3.3 函数的应用（一）-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学必修第一册学习手册（人教B版）

第三章函 数 3.3 函数的应用（一） 学习目标 3变式训练① 1.理解用函数构建数学模型解决实际问 9月1日小张的手机所存话费余额为3.5 题的基本过程， 元，他充值100元，其中用20元购买了一 2.能够在实际情境中，利用一次函数、： 个月的套餐服务，套餐内容为接听免费，主 二次函数、分段函数、双曲线函数等数学模：叫每分钟0.2元.这个月内，他手机所存话 型解决实际问题. 费余额y(元)与主叫时间t(min)之间的 函数关系是() 要点精析 A.y=103.5-0.2t B.y=83.5-0.2t 川要点1一次函数模型 C.y=103.5+0.2t D.y=83.5+0.2t 例1某列火车从北京西站开往石家庄， 要点2二次函数模型 全程277km.火车出发10min开出13km, 例2有1m长的钢材，要 之后以120kmh的速度匀速行驶.试写出火： 做成如图3-3-1所示的窗框：上 车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间 半部分为半圆形，下半部分为四 的函数关系式，并求火车离开北京2h时行 个全等的小矩形组成的矩形，则图3-3-1 驶的路程， 小矩形的长与宽之比为多少时，窗户所通过 分析分析模型，构造一次函数y=kx+ 的光线最多？求出窗户面积的最大值， b(≠0)，利用自变量取值范围以及一次 分析分析模型，构造二次函数y 函数单调性求最值，或者通过一次方程或 ax2+bx+c(a≠0)，利用自变量取值范围以 不等式求范围， 及二次函数单调性求最值，或者通过二次 方程或不等式求范围 学(81 N 高中数学必修第一册人教B版 分析构造分段函数，分段研究单调 B变式训练2 性并求出最值 某地上年度电价为0.8元/(kW·h),年 用电量为1亿kW·h.本年度计划将电价 调至0.55~0.75元/(kW·h)之间[包含 0.55元/(kW.h)和0.75元/(kW.h)].经测 算，若电价调至x元/(kWh),则本年度新 增用电量y(亿kWh)与(x-0.4)元/(kWh) 成反比，且当x=0.65时，y=0.8.若每度电 的成本为0.3元，则电价调至 元/(kW·h)时，电力部门本年度的收益将比 上一年增加20%.[收益=用电量×（实际电 价-成本价)] 川要点3分段函数模型 例3提高过江大桥的车辆通行能力可 改善整个城市的交通状况.在一般情况下， 大桥上的车流速度v(单位：kmh)是车流 密度x(单位：辆/km)的函数.当桥上的车 流密度达到200辆km时，造成堵塞，此时 车流速度为0；当车流密度不超过20辆/km 时，车流速度为60kmh.研究表明：当 20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的 一次函数. (1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表 达式。 (2)当车流密度x为多大时，车流量 (单位时间内通过桥上某观测点的车辆数， 单位：辆/h)f(x)=xm(x)可以达到最大？ 请求出最大值.（精确到1辆h) (82)学 第三章函 变式训练3 川要点4双曲线函数 小明根据某市预报的某天(0~24时) 例4甲、乙两地相距skm,汽车从甲 空气质量指数数据绘制成散点图，并选择连： 地匀速行驶到乙地，速度不得超过ckm/h, at+118,0≤t≤8， 已知汽车每小时的运输成本（以元为单位） 续函数y= 来近似刻画空 212-64t+b,8<t≤24 由可变部分和固定部分组成：可变部分与速 气质量指数y随时间t变化的规律，如图： 度v(kmh)的平方成正比，比例系数为b: 3-3-2所示 固定部分为a元. yA (1)把全程运输成本y(元)表示为速 206F 度v(km/h)的函数，并指出这个函数的定 义域 (2)为了使全程运输成本最小，汽车应 024681012141618202224 以多大速度行驶？ 图3-3-2 分析 构造形如y=ar+b(b≠0)的 (1)求a,b的值. 函数，利用其单调性（或者条件可以的情 (2)当空气质量指数大于150时，有关 况利用均值不等式)求最值」 部门建议该市市民外出活动应戴防雾霾口 罩.请你结合小明选择的函数模型，回答以 下问题： 某同学该天7：00出发上学，是否应该 戴防雾霾口罩？并请说明理由 学(83 N 高中数学必修第一册人教B版 B变式训练④ 已知某公司生产某款产品的年固定成本为 40万元，每生产1件产品还需另外投入16 元，设该公司一年内共生产x万件产品并全部 销售完，每万件产品的销售收人为R(x)万元， 400-6x,0Kx≤40， 且已知R(x)= 740040000 ,>40. (1)求利润W(万元)关于年产量 x(万件)的函数解析式. (2)当年产量为多少万件时，公司在该 款产品的生产中所获得的利润最大？请求出 最大利润。 (84)学a=之+子≤0实数a的取值范围为(-，01 变式训练2D【解析】方程太=m2有三个不同的 根，即方程}=x(x+2)有三个不同的根.记函数g(x)= k 2+2x,x≥0， Ixl(x+2)= -x2-2x,x<0, 由题意=与yg()有三个 不同的交点，由图象可知0<1，>1.放选D 例3解：设f代x)=x2-2x-1.‘f(2)=-1<0,f3)=2>0,又 f(x)在(2,3)内递增， .在区间(2,3)内，方程x2-2x-1=0有唯一实数根， 记为 取区间(2,3)的中点x=2.5 f2.5)=0.25>0,∴xo∈(2,2.5). 再取区间(2,2.5)的中点x=2.25, f2.25)=-0.4375<0,∈(2.25,2.5). 同理，可得0∈(2.375,2.5). .2.375-2.5=0.125<0.2 故方程x2-2-1=0的一个精确度为0.1的近似正数 解可取为2.375+2.5=2.4375. 2 变式训练3C【解析】根据二分法，结合表中数据， 由于f(1.438)=0.165>0,f(1.4065)=-0.052<0, .方程x2+x2-2x-2=0的一个近似根所在区间为 (1.4065,1.438),.符合条件的解为1.4.故选C. 例4(1)证明：函数f(x)=2x-1是R上的增函数， 且在区间[0.5,1]上连续 又f12-1=1>0.05)-10, .函数fx)在(0.5,1)内有一个零点. (2)解：由(1)知f0.5)<0,又f1)>0, .方程23-1=0在(0.5,1)内有实数根. 如此继续下去，得到方程的一个实数根所在的区 间，如下表： (a,b) (a,b) f(a) f(b) 2 +b 的中点 (0.5,1) 0.75 f0.5)<0 f1)>0 f0.75)<0 (0.75.1) 0.875 f(0.75)<0 f(1)>0 f(0.875)>0 10.75-0.8751=0.125<0.2,∴.方程23-1=0的一个近 似解可取为075+0875=0.8125. 2 参考答案。 数学文化 例解：如图，可首先从中点C开始检查，若AC段正 常，则故障在BC段；再到BC段中点D检查，若CD段 正常，则故障在BD段；再到BD段中点E检查，·； 如此这般，每检查一次就可以将待查的线路长度缩短一 半，经过7次查找，可将故障范围缩小到50-100m之 间，即可迅速找到故障所在 A C D E B 例题答图 ●"3.3函数的应用（一） 要点精析 例1解：：火车匀速行驶的总时间为(277-13)：120= 号，0≤号 .·火车匀速行驶th所行驶的路程为120km,.火 车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的函数关系 式为s=13+120r0≤t≤1 5 火车离开北京2h时火车匀速行驶的时间为2-人= 6 (h),此时火车行驶的路程s=13+120x-233(km). 6 6 变式训练1B【解】由题意，手机所存话费余额 y(元)与主叫时间t(mim)之间的函数关系满足一次 函数，不妨设为y=at+b,可知当t=0时，y=100+3.5-20= 83.5,故b=83.5,且主叫每分钟0.2元，故a=-0.2,故 函数关系为y=83.5-0.2t.故选B. 例2解：设小矩形的长为x,宽为y,窗户的面积为S, 则由题图可得9x+x+6y=l, .6=l-(9+T)x, s受4受r+号-9mx=36号 6 3(6) 21122 要使窗户所通过的光线最多，只需窗户的面积S最 大 由6>0，得0cK9+m 0<21< 36+T9+T 21 6 636+分，即± 当=2’y=mx=(18π】 2P 2时，窗户的面积S有最大值，且5m=336+T）” 变式训练20.6【解析】y与(x-0.4)成反比，.可设 51 N 高中数学必修第一册人教B版 y64k≠0，把x065,08代入上式，得08= 06点4解得02，y-品-之根据愿京，得 +26x-03)=1×08-03x(1+20%),整理，得 1.1x+0.3=0,解得x=0.5(舍去)或x2=0.6,.当电价调 至0.6元/(kWh)时，电力部门本年度的收益将比上一 年增加20%. 例3解：(1)由题意，当0≤x≤20时，(x)=60: 当20≤x≤200时，设v(x)=ax+b, 由已知，得 200a+b=0, 3 解得 20a+b=60. bs200 3 故函数(x)的表达式为 60,0≤x≤20， e号（2m-,20x≤20 (2)依题意，并结合(1)可得 60x,0≤x≤20， 九F专20-.20ca≤20 当0≤x≤20时，fx)为增函数，故当x=20时，f(x) 在区间[0,20]上取得最大值60x20=1200; 当20<x≤200时，fx)=x(200-x)=-}(x-10024 10000≤10000，当且仅当x=100时，等号成立 3 3 ∴.当x=100时，f代x)在区间(20,200]上取得最大值 10000 3 综上可得，当x=100时，f(x)在区间[0,200]上 取得最大值10000≈3333. 3 即当车流密度为100辆/时，车流量可以达到最 大，最大值约为3333辆h. 变式训练3解：(1)：当0≤t≤8时，图象过点 (8,206),.206=8a+118,.a=11. :函数连续，2×82-64×8+b=206,.b=590..0=11, b=590. (2)该同学应该戴防雾霾口罩 .:当t=7时，y=11×7+118=195>150, ..该同学应该戴防雾霾口罩 例4解：(1)汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为 音，全程运输成本为)=a:。+bm·言=s名+bu,故所 52 求函数及其定义域为=g+b如，ue(0,c]. (2)依题意，知s,a,b,v都为正数，故有s4+b加） ≥2s/ab. 当且仅当：=加，即=V号时，上式中等号成立 若√号≤c,则当=√号时，全程运输成本y最 小 若V号>0，当ue0,c】时， 有sgbe）s(g+bc）=s[g名+be-bc)]=c (c-v)(a-bcv). c-v≥0，且a心bm2,故有a-bcm≥a-bc2>0, sg+b加≥+bc且仅当=e时，等号成立。 也即当=c时，全程运输成本y最小. 综上知，为使全程运输成本y最小，当Y而≤c 时，行驶速度应为=V励；当Vdc时，行驶速度 b h 应为v=C. 变式训练4解：(1)利用利润等于收人减去成本， 可得 当0<x≤40时，W=xR(x)-(16x+40)=-6x2+384x-40; 当40时，W=xR(x)-(16x+40)=-4000-16+7360. -6x2+384x-40,0<x≤40， .W=_40000-16+7360,x>40. (2)当0<x≤40时， W=-6x2+384x-40=-6(x-32)2+6104, x=32时，Wm=W(32)=6104: 当>40时！ W=40000-16+7360≤-21/4000016x+7360, 当且仅当40000-16c, 即x=50时，Wm=W(50)=5760. .6104>5760. .x=32时，W的最大值为6104万元， 即当年产量为32万件时，公司在该款产品的生产 中所获得的利润最大，最大利润为6104万元.