3.1.2 第2课时函数的平均变化率-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（人教B版）

078 第2课时 函数的平均变化率 素养目标定方向 学习目标 核心素养 1.理解斜率的含义及平均变化率的概念.（重点） 1.通过利用函数f(x)的平均变化率证明f(x)在I上的 2.掌握判断函数单调性的充要条件.（重点、难点） 单调性，提升数学运算和逻辑推理素养。 3.理解函数的最大值和最小值的概念，能借助函数的 2.利用求最值，培养数学运算素养 图像和单调性，求一些简单函数的最值.（重点、难 3.利用函数的最值解决实际问题，培养数学建模素养， 点) 必备知识探新知 知识点1 直线的斜率 1.直线斜率的定义 平面直角坐标系中的任意两点A(x),B(x2,2）,①当，≠，时，称2-为直 x-x 线的斜率，记作 △x 2.直线的斜率与函数单调性的关系。 ●对应练习 （)过函数图像上两点4《-1,3)，B2.3)的斜率 (2)过点M(-1,m),N(m+1,4)的直线的斜率为1，则m的值为 知识点2函数的平均变化率及增减性 1.当x≠时，称= 为函数y=f(x)在区间[x,x2](x1<x2时)或 △x 思考1：函数图像上任 [x2,x1](x1>x2时)上的平均变化率. 意两点连线的斜率大 2.若I是函数y=f(x)的定义域的子集，对任意x1,x2∈I且x1≠x2,记y1=f(x,), 于0时，函数图像从左 ,则 △x 向右的变化趋势是 )是-引即兰 x2-x1 什么？ ①y=八x)在I上是增函数的充要条件是Ay 0在I上恒成立； Γ△x 提示：函数图像从左 向右逐渐上升 ②=水)在1上是藏函数的充要条件是 0在I上恒成立 P[思考1] ●对应练习 1.思考辨析（正确的打“V√”，错误的打“×”） (1)一次函数y=ax+b(a≠0)从x1到x2的平均变化率为a. (2)函数y=x)的平均变化率-，）-)的几何意义是函数y=x)图像上 △xx2-x1 两点A(x1f(x)),B(x2x2)所在直线的斜率. () (3)直线不一定有斜率，过函数图像上任意两点的直线也不一定有斜率. ●079 2.已知函数f(x)=2x2-4的图像上两点A,B,且x1=1,xB=1.1,则函数f(x)从A点到 B点的平均变化率为 () A.4 B.4x C.4.2 D.4.02 知识点3函数的最值 前提 函数f(x)的定义域为D,且x。∈D,对任意x∈D 条件 都有f(x) f(xo) 都有f(x) f(xo) 最大值为f(),为最 最小值为f八x。),x,为最小值点 结论 大值点 思考2：最值点是 最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点 点吗？ P[思考2] 提示：不是，是实裁 值，是函数取得最值 ●对应练习 时的自变量x的值 1.函数y=f(x)在[-2,2]上的图像如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是 2函数)=子e[2,4],则八的最大值为 ,最小值为 关键能力 攻重难 ●题型一求函数的最值 归纳提升：用图像法 求最值的3个步骤 角度1：利用函数图像求最值 例 .(1)函数f(x)在区间[-2,5]上的图像如图所示，则此函数的最小值、最大值分 作作出函戴图像 别是 ( 在图像上我到 我 最高点和最低 点的纵坐标 012345x 确定函数的最 定 大（小）值 A.-2f2) B.2,f2) C.-2,f(5) D.2f5) (2)作图法求函数f(x)={x ,0<x<1, 的最值 x,1≤x≤2 P[归纳提升] 080 归纳提升：求二次函 )对点训练 数f(x)=ax2+bx+c 1.如图为函数y=f(x),x∈[-4,7]的图像，则它 (a>0)在区间[m,n] 的最大值、最小值分别为 上的最值的类型 -1.5 (1)若对称轴x=- 角度2：含参数的一元二次函数的最值问题 2-10 2a 234568元 例 2.已知函数f(x)=x2+(2a-1)x-3. 在区间[m,n]内，则 (1)当a=2,x∈[-2,3]时，求函数f(x) 最小值为)最 的值域： (2)若函数f(x)在[-1,3]上的最大值为1，求实数a的值. 大值为f(m),f(n)中 较大者（或区间端点 m,n中与x=一名起 离较远的一个对应的 函数值为最大值) (2)若-名<m,则 [归纳提升] 对点训练 f(x)在[m,n]上是增 2.已知二次函数y=x2+mx+4在(-∞，-1]上是减函数，在[-1，+∞)上是增函数， 函数，最大值为f(n),最 求解下列问题 小值为f(m). (1)m的值是多少？ 3)常岛>则到 (2)此函数的最小值是多大？ 在[m,n]上是减函数， 最大值为f(m),最小值 为fn). 归纳提升：求平均变 化率可根据定义代入 公式直接求解，解題 ●题型二求函数的平均变化率 的关键是弄清自变量的 列 增量△x与函裁值的增 3.求函数f(x)=22+1在区间[x,0+△x]的平均变化率，并求当0=1，△x=2 量△y,求平均变化率 时平均变化率的值。 的主要步骤是 先计算函鬟值的 改变量△f= 计算△ fx+ △x) f(xo) [归纳提升] 再计算自变量的 对点训练 阡算△ 玫变量△x= 3.一正方形铁板在0℃时边长为10cm,加热后会膨胀，当温度为t℃时，边长变为10(1 -Xo +at)cm,a为常数.试求铁板面积对温度的平均膨胀率. 得千约支化年公 钻论 f八x。+△x)-fx) x1-X0 ●081 ● 题型三利用函数的平均变化率证明函数的单调性 例4.试讨论函数x)=(a≠0)在(-1,1)上的单调性 [归纳提升] 归纳提升：1.y=∫(x) 》对点训练 在【上是增函数的充 4判断函数)=x+(a>0)在(0，+)上的单调性 要条件是A>0在1上 △x 恒成立」 2.y=f(x)在I上是 减函数的充要条件是 合<0点1上运成立 课堂检测 固双基 1.设函数f(x)的定义域为R,以下三种说法：①若存在 A.4 B.4△x 常数M,使得对任意x∈R,有f(x)≤M,则M是f(x) C.4+2△x D.4+2(△x)2 的最大值；②若存在x∈R,使得对任意xeR,有f八x) ≤f(xo),则f(xo)是f(x)的最大值；③若存在xo∈R, 4若函数)=方-+子的定义越和值镀都是 使得对任意x∈R,且x≠x,有fx)<f(x),则f(x)是 [1,b],则b= () f(x)的最大值.其中正确说法的个数为 ) A.1 B.3 A.0 B.1 C.2 D.3 C.2 D.1或3 2.函数f(x)在[-2，+∞)上的图像如图所示，则此函5.汽车行驶的路程s和时间t之间的变化规律如图所 数的最大值、最小值分别为 ( 示，在时间段[o,41],[1,2],[2,3]内的平均速度 y 分别是1,2，，则三者的大小关系为 C -2-10 B A.3,0 B.3,1 A C.3,无最小值 D.3,-2 3.已知函数f(x)=2x2-4的图像上一点(1，-2)及邻 近一点(1+△x,-2+△y),则A等于 △x 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[21]第2课时函数的平均变化率 取得最小值，即yn=-2. 例2：(1)当a=2时，fx)=x2+3x-3,xe[-2,3], 必备知识探新知 知识点1：1.②当x=,时，称直线的斜率不存在 因为其对称销为直线=-号[-2,31， 2.①函数递增的充要条件是其图像上任意两点连线的斜率都大： 所以引景号-3 Γ4 于0.②函数递减的充要条件是其图像上任意两点连线的斜 率都小于0. fx)m=f3)=9+9-3=15, 对应练习 所以函数)的值螋为-斗，15] a021尝-3#-0 (2)因为函数f(x)的对称轴为直线x=2a-」 2 (2h直线的斜率公式得1仁只--1，号-1，解得 m+2 ①当-202≤1，即a≥-2时)=3)=60+3， m=1. 知识点2：1.）-）2.①>②< 所以6a+3=1,即a=一号满足题意： X2-X1 ②当202>1.即a<时， 对应练习 2 1.(1)V(2)V(3)×(1)一次函数y=ax+b(a≠0)从x, fx)m=f(-1）=-2a-1, 到，的平均变化率为Ay=（a,+b)-(a+b)-a(32-x) 所以-2a-1=1,即a=-1,满足题意. x2-X1 X2-X1 综上可知，a=-了或a=-1 =a. 对点训练2：(1)由于y=x2+mx+4在(-∞，-1]上是减函数， (2)由平均变化率的几何意义可知A=）-)表示过 Ax x2一x1 在[-1，+0)上是增函数， 函数y=f(x)图像上两点A(x1fx1),B(x2f(x2)所在直线 所以其对称轴为直线x=-1,故m=2. 的斜率. (2)当m=2时，y=x2+2x+4=(x+1)2+3,所以ym=3. (3)过函数图像上任意两点的直线一定有斜率，因为根据函数例3：△f=f(+△x)-f(xo)=2(x。+△x)2+1-(2x名+1)= 的定义，一定有x1≠x2 4x0·△x+2(△x)2, 2cA-f190-2x1-2x1-4,2 .函数f代x)=2x2+1在区间[xo,xo+△x]的平均变化率为 △x1.1-1 0.1 f_4x0·△x+2(△x)2 知识点3：≤≥ Ar =4xn+2△x, △x 对应练习 当%=1,4r=时，平均变化率为4×1+2×分=5。 1.-12 21分“)=2在[2,41上单调递减， 对点训练3：设温度的增量为△t,则铁板面积S的增量为： △S=102[1+a(t+△t)]2-102(1+at)2=200(a+a2t)△t+ .当x=2,时f代x)nm=1, 100a2(△2，所以平均膨张率s=200(a+a21+100a24 △t 当x=4时，f(x)m=2 例4：设-1<x1<2<1且x≠2，则 关键能力攻重难 ax2 ax 例1：(1)C由函数的图像知，当x=-2时，有最小值-2：当x △y--1x-1 △xx2-x1 =5时，有最大值f(5). [(x-1)-x1(x2-1)] (2)函数f(x)的图像如图， (x2-x1)(x1-1)(2-1) 一a (-1)(名2-1’ 由-1<x1<x2<1知x1-1<0,2-1<0, 0 (x-10(-1)<0, 由图像可知f代x)的最小值为f代1)=1，无最大值. 放当a>0时，<0，函数)在(-1，)上单调递减： 对点训练1：3-2观察函数图像可以知道，图像上位置最高 的点是(3,3)，最低的点是(-1.5，-2)，所以当x=3时，函数 当a<0时，>0，函数fx)在(-1,1)上单调递增. △x y=f(x)取得最大值，即y=3;当x=-1.5时，函数y=f代x)对点训练4：设x1,:2∈(0，+∞)且x1≠x2,则 —183 :关键能力攻重难 △y =1例1：(1)B(2)B(1)F(-x)=f-x)+fx)=F(x). △x x2-x 又因为x∈(-a,a)关于原点对称，所以F(x)是偶函数 (2)函数的定义域A=xlx≠0}， 由x1,x2∈(0，+0)知x1x2>0, 所以xeA时，-xeA,且f(-x)=-+2x 当0，同时0u1是0，函数在 -(x2=-. (0,a上是减函数；当x1,2∈（a,+0)时，x12>a>0, 所以孔x)为奇函数，故图像关于坐标原，点对称。 <1,>0,函数fx)在(a,+0)上是增函数 (3)①因为x∈R,f(-x)=1-2x-11-1-2x+11= X1X2 ’△x -(I2x-1I-|2x+1I)=-fx),所以f(x)是奇函数. 综上可知，函数八)=+(a>0)在(0，同上是减函数，在 ②函数f(x)的定义域是(-∞，-1)U(-1,+0),不关 (√a,+)上是增函数. 于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数. 课堂检测固双基 ③方法一：作出函数图像如图： y 1.C由函数最大值的概念知②③正确. 2.C观察题中图像可知，图像的最高点坐标是(0,3)，从而其 最大值是3：图像无最低，点，即该函数不存在最小值.故选C. 3.C:△y=f1+△x)-f(1)=2(1+△x)2-4-(2-4)= 2(4)+4A=20+4,放选C 关于原点对称，所以函数是奇函数 4B?函数)=子-+受=宁(-1P+1的定义域和 方法二：当x>0时fx)=1-x2,此时-x<0, 值域都是[1，b],且函数f(x)在[1，b]上为增函数， 所以f孔-x)=(-x)2-1=x2-1,所以f-x)=-fx)； 6)=7(6-1)2+1=6,即2(6-1)2=6-1. 当x<0时f(x)=x2-1, 此时-x>0,f代-x)=1-(-x)2=1-x2, 又：6>126-1)=1，解得6=3，放选B 所以f代-x)=-f代x); 当x=0时f(-0)=-f0)=0. 5.1<2<31= )-）=6u,-）-①= t-to 综上，对xeR,总有f(-x)=-f(x),所以f(x)为R上的 t2-t 6n,-6）二）=kg,由图得<u<6r心，<西< 奇函数. t3-t2 对点训练1：②③对于①，xeR,f(-x)=-x3=-f(x),则 f(x)为奇函数； 3.1.3函数的奇偶性 对于②，xeR,f(-x)=I-xl+1=Ixl+1=f(x),则f代x)为 偶函数； 第1课时函数的奇偶性 对于③，定义域为xx0,关于原点对称1-)=(- 1 必备知识探新知 知识点1：任意一个x-f(x)f(x) =f(x),则f代x)为偶函数； 对应练习 对于④，定义域为xx≠0，关于原点对称爪-x)=-x-上= 1.(1)×(2)×(3)V(1)不一定，如函数fx)=1 -f(x),则f(x)为奇函数： (2)不符合定义，必须对于定义域内的任意一个x都成立. 对于⑤，定义域为[-1,2]，不关于原点对称，不具有奇偶性， (3)若fx)+f-x)=0,则f(-x)=-f(x). 则f代x)为非奇非偶函数. 2.② 例2：(1)因为函数f(x)是奇函数，所以y=fx)在[-5,5]上的 知识点2：(1)原点y轴(2)奇偶 图像关于原点对称.由y=f(x)在[0,5]上的图像，可知它 对应练习 在[-5,0]上的图像，如图所示。 1.②④①③①③关于y轴对称，是偶函数，②④关于原点对 称，是奇函数 2.-20因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f孔-3)= -f(3)=-2,f(0)=0. -184