练案10 第二章 2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系-【成才之路·练案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（人教B版）

4.98x3y+xy3=xy(x2+y2)=xy[(x+y)2-2y]. 6.1设另一个根为a. 当x+y=10,xy=1时， 根据题意可得a+2=m,2a=m-1, xy[(x+y)2-2xy]=1×(102-2×1)=98. .a+2=2a+1,.a=1,∴.另一个根为1. 15或-1由题意，得x2 =x2-4x=5, 7.-2-3甲同学看错了p,但没有看错9，乙同学看错了9， 2 x 但没有看错p,所以根据根与系数的关系，得q=（-3)×1= 即x2-4x-5=0,解得x=5或x=-1. -3,p=-(-2+4)=-2 6.(1)△ABC为等边三角形. 8.3一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0有两个不相等的实 证明：因为a2+b2+c2=ab+bc+ac, 数根 所以2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0, 则4=(2m+3)2-4m>0,解得m>子 所以(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0, 所以a=b,b=c,a=c,所以△ABC为等边三角形， a+B=-2m-3,8=m2, (2)a2-b2+c2-2ac=(a2-2ac+c2)-b2 则+人=+=2m-3=-1, 'a B aB =(a-c)2-62=(a-c+b)(a-c-b) m2 即m2-2m-3=0, =[(a+b)-c][a-(b+c)], 又因为a+b>c,a<b+c, 解得m=3或m=-1,因为m>子， 所以[(a+b)-c][a-(b+c)]<0, 所以只有m=3符合题意.故答案为3. 所以a2-b2+c2-2ac值的符号为负， 9.(1):x2-2(k-3)x+2-4k-1=0有实数根， C组创新拓展 ! ∴.△=4(k-3)2-4(2-4h-1)=42-24k+36-4k2+16k+ C根据题意得(x+2)2-(6)-5(x+2)=0, 4=40-8k≥0， 整理得(x+2)2-5(x+2)-6=0, 解得：k≤5 即(x+2-6)·(x+2+1)=0,即(x-4)(x+3)=0, 即实数k的取值范围为(-∞，5]. 解得x=4或x=-3,因为4-3=1， (2):方程的两实数根分别为x1,x2, 所以方程(x+2)⑧6=0的所有解的和为1. 1+=2(k-3),x1·x2=2-4h-1. 练案[10] ‘x1+行=x1x2+7, .(x1+x2)2-3xx2-7=0, A组基础巩固 .k2-12k+32=0,解得k1=4,k2=8. 1.D两边开平方，得x+3=±5，即x=±5-3，所以x1=-8, 又k≤5∴.k=4. x2=2,所以方程的解集为{-8,2}. 102-2x子-0，移项得2-2x=子， 5 2.C由题意知：△=m2-4m≥0，解得m≥4或m≤0，故选C. ®AB当m三0时，方程化为-4x+50,解得x=子，此时方程 配方得-2x+1=子，即(x-1)2=是 只有一个实数根，A正确；当m=1时，方程化为x2-4x+4= 0,因为4=(-4)2-4×1×4=0， 开方得x-1=士子解得=各4=司 所以此时方程有两个相等的实数根，B正确： ①把x=多代人2-(h+2)x+是=0中， 当m=-1时，方程化为-x2-4x+6=0, 因为4=(-4)2-4×(-1)×6=40>0，所以此时方程有两： 得+2+号-0， 个不相等的实数根，C错误； 当m=2时，方程化为2x2-4x+3=0,因为△=(-4)2-4×2 解得=了 ×3=-8<0,所以此时方程无实数根，D错误故选AB. ②把x=-号代人2-(k+2)x+ 4=0中， 4.B设方程x2+(a2-2a)x+a-1=0的两根为x1,x2,由题意 知，x1+x2=0,即-(a2-2a)=0,解得a=0或a=2, 得(-2+分6+2)+-0， 又.x1x2=a-1≤0，.a≤1.故选B. 解得k=-7. 5.D设关于x的方程x2+2(k+2)x+2=0的两个实数根为 a,6由根与系数的关系得a+6=-2k+2】=-(2k+4). 百k三=或-7时，6-4c=(k+2)2-9都大于0 :关于x的方程x2+2(k+2)x+2=0的两个实数根之和大 综上所述，k的值为-7或号 于-4，..-(2k+4)>-4,.k<0. ;B组素养提升 由4=[2(k+2)]2-4×1·k2=16(k+1)≥0，解得k≥-1,1.D:m,n是关于x的一元二次方程x2-2+-2t+4=0 即k的取值范围是[-1,0).故选D. 的两实数根， —200 ..由根与系数的关系，得m+n=2t,mn=t-2t+4, 解得k=1+2或k=1-√2， .(m+2)(n+2)=mn+2(m+n)+4=+2t+8=(t+1)2 +7. (1)知当方程有两个实数根时，6≤？且≠0， 方程有两个实数根， 所以k=1-√2 .4=(-2t)2-4(t-2t+4)=8t-16≥0t≥2. 6.(1)根据题意，得4=(2m+1)2-4(m2-2)≥0， .(t+1)2+7≥(2+1)2+7=16，即(m+2)(n+2)的最小值 是16. 解得m≥一子 rm≠0 .m的最小整数值为-2. 2.A由题知， 4=(m+22-4m·平>0， (2)根据题意，得x1+02=-(2m+1),x12=m2-2. (x1-x2)2+m2=21, 解得m>-1且m≠0. .(x+x2)2-4x12+m2=21, +62=m+2 m x12=4, .[-(2m+1)]2-4(m2-2)+m2=21, m+2 整理，得m2+4m-12=0.解得m1=2,m2=-6. ++=m=4m, 由1)可知m≥ 9 4 ∴.m的值为2 ∴.m=2或-1， C组创新拓展 又.m>-1且m≠0，.m=2 (1)设x2=a,则原方程可化为a2-10a+9=0, 3.ACD设方程x2+2mx+2n=0的两根为x1、x2,方程y2+2ny 即(a-1)(a-9)=0. +2m=0的两根为y1y2.由题意知xx2=2n>0,y1y2=2m> 解得：a=1或a=9, 0,又无1+x3=-2m<0,y1+为2=-2n<0,.这两个方程的 当a=1时，x2=1,.x=±1： 根都是负根，故A正确，B不正确；·4m2-8n≥0,4n2-8m≥ 当a=9时，x2=9,.x=±3. 0,m2-2n≥0，n2-2m≥0，.(m-1)2+(n-1)2=m2-2n .原方程的解是x1=1,x2=一1，x3=3,x4=-3. +1+n2-2m+1=(m2-2n)+(n2-2m)+2≥2，故C正确。 由根与系数的关系可得： (2)设x+-y 2m-2n=yy2+y1+y2=(y1+1)(y2+1)-1, 则原方程可化为：y2-2-3y=2,即y2-3y-4=0, 由y,2均为负整数，得： .(y+1)(y-4)=0, (y1+1)(2+1)≥0，故2m-2n≥-1. 解得：y=-1或y=4, 同理可得2n-2m=x1x2+x1+2=(x1+1)(x2+1)-1,得2n 1 -2m≥-1， 即x+ =-1(方程无解，舍去)或x+元 ∴.-1≤2m-2n≤1，故D正确 故x+1=4 4.{-1,3}把后面一个方程m(x+a-2)2+n=0中的x-2 看作整体，相当于前面一个方程中的x 练案[11] :关于x的方程m(x+a)2+n=0的解集是{-3,1}， :A组 .方程m(x+a-2)2+n=0可变形为m[(x-2)+a]2+n= 基础巩固 0,此方程中x-2=-3或x-2=1,解得x=-1或x=3. rx+y=1①， 1.C ∴关于x的方程m(x+a-2)2+n=0的解集是{-1,3. 因为{y+z=5②， z+x=6③ 5.(1)k≤7(2)1-万(1)当k=0时，方程为-2x+1=0, 所以①+②+③得2x+2y+2z=12, 解得x=之，符合题意： 即x+y+z=6④ ④-①得z=5; 当k≠0时，4=[2(k-1)]2-42=-8k+4≥0， ④-②得x=1;④-③得y=0. 解得≤子且k≠0， 所以方程组的解集为{(1,0,5). 综上，当≤2时，方程有实数根 2.B因为1(，1(2,1)是方程组-3-1的解集， lx+by=5 (2)设方程的两个实数根为x,2, 则有=2=京 所以把x=2,)=1代人方程组，得2a-3=-1, l2+b=5, 所以，a=1, 所+广---2-=8 b=3. :3.A绳索长x尺，竿长y尺，由绳索比竿长5尺可得x=y+5; -201练案[10] 第二章 等式与不等式 2.1[2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系] A组基础巩固 三、解答题 一、选择题 9.已知关于x的方程x2-2(k-3)x+k2-4k-1=0. 1.方程(x+3)2=25的解集是 (1)若这个方程有实数根，求实数k的取值范围： A.{5,-5 B.2,-2} (2)若方程两实数根分别为x、2,且满足x+x号= C.8,2} D.{-8,2 xx2+7,求实数k的值. 2.已知关于x的方程x2+mx+m=0有两个实数根，则 m的取值范围为 () A.m≥4 B.m>4或m<0 C.m≥4或m≤0 D.0<m<4 3.（多选题)关于x的方程mx2-4x-m+5=0,以下说 法正确的是 A.当m=0时，方程只有一个实数根 B.当m=1时，方程有两个相等的实数根 ;i C.当m=-1时，方程没有实数根 D.当m=2时，方程有两个不相等的实数根 4.关于x的一元二次方程x2+(a2-2a)x+a-1=0的 两个实数根互为相反数，则a的值为 () A.2 B.0 10.一元二次方程2-2x-子=0的某个根，也是一元 C.1 D.2或0 5.若关于x的方程x2+2(k+2)x+k2=0的两个实数 二次方程-(k+2)x+是=0的根，求6的值 根之和大于-4，则k的取值范围是 ( A.(-1,+∞) B.(-∞，0) C.(-1,0) D.[-1,0) 二、填空题 6.若方程x2-mx+m-1=0的一个实数根为2，则方程 的另一个实数根为 7.在解方程x2+px+q=0时，甲同学看错了p,解得方 程的根为x=1,x2=-3;乙同学看错了q,解得方程 的根为x,=4,x2=-2,则方程中的p= 9= 8.已知ax,B是关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+ m=0的两个不相等的实数根，且满足1+1 a +B=-1. 则m的值是 —119 B组素养提升 C组创新拓展 一、选择题 在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次 1.已知m,n是关于x的一元二次方程x2-2x+2-21+4 方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方 =0的两实数根，则(m+2)(n+2)的最小值是( 程来解.例如：解方程：x2-31xl+2=0. A.7 B.11 C.12 D.16 解：设1x|=y,则原方程可化为：y2-3y+2=0 2已知关于x的一元二次方程m2-(m+2)x+ =0 解得：y1=1,y2=2 当y=1时，lxl=1,.x=±1； 有两个不相等的实数根1，.若！+1 一十 =4m,则m 当y=2时，lx=2,.x=±2. 原方程的解是：x1=1,x2=-1,x3=2,x4=-2. 的值是 上述解方程的方法称为“换元法”.请用“换元法”解 A.2 B.-1 1 决下列问题： C.2或-1 D.不存在 (1)解方程：x4-10x2+9=0. 3.（多选题)关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有 两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+ (2)若实数满足+日-3x-是=2，求x+ 2y+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，如下 的值 给出的结论中正确的是 ( A.这两个方程的根都是负根 B.这两个方程的根中可能存在正根 C.(m-1)2+(n-1)2≥2 :1.1 D.-1≤2m-2n≤1 二、填空题 4.已知关于x的方程m(x+a)2+n=0的解集是{-3， 1},则关于x的方程m(x+a-2)2+n=0的解集是 5.已知关于x的方程2x2+2(k-1)x+1=0有实数根 (1)则实数k的取值范围为 (2)如果这个方程的两个实数根的倒数和的平方等 于8，则实数k的值为 三、解答题 6.已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2-2=0. (1)若该方程有两个实数根，求m的最小整数值； (2)若方程的两个实数根为x1,x2,且(x1-x2)2+m2 =21,求m的值. 120