练案25 第三章 3.2 第2课时零点的存在性及其近似值的求法-【成才之路·练案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（人教B版）

练案[25] 第三章 函 数 3.2[第2课时 零点的存在性及其近似值的求法] A组基础巩固 8.求函数f(x)=x3-x-1在区间(1,1.5)内的一个零 一、选择题 点（精确度ε=0.1），用“二分法”逐次计算列表如下： 1.函数f八x)=x-9的零点所在的大致区间是( 端（中） A.(-1,0) B.(0,1) 中点函数值符号 零点所在区间 l a.-b.I 点的值 C.(1,2) D.(2,3) 2.在用二分法求函数f(x)零点的近似值时，第一次所 (1,1.5) 0.5 取的区间是[-2,4]，则第三次所取的区间可能是 1.25 f(1.25)<0 (1.25,1.5) 0.25 ( 1.375 f1.375)>0 (1.25,1.375) 0.125 A.[1,4] B.[-2,1] 1.3125f1.3125)<0 (1.3125,1.375)0.0625 c[-2,] [ 则函数零点的近似值为 3.已知函数f(x)=3ax-1-2a在区间(-1,1)上存在 三、解答题 零点，则 ）9.已知二次函数f(x)=x2-2ax+4,求下列条件下，实 A写<a<1 B.a>5 1 数a的取值范围。 (1)零点均大于1； ca<-写或a>l ! (2)一个零点大于1，一个零点小于1； (3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内. 4.(2026·盐城高一检测)若函数f(x)唯一的一个零点 同时在区间(0,2)，(0,4)，(0,8)，(0,16)内，则下列 结论中正确的是 A.函数f(x)在区间(0,1)内有零点 B.函数f(x)在区间[2,16)内无零点 C.函数f(x)在区间(1,16)内无零点 D.函数f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点 5.(多选题)(2026·石家庄高一检测)已知函数f(x)在 区间(0,3)上有两个零点，且都可以用二分法求得， 其图像是连续不断的，若f(0)>0f(1)f(2)f(3)<0, 则下列命题正确的是 A.函数f(x)的两个零点可以分别在区间(0,1)和(1， 2)内 B.函数f(x)的两个零点可以分别在区间(1,2)和(2， 3)内 C.函数f(x)的两个零点可以分别在区间(0,1)和(2， 3)内 D.函数f(x)的两个零点不可能同时在区间(1,2)内 二、填空题 6.用二分法求函数y=f(x)在区间[2,4]上零点的近似 值，经验证有f(2)·f(4)<0.取区间的中点x1= 2+4=3,计算得f(2)·f(x)<0,则此时零点∈ (填区间) 7.函数f(x)=x2+ax+b有零点，但不能用二分法求 出，则a,b的关系是 -149 0已如同数)：m-2a+3a-4在区(-1，山5这函数)-：+(s0)若f(-4)=2, 上有一个零点 2(x>0), (1)求实数a的取值范围； f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x的解的个数 (2)若a-器用二分法求方程)=0在区间 是 三、解答题 (-1,1)上的根. 6.已知函数f(x)=3ax2+2bx+c,a+b+c=0,f0)>0, f(1)>0,证明a>0,并利用二分法证明方程f(x)=0 在[0,1]内有两个实根. B组素养提升 一、选择题 1.已知函数f(x)=ax2-x+2,函数g(x)= 「-2，x≤-2， C组创新拓展 x,-2<x<2,若函数y=f(x)-g(x)恰好有2个不 对于函数f(x),若存在x,使f(x)=x成立，则称xo 2,x≥2， 为函数f(x)的不动点，已知f(x)=x2+bx+c 同的零点，则实数a的取值范围是 (1)若f(x)的两个不动点为-3,2，求函数f(x)的 A.(-0,0)》 零点； k(-x,0)u0,2) (2)当e=6时，函数)没有不动点，求实数6的 c(-,0u(分 取值范围. D.(-0,0)U(1,+∞) 2.已知函数(x)在(1,2)内有1个零点，用二分法求零 点的近似值时，若精度为0.01，则至少计算中点函数 值 () A.5次 B.6次 C.7次 D.8次 3.(多选题)对于方程x3+x2-2x-1=0,下列判断正确 的有 A.在(-2，-1)内有实数根 B.在(-1,0)内有实数根 C.在(1,2)内有实数根 D.在(-∞，+∞)内没有实数根 二、填空题 4已知函数f)=t-2x,≤m, 如果函数f(x)恰 x-4,x>m. 有两个零点，那么实数m的取值范围为 —150.:函数y=(a-1)x+x+2只有一个零点， .关于x的方程为(a-1)x2+x+2=0有两个相等的实 所以4=1-4(-心2+a+)<0,解得-分<a<3 数根， 6.(1)“对于任意的aeR,方程f代x)=1必有实数根”是真命题. 4=1-8(u-1)=0,解得a=号 依题意，f(x)=1有实根，即x2+(2a-1)x-2a=0有实根，因 为4=(2a-1)2+8a=(2a+1)2≥0对于任意的aeR恒成 综上所述，实数a的取值朱合足{1，号} 立，即x2+(2a-1)x-2a=0必有实根，从而f代x)=1必有实根. B组素养提升 -- (2)依题意，要使y=x)在区间(-1,0)及(0,2)内各有一 1.D因为不等式aa2+2x+c<0的解集是 f-1)>0, 3-4a>0, (-0,-3u(2,+m）月 个零点，只需 f0)<0,即1-2a<0, fa<0, )>o. -a>0, 4 2 11 所以 。+2解得0-12， 1c=2, 11 =-3×2, 故实数a的取值范围为（分，） 所以不等式cx2+2x+a≤0可化为2x2+2x-12≤0，即x2+xC组创新拓展 -6≤0，解得-3≤x≤2. A若a≥0，则当x>1时f(x)=ax-a+1≥1，无零点，当x 2.C由已知16-46+c=C, 解得 b=4, ≤1时，f(x)最多有两个零点，故当x∈R时，f(x)最多有两个 l4-2b+c=-2 c=2. 零点，不符合题意，排除C,D:易知a<0,当x>1时，f(x)=ax ∴)=+4+2，xs0, -a+1单调递减，f代1)=a-a+1=1>0,故f(x)在区间(1， 2,x>0. +∞)上存在一个零点，所以当x≤1时，f(x)=aa2-x+2有 当x≤0时，方程为x2+4x+2=x, 两个零点.要使f代x)=ax2-x+2在区间(-∞，1]上有两个 即x2+3x+2=0,.x=-1或x=-2; fa<0. 当x>0时，方程为x=2,.方程f(x)=x有3个解 1 3.AC令g(x)=(x-2)(x-5),则f(x)=g(x)-1,故函数y 零点，则2a<1, 解得a≤-1，排除B. 4=1-8a>0, =f代x)的零点就是函数g(x)=(x-2)(x-5)与函数y=1图 a-1+2≤0. 像交点的横坐标.在同一平面直角坐标系中作出函数g(x)= (x-2)(x-5)的图像与y=1的图像，如图所示，结合图像知 练案[25] A,C中关系错误，B,D中关系正确 A组基础巩固 y=g(x) 1.D因为函数f代x)=x3-9在R上单调递增，f(2)=8-9= -1<0,f(3)=27-9=18>0,所以根据零点存在定理，可得 函数f(x)=x-9的零点所在的大致区间是(2,3). 02x 2.D第一次所取的区间是[-2,4]， ∴.第二次所取的区间可能为[-2,1]，[1,4]，∴第三次所取 4.(1,4)(1,3]U(4,+)当入=2时) 的区间可能为[-2，引[-小[，][3小 i题室代2子630 3.Cf代x)=3ax-1-2a在区间(-1,1)上单调且存在零点， ∴.f-1)·f1)=(-3a-1-2a)·(3a-1-2a) 解得2≤x<4或1<x<2,即1<x<4,不等式f代x)<0的解集 是(1,4). =(-5a-)(a-1)<0,a>1或a<-5放选C 当A>4时x)=x-4>0,此时f(x)=x2-4x+3=0,x=14.B由函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,2)，(0,4)， 或3，即仅在(-∞，入)上有两个零点； (0,8),(0,16)内，可确定零点在区间(0,2)内，故f代x)在区间 当入≤4时，f(x)=x-4=0,x=4,由f(x)=x2-4x+3在 [2,16)内无零点，选项A和C中结论不一定成立；由题意得 (-0,A)上只能有一个零点得1<A≤3. f(x)的零点可能为1，故选项D中结论不一定成立， 综上，入的取值范围为(1,3]U(4,+∞). 5.ABD因为函数f(x)在区间(0,3)上有两个零点，且都可以用 5( 二分法求得，其图像是连续不断的，所以零点两侧函数值异 }(x-a)⊙(x+a）=(x-a）·(1-x-a）, 号，又f0)>0,f1)f2)f3)<0,所以f3)>0,f1)f2)< .不等式(x-a)⊙(x+a)<1, 0.若f1)>0,f2)<0,可得f2)f(3)<0,f1)f2)<0,即此 即(x-a)(1-x-a)<1对任意实数x恒成立 时函数f(x)的两个零点分别在区间(1,2)和(2,3)内，故B正 即x2-x-a2+a+1>0对任意实数x恒成立， 确；若f1)<0f(2)>0,则f0)f(1)<0f1)f2)<0,即此 -221 时函数(x)的两个零点分别在区间(0,1)和(1,2)内，故A正 确.综上两种情况，可知选项C错误，D正确。 综上所述，a的取值范围为(-0,0)U(0,2) 6.(2,3)因为f2)·f3)<0,所以零点在区间(2,3)内. 2.B 初始区间长度为1.第1次计算后区间长度为)； 7.a2=4b·函数f代x)=x2+ax+b有零点，但不能用二分法， 函数f代x)=x2+ax+b图像与x轴相切.∴.△=a2-4b=0. 第2次计算后区间长度为克：第3次计算后区间长度为 .a2=4h. 8.1.3125精确度e=0.1, 第4次计算后区间长度为： 由表可知11.375-1.31251=0.0625<0.1， ..函数零点的近似值为1.3125. 第5次计算后区间长度为云>0.02： 9.(1)由题可得方程x2-2ax+4=0的两根均大于1，结合二次 第6次计算后区间长度为分<0.02 r4=(-2a)2-16≥0， 函数的单调性与零点存在定理，得f代1)=5-2a>0, 故至少计算6次 a>1. 3.ABCf()=x+x2-2x -1, 则f-2)=-1<0f(-1)=1>0, 解得2≤a<2 f(0)=-1<0, (2)由题可得方程x2-2ax+4=0的一个根大于1，一个根小 f(1)=-1<0 于1，结合二次函数的单调性与零点存在定理，得f(1)=5一 f2)=7>0,则f(x)在(-2，-1)，(-1,0)，(1,2)内均有零 2a<0,解得a>2 5 点，即A、B、C正确 4.[-2,0)U[4,+0）作出函数y=-x2-2x和y=x-4的 (3)由题可得方程x2-2ax+4=0的一个根在(0,1)内，另一 图像，如图所示， 个根在(6,8)内，结合二次函数的单调性与零点存在定理，得 ,f0)=4>0, f1)=5-2a<0, 解得0<。 <17 f6)=40-12a<0 3<a<4 f8)=68-16a>0, 10.(1)若a=0,则fx)=-4,与题意不符，∴.a≠0. 由题意得f代-1)·f(1)=8(a-1)(a-2)<0, 要使函数f(x)恰有两个零点， 即a-1<0或a-1>0, 1a-2>01a-2<0, 则-2≤m<0或m≥4， 即实数m的取值范围是[-2,0)U[4,+∞). ∴1<a<2,故实数a的取值范围为(1,2). 16-4b+c=2, rb=4, (2)若a-号则)-晋27+器 5.3由已知 得 4-2b+c=-2lc=2, -1)-9>0,0)=得≥0=-青<0， .f代x)= 2+4+2(x≤0)，在同一平面直角坐标系作) l2(x>0), 函数零点在(0,1)内，又分）=0。 的图像和直线y=x如图所示. y=x2+4x+2 “方程x)=0在区间(-1,1)上的根为) 伤题意有f代x)的图像与g(x)的图像有2个不同， B组素养提升 =2 且fx)的图像过点(0,2).当a=0时，fx)=2-x,此时g(x) 0.12 的图像与代x)的图像仅有1个交点，舍去 -1 当a<0时，f代x)的图像是开口向下且过点(0,2)的抛物线，此 -2 时f(x)与g(x)的图像一定有2个不同的交点. 当a>0时f(x)的图像是开口向上且过点(0,2)，对称轴为直 由图像可知f代x)=x的解的个数为3. 线x=名>0的抛物线当x)=am-x+2与8()=(-26.)>0,3a+26+c>0,即3(a+6+e)-b-2>0, <x<2)的图像有且只有一个交点时，可求得a=分要使 .a+b+c=0,∴.-b-2c>0,则-b-c>c,即a>c. f0)>0,∴.c>0,则a>0. x)与g(x)有2个不同的交点，只需0<a<2 在[0,1]内选取二等分点2， —222 则分）-+b+e=子a+(-o)=-子a<0 一年的总运费与总储存费用之和为900×9+4，因为900×9 f0)>0,f(1)>0 +4x≥2 8100×4x=2×180=360,当且仅当8100=4x,即 )在区间(0，)利（宁上至少各有一个零点· x=45时，等号成立，所以当x=45时，一年的总运费与总储存 又f代x)最多有两个零点，从而f(x)=0在[0,1]内有两个 费用之和最小，为360万元. 实根. 6.S=2+108t+400,t∈N日销售额=日销售量×价格，故S C组创新拓展 =f(t)×g(t)=(2t+100)×(t+4)=2r+108t+400,teN. (1)由题意知f(x)=x有两根，即x+(b-1)x+c=0有两7.y=83.5-0.2t由题意，手机所存话费余额y(元)与主叫时 根，分别为-3,2. 间t(分钟)之间的函数关系满足一次函数，不妨设为y=t+ 了-3+2=-(6-1)解得 b=2, b,可知当t=0时，y=100+3.5-20=83.5,故b=83.5,且主 1-3×2=c, c=-6. 叫每分钟0.2元，故a=-0.2,故函数关系为y=83.5-0.2t. 从而fx)=x2+2x-6. 8.10设全部物资到达灾区所需时间最少为th, 由fx)=0,得1=-1-√7，x2=-1+万. 故f代x)的零点为-1±√7 由题意可知4相当于最后辆车行驶了(30×品+40）加所用 2若=年则到=+饭 4 的时间，因此，t= 0×300+400 6 又f代x)无不动点，即方程x2+bx+ 4=x无解， 当且仅当票=00，即v=80时取“=” 当16 4=(6-12-<0,即-2b+1<0,解得6>分 故最少需要10h 故实数的取伯范围是（分，+∝ 9.设CE=xm,0<x<1,则BE=（1-x)m,每块地砖所需的材料 费用为W,则W=之2×30+分×1×(1-)×20+ 练案[26] [1-22-7×1x(1-小x10 A组基础巩固 1.D设从甲仓库调到A县的车辆数为x,则从甲仓库调往B县！ =102-5x+15=10-+g5 的车辆数为12-x,从乙仓库调往A县的车辆数为10-x,从 乙仓库调往B县的车辆数为6-(10-x)=x-4.设总费用为 当= -=0.25时，W有最小值，即费用最省 y,则y=40x+80×(12-x)+30×(10-x)+50×(x-4)= 故当点E与点C相距0.25m时，每块地砖所需的材料费用 1060-20x(4≤x≤10，x∈N),要想使运费y最少，则需x最 最省 大，所以当x=10时，运费y最少为860元. 10.(1)当0<x≤30时，y=900;当30<x≤75，y=900- 2.B设每天的销售利润为y元，则y=(x-30)·(162-3x), 10(x-30)=1200-10x. 30≤x≤54，将上式配方后得y=-3(x-42)2+432,当x=42 900,0<x≤30， 时，y取得最大值故每件商品的售价定为42元时，每天才能获得 即y= 11200-10x,30<x≤75. 最大的销售利润 (2)设旅行社所获利润为S元， 3.D设一段长为xcm,则另一段长为(12-x)cm,两个正三角 则当0<x≤30时，S=900x-15000: 形的面积之和为5m.分析知0<<12则S-孕（告）： 当30<x≤75时，S=x(1200-10x)-15000=-10x2+ 1200x-15000. (4--x-6户+2.当=6时及=2 900x-15000,0<x≤30， 即S= 4.C由第64天和第67天生产一件产品的耗时均为8小时，第 1-10x2+1200x-15000,30<x≤75. 16天生产一件产品的耗时为16小时知，16<N。, 因为当0<x≤30时，S=900x-15000为增函数， 所以x=30时，Sms=12000; 所以。=16，解得。=64。 16 当30<x≤75时，S=-10x2+1200x-15000=-10(x- 又由64=8，解得N=64, 60)2+21000, √/Wg 即x=60时，Smm=21000>12000. 所以(49)=64-64≈9. 所以当旅行团人数为60人时，旅行社可获得最大利润。 √/497 :B组素养提升 5.BD一年购买某种货物900吨，若每次购买x吨，则需要购买1.B以OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立平面直角 0次，运费是9万元/次，一年的总储存费用为4：万元，所以坐标系，设抛物线方程是y=a(:-1)2+9,由条件(0,10)在 x -223