命题中正确的是 Ay=x+上(x<0)的最大值是-2 By=+3的最小值是2 +2 Cy=2-3x-4(x>0)的最大值是2-4 Dy=2-3x-x>0)的最小值是2-45 237 2384 16.(15分)已知函数f八x)=x2+r+1(a>0). 18.(17分)已知函数八x)是定义在区间[-2,2]上的奇函数，且八-2)=2，若对于任意的m,m∈[-2,2]，m+n≠0， (1)若八x)的值域为[0，+)，解关于x的方/肌x)=4: 有m）+<0. (2)当a=2时，若函数g(x)=[代x)]2-2m(x)+m2-1在[-2,1]上有三个零点，求实数m的取值范周 阴+菲 (1)判断函数的单调性，并给出证明： (2)解不等式2x+3)<1-x): (3)若f八x)≤-2世+2，存在x∈[-2,2]，对于任意的ae[-2,2]恒成立，求实数r的取值范围 17.(15分)已知函数爪x)为二次函数，不等式x)<0的解集是(0.5)，且八x)在区间[-1,4]上的最大值为12 19.(17分)某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实 (1)求八x)的解析式： 施，商场决定采取适当的降价措施，嗣查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台 (2)设函数八x)在[t,+1门上的最小值为g(t),求g(t)的表达式及g(t)的最小值 (1)假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式：（不要求写自 变量的取值范围) (2)商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？ (3)每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？ 239 240若a<0时，如取a=-l(x)=,定义域为：xx≠±1且 其值域B1=[3-2m,3+2m],于是有ACB, 即有60. 18 是奇函数，选项A可能，故不可能是选项D, 故选ABC. 解得m≥2： 10.AC方法一：代x)+f2-x)=2-x+[2-(2-x)]=2为定值， 当m<0时，g(x)在[0,4]上单调递减， 故A项正确：f代x)+f代2-x)=2(x-1)2不为定值，故B项错误； 其值域B2=[3+2m,3-2m],于是有ACB2, +2)音子2.符合题意散C项正 即有代2三.部得a≤-2 确：f(x)+f(2-x)=(x-2)3-x3不为定值，故D项不正确 所以实数m的取值范围为(-∞，-2]U[2,+∞). 方法二：因为任意x∈A恒有f(x)+f(2-x)=2,所以函数的图 [-2x-a,x<-2, a 像关于点(1,1)中心对称，函数f代x)=2-x的图像是过点(1,1) 15.(1)由题知f)= 的直线，符合题意：函数x)=名=1+的图像关于点(1， 2+a≥-受 1)中心对称，符合题意；B,D中两个函数的图像都不关于点(1， 1)中心对称，不符合题意， “函数x)的单调递增区间为[-？，+）： 11.AB在同一直角坐标系中画出函数y=1x-21,y=Ix+21,y= x的图像，如图所示， 3=-分，解得a=-6 (2)由(1)可知，f(x)的增区间为[-号，+0)而f孔)在[3， +∞)上是增函数， 分≤3，即a≥-6 19 .∴.实数a的取值范围为[-6，+∞). 16(1)由题意可知，2(5x+1-）≥30 所以5x2-14x-3=(5x+1)(x-3)≥0， 所以x≤-5或x≥3 rx+21,x≤-1， 又1≤x≤10，所以3≤x≤10 由图像可知，函数f代x)=x2,-1<x<1, [Ix-21,x≥1， (2)易知获得的利润y=20(5x+1- 显然f(-x)=f代x),可得函数f代x)为偶函数，所以A正确； 又由f(4)=I4-21=2,所以B正确： 12m2++5*e1,o. 由图像可知，若xeR时，f(x)≥0， 令t=f代x),由函数y=f代t)和y=t(t≥0)的图像可知， 令1=e[0小则y=120(-r+1+5) 当t≥0时，y=t在曲线y=f代t)的上方，所以当t≥0时，t≥f(t), 即有ff(x)≤f代x)成立，所以C不正确： 当1=石，即x=6时，=610， 若xe[-4,4],f(-4)=2,则f(-4)-2=0,显然f(-4)> 故该工厂应该选取6千克/小时的生产速度，此时利润最大，且 1f代-4)-21，所以D不正确. 最大利润为610万元. 故选AB. 12e- 7.()x)=1x-m三{m,之，即)在(-∞，m)上单调递 ”设-3≤x<0,则3≥-x>0,则 减，在[m,+∞)上单调递增，若函数f(x)在[1,2]上单调递增 有f(-x)=x(-x+1)=-x(x-1),又因为f(x)=-f(-x),所 则m≤1，所以实数m的取值范围是(-∞，1]. 以fx)=x(x-1), f0)=0,所以fx)=(x-1),-3≤x<0, 3+m-+2- -x(x+1),0≤x≤3. ①当m≤1时，g(x)在[1,2]上单调递增，故g(x)=g(1)=1 13.(1)(1,+∞)(2)[-8,0](1)fx)的图像与x轴无交点， △=16-4(a+3)<0,.a>1, -m+m2=7,解得：m=-2或3（舍去）； 即实数a的取值范围为(1，+∞). ②当1<m≤2时，g(x)ma=g(m)=m2=7,解得：m=±7（舍 (2).:函数f代x)的图像的对称轴为直线x=2,且开口向上， 去)； .f(x)在[-1,1]上单调递减 ③当2<m≤3时，g(x)在(1,2）上单调递增，在（受，2上单调 .要使f(x)在[-1,1]上存在零点 需满足1)≤0，即a≤0， 递减，且x=2更靠近1，所以g(x)m=g(2)=m2+2m-4=7, 1f(-1)≥0,1 l8+a≥0 .-8≤a≤0， 解得：m=25-1或-25-1（舍去）： 即实数a的取值范围为[-8,0]. ④当3<m≤4时，g(x)在(1，罗）上单调递增，在（受，2上单调 14.(-∞，-2]U[2,+∞)“对任意x∈[0,4]，总存在x2e[0, 4],使fx)=g(x2)成立”等价于“函数f(x)在[0,4]上的值域 递减，且x=更靠近2，所以g(x)血=g(1)=m-1+m2=7, 包含于g(x)在[0,4]上的值域” 函数fx)=(x-2)2-1,当x∈[0,4]时，f(x)mim=f2)=-1, 111 解得：m=1专3（舍去）： f(x)mas=f0)=f(4)=3,即f(x)在[0,4]上的值域A=[-1, 2 3]. ⑤当m>4时，g(x)在[1,2]上单调递增，故g(x)=g(1)=m 当m=0时，g(x)=3,不符合题意； 当m>0时，g(x)在[0,4]上单调递增， -1+m2=7,解得：m=1专3（舍去）： 2 245 综上：m=-2或m=2√5-1. (1)证明：由f(x+y)=fx)+f(y), 的取值范围是{-号(0，+》 令y=-x,得f孔x+(-x)]=fx)+f(-x), 若选③，fx)= 「x2-13x+28-b,x≥1 ∴.f(x)+f(-x)=f0). 1x2-7x+22-b,x<1 又f(0+0)=f0)+f0),∴f0)=0. 从而有f(x)+f(-x)=0.∴.f代-x)=-f(x). ()当≥1时的对称轴为=号>1。 ∴f代x)是奇函数 (2)证明：任取x1,x2∈R,且x1<x2, 所以心)在[1，)上单调递减，在[片，+)上单调递塔 则f(x)-f(x2)=f(x)-f[x1+(x2-x)]=-f(x2-), 7 由于1<3.2-1>0，f-)<0. 当x<1时f(x)的对称轴为x=2>1, .-fx2-x)>0,即fx)>fx2), 所以f(x)在(-0,1)上单调递减. 从而f(x)在R上是减函数. (3)若f(3)=-1,函数为奇函数得f(-3)=1, 综上所述)在(-，号）上单调递减，在[号，+)上单调 又5=5f-3)=f(-15), 递增 所以f(3x+2)+f(x-15)<5=f-15), 由f(x+y)=f(x)+f(y)得f(4x-13)<f(-15), (2)()知=》）=-6- 由函数单调递减得4-13>-15，解得>7 因为f(x)的图像与x轴有两个交点， 所以f(x)min<0. 1 故x的取值范围为(-2，+∞) <0，得6>-7 由-6-57 41 fx)=(x-a)2-31x-11-b =-(2a+3)x+a2-b+3,≥1， 所以实数6的取值范閻是(-子，+× 1x2-(2a-3)x+a2-b-3,x<1. 若选①x)=+x+7-6,≥1 考案（四） 1x2+7x+1-b,x<1 1.C由x2-8x+15>0→x<3或x>5,则CRB=[3,5],则A∩ (1)当x≥1时()的对称轴为x=- 2s1, (CB)=[3,4]. i2.A由a≥b+1>b→a>b,但a>b无法得出a≥b+1,A满足： 所以f(x)在[1，+∞)上单调递增. 由a>b-1,2>b2均无法得出a>b,不满足“充分”； 当<1时)的对称辅为一子<1， ! 由a3>b台a>b,不满足“不必要”. 所以()在(-”，子）上单调递减，在[-子，)上单调递 快.C由题意，函数0)=x+1+3有意义，则满足+1≥0， 1x-3≠0， 增。 解得x≥-1且x≠3，即函数f(x)的定义域为[-1,3)U(3, +0). 综上所述)在(-，子)上单调递减，在[- 7 故选C 单调递增。 4.A令g(x)=ax3+bx3+cx,则g(x)为奇函数. (2)由(1知)=-子）=-b- .f-7)=g(-7)+7→g(-7)=-24 .f(7)=g(7)+7=24+7=31,故选A. 因为f(x)的图像与x轴有两个交点， 5.A因为x=1是函数f代x)=a+b(a≠0)的零点，所以a+b=0, 所以f(x)<0,即-6-5<0，所以实数6的取值范围是 4 即a=-b≠0， (华+ 所以h(x)=-bx(x-1), 令h(x)=0,解得x=0或x=1 ∫x-5x+4-b,x≥1 6.C因为g(x)是定义在R上的奇函数， 若选②fx)=+x-b-2,x<1 所以有g(-x)=-g(x), (1)当x≥1时，因为f(x)的对称轴为x=2>1, 5 所以f-x-1)=g(-x)=-g(x)=-f(x-1),因为f(x)是定 义在R上的偶函数， 所以心)在[1，)上单调递减，在[各，+）上单调递增， 所以f代-x)=f(x),所以f(x+1)=f孔-(x+1)]=f-x-1),所 以f(x+1)+f代x-1)=0, 当x<1时，因为)的对称轴为=一子<1， 因此f(2022)+f(2024)=0. 7.C因为前两天都售出的商品有3种，因此第一天售出且第二天 所以(x)在(-0，-上单调递减，在[-之，上单调递 没有售出的商品有16种，同理第三天售出且第二天没有售出的 商品有14种，若使售出的商品种类最少，需满足第一天与第三天 增。 都售出的商品种类最多，如图： 综上所述，(x)在(-“，2[1，)上单调递减，在 [-分，小[三，+)上单调递增 第三天 (2)1)知(-)=-6￥)=-6-号=-} 因为(x)的图像与x轴有两个交点，所以)=(-2）=0 或f(1)<0. 所以售出的商品最少有2+14+3+1+9=29（种）. 由-b- 9=0或1)=-b<0,得6=- 或6>0，所以实数b8.B左程士：10有且只有3个实数根等价于y=x的 图像与y=-kx+1的图像有且只有3个交点， D246 当0≤x<1时，{x=x,当1≤x<2时， 若-)=x),则11解得=1之5 当且仅当x=-1时取等号. 综上所述，得g(t)的表达式为 {x}=x-1,当2≤x<3时，{x}=x-2 所以a≥-2. 当3≤x<4时，{x=x-3 ,以此类推 当<0且-1时)=本+1-)=-年山， 放答案为a≥-2. [2r-6-8,≤号， 如图所示，正实数k的取值范围为： 14.(3)由题意知“理想函数”为定义域上的奇函数且在定义域上 g()= 若人-)=-x),则千+1=-在-1，解得x=25, 单调递减函数x)=上是奇函数，虽然其在区间(-，0)和 2 5x+1 (0,+∞)上单调递减，但不能说其在定义域(-，0)U(0 2r-10,≥3 综上，当x=1,5或x=1,+5时-x)=-),正确： 2 2 +∞)上单调递减，所以代x)=】不是“理想函数”；函数f(x)= 当≤1≤，g()取最小值- x+I 0…0…0- 0 对于,当0时)1=因为≥0， x是偶函数，且其在定义域R上先减后增，所以f(x)=x2不是18.(1)函数f(x)在区间[-2,2]上是减函数 “理想函数”；函数f(x)= ≥0，是奇函数，且在定义域R 证明：由题意可知，对于任意的m,ne[-2,2],m+n≠0，有 所以x+1≥1， -3 1 x2,x<0 f(m)+f(n)<0, 所以)=x+e[-1,0), 上单调递减，故代x)={,≥0·是理想函数 m +n x2,x<0 当-1<x<0时x)=-1=中-2，因为-1<<0，所 -x 15.(1)依题意，得4=-4ac≥0， 设=m,=-n,则）+机-<0 X,-X1 以0<x+1<1 即[-2(k-1)]2-42≥0，解得k≤2 即）-)<0， -4 (2)依题意，可知x1·2=2,x1+2=2(k-1) 当x1>2时f(x)<f(2),所以函数在[-2,2]上为单调递减 -2≤-<-3 所以)=+2e(-l,+ 由(1)可知≤2， 函数： 1 即正实数k的取值范围为（号，2] 当<-1时)=音-1-2，因为<-1，所以+1 1<:时f(x)>f(,),所以函数在[-2,2]上为单调递减 所以2(k-1)<0,即x,+x,<0. <0 函数 故选B. 所以-2(k-1)=2-1,解得k1=1,k2=-3 1 综上，函数f(x)在[-2,2]上为单调递减函数。 9.Cy=x+=-(-x-）≤-2√(-）=-2，当且 所以)=x中-2e(-”,-2),综上函数f代x)的值域为 因为k≤}，所以k=-3. (2)由(1)知函数f(x)在区间[-2,2]上是减函数 (-∞，-2)U[-1,+0),错误； 2≤2x+3≤2 16.(1)因为fx)的值域为[0，+e), 仅当x=-1时，等号成立，所以A正确： 因为f2x+3)<f1-x),可得-2≤1-x≤2， 是号2+2令2≥，则 常*1x≥0， 所以fx)m=(-分）=子2-2+1=0 2x+3>1-x, 对于D,f(x)= +7-2,-1<x<0 1 又因为a>0,所以a=2,则fx)=x2+2x+1. 解得-<x≤-2 +在[反，+∞)上单调递增，所以y≥万+ 巨，取不到 由f代x)=4得x2+2x+1=4,即x2+2x-3=0,解得x=-3或 x+1-2,x<-1, 所以不等式2x+3)<1-)的解集为{-号<≤-} 2,所以B错误： (2)g(x)=[f(x)]2-2m(x)+m2-1在[-2,1]上有三个零点 在同一个坐标系画出函数y=f(x)和函数y=x2的图像，如图： (3)因为函数f(x)在区间[-2,2]上是减函数，且f(-2)=2,所 等价于方程[f代x)]2-2mf代x)+m2-1=0在[-2,1]上有三个 y=2-3x-4=2-(3x+）2-45,当且仅当3x=4时，等 以f八x)mm=f2)=-2 不同的根.因为当[f代x)]2-2mfx)+m2-1=0时，f(x)=m+1 存在x∈[-2,2]，要使得对于任意的a∈[-2,2]都有f八x)≤ 号成立，所以y=2-3x- (x>0)的最大值是2-4B,所以C 4 或f(x)=m-1 -2d+2恒成立， 又因为a=2,所以f代x)=x2+2x+1.结合fx)在[-2,1]上的 只需对任意的ae[ -2,2],-2at+2≥-2恒成立 正确，D错误 图像（图略）可知，要使方程[f(x)]2-2m(x)+m2-1=0在 故选AC. y=fx) -2,1]上有三个不同的根，则f代x)=m+1在[-2,1]上有 令y=-2at+4,此时y可以看作a的一次函数，且在ae[-2, 2]时，y≥0恒成立. 10.ABC因为y=x-1)的图像关于直线x=1对称 二2 个实数根f(x)=m-1在[-2,1]上有两个不等实数根，即 所以将y=(x-1)的图像向左平移一个单位，得到y=八x)的图 6m+14:解得1<m≤2 因此只需+4≥0 -41+4≥0， 像 解得-1≤t≤1， 此时关于y轴对称，故函数y=f(x)为偶函数，所以A正确 由图可知，函数fx)和函数y=x2的图像只有一个交点 故实数m的取值范围为(1,2] 所以实数t的取值范围为[-1,1] 因为对任意的，西e(0,2)且无≠，都有）-）>0， 所以方程f(x)-x2=0即f代x)=x2只有一个实数根，正确， 17.(1)f代x)是二次函数，且f八x)<0的解集是(0,5)， 12.1<a<子本小题主要考查函数的图像与性质，不等式的解法 ∴.可设fx）=ax(x-5)(a>0), 19.(1)根据题意，得y=(2400-2000-x)(8+4×0) 所以函数y=f(x)在(0,2)上单调递增 根据函数y=(x)为偶函数，所以函数y=f八x)在(-2,0)上单 着重考查了数形结合的数学思想.如图，在同一直角坐标系内 可得x)在区间[-1，]上是减函数，在区间[子上是增 即y=-云+24+320 调递减，所以B正确； 出直线y=1与曲线y=x2-Ix+a,由图可知，a的取值必须满 函数. 由函数f八x)对任意x∈R都有f(x+4)-f八x)=2f2), >1. :f-1)=6a,f4)=-4af(-1)>f4), (2)由题意，得-+24x+3200=480, 令X= -2,可得f八-2) 1解得1<a< .f(x)在区间[-1,4]上的最大值是f代-1)=6a=12,得a=2. 因此，函数(x)的解析式为f(x)=2x(x-5)=2x2 整理，得x2-300x+20000=0, 4 10x(xE 又由f-2)=f2),所以f(2)=-f(2),所以f(2)=0,所以C R). 解这个方程，得1=100，2=200 正确： 要使百姓得到实惠，取x=200, 所以fx+4)-fx)=0,即f(x+4)=f代x)对于任意的x恒成 c2-Ixl+a (2)1)得)=2(-多)- ,函数图像开口向上，对称 所以，每台冰箱应降价200元. 因为函数y=f(x)在(0,2)上单调递增，所以得f(x)在(-4， y=】 轴为x=子 (3)对于y=-232+24x+3200 -2)上单调递增，所以D不正确 ①当t+1≤子，即1≤时，x)在[t,+1]上单调递减， 当x= ,=150时，y最大值=(2400-2000 故选ABC. 2×(- 11.ABD对于A,当xe(0,+)时x)=x+-1=-+: 此时f(x)的最小值g(t)=ft+1)=2(t+1)2-10(1+1)=22 4a- y=1 -61-8 150)(8+4×10)=250×20=5000 4 该函数是由函数y=-一向左平移一个单位得到的， ②当≥)时x)在[t,1+1小上单调递增， 所以，每台冰箱的售价降价150元时，商场的利润最高，最高利 ®，2由题得a≥-）k+2 润是5000元. 因为y=-在(0，+)上单调递增，所以)=一x+在(0， 此时f(x)的最小值g(t)=f代t)=22-10t: 因为-2≤x≤0，-3≤x-1≤-1， +∞)上为增函数，正确； ③当号<1<号时，函数y=(x)在对称轴处取得最小值 对于B,当≥0时，-f)=1-+-)=-+, 所以(-)++2-1-+]+2≤-2+2 -2. 此时80)=)=-空。 247 P248