周末练18 综合检测试卷(一)（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

**基本信息** 聚焦高中数学核心知识整合，以函数、不等式、三角函数等为载体，通过概念辨析、性质应用及实际建模，培养数学思维与应用意识的期末综合训练。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数基础|5题|命题否定、不等式比较、集合运算|概念生成→性质应用→逻辑推理| |函数与导数|7题|指数对数函数、函数单调性、零点问题|定义辨析→性质推导→综合计算| |三角函数|3题|诱导公式、三角恒等变换|公式应用→角的范围分析→求值化简| |应用与创新|4题|香农公式、赵爽弦图、防沉迷系统|实际情境→数学建模→问题解决|

周末练18　综合检测试卷(一) [时间：120分钟　分值：150分] 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1.命题“∃x∈R，x3-x2+1>0”的否定是(　　) A.∃x∈R，x3-x2+1<0 B.∀x∈R，x3-x2+1≤0 C.∃x∈R，x3-x2+1≤0 D.不存在x∈R，x3-x2+1>0 答案　B 2.如果a<b<0，那么下列不等式成立的是(　　) A.< B.ab<b2 C.-ab<-a2 D.-<- 答案　D 解析　由于a<b<0，不妨令a=-2，b=-1， 可得=-=-1， ∴>故A不正确. 可得ab=2，b2=1， ∴ab>b2，故B不正确. 可得-ab=-2，-a2=-4， ∴-ab>-a2，故C不正确. 3.已知a=log0.22，b=20.3，c=0.20.3，则(　　) A.a<c<b B.a<b<c C.c<a<b D.b<c<a 答案　A 解析　∵a=log0.22<log0.21=0， b=20.3>20=1，0<0.20.3<1， ∴a<0，b>1，0<c<1， ∴a<c<b. 4.若sin(π-α)=-且α∈则sin等于(　　) A.- B. C.- D. 答案　C 解析　∵sin(π-α)=-∴sin α=- 又α∈ ∴cos α=-=-=- ∴sin=cos α=-. 5.中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C=Wlog2.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫作信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变信道带宽W，而将信噪比从1 000提升到8 000，则C大约增加了(lg 2≈0.3)(　　) A.10% B.20% C.30% D.50% 答案　C 解析　当=1 000时，C1=Wlog21 000， 当=8 000时，C2=Wlog28 000， ∴===≈1.3， ∴大约增加了30%. 6.若函数y=a|x|+m-1(0<a<1)的图象和x轴有交点，则实数m的取值范围是(　　) A.[1，+∞) B.(0，1) C.(-∞，1) D.[0，1) 答案　D 解析　函数y=a|x|+m-1(0<a<1)的图象和x轴有交点， 等价于函数y=a|x|的图象与y=1-m的图象有交点，当0<a<1时，0<a|x|≤1， 即0<1-m≤1，解得0≤m<1，即实数m的取值范围是[0，1). 7.已知函数f(x)=若f(2a2-5a+4)<f(a2+a+4)，则实数a的取值范围是(　　) A.∪(2，+∞) B.[2，6) C.∪[2，6) D.(0，6) 答案　C 解析　易知函数f(x)=的定义域是[2，+∞)，在定义域内是增函数， 由f(2a2-5a+4)<f(a2+a+4)， 得2≤2a2-5a+4<a2+a+4， 解得0<a≤或2≤a<6. 8.已知函数f(x)=则函数F(x)=f(f(x))-2f(x)-的零点个数是(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 答案　C 解析　设f(x)=t， 则F(x)=f(f(x))-2f(x)-=f(t)-2t-. 令F(x)=0，即f(t)-2t-=0，即f(t)=2t+. 在同一平面直角坐标系中作出y=f(t)与y=2t+的图象，如图所示. 由图象可知，两函数的图象有两个交点，设交点的横坐标为t1，t2，且t1<t2，则t1=0，t2∈(2，3)， 所以函数f(x)=t1=0有一个解，f(x)=t2∈(2，3)有三个解， 故F(x)=f(f(x))-2f(x)-的零点个数是4. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知0<a<b<1，则下列不等式成立的是(　　) A.> B.ln a>ln b C.> D.> 答案　ACD 解析　因为0<a<b<1，y=为减函数， 所以>故A正确； 因为0<a<b<1，y=ln x为增函数， 所以ln a<ln b<0，故B错误； 又因为y=在区间(-∞，0)上单调递减， 在区间(0，+∞)上也单调递减， 所以>同理可得>故C，D正确. 10.给出下列四个结论，其中正确的结论是(　　) A.sin(π+α)=-sin α成立的条件是角α是锐角 B.若cos(nπ-α)=(n∈Z)，则cos α= C.若α≠(k∈Z)，则tan=- D.若sin α+cos α=1，则sinnα+cosnα=1 答案　CD 解析　诱导公式sin(π+α)=-sin α成立的条件是α∈R，所以A错误； 当n=2k(k∈Z)时， cos(nπ-α)=cos(-α)=cos α， 此时cos α= 当n=2k+1(k∈Z)时， cos(nπ-α)=cos[(2k+1)π-α]=cos(π-α) =-cos α， 此时cos α=-所以B错误； 若α≠(k∈Z)， 则tan== =-所以C正确； 将等式sin α+cos α=1两边平方， 得sin αcos α=0， 所以sin α=0或cos α=0. 若sin α=0，则cos α=1，此时sinnα+cosnα=1； 若cos α=0，则sin α=1，此时sinnα+cosnα=1， 故sinnα+cosnα=1，所以D正确. 11.已知y=f(x+2)为奇函数，且f(3+x)=f(3-x)，当x∈[0，1]时，f(x)=2x+log4(x+1)-1，则(　　) A.f(x)的图象关于点(-2，0)对称 B.f(x)的图象关于点(2，0)对称 C.f(2 025)= D.f(2 025)=3+log43 答案　ABC 解析　因为f(x+2)为奇函数， 所以f(-x+2)=-f(x+2)， 即f(2+x)=-f(2-x)， 所以f(x)的图象关于点(2，0)对称，故B正确； 由f(2+x)=-f(2-x)， 可得f(4+x)=-f(-x)， 由f(3+x)=f(3-x)， 可得f(-x)=f(6+x)， 所以-f(4+x)=f(6+x)， 可得f(x+2)=-f(x)， 所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x)， 所以4为f(x)的一个周期， 所以f(x)的图象关于点(-2，0)对称，故A正确； f(2 025)=f(4×506+1)=f(1)=21+log42-1=故C正确，D不正确. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.lg 4+lg 25-(0.5-2-2)×的值是　　　　.  答案　- 解析　原式=lg 100-2×=2-=-. 13.希罗平均数是两个非负实数的一种平均，若a，b是两个非负实数，则它们的希罗平均数H=.记A=G=则A，G，H从小到大的关系为　　　　　　.(用“≤”连接)  答案　G≤H≤A 解析　由基本不等式可知，G≤A，当且仅当a=b时等号成立； 因为H-G=-==≥0， 当且仅当=即a=b时等号成立，所以H≥G； 因为H-A=- ==-≤0， 当且仅当=即a=b时等号成立，所以H≤A， 综上所述，G≤H≤A，当且仅当a=b时等号成立. 14.我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，如图所示.记直角三角形中较小的锐角为α，大正方形的面积为S1，小正方形的面积为S2，若=25，则的值为　　　　　　. 答案　 解析　设大正方形的边长为a， 则直角三角形的直角边分别为asin α，acos α， 所以S1=a2，S2=S1-4×asin α·acos α=a2-2a2sin αcos α， 则===25， 即=25， 所以=25， 解得tan α=或tan α=. 因为α为直角三角形中较小的锐角， 所以α<所以tan α= 所以===. 四、解答题(本题共5小题，共77分) 15.(13分)已知集合A={x|a≤x≤a+2}，B={x|(x+1)(x-3)<0}.在①A∪B=B；②“x∈A”是“x∈B”的充分条件；③“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件这三个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，求解下列问题. (1)当a=2时，求A∩B；(5分) (2)若　　　　，求实数a的取值范围.(8分)  注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 解　(1)由(x+1)(x-3)<0， 解得-1<x<3， 所以B={x|(x+1)(x-3)<0}={x|-1<x<3}， 当a=2时，A={x|2≤x≤4}， 所以A∩B={x|2≤x<3}. (2)若选①A∪B=B， 则A⊆B， 所以 解得-1<a<1， 即a的取值范围为(-1，1). 若选②“x∈A”是“x∈B”的充分条件， 则A⊆B，所以 解得-1<a<1，即a的取值范围为(-1，1). 若选③“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件， 则A⊆B， 所以解得-1<a<1， 即a的取值范围为(-1，1). 16.(15分)已知函数f(x)=2sin+a，且f=3. (1)求a的值；(6分) (2)求f(x)的最小正周期及增区间.(9分) 解　(1)因为f=3， 所以2sin+a=3， 所以2sin+a=3，即2+a=3，解得a=1. (2)由(1)可得f(x)=2sin+1， 则f(x)的最小正周期T=. 令2kπ-≤3x-≤2kπ+k∈Z， 解得-≤x≤+k∈Z， 故f(x)的增区间为k∈Z. 17.(15分)已知函数f(x)=ax+b(a>0，a≠1)，其中a，b均为实数. (1)若函数f(x)的图象经过点A(0，2)，B(1，3)，求函数y=的值域；(7分) (2)如果函数f(x)的定义域和值域都是[-1，1]，求a+b的值.(8分) 解　(1)函数f(x)的图象经过点A(0，2)，B(1，3)， 所以解得 所以f(x)=2x+1， 因为2x>0，2x+1>1，即f(x)>1， 所以y=∈(0，1)， 故y=的值域为(0，1). (2)利用指数函数的单调性建立关于a，b的方程组求解. 当a>1时，函数f(x)=ax+b在[-1，1]上单调递增，由题意得 解得此时a+b=1， 当0<a<1时，函数f(x)=ax+b在[-1，1]上单调递减，由题意得 解得此时a+b=-1. 综上，a+b=±1. 18.(17分)某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，规则如下： ①3小时内(含3小时)为健康时间，玩家在这段时间内获得的累计经验值E(单位：EXP)与游玩时间t(单位：小时)满足关系式：E=t2+20t+20a(t>0)； ②3到5小时(含5小时)为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0(即累计经验值不变)； ③超过5小时的时间为不健康时间，累计经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，正比例系数为50. (1)当a=2时，写出累计经验值E与游玩时间t的函数关系式E=f(t)，并求出游玩6小时的累计经验值；(7分) (2)该游戏厂商把累计经验值E与游玩时间t的比值称为“玩家愉悦指数”，记为H(t)，若a>0，且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24，求实数a的取值范围.(10分) 解　(1)由题意可得，当0<t≤3时， f(t)=t2+20t+20a， 则f(3)=32+20×3+20a=69+20a； 当3<t≤5时，f(t)=69+20a； 当t>5时，f(t)=69+20a-50(t-5)=-50t+20a+319. 综上所述，f(t)= 若a=2，则f(t)= 所以f(6)=359-50×6=59(EXP). (2)由(1)可得f(t)= 则H(t)== 由题意可得，当0<t≤3时， H(t)=t++20≥24恒成立， 整理得t2-4t+20a≥0对任意0<t≤3恒成立. 因为函数y=t2-4t+20a图象的开口向上， 对称轴t=2∈(0，3]， 则当t=2时，y=t2-4t+20a取得最小值，为20a-4. 可得20a-4≥0，解得a≥. 所以实数a的取值范围为. 19.(17分)已知函数f(x)=log2(4x+1)+mx. (1)若f(x)是偶函数，求实数m的值；(7分) (2)当m>0时，关于x的方程f=1在区间[1，2]上恰有两个不同的实数解，求m的取值范围.(10分) 解　(1)f(x)=log2(4x+1)+mx， f(-x)=log2(4-x+1)-mx， ∵f(x)为偶函数，∴f(x)=f(-x)， 即log2(4x+1)+mx=log2(4-x+1)-mx， 化简得2x=-2mx，∴m=-1. (2)m>0，函数f(x)=log2(4x+1)+mx是增函数，且f(0)=1， f=1=f(0)， 故8(log4x)2+2log2+-4=0， 设log2x=t，则t∈ 即-2t2+2t+4=画出y=-2t2+2t+4的图象，如图所示， 根据图象知4≤< 解得<m≤1， 即m的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $