周末练8 综合检测试卷（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第二册学习笔记（人教B版）

**基本信息** 以函数、概率统计、向量等核心知识为载体，通过基础辨析、性质应用、实际情境问题考查数学抽象、运算推理及数据观念，实现知识整合与能力综合测评。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数与导数|单选1,3,4,14；解答19|定义域、单调性、奇偶性、不等式恒成立|从概念（定义域）到性质（单调性）再到综合应用（不等式恒成立）| |概率统计|单选2,5,7,8；多选9；填空13；解答16,17|随机抽样、互斥事件概率、频率分布直方图、古典概型|从抽样方法到数据图表分析，再到概率计算与实际应用| |平面向量|单选6；填空12；解答15|共线向量、向量运算、三点共线|从向量运算到共线判定，再到几何应用（平行四边形）| |综合应用|解答18|分段函数模型、实际问题求解|数学建模（消毒浓度模型），体现应用意识与实践能力|

周末练8　综合检测试卷 [时间：120分钟　分值：150分] 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1.函数f(x)=的定义域是(　　) A.(-1，+∞) B.(-1，2)∪(2，+∞) C.(-1，2) D.[-1，2)∪(2，+∞) 答案　B 解析　由题意可得所以x>-1且x≠2，即定义域为(-1，2)∪(2，+∞). 2.为了检验某厂生产的取暖器是否合格，先从500台取暖器中取50台进行检验，用随机数表抽取样本，将500台取暖器编号为001，002，…，500.下图提供了随机数表第7行至第9行的数据： 82 42 17 53 31　57 24 55 06 88　77 04 74 47 67 21 76 33 50 25　83 92 12 06 76 63 01 63 78 59　16 95 56 67 19　98 10 50 71 75 12 86 73 58 07　44 39 52 38 79 33 21 12 34 29　78 64 56 07 82　52 42 07 44 38 15 51 00 13 42　99 66 02 79 54 若从表中第7行第4列开始向右依次读取3个数据，则抽出第4台取暖器的编号为(　　) A.217 B.206 C.245 D.212 答案　B 解析　由题意，根据简单随机抽样的方法，利用随机数表从第7行的第4列开始向右读取，依次为217，157，245，217，206，由于217重复，所以第4台取暖器的编号为206. 3.设函数f(x)=则f(-3)+f(log23)的值为(　　) A.9 B.11 C.13 D.15 答案　B 解析　由题意知，f(-3)+f(log23)=log24+=2+9=11. 4.已知a=log52，b=log0.91.1，c=20.9，则(　　) A.a<b<c B.b<a<c C.a<c<b D.b<c<a 答案　B 解析　因为0<a=log52<log55=1，b=log0.91.1<0，c=20.9>20=1，所以b<a<c. 5.已知随机事件A和B互斥，且P(A+B)=0.5，P(B)=0.3.则P()等于(　　) A.0.5 B.0.2 C.0.7 D.0.8 答案　D 解析　∵A与B互斥， ∴P(A+B)=P(A)+P(B)， ∴P(A)=0.5-0.3=0.2， ∴P()=1-P(A)=1-0.2=0.8. 6.设a，b是不共线的两个向量，已知=a+2b，=4a-4b，=-a+2b，则(　　) A.A，B，D三点共线 B.B，C，D三点共线 C.A，B，C三点共线 D.A，C，D三点共线 答案　D 解析　∵=a+2b，=4a-4b，=-a+2b， ∴=+=3a-6b =-3(-a+2b)=-3， ∴与共线，又它们有公共点C， ∴A，C，D三点共线. 7.北京中轴线是世界城市建设历史上最杰出的城市设计范例之一，其中钟鼓楼、万宁桥、景山、故宫、端门、天安门、外金水桥、天安门广场及建筑群、正阳门、中轴线南段道路遗存、永定门，依次是自北向南位列轴线中央相邻的11个重要建筑及遗存.某同学欲从这11个重要建筑及遗存中随机选取相邻的3个游览，则选取的3个中有故宫的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　设11个重要建筑及遗存依次为a，b，c，d，e，f，g，h，i，j，k，其中故宫为d，从这11个重要建筑及遗存中随机选取相邻3个的样本空间为{(a，b，c)，(b，c，d)，(c，d，e)，(d，e，f)，(e，f，g)，(f，g，h)，(g，h，i)，(h，i，j)，(i，j，k)}，共9个样本点，其中有故宫的有(b，c，d)，(c，d，e)，(d，e，f)，共3个样本点，所以其概率为=. 8.某景区统计了100名游客在售票窗口排队等待时间(单位：min)的情况，并绘制频率分布直方图如图所示.据统计，每增加一个售票窗口，游客平均等待时间会减少5 min.则下列结论中不正确的是(　　) A.a=0.03 B.游客等待时间的中位数为16.875 min C.游客等待时间的极差介于20 min至25 min之间 D.至少增加两个售票窗口才能使游客平均等待时间不超过10 min 答案　C 解析　由题图得(0.01+2a+0.05+0.08)×5=1，解得a=0.03，A正确； 因为5×(0.01+0.03+0.03)=0.35<0.5，0.35+5×0.08=0.75>0.5， 所以中位数在[15，20)内，设中位数为x min， 则0.35+(x-15)×0.08=0.5，得x=16.875，B正确； 因为25-0=25，20-5=15，所以游客等待时间的极差介于15 min至25 min之间，C不正确； 游客平均等待时间=5×(0.01×2.5+0.03×7.5+0.03×12.5+0.08×17.5+0.05×22.5)=15.75(min)， 因为每增加一个售票窗口，游客平均等待时间会减少5 min， 所以至少增加两个售票窗口才能使游客平均等待时间不超过10 min，D正确. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的统计表如下，有以下四种说法： 甲 环数 4 5 6 7 8 频数 1 1 1 1 1 乙 环数 5 6 9 频数 3 1 1 其中正确的是(注：s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]，其中为数据x1，x2，…，xn的平均数)(　　) A.甲成绩的平均数等于乙成绩的平均数 B.甲成绩的中位数等于乙成绩的中位数 C.甲成绩的方差小于乙成绩的方差 D.甲成绩的极差小于乙成绩的极差 答案　AC 解析　因为甲五次成绩的平均数为(4+5+6+7+8)÷5=6，乙五次成绩的平均数为(5+5+5+6+9)÷5=6，所以A正确；因为甲的中位数是6，乙的中位数是5，所以B错误；因为=×(4+1+0+1+4)=2，=×(1+1+1+0+9)=，所以C正确；因为甲的极差为8-4=4，乙的极差为9-5=4，所以D错误. 10.已知函数f(x)=则下列选项正确的是(　　) A.f(x)的值域为[0，+∞) B.f(x)的图象与直线y=2有两个交点 C.f(f(-1))= D.f(x)是偶函数 答案　ABC 解析　作出函数f(x)的图象如图所示， 由图可知，f(x)的值域为[0，+∞)，A正确； f(x)的图象与直线y=2有两个交点，B正确； f(x)不是偶函数，D错误； 由解析式计算f(f(-1))=f=，C正确. 11.瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心间的距离是垂心和重心间的距离之半，这个定理就是著名的欧拉线定理.设△ABC中，点O，H，G分别是其外心、垂心、重心，则下列四个选项中结论正确的是(　　) A.=2 B.++=0 C.设BC边的中点为D，则有=3 D.== 答案　AB 解析　由题意作图，如图所示，易知BC的中点D与A，G共线. 对于A，由题意得，=2，OD⊥BC，AH⊥BC，所以OD∥AH， 所以=2，故A正确； 对于B，由题意得，+=2=-，所以++=0，故B正确； 对于C，由题意知AG=2GD，又因为GH=2OG，∠AGH=∠DGO， 所以△AGH∽△DGO，所以=2，故C错误； 对于D，因为O为△ABC的外心，向量，，的模相等，方向不同，故D错误. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.已知向量a=(-1，4)，b=(3，-2λ)，若a∥(2a+b)，则λ=　　　　.  答案　6 解析　因为a=(-1，4)，b=(3，-2λ)， 所以2a+b=2(-1，4)+(3，-2λ)=(1，8-2λ)， 又a∥(2a+b)，所以4=-8+2λ，解得λ=6. 13.从1，2，3，4这四个数字中，任取两个，这两个数字都是奇数的概率是　　　　，这两个数字之和是偶数的概率是　　　　.  答案　　 解析　从1，2，3，4四个数字中任取两个共有6种取法，取的两个数字都是奇数只有1，3一种取法，故此时的概率为，若取出的两个数字之和是偶数，必须同时取两个偶数或两个奇数，有1，3和2，4两种取法，所以所求的概率为=. 14.设函数f(x)=log2(-x)，若对任意的x∈(-1，+∞)，不等式f(x-ln a)+f(2x+4)<0恒成立，则a的取值范围是　　　　.  答案　(0，e] 解析　因为f(-x)=log2(+x) =log2(-x)-1=-f(x)，且定义域为R， 所以f(x)为奇函数. 又因为函数g(x)=+x在[0，+∞)上为增函数， 所以f(x)=-log2(+x)在[0，+∞)上为减函数， 从而f(x)在R上为减函数.于是f(x-ln a)+f(2x+4)<0等价于f(x-ln a)<-f(2x+4)=f(-2x-4)， 所以x-ln a>-2x-4，即ln a<3x+4. 因为x∈(-1，+∞)，所以3x+4>1， 所以ln a≤1，解得0<a≤e. 四、解答题(本题共5小题，共77分) 15.(13分)已知e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，=2e1+e2，=-e1+λe2，=-2e1+e2，且A，E，C三点共线. (1)求实数λ的值；(5分) (2)若e1=(2，1)，e2=(2，-2)，求的坐标；(3分) (3)已知D(3，5)，在(2)的条件下，若A，B，C，D四点按顺时针方向构成平行四边形，求点A的坐标.(5分) 解　(1)=+=(2e1+e2)+(-e1+λe2)=e1+(1+λ)e2. 因为A，E，C三点共线，所以存在实数k， 使得=k， 即e1+(1+λ)e2=k(-2e1+e2)， 得(1+2k)e1=(k-1-λ)e2. 因为e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，所以解得 (2)=+=-3e1-e2=-3(2，1)-(2，-2)=(-6，-3)-(1，-1)=(-7，-2). (3)因为A，B，C，D四点按顺时针方向构成平行四边形，所以=. 设A(x，y)，则=(3-x，5-y). 因为=(-7，-2)，所以 解得 即点A的坐标为(10，7). 16.(15分)某中学为了丰富学生的业余生活，开展了一系列文体活动，其中一项是同学们最感兴趣的3对3篮球对抗赛，现有甲乙两队进行比赛，已知甲队每场获胜的概率为，且各场比赛互不影响. (1)若采用三局两胜制进行比赛，求甲队获胜的概率；(7分) (2)若采用五局三胜制进行比赛，求乙队在第四场比赛后即获得胜利的概率.(8分) 解　设Ai(i=1，2，3，4，5)表示甲队在第i场比赛获胜. (1)所求概率为P(A1A2)+P(A1A3)+P(A2A3)=+××2=. (2)所求概率为P(A1)+P(A2)+P(A3)=××3=. 17.(15分)某中学在进行太空知识讲座后，从全校学生中随机抽取了200名学生进行笔试，并记录下他们的成绩，将数据分成6组，并整理得到如图所示的频率分布直方图. (1)求这部分学生成绩的中位数、平均数(同组数据用该组区间的中点值作代表)；(6分) (2)为了更好地了解学生对太空知识的掌握情况，学校决定在成绩高的第5，6组中用分层抽样的方法抽取5名学生，进行第二轮面试，最终从这5名学生中随机抽取2人参加市太空知识竞赛，求90分及以上的同学恰有1人被抽到的概率.(9分) 解　(1)设中位数为x，平均数为， 因为前三个矩形的面积为 (0.010+0.015+0.020)×10=0.45， 故(0.010+0.015+0.020)×10+(x-70)×0.030=0.5，解得x≈71.67； =10×(45×0.010+55×0.015+65×0.020+75×0.030+85×0.015+95×0.010)=70.5. (2)200×0.015×10=30(人)，200×0.010×10=20(人)，即第五组有30人，第六组有20人，5×=3(人)，5×=2(人)，即需从第五组抽取3人，从第六组抽取2人，再从抽取的5人中抽取2人，设第五组的3人为a，b，c，第六组的2人为D，E，则不同的抽法为(a，b)，(a，c)，(a，D)，(a，E)，(b，c)，(b，D)，(b，E)，(c，D)，(c，E)，(D，E)，共10种，其中恰有一人得分为90分及以上的抽法有6种，故90分及以上的同学恰有1人被抽到的概率为=. 18.(17分)每年的10月到次年的3月是诺如病毒感染高发期，某学校在诺如病毒感染高发期间，购入了一种消毒制剂用于环境消毒.已知按照给定标准每喷洒1次消毒剂，空气中释放的消毒剂浓度y(单位：毫克/立方米)随着时间x(单位：小时)变化的关系如下：当0<x≤6时，y=x2+1；当6<x≤12时，y=15-log2(10x-56)；当x>12时，y=0.若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于5(毫克/立方米)时，它才能起到杀灭空气中的诺如病毒的作用. (1)若按照给定标准喷洒一次消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？(7分) (2)若该校每天在12∶00与18∶00按照给定标准喷洒2次消毒剂，记从12∶00经过x(0<x≤18)小时消毒剂浓度为f(x)，求f(x)的解析式.(10分) 解　(1)按照给定标准喷洒一次消毒剂， 当0<x≤6时，由x2+1≥5得4≤x≤6； 当6<x≤12时，由15-log2(10x-56)≥5， 得log2(10x-56)≤4， 所以6<x≤7.2. 因为7.2-4=3.2， 所以有效杀灭时间可达3.2小时. (2)当0<x≤6时，f(x)=x2+1， 当6<x≤12时，f(x)=(x-6)2+1+15-log2(10x-56)=x2-3x+25-log2(10x-56)， 当12<x≤18时，f(x)=15-log2[10(x-6)-56]=15-log2(10x-116)， 所以f(x)= 19.(17分)已知函数f(x)=(t2-2t-2)ex-是定义域为R的奇函数. (1)求t的值，并写出f(x)的解析式；(4分) (2)判断f(x)在R上的单调性，并用定义证明；(6分) (3)若函数g(x)=e2x+-2kf(x)在[0，+∞)上的最小值为-2，求k的值.(7分) 解　(1)因为f(x)是定义域为R的奇函数， 所以f(0)=0，即f(0)=t2-2t-3=0， 解得t=3或t=-1，所以f(x)=ex-， 又此时满足f(-x)=-f(x)， 所以f(x)=ex-. (2)f(x)在R上单调递增. 证明如下：任取x1，x2∈R，且x1<x2，则 f(x1)-f(x2)=--+ =(-， 因为x1<x2，所以0<<， 所以-<0，1+>0， 可得f(x1)-f(x2)<0， 所以f(x)在R上单调递增. (3)由(1)可知g(x)=e2x+-2k =-2k+2， 令u=f(x)=ex-，则h(u)=u2-2ku+2， 因为f(x)在R上是增函数，且x≥0， 所以u≥f(0)=0. 因为g(x)=e2x+-2kf(x)在[0，+∞)上的最小值为-2，所以h(u)在[0，+∞)上的最小值为-2. 因为h(u)=u2-2ku+2=(u-k)2+2-k2， 所以当k≥0时，h(u)min=h(k)=2-k2=-2， 解得k=2或k=-2(舍去)； 当k<0时，h(u)min=h(0)=k2+2-k2=2≠-2，不合题意，舍去. 综上可知，k=2. 学科网（北京）股份有限公司 $