3.2 第1课时函数的零点，二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（人教B版）

088 课堂检测 固双基 1.若奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数，且最小值为 是 5,则f(x)在区间[-7，-3]上是 ( ) A.a>1 B.a<-2 A.增函数且有最大值-5 C.a>1或a<-2 D.-1<a<2 B.增函数且有最小值-5 C.减函数且有最大值-5 4.已知f(x)= -3,x>0·是奇函数，则八g(-3)= Ig(x),x<0 D.减函数且有最小值-5 2.已知偶函数在(-∞，0)上单调递增，则 )5.已知函数f(x)为偶函数，且当x<0时，f(x)=x+1, A.f1)>f2) B.f(1)<f2) 则x>0时f(x)= C.f(1)=f(2) D.以上都有可能 夯基提能作业 3.函数f(x)是定义在实数集上的偶函数，且在[0， 请同学们认真完成练案[23] +∞)上是增函数，f(3)<f(2a+1),则a的取值范围 3.2 函数与方程、不等式之间的关系 第1课时 函数的零点、二次函数的零，点及其与对应方程、 不等式解集之间的关系 素养目标 定方向 学习目标 核心素养 1.理解函数零点的概念以及函数的零点与方程的根之 1.借助函数零点概念的理解，培养数学抽象的素养. 间的关系.（难点） 2.通过函数与方程、不等式之间的关系的学习，培养逻 2.会求函数的零点.（重点） 辑推理的素养 3.掌握函数与方程、不等式之间的关系，并会用函数零 3.利用零点法求不等式的解集，提升数学运算的素养 点法求不等式的解集.（重点、难点） 必备知识 探新知 思考1：(1)函数的零 知识点1 函数的零点 点是点吗？ (1)零点的概念：如果函数y=f(x)在实数a处的函数值等于零，即 ,则a (2)所有的函数都有 为函数f(x)的零点. 零点吗？ (2)零点的意义 提示：(1)函数的零 点是实数，而不是点 函数y=fx)的零点a 如函裁f(x)=x+1的 零点是-1，而不是 函数y=f(x)的图像 方程f(x)-0的根a (-1,0) 与x轴的公共点(a,0) (2)并不是所有的函 ●[思考1] 数都有零点，如函裁 ●对应练习 八)=L ，y=x2+1 函数f(x)=2x2-3x+1的零点是 均没有零点 A-2,-1 B.2.l c小 089 知识点2二次函数的零点及其对应方程、不等式解集之间的关系 设f(x)=ax2+bx+c,方程ax2+bx+c=0(a>0)的判别式△=b2-4ac 判别式 4>0 4=0 4<0 方程 有两个不等的 有两个相等的 没有 f(x)=0的根 实数解x,x2 实数解x,x2 实数解 思考2：二次函数f(x) =x2+bx+c中，二次 ↑y 项系数a<0时，怎样 函数y= 求不等式f(x)>0的 f(x)的图像 0x=x2 解集？ x 提示：对于二次项系 数是负数（即a<0) f(x)>0 的不等式，可以先把 的解集 二次项系数化成正 数，再求解：也可以 f(x)<0 画出二次项系裁为负 的解集 数时的函裁图像，再 求解 [思考2] ●对应练习 1.已知二次函数f(x)=ax2+6x-1有两个不同的零点，则实数a的取值范围是() A.a>-9且a≠0 B.a>-9 C.a<-9 D.a>0或a<0 2.方程x2-4x-5=0的解集为 不等式x2-4x-5<0的解集为 关键能力 攻重难 ●题型一 求函数的零点 归纳提升：求函数零 例求下列函数的零点： 点的两种方法 (1)代戴法：求方程 (1)x)=+1,x≥0， f(x)=0的实数根. Γx-1,x<0. (2)图像法：对于不 (2)fx)=x3-2x2-x+2 易求根的方程f(x)= 0,可以将它与函裁y =f(x)的图像联系起 来，图像与x轴的交 点的横坐标即为函数 的零点. ●[归纳提升] 090 )对点训练 1.(1)设函数f(x)= 2x-1e[0.+)'又g(x)=)-1,则函数g的零 Lx2-4,xe（-∞，0)， 点是 () A.1 B.±√5 C.1,-5 D.1,5 归纳提升：已知函数有零点 (2)已知f(2x+1)=3x-2,若a是函数y=f(x)-4的一个零点，则a的值为 (方程有根)求参数取值范 围常用的方法： (1)直接法：直接根据题设 A.2 B.5 n.方 条件构建关于参裁的不等 ●题型二 根据函数零点情况求参数范围 式，再通过解不等式确定参 数范围 例2已知是定义城为R的奇函数，当e[0,+0)时)=-2x (2)分离参裁法：先将参裁 (1)写出函数y=f(x)的解析式； 分离，转化成求函数值域问 (2)若方程f(x)=a恰有3个不同的解，求a的取值范围： 題加以解决 (3)数形结合法·光对解析 式变形，在同一平面直角坐 标系中，画出函数的图像， 然后数形结合求解 P[归纳提升] 》对点训练 归纳提升：穿根法解高次不2.已知二次函数f(x)满足：f(0)=3,f(x+1)=f(x)+2x. 等式 (1)求函数f(x)的解析式； 穿根法实质上就是求根法的 (2)令g(x)=f(lxl)+m(m∈R),若函数g(x)有4个零点，求实数m的取值 深化与提升，穿根的过程实 范围. 质就是画函数图像的过程， 用该方法解高次不等式时」 要注意三点 一是需要把最高次幂的系数 化为正数： 二是穿根时先在数轴上把根 ●题型三解简单的高次不等式 标出来，然后从戴轴的右上 方开始依次穿过： 例3火雨数《22x+13-7)+3)的零点，并作出晒数图猴的 三是穿根时，偶数次重根要 示意图，写出不等式f(x)≥0和f(x)<0的解集. 穿而不过，奇裁次重根则要 穿过. 穿根法解分式不等式的 步骤： 移项—通分一化成基本形式 ·[归纳提升] (因式的积的形式且x的系 〉对点训练 数为1)一穿根 8解不等式：<0 091 课堂检测 固双基 1.函数f(x)=x2+x+3的零点的个数是 ( 无3，x4,x5,则x1+2+x3+x4+x5= A.0 B.1 C.2 D.3 4.若函数y=ax2-x-1只有一个零点，则实数a= 2.若关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实根 1,2,则函数f(x)=cx2+bx+a的零点为 5.不等式(x+1)(x2-9)≥0的解集是 A.1,2 B.-1,-2 夯基提能作业 C.1. -1, 请同学们认真完成练案[24] 3.已知函数y=f(x)是R上的奇函数，其零点为x1,x2, 第2课时 零点的存在性及其近似值的求法 素养目标定方向 学习目标 核心素养 1.掌握函数零点存在定理，并会判断函数零点的个数。 1.通过零点存在定理的学习，培养逻辑推理的素养. (重点) 2.通过二分法的学习，提升数据分析、数学建模的学科 2.了解二分法是求方程近似解的常用方法，掌握二分法 求函数零点近似解的步骤（难点） 素养。 3.理解函数与方程之间的联系，提升数学抽象的学科 3.理解函数与方程之间的联系，并能用函数与方程思想 素养 分析问题、解决问题.（重点、难点） 必备知识 探新知 知识点1函数零点存在定理 思考1：(1)利用函数零点存在定理是 (1)条件：函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的曲线， 否能确定零点的个数？ 并且 (2)函数y=f八x)在区间(a,b)上有零 点，是不是一定有f(a)f(b)<0? (2)结论：函数y=f(x)在区间(a,b)中至少有一个零点， 提示：(1)利用函数零点存在定理只能 判断出零点是否存在，而不能确定零 P[思考1] 点的个裁，如图(1)(2)，虽然都有 f八a)·f八b)<0,但图(1)中的函裁 ●对应练习 在区间(a,b)内有4个零点.图(2) 中的函戴在区间(a,b)内仅有1个 1.思考辨析（正确的打“V”,错误的打“×”） 零点 (1)若函数y=f(x)在[a,b]上图像连续，且f(a)fb)>0,则y=f(x) 在(a,b)内一定没有零点 () 工 (2)若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，则fa)fb)<0.() 11 (3)若函数f(x)在[a,b]上是单调函数，则f(x)在[a,b]上至多有一 (2)若函数y=f(x)的图像是一条连 个零点 () 续不断的曲线，则由f(a)·f(b)<0 (4)函数y=2x-1的零点是（分0 () 可以推出函数y=f八x)在区间(a,b)内 存在零点；但是，由函数y=f(x)在 2.对于函数f(x)=x2+mx+n,若f(a)>0,f(b)>0,则函数f(x)在区间 区间(a,b)内存在零点不一定能推出 [a,b]内 f(a)·fb)<0.如图(3)虽然在区 () 间(a,b)内函裁f(x)有零点，但f(a) A.一定有零点 B.一定没有零点 ·fb)0. C.可能有两个零点 D.至多有一个零点(2)由题意知f(-1)+g(1)=-f(1)+g(1)=2,f(1)+ g(-1)=f1)+g(1)=4,两式相加，解得g(1)=3. 解析武为x)=产文 例2：当a=0时，fx)=x2+1x|+1, (2)fx)在[0，+∞)上单调递增；任取x,x2∈[0，+0)， f-x)=(-x)2+1-xl+1=x2+xl+1=f(x), 且x<,则x)-f)=- x1+1x2+1 ∴.当a=0时，函数f(x)为偶函数. 当a≠0时，f(1)=2+11-al,f(-1)=2+I1+al, (x2+1)-x2(x1+1) x1-X2 假设f(1)=f孔-1)， （+1)(+)厂(+1)(，+因为0≤< ,所以-2<0，+1>0+1>0(+1)(+1 X1-X2 则11-a=11+al,(1-a)2=(1+a)2, .a=0,这与a≠0矛盾， ! 0,即f代x)<f(x2),所以fx)在[0，+0)上单调递增. 假设f(-1)=-f(1),则2+11+al=-2-11-al这显然 (3)因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，且f(x)在[0， 不可能成立(.2+1+al>0,-2-11-al<0), +∞)上单调递增， ∴.f-1)≠f1),f(-1)≠-f1), 所以函数f(x)在R上单调递增，由f代a+1)+f代2a-2)>0 .当a≠0时，函数f代x)是非奇非偶函数 对点训练2：当a=0时，f(x)是偶函数： 得fa+1)）>f2-2a),所以a+1>2-2a,解得a>号，所 当a≠0时，f(x)是非奇非偶函数. 函数f代x)的定义域为(-，0)U(0,+∞)，定义域关于原点 以a的取值范围是（行，+） 对称 :对点训练4：f(x)为偶函数，则f(-x)=f代x)=f代Ix1), 当a=0时，f-x)=（-x)2=x2=f(x), 因为f(x)在(-∞，0)上单调递增， .函数f(x)为偶函数 所以f代x)在(0，+∞)上单调递减： 当a≠0时f(1)=1+a,f(-1)=1-a, 又2a2+a+1=2e++景>0.-3+2a-1 .f代-1)≠f代1)，∴f(x)不是偶函数. f-1)+f1)=2≠0， -a--号<0， f-1)≠-f1), 且f2a2+a+1)<f-3a2+2a-1)=f(3a2-2a+1),所以 f代x)不是奇函数 2a2+a+1>3a2-2a+1, f(x)既不是奇函数，也不是偶函数. 例3：(1)A(2)0(1)因为f(x+2)为偶函数，所以其图像关 即a2-3a<0,解得0<a<3,即a的取值范围为(0,3). 于y轴对称，由于f(x+2)的图像可f(x)的图像向左平移 课堂检测固双基 2个单位长度得到，故代x)的图像关于直线x=2对称因1.A因为f(x)在区间[3,7]上是增函数，且最小值为5，所以 为函数f(x)在(-∞，2)上是增函数，所以f代x)在(2，+o) f代3)=5.由奇函数在对称区间上单调性相同，可知代x)在区 上是减函数，所以f-1)=f5)<f4)=f0)<f3). 间[-7，-3]上为增函数，且有最大值f(-3)=-f代3)= (2)由f(x)是R上的奇函数，得f0)=0.fx)的图像关 -5.故选A. 于直线x=对称，于是f代x)=f(1-x),f1)=0)= 2.Af(x)是偶函数，且在(-∞，0)上单调递增，f(x)在(0， +0)上单调递减，∴f1)>f(2),故选A. 0,f(2)=f代-1)=-f1)=0,f3)=f(-2)=-f2)=0,3.C因为函数fx)在实数集上是偶函数，且f3)<f2a+1), f4)=f-3)=-f3)=0f5)=f-4)=-f(4)=0,从 所以f代3)<f代I2a+1I),又函数f(x)在[0，+∞)上是增函 而f1)+f2)+f3)+f(4)+f5)=0. 数，所以3<12a+11,解得a>1或a<-2.故选C 对点训练：任取eR且么0，因为个-1+)=会 =4.-33因为函数f(x)是奇函数，所以f(-3)=g(-3)= 2-1-A)=22 -f3)=-6,所以fg(-3)=f-6)=-f6)=-33. -1-h+1--h-h 5.-x+1当x>0时，-x<0, 所以-1+h)+-1-h)=-2+h+2+h=2 ..f-x)=-x+1, h h 又f(x)为偶函数，..f(x)=-x+1. 所以函数x)-的图像关于(-1，)对称 3.2函数与方程、不等式之间的关系 例4：(1)函数f(x)为定义在R上的奇函数，x≥0时，f(x) 第1课时函数的零点、二次函数的零点及其 与对应方程、不等式解集之间的关系 当x<0时，-x>0, 必备知识探新知 所以x)=-f-)=-第 =产所以<0时)的 知识点1：(1)f(a)=0 -186 对应练习 即fa)=4. B令f(x)=0,得2x2-3x+1=0, 因为f2x+1)=3x-2, .(2x-1)(x-1)=0. 1 令3x-2=4,解得x=2, =分或x=1 所以f5)=4,故a=5. 例2：(1)当xe(-0,0)时，-xe(0,+∞)， 知识点2：{xx<x1或x>x2 因为y=f(x)是奇函数 所以f(x)=-f孔-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x, <x<2}0☑ 「x2-2x,x≥0 对应练习 所以f(x)= L-x2-2x,x<0. 1.A由题意可知f(x)=0有两个不等的实根， (2)当xe[0,+0)时，fx)=x2-2x=(x-1)2-1,最小 a*0, 值为-1；当xe(-0,0)时，f孔x)=-x2-2x=1-(x+ L△=36+4a>0, 1)2,最大值为1. ..a>-9且a≠0. 所以据此可作出函数y=代x)的图像，如图所示， 2.{-1,5}(-1,5).x-4x-5=0,.(x-5)(x+1)=0, .x=5或x=-1. x2-4x-5<0,.(x-5)(x+1)<0,.-1<x<5. 关键能力攻重难 例1：(1)方法一：（代数法）由x+1=0知x=-1,但-1[0， 3x +0),故当x≥0时，函数f(x)无零点：由x-1=0知x= 1,但1(-，0). 故当x<0时，函数f(x)无零点， 根据图像得，若方程f(x)=a恰有3个不同的解， 「x+1,x≥0， 综上，函数f(x)= 没有零点 则a的取值范围是(-1,1). x-1,x<0 对点训练2：(1)设f(x)=aa2+bx+c(a≠0)， 「x+1,x≥0， 方法二：（图像法）画出函数y=f(x)= 的图 因为f0)=3,所以c=3, Lx-1,x<0 所以fx)=ax2+bx+3, 像，如图所示. 所以f代x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+3=ax2+(2a+b)x+a +b+3,f(x)+2x=ax2+(b+2)x+3, 因为f(x+1)=fx)+2x, 所以2a+6=6+2, a+b+3=3, 解得a=1,b=-1, 所以f代x)=x2-x+3. 因为函数图像与x轴没有交点， (2)由(1)得，g(x)=x2-1xl+3+m, 所以函数f(x)=厂+1，≥0 在平面直角坐标系中，画出函数g(x)的图像，如图所示， x-1,x<0 没有零点。 (2)令x2-22-x+2=0,得x2(x-2)-(x-2)=(x- 2)(x2-1)=(x-2)(x+1)(x-1)=0,解得x=-1或 x=1或x=2, .y=3+m 所以函数f(x)有3个零点，分别为-1,1,2. …11 对点训练1：(1)C(2)B(1)当x≥0时，g(x)=f(x)-1=2x 1 y= +m x= 4 -2,令g(x)=0,得x=1; 2 当x<0时，g(x)=x2-4-1=x2-5, 由于函数g(x)有4个零点，因此函数g(x)的图像与x轴有4 令g(x)=0, 个交点 得x=±5（正值舍去）， 3+m>0 所以x=-√5， 由图像得{1 4+m<0, 所以g(x)的零点为1，-5. (2)由a是函数y=fx)-4的一个零点，得f代a)-4=0, 解得-3<m<-头， 187 即实数m的取值范围是(-3，一) 5.{xl-3≤x≤-1或x≥3}原不等式可化为(x+1)(x+3)(x -3)≥0，则对应方程的三个实数根分别为-1，-3,3. 例3：函数的零点为-3，-2,2,3，函数的定义域被这四个点 如图所示，在数轴上标出三个实数根，从右上方开始依次穿 分为五部分，每一部分函数值的符号如下表： 过.由图可知不等式(x+1)(x2-9)≥0的解集为xl-3≤x ≤-1或x≥3}. -0,-3】 -3-(-2(23) /x) 所以函数图像的示意图如图： 第2课时零点的存在性及其近似值的求法 必备知识探新知 根据函数的图像，知不等式f(x)≥0的解集为(-∞，-3] 知识点1：(1)fa)fb)<0即3xoe(a,b),fxo)=0 U[-2,2U[子，+如，不等式x)<0的解集为对应练习 1.(1)×(2)×(3)V(4)× (-3,-)u(2,3} 2.C如图所示，当f(a)>0,f(b)>0时，函数图像与x轴可以 对点训练3：将原不等式化为x+3)x- 有一个或两个交点，还可以没有交点.故A、B、D不正确，C >0. (x+2)(x-3) 正确。 即(x+3)(x+2)(x-1)(x-3)>0, 各因式所对应的根分别为-3，-2,1,3，在数轴上标根并画出 示意图，如图所示 + 十 32 0 故原不等式的解集为{xx<-3或-2<x<1或x>3. 知识点2：1f(a)·f6)<0一分为二2.a+b6 课堂检测固双基 1.A令+x+3=0,4=1-12=-1<0,所以方程无实数根，对应练习 故函数fx)=x2+x+3无零点，故选A 1.A2.(0,0.5)f(0.25) 2.C方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实根1,2，则 关键能力攻重难 b 例1：(1)B(2)A(1)由函数f代x)=x3+x-5可得f0)=0+0- r1+2=- 5=-5<0,f1)=1+1-5=-3<0, 1x2=g f2)=8+2-5=5>0,f(3)=27+3-5=25>0,f(4)=64 +4-5=63>0 所以=-3，=2， 故有f(1)f(2)<0,根据函数零点存在定理可得，函数f(x) 的零点所在区间为(1,2) 于是)=a+bc+a=a(合+合r+l=a(2x-3x+1) (2)因为f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x- =a(x-1)(2x-1),所以该函数的零点是1,2故选C c)(x-a),所以f(a)=(a-b)(a-c),fb)=(b-c)(b- a),fc)=(c-a)(c-b), 3.0由奇函数的对称性知，若f(x,)=0,则f(-x,)=0,即零点 因为a<b<c,所以fa)>0,fb)<0,fc)>0, 关于原点对称，且f0)=0,故x1+2+x+x4+x=0. 所以fa)fb)<0,fb)f(c)<0,故3x1∈(a,b),x2∈(b, 40或-号①当a=0时，函数为y=-x-1,显然该函数的图 c),f八x）=0,f(x2)=0,所以f(x)的两个零点分别位于区 像与x轴只有一个交点，即函数只有一个零点 间(a,b)和(b,c)内. ②当a≠0时，函数y=ax2-x-1是二次函数 对点训练1：(1)B(2)B(1)依题意，因为f2)>0,f(3)<0, 因为y=ax2-x-1只有一个零点， f代4)>0，f(5)<0,所以根据零点存在定理可知，在区间(2,3) 所以关于x的方程ax-x-1=0有两个相等的实数根， 和(3,4)及(4,5)内各至少含有一个零点，故函数在区间[1， 所以△=0，即1+4a=0, 6]上的零点至少有3个，故选B. (2)令fx)=x3-3x+1, 解得a=一子 易知f代x)的图像在R上连续， -188