3.2 第2课时零点的存在性及其近似值的求法-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（人教B版）

即实数m的取值范围是(-3，一) 5.{xl-3≤x≤-1或x≥3}原不等式可化为(x+1)(x+3)(x -3)≥0，则对应方程的三个实数根分别为-1，-3,3. 例3：函数的零点为-3，-2,2,3，函数的定义域被这四个点 如图所示，在数轴上标出三个实数根，从右上方开始依次穿 分为五部分，每一部分函数值的符号如下表： 过.由图可知不等式(x+1)(x2-9)≥0的解集为xl-3≤x ≤-1或x≥3}. -0,-3】 -3-(-2(23) /x) 所以函数图像的示意图如图： 第2课时零点的存在性及其近似值的求法 必备知识探新知 根据函数的图像，知不等式f(x)≥0的解集为(-∞，-3] 知识点1：(1)fa)fb)<0即3xoe(a,b),fxo)=0 U[-2,2U[子，+如，不等式x)<0的解集为对应练习 1.(1)×(2)×(3)V(4)× (-3,-)u(2,3} 2.C如图所示，当f(a)>0,f(b)>0时，函数图像与x轴可以 对点训练3：将原不等式化为x+3)x- 有一个或两个交点，还可以没有交点.故A、B、D不正确，C >0. (x+2)(x-3) 正确。 即(x+3)(x+2)(x-1)(x-3)>0, 各因式所对应的根分别为-3，-2,1,3，在数轴上标根并画出 示意图，如图所示 + 十 32 0 故原不等式的解集为{xx<-3或-2<x<1或x>3. 知识点2：1f(a)·f6)<0一分为二2.a+b6 课堂检测固双基 1.A令+x+3=0,4=1-12=-1<0,所以方程无实数根，对应练习 故函数fx)=x2+x+3无零点，故选A 1.A2.(0,0.5)f(0.25) 2.C方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实根1,2，则 关键能力攻重难 b 例1：(1)B(2)A(1)由函数f代x)=x3+x-5可得f0)=0+0- r1+2=- 5=-5<0,f1)=1+1-5=-3<0, 1x2=g f2)=8+2-5=5>0,f(3)=27+3-5=25>0,f(4)=64 +4-5=63>0 所以=-3，=2， 故有f(1)f(2)<0,根据函数零点存在定理可得，函数f(x) 的零点所在区间为(1,2) 于是)=a+bc+a=a(合+合r+l=a(2x-3x+1) (2)因为f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x- =a(x-1)(2x-1),所以该函数的零点是1,2故选C c)(x-a),所以f(a)=(a-b)(a-c),fb)=(b-c)(b- a),fc)=(c-a)(c-b), 3.0由奇函数的对称性知，若f(x,)=0,则f(-x,)=0,即零点 因为a<b<c,所以fa)>0,fb)<0,fc)>0, 关于原点对称，且f0)=0,故x1+2+x+x4+x=0. 所以fa)fb)<0,fb)f(c)<0,故3x1∈(a,b),x2∈(b, 40或-号①当a=0时，函数为y=-x-1,显然该函数的图 c),f八x）=0,f(x2)=0,所以f(x)的两个零点分别位于区 像与x轴只有一个交点，即函数只有一个零点 间(a,b)和(b,c)内. ②当a≠0时，函数y=ax2-x-1是二次函数 对点训练1：(1)B(2)B(1)依题意，因为f2)>0,f(3)<0, 因为y=ax2-x-1只有一个零点， f代4)>0，f(5)<0,所以根据零点存在定理可知，在区间(2,3) 所以关于x的方程ax-x-1=0有两个相等的实数根， 和(3,4)及(4,5)内各至少含有一个零点，故函数在区间[1， 所以△=0，即1+4a=0, 6]上的零点至少有3个，故选B. (2)令fx)=x3-3x+1, 解得a=一子 易知f代x)的图像在R上连续， -188 f(-1)=-1+3+1=3>0,f(-2)=-8+6+1=-1<0,4.(2,3)设f(x)=x3-2x-5,f(1)=1-2-5=-6<0,f2) f0)=0-0+1=1>0, =23-4-5=-1<0,f(3)=33-6-5=16>0,fx)零点所在 f(1)=1-3+1=-1<0,f2)=8-6+1=3>0, 的区间为(2,3)，所以方程x3-2x-5=0下一个有根的区间 故f孔x)在(-2，-1)，(0,1)，(1,2)上有零点， 是(2,3) 故方程x3-3x+1=0在区间(-1,0)上没有实数解。 3.3函数的应用（一） 例2：由于f代-2)=-1<0，f(-3)=4>0,故取区间(-3，-2) 作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下： i : 3.4 数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点 区间 中点的值 中点函数近似值 必备知识探新知 (-3,-2) -2.5 1.25 对应练习 (-2.5,-2) -2.25 0.0625 1.D根据题意，奖励金额f(n)可以看成年销售额n的函数，那 (-2.25,-2) -2.125 -0.4844 么该问题就是已知函数值为400时，求自变量n的值的问题. (-2.25,-2.125〉 -2.1875 -0.2148 当n∈(1000,2000)时，f(n)=0.4(n-500)=400→n= 1500e(1000,2000)符合题意.故选D. (-2.25,-2.1875) -2.21875 -0.0771 :2.D从题图可以看出，甲、乙两人同时出发(t=0),跑相同多的 由于1-2.25-(-2.1875)1=0.0625<0.1，所以函数的 路程(so),甲用时(t1)比乙用时(t2)少，即甲比乙的速度快，甲 一个近似负零点可取-2.25. 先到达终点.故选D. 对点训练2：1.4375 根据题意，方程x)=0的根应该在区间3.35Q=0.002502-0.175u+4.27=0.025(元2-70u)+4.27 (1.375,1.5上，则m=375+1.5=1.4375. 2 =0.0025[(v-35)2-352]+4.27=0.0025(m-35)2+ 1.2075.故v=35km/h时，耗油量最少. 例3：由函数零点存在定理以及二次函数图像的特征，得 f-1)>0, 2>0, 关键能力攻重难 f(0)<0, 例1：设每天从报社买进x份(250≤x≤400)报纸；每月所获利润 2m+1<0, 即 解得一 5 <m< f1)<0, 4m+2<0, 6 21 是y元，则每月售出报纸共(20x+10×250)份：每月退回报 f2)>0, 社报纸共10×(x-250)份. 6m+5>0, 依题意得y=(0.40-0.24)×(20x+10×250)-(0.24- 即实数m的取值范围足(-专，) 0.08)×10(x-250). 对点训练3：(-12,0)根据二次函数及其零点所在区间可画 即y=0.16(20x+2500)-0.16(10x-2500), 出大致图像，如图： 化简得y=1.6x+800(其中250≤x≤400). .此一次函数(y=kx+b,k≠0)的k=1.6>0, ·.y=1.6.x+800是一个单调增函数，再由250≤x≤400知 当x=400时，y取得最大值，此时y=1.6×400+800= 2V3 1440(元). fx)=3x2-5x+a .每天从报社买进400份报纸时所获利润最大，每月最多 f-2)>0, 12+10+a>0, 可获利1440元 f0)<0, a<0. 由图可知 对点训练1：C设y=kx+b(k≠0)，则1000=800k+b,且2000 即 f1)<0, 13-5+a<0 =700k+b,解得k=-10,b=9000,则y=-10x+9000.解 f3)>0, 27-15+a>0, 400=-10x+9000,得x=860. 解得-12<a<0. 例2：(1)根据题意，得y=90-3(x-50),化简，得y=-3x+240 课堂检测固双基 (50≤x≤55，x∈N). 1.B令-x2+8x-16=0,得x=4,故函数y=-x2+8x-16在 (2)因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售 [3,5]上有一个零点.故选B. 量×每箱销售利润. 2.C利用变号零点的性质验证可得当x=2时，y=-2<0,当x 所以0=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9600(50 =3时，y=3>0,故选C. ≤x≤55，xeN). 3.⑤①油条件f(a)fb)<0成立，则在(a,b)内可能不止一个 (3)因为0=-3x+360x-9600=-3(x-60)2+1200. 零点；②在f代a)f(b)>0的情况下，未必无零点；③在(a,b)内 所以当x<60时，o随x的增大而增大 有零点，也未必有f代a)f(b)<0成立；④注意端点问题，可能 又50≤x≤55，xeN,所以当x=55时，o有最大值，最大值 a,b恰好使得f代x)=0. 为1125. 189091 课堂检测 固双基 1.函数f(x)=x2+x+3的零点的个数是 ( 无3，x4,x5,则x1+2+x3+x4+x5= A.0 B.1 C.2 D.3 4.若函数y=ax2-x-1只有一个零点，则实数a= 2.若关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实根 1,2,则函数f(x)=cx2+bx+a的零点为 5.不等式(x+1)(x2-9)≥0的解集是 A.1,2 B.-1,-2 夯基提能作业 C.1. -1, 请同学们认真完成练案[24] 3.已知函数y=f(x)是R上的奇函数，其零点为x1,x2, 第2课时 零点的存在性及其近似值的求法 素养目标定方向 学习目标 核心素养 1.掌握函数零点存在定理，并会判断函数零点的个数。 1.通过零点存在定理的学习，培养逻辑推理的素养. (重点) 2.通过二分法的学习，提升数据分析、数学建模的学科 2.了解二分法是求方程近似解的常用方法，掌握二分法 求函数零点近似解的步骤（难点） 素养。 3.理解函数与方程之间的联系，提升数学抽象的学科 3.理解函数与方程之间的联系，并能用函数与方程思想 素养 分析问题、解决问题.（重点、难点） 必备知识 探新知 知识点1函数零点存在定理 思考1：(1)利用函数零点存在定理是 (1)条件：函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的曲线， 否能确定零点的个数？ 并且 (2)函数y=f八x)在区间(a,b)上有零 点，是不是一定有f(a)f(b)<0? (2)结论：函数y=f(x)在区间(a,b)中至少有一个零点， 提示：(1)利用函数零点存在定理只能 判断出零点是否存在，而不能确定零 P[思考1] 点的个裁，如图(1)(2)，虽然都有 f八a)·f八b)<0,但图(1)中的函裁 ●对应练习 在区间(a,b)内有4个零点.图(2) 中的函戴在区间(a,b)内仅有1个 1.思考辨析（正确的打“V”,错误的打“×”） 零点 (1)若函数y=f(x)在[a,b]上图像连续，且f(a)fb)>0,则y=f(x) 在(a,b)内一定没有零点 () 工 (2)若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，则fa)fb)<0.() 11 (3)若函数f(x)在[a,b]上是单调函数，则f(x)在[a,b]上至多有一 (2)若函数y=f(x)的图像是一条连 个零点 () 续不断的曲线，则由f(a)·f(b)<0 (4)函数y=2x-1的零点是（分0 () 可以推出函数y=f八x)在区间(a,b)内 存在零点；但是，由函数y=f(x)在 2.对于函数f(x)=x2+mx+n,若f(a)>0,f(b)>0,则函数f(x)在区间 区间(a,b)内存在零点不一定能推出 [a,b]内 f(a)·fb)<0.如图(3)虽然在区 () 间(a,b)内函裁f(x)有零点，但f(a) A.一定有零点 B.一定没有零点 ·fb)0. C.可能有两个零点 D.至多有一个零点 092 知识点2求函数零点的近似值的一种计算方法一二分法 1.二分法的概念 对于在区间[a,b]上连续不断且 的函数y=f(x),通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间 ,使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零 点的方法称为二分法 思考2：当Ib-a1<2e 2.用二分法求函数零点近似值的步骤 时，取区间(a,b)的中点 给定精度e,用二分法求函数f(x)零点x近似值x1,使得Ix1-xI<ε的一般步 作为零点的近似解，区间 骤如下： (a,b)上的其他点一定不 第一步：检查|b-al<2e是否成立，如果成立，取x= ,计算结束，如果 是零点的近似解吗？为 不成立转到第二步； 什么不取其他的点作为 近似解？ 第二步：计算区间(a,6)的中点士对应的函数，若)=0，取“生兰，计 提示：设函数的零点是 x,区间(a,b)的其他点 算结束；若“）≠0，转到第三步； 为x',x'也可能是零点的 近似解，即满足x'-x 第三步，。)·生)<0，将”的值赋给 ,回到第一步；否则必有 <￡，但是也可能不满 足，而区间的中点一定 生)·6)<0，将“的值赋给a,回到第一步. ●[思考2] 满足，因此只取区间的 ●对应练习 中点作为近似解，而不 取其他的点。 1.观察下列函数的图像，判断能用二分法求其零点的是 () D 2.用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1的零点时，第一次经计算得f(0)<0,f(0.5) >0,可得其中一个零点x0∈ ,第二次应计算 关键能力攻重难 归纳提升：1.判断函数零点所在区间 ●题型一 函数零点个数或所在区间的求法 的三个步骤 (1)代入：将区间端点值代入函戴求出 1.(1)函数f(x)=x3+x-5的零点所在区间为 函数的值 A.(0,1)B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) (2)判断：把所得的函数值相乘，并进 (2)若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c) 行符号判断. (3)结论：若符号为正且函裁在该区间 +(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间 () 内是单调函数，则在该区间内无零点， A.(a,b)和(b,c)内 B.（-o,a)和(a,b)内 若符号为负且函数连续，则在该区间 C.(b,c)和(c,+∞)内 D.(-∞，a)和(c,+∞)内 内至少有一个零点 [归纳提升] 2.判断函数零点个数的两种方法 (1)方程法：若方程f(x)=0的解可求 )对点训练 或能判断解的个裁，可通过方程的解 1.(1)已知函数y=f(x)的图像是连续不断的曲线，且有如下对应值表， 来判断函裁是否存在零点或判定零点 则函数y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有（选最佳结果） 的个数. ( (2)图像法：由f(x)=g(x)-h(x)= 0,得g(x)=h(x),在同一平面直角坐 2 6 标系内作出少1=g(x)和2=h(x)的 124.4 33 -74 24.5 -36.8 -122.6 图像，根据两个图像交点的个数来判 定函数零点的个数 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 (2)在下列区间上，方程x3=3x-1无实数解的是 A.(-2,-1)B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2) 093 ●题型二用二分法求函数零点的近似值 例2求函数八)=-5的负零点（精度0.1）. 归纳提升：(1)利用二分法求函数 近似零点应关注三点 ①要选好计算的初始区间，这个 区间既要包含函数的零点，又要 使其长度尽量小 ②用列表法往往能比较清晰地表 [归纳提升] 达函数零点所在的区间 》对点训练 ③根据给定的精度，及时检验所 得区间长度是否达到要求，以决 2.用二分法求f(x)=0的近似解，f(1)=-2,f1.5)=0.625,f(1.25)= 定是停止计算还是继续计算 -0.984,f(1.375)=-0.260,下一个求f(m),则m= (2)注意“精度为ε”与“精确到 ●题型三函数零点存在定理的综合应用 例3已知两数+2m+2m+1的两个零点分别在区间(-1,0) ①按“精度为ε”要求得到的近 与(1,2)内，求实数m的取值范围。 似值不是唯一的，即若1a-b1< 思路探究：根据函数零点存在定理，求解不等式，确定参数的取值 ε，则[a,b]上任何一个实数值 范围. x0均可作为所求的近似值. ②按“精确到ε”要求得到的近 似值是唯一的，即判断区间(a, b)两端点精确到ε的近以值是否 相同.若相同，则该值x即为所求 的近似值.如(2.34375， 2.34765625)的两个端点精确到 0.1时的近似值都是2.3. 归纳提升：二次函数的零点问题 一般需要考虑以下四个方面： ·[归纳提升] (1)判别式(2)端点函数值的正 )对点训练 负.(3)对称轴与区间的位置关系 3.若函数f(x)=3x2-5x+a的一个零点在区间(-2,0)内，另一个零点在 (4)根与系数的关系 区间(1,3)内，则实数a的取值范围是 课堂检测 固双基 1.函数y=-x2+8x-16在区间[3,5]上 ( ) 零点； A.没有零点 B.有一个零点 ③若f八x)在(a,b)内有零点，必有f(a)f(b)<0; C.有两个零点 D.有无数个零点 ④若f(a)f(b)≤0，则函数f(x)在(a,b)内有零点； 2.用“二分法”求y=x2-6的零点时，初始区间可取 ⑤若fa)fb)<0,则函数f(x)在(a,b)内有零点. ）4.用二分法求方程x3-2x-5=0在区间[1,3]内的根， A.(0,1) B.(1,2) 取区间的中点为x=2,那么下一个有根的区间是 C.(2,3) D.(3,4) 3.已知函数y=f(x)在区间[a,b]上是连续不断的曲 线，判断下列结论，正确的是 ①若fa)f(b)<0,则在区间(a,b)内函数f(x)有且 夯基提能作业 -请同学们认真完成练案[25] 仅有一个零点； ②若fa)f(b)>0,则在区间(a,b)内函数f(x)无