练案24 第三章 3.2 第1课时函数的零点、二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系-【成才之路·练案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（人教B版）

当xe(-0,-u(0,2)时)>0， 3,因此图像关于直线x=乃对称，从而一元二次不等式心+ 当x∈(-2,0u(2,+时(x)<0, bx+c>0的解集为xlx<-2或x>3}. 3.A因为4=a2+4m>0,所以函数y=mx2-ar-1的图像与x 若(x)>0,则x与x)同号，则xe(-2,0u(0,2)》 轴有两个交点，又m>0,所以原不等式的解集不可能是B、C、 D选项. 3AC因为G+2a+号=(a+1)2+弓≥子(x)是偶函数，4A由题意，知a>0,且1是-6=0的根，所以a=6>0,所 且在[0，+∞)上是减函数， 以(ax+b)(x-3)=a(x+1)(x-3)>0,所以x<-1或x> 所以c+2a+)s)=-2 3,因此原不等式的解集为(-∞，-1)U(3,+∞)： 5.AD由f(x)=0可得m=Ix2-4xl,作出y=1x2-4x的函数 4.3{xl-2≤x≤4}fx)是定义在[-2b,3+b]上的偶函数， 图像如图所示. 所以-2b+3+6=0,所以6=3， 所以f(x)是定义在[-6,6]上的偶函数 且在[-6,0]上为增函数，所以f(x)在[0,6]上为减函数，所 v=lx2-4xl 以由x-1)≥3)得：{-6≤x-1≤6， Ix-1|≤3， 解得-2≤x≤4， 所以f(x-1)≥f(3)的解集为：{xl-2≤x≤4。 5.（-0,1)由题知f(x)=g(x)+2, 若f(m)+f(m-2)>4,即g(m)+2+g(m-2)+2>4,则有 因为代x)恰好有两个不同的零点， g(m)>-g(m-2). 所以直线y=m与y=Ix2-4x1的图像有两个不同的交点，所 又g(x)为奇函数，且在R上为减函数，则g(m)>g(2-m), 以m=0或m>4. 则m<2-m,解得m<1,即m的取值范围为(-o,1) 6.3fx)=(x-1)(x2+3x-10) 6.(1)令x=y=0,则 =(x-1)(x+5)(x-2), f0)+f0)=f0),.f0)=0. .由f(x)=0得x=-5或x=1或x=2 (2)证明：令y=-x,则f(x)+f(-x)=f(0)=0, 7.1,1+2由fx)=x, 即f-x)=-f(x), x≥2或x≤-1， -1<x<2, ∴f(x)是奇函数 得 x2-x-1=x 或 lx=1, (3:f)在(-1,1)上是单调递增函数）=1， 解得x=1+2或x=1. -1<2x-1<1, 8.（-o,1]当a≥0时，a2+2a≤3，所以0≤a≤1；当a<0时， ∴2x-<1=何化为 -a2+2a≤3，所以a<0.综上所述，a的取值范围是(-∞， x-1<3 1]. 解得0<x<子 9.(1)函数有两个零点，则对应方程-3x2+2x-m+1=0有两 个不相等的实数根，易知△>0，即4+12(1-m)>0, 不等式2x-1)<1的解集为{0<x<} 可解得m<子： C组创新拓展 A由题知)+g)=① 由4e0,可解得m=手 以-x代x,①式得八-)+g(-)=-2 由4<0，可解得m>告 即0-) 放当m<子时，函数有两个零点： ①+②得代)=2一了 1 当m=号时，函数有一个零点； 当m>号时，函数无零点 练案[24] (2)因为0是对应方程的根，所以1-m=0,解得m=1. A组基础巩固 :10.①当a-1=0,即a=1时，函数为y=x+2,显然该函数的图 1.C令fx)=0,得x(x-2)(x+2)=0, 像与x轴只有一个交点，即函数只有一个零点. 解得x=0或x=±2，故选C. ②当a-1≠0，即a≠1时，函数y=(a-1)x2+x+2是二次 2.A由表格可知，函数的图像开口向上，且零点为x=-2,x= 函数. —220 .:函数y=(a-1)x+x+2只有一个零点， .关于x的方程为(a-1)x2+x+2=0有两个相等的实 所以4=1-4(-心2+a+)<0,解得-分<a<3 数根， 6.(1)“对于任意的aeR,方程f代x)=1必有实数根”是真命题. 4=1-8(u-1)=0,解得a=号 依题意，f(x)=1有实根，即x2+(2a-1)x-2a=0有实根，因 为4=(2a-1)2+8a=(2a+1)2≥0对于任意的aeR恒成 综上所述，实数a的取值朱合足{1，号} 立，即x2+(2a-1)x-2a=0必有实根，从而f代x)=1必有实根. B组素养提升 -- (2)依题意，要使y=x)在区间(-1,0)及(0,2)内各有一 1.D因为不等式aa2+2x+c<0的解集是 f-1)>0, 3-4a>0, (-0,-3u(2,+m）月 个零点，只需 f0)<0,即1-2a<0, fa<0, )>o. -a>0, 4 2 11 所以 。+2解得0-12， 1c=2, 11 =-3×2, 故实数a的取值范围为（分，） 所以不等式cx2+2x+a≤0可化为2x2+2x-12≤0，即x2+xC组创新拓展 -6≤0，解得-3≤x≤2. A若a≥0，则当x>1时f(x)=ax-a+1≥1，无零点，当x 2.C由已知16-46+c=C, 解得 b=4, ≤1时，f(x)最多有两个零点，故当x∈R时，f(x)最多有两个 l4-2b+c=-2 c=2. 零点，不符合题意，排除C,D:易知a<0,当x>1时，f(x)=ax ∴)=+4+2，xs0, -a+1单调递减，f代1)=a-a+1=1>0,故f(x)在区间(1， 2,x>0. +∞)上存在一个零点，所以当x≤1时，f(x)=aa2-x+2有 当x≤0时，方程为x2+4x+2=x, 两个零点.要使f代x)=ax2-x+2在区间(-∞，1]上有两个 即x2+3x+2=0,.x=-1或x=-2; fa<0. 当x>0时，方程为x=2,.方程f(x)=x有3个解 1 3.AC令g(x)=(x-2)(x-5),则f(x)=g(x)-1,故函数y 零点，则2a<1, 解得a≤-1，排除B. 4=1-8a>0, =f代x)的零点就是函数g(x)=(x-2)(x-5)与函数y=1图 a-1+2≤0. 像交点的横坐标.在同一平面直角坐标系中作出函数g(x)= (x-2)(x-5)的图像与y=1的图像，如图所示，结合图像知 练案[25] A,C中关系错误，B,D中关系正确 A组基础巩固 y=g(x) 1.D因为函数f代x)=x3-9在R上单调递增，f(2)=8-9= -1<0,f(3)=27-9=18>0,所以根据零点存在定理，可得 函数f(x)=x-9的零点所在的大致区间是(2,3). 02x 2.D第一次所取的区间是[-2,4]， ∴.第二次所取的区间可能为[-2,1]，[1,4]，∴第三次所取 4.(1,4)(1,3]U(4,+)当入=2时) 的区间可能为[-2，引[-小[，][3小 i题室代2子630 3.Cf代x)=3ax-1-2a在区间(-1,1)上单调且存在零点， ∴.f-1)·f1)=(-3a-1-2a)·(3a-1-2a) 解得2≤x<4或1<x<2,即1<x<4,不等式f代x)<0的解集 是(1,4). =(-5a-)(a-1)<0,a>1或a<-5放选C 当A>4时x)=x-4>0,此时f(x)=x2-4x+3=0,x=14.B由函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,2)，(0,4)， 或3，即仅在(-∞，入)上有两个零点； (0,8),(0,16)内，可确定零点在区间(0,2)内，故f代x)在区间 当入≤4时，f(x)=x-4=0,x=4,由f(x)=x2-4x+3在 [2,16)内无零点，选项A和C中结论不一定成立；由题意得 (-0,A)上只能有一个零点得1<A≤3. f(x)的零点可能为1，故选项D中结论不一定成立， 综上，入的取值范围为(1,3]U(4,+∞). 5.ABD因为函数f(x)在区间(0,3)上有两个零点，且都可以用 5( 二分法求得，其图像是连续不断的，所以零点两侧函数值异 }(x-a)⊙(x+a）=(x-a）·(1-x-a）, 号，又f0)>0,f1)f2)f3)<0,所以f3)>0,f1)f2)< .不等式(x-a)⊙(x+a)<1, 0.若f1)>0,f2)<0,可得f2)f(3)<0,f1)f2)<0,即此 即(x-a)(1-x-a)<1对任意实数x恒成立 时函数f(x)的两个零点分别在区间(1,2)和(2,3)内，故B正 即x2-x-a2+a+1>0对任意实数x恒成立， 确；若f1)<0f(2)>0,则f0)f(1)<0f1)f2)<0,即此 -221练案[24] 第三章 函数 3.2[第1课时 函数的零点、二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系] A组基础巩固 三、解答题 一、选择题 9.已知函数f(x)=-3x2+2x-m+1. 1.函数f八x)=x3-4x的零点为 (1)当m为何值时，函数有两个零点、一个零点、无 A.(0,0),(2,0) 零点； B.(-2,0),(0,0),(2,0) (2)若函数恰有一个零点在原点处，求m的值. C.-2,0,2 D.0,2 2.二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如 下表： -3 -2-10 1 3 y60-4-6-6-406 则一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集是( A.{xlx<-2或x>3} B.{xx≤-2或x≥3 C.xl-2<x<3 D.{xl-2≤x≤3 3.不等式mx2-ax-1>0(m>0)的解集可能是( A{x<-1或>} 11 B.R 31 D.☑ 4.关于x的不等式ax-b>0的解集是(1，+∞)，则关 于x的不等式(ax+b)(x-3)>0的解集是() A.(-o,-1)U(3,+∞) B.(-1,3) C.(1,3) D.(-,1)U(3,+∞) 5.（多选题)(2026·台州高一检测)函数f(x)=x2-4x1 -m恰好有两个不同零点，则m的值可以是（） A.5 B.4 C.2 D.0 二、填空题 6.函数f(x)=(x-1)(x2+3x-10)的零点有 个 7.若f(x)= -x-1,≥2或x≤-1则函数g()= 1,-1<x<2, f(x)-x的零点为 8.已知函数f(x)= 「x2+2x,x≥0， 1-x2+2x,x<0. 若f(a)≤3，则a 的取值范围是 : -147 10.若函数y=(a-1)x2+x+2只有一个零点，求实数三、解答题 a的取值集合. :6.已知二次函数f(x)=x2+(2a-1)x+1-2a. (1)判断命题：“对于任意的a∈R,方程f(x)=1必 有实数根”的真假，并写出判断过程； (2)若y=()在区间(-1,0)及0，)内各有一个 零点，求实数a的取值范围. B组素养提升 一、选择题 1.(2025·十堰高一检测)若不等式ax2+2x+c<0的 解集是 -,-)u(分，+x小则不等式x2+2x +a≤0的解集是 ( a[-分司 B引 C.[-2,3] D.[-3,2] 2.设函数f(x)= R2+bc+6,≤0，若f-4)=f(0), 12,x>0, f(-2)=-2,则方程f(x)=x的解的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 3.(多选题)(2026·天津高一检测)函数f(x)=(x- 2)(x-5)-1有两个零点x,2,且x<2,下列关于 x1,x2的关系中错误的有 A.x1<2且2<x2<5 B.x1<2且x2>5 C.2<x1<5且x2>5 D.x1+x2=7 二、填空题 「x-4,x≥入， 4.已知入∈R,函数f(x)= C组创新拓展 1x2-4x+3,x<入. 当入=2 时，不等式f(x)<0的解集是 若函数 已知函数f(x)= 「a2-x+2,x≤1恰有三个零点，则 ax-a+1,x>1 f(x)恰有2个零点，则入的取值范围是 实数a的取值范围是 () 5.在R上定义运算⊙：A⊙B=A(1-B),若不等式(x- A.(-∞，-1] B.(-∞，-1) a)⊙(x+a)<1对任意的实数xeR恒成立，则实数 C.[-1,1] D.[1,+o) a的取值范围为 148