2.1.1 等式的性质与方程的解集-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（人教B版）

-日-3，解得a=或a= (3)求实数a的取值范围，使它成为MnP={xl5<x≤8 的一个必要但不充分条件，就是另求一个集合Q,使{a 例4：C由(2x+1)(x-3)≥0得x≤-)或x≥3，选项中只有 -3≤a≤5}是集合Q的一个真子集，易知当a≤5时，未必 有MnP=xl5<x≤8}，但是M∩P=x5<x≤8}时，必 1-135{≤-2或≥3} 有a≤5，故ala≤5}是所求的一个取值范围.（答案不唯一） 即只有“x∈{-1,3,5}”是“不等式(2x+1)(x-3)≥0成例4：(1)C(2)B(1)A中命题可改写为：任意一个实数乘以 立”的充分不必要条件， 零都等于零，故A是全称量词命题：B中命题可改写为：任 课堂检测固双基 意的自然数都是正整数，故B是全称量词命题；C中命题可 改写为：高一(1)班存在部分同学是团员，C不是全称量词 1.B9:x2>2,解得x>2或x<-√2； 命题；D中命题可改写为：任意的一个实数都有大小，故D 若p:x>2成立，则q:x2>2成立， 是全称量词命题故选C 反之，若q:x2>2成立，则p:x>2未必成立， (2)由于0>0不成立，故“Vx∈R,x2>0”为假命题，根据 即p是g成立的充分不必要条件，故选B. 全称量词命题的否定是存在量词命题可知，“Hx∈R,x2> 2.A对于“x>0”→“x≠0”，反之不一定成立.即x>0是x≠0 0”的否定是“xeR,x2≤0”，故选B. 的充分不必要条件，故选A. 3.AAB2+AC2=BC2→△ABC是直角三角形，△ABC是直角三 第二章等式与不等式 角形≠AB2+AC2=BC,故选A. 2.1等式 4.充分必要因为ACB,由子集的定义知x∈A→x∈B,故 “x∈A”是“x∈B”的充分条件：“x∈B”是“xEA”的必要条件. 2.1.1 等式的性质与方程的解集 5.(-0,6]由“x>a”是“x>6”的必要条件，知a≤6，故实数 a的取值范围为(-∞，6]. 必备知识探新知 知识点1：a+c=b+cac=bc 章末整合 对应练习 素养突破提技能 (1)×(2)×(3)×(4)√(1)中，由等式的性质1可 例1：(1)由题知，A={2,3,4},B={x∈R1(x-1)(x-2)=0} 得a-c=b-c,而不是a-c=c-b,故(1)错误， =1,2}. (2)中，根据等式的性质2，只有当a≠0时，等式两边才能同 (2)由题知，A∩B={2},AUB={1,2,3,4}, 时除以a,从而得到a=b,故(2)错误 所以C(AUB)=0,5,6. (3)中，根据等式的性质2，只有当c≠0时，等式两边才能同时 例2：a<-2或7≤a<1因为a<1,所以2a<a+1, 除以c,从而得到9=么，故(3)错误 cC 所以B≠O. (4)中，由分式的分母不为0可知c≠0，根据等式的性质2，等 画数轴如图所示 式两边同时乘以c,可得a=b,故(4)正确. 知识点2：1.任意实数2.(1)a2+2ab+b2a2+b2+c2+ 2ab+2bc+2ac(2)(a+b)(a-b)(3)(a-b)(a2+ab+b2) 2aa+1-1012aa+1 3.(1)(x+a)(x+b)C 由BCA知，a+1<-1,或2a≥1. 对应练习 即a<-2,或a≥2 (1)×(2)×(3)×(1)(2a+5)(2a-5)=(2a)2-25 =4a2-25. 已知a<1,所以a<-2,或3≤a<1, (2)x2-3xy-4y=(x+y)(x-4y). (3)若(x+2)(x-3)=0,可化为x+2=0或x-3=0. 即所求a的取值范围是a<-2或7<a<l 知识点3： 例3：(1)由MnP={xl5<x≤8}，得-3≤a≤5， 对应练习 因此MnP={xl5<x≤8}的充要条件是-3≤a≤5， 1.{-3}2.3x+y2 即a的取值范围为al-3≤a≤5}. 关键能力攻重难 (2)求实数a的一个值，使它成为M∩P={xl5<x≤8}的例1：(1)A(2)D(1)设“●”“■”“▲”的质量分别为x,y,2, 一个充分但不必要条件，就是在集合{al-3≤a≤5}中取 由题图可知，2x=y+z①，x+y=z②，②两边都加上y,得x 一个值，如取a=0,此时必有M∩P=x15<x≤8}；反之， +2y=y+z③，由①③，得2x=x+2y,所以x=2y,代人②， MnP={x15<x≤8}未必有a=0,故a=0是所求的一个 得z=3y,因为x+z=2y+3y=5y,所以“？”处应放5个 充分但不必要条件.（答案不唯一） “■”.故选A. -165 (2)等式的性质中两边同除以一个不为0的数，等式成立， (x+1)(x-5)(x-1)(x-3)=0.x1=-1,x2=1,x3=3,x4 应找不为0的式子，而A,B中字母都可取0，而D中a2+1 =5. >0,故D正确.故选D. 解集为-1,1,3,5. 对点训练1：等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成 (4)x+1= 立α=0第一步的依据是等式的性质1.第二步得出错误 x-1 子1+= 的结论，其原因是a=0. 设4=-1，即+=号，22-5+2=0 例2：(1)因为 -2)(2-1)=0.1=2或3，即x-1=2或3 12 x=3,= 解集为，} 1×2+1×1=3 所以x2+3x+2=(x+1)(x+2). (5)设t=/x-1≥0.x=t2+1.方程变为t+1+t=3. 2+t-2=0,即(t+2)(t-1)=0,所以t1=1或2=-2（舍 (2)因为 去).所以√x-1=1. x=2.解集为2}. 2×(-5)+3×1=-7 所以6x2-7x-5=(2x+1)(3x-5). 对点训练3：解方程兮-8=-号是，去分母，得2(x-4)-48 (3)因为 =-3(x+2), 12y 去括号，得2x-8-48=-3x-6, 5 -4y 移项、合并同类项，得5x=50.系数化为1，得x=10. 1×(-4y)+5×(2y)=6 把x=10代入方程4x-(3a+1)=6x+2a-1, 所以5x2+6xy-8y2=(x+2y)(5x-4y). 得4×10-(3a+1)=6×10+2a-1,解得a=-4. 对点训练2：(1)因为 当a4时a-4-4- 例4：当a=-3,b=1时，由(a+3)x=b-1得0·x=0,此时解集 为R: 1×4+1×9=13 当a=-3,b≠1时， 所以x2+13x+36=(x+4)(x+9). 由(a+3)x=b-1得0·x=b-1,此时解集为⑦： (2)因为 当a≠-3时，(a+3)=b-1,得会此时解失 为引 1×(-5)+1×3=-2 综上，当a=-3,b=1时，方程的解集为R: 所以x2-2x-15=(x-5)(x+3). 当a=-3,b≠1时，方程的解集为☑： (3)因为 当a≠-3时，方程的解集为合尚司} 课堂检测固双基 1.ABD3a=2b,3a+1=2b+1,正确，A符合题意； 3×y+4×(-2y)=-5y .3a=2b,∴.3a-1=2b-1,正确，B符合题意； 所以12x2-5y-2y2=(3x-2y）(4x+y). (4)(x2+x)2-8(x2+x)+12=(2+x-6)(x2+x-2)= :3a=2b,∴.9a=6b,故此选项错误，C不符合题意； (x+3)(x-2)(x+2)(x-1). y30=26d-号=-令，正确，D符合题意 例3：)2-分=号x+1,即+=1，x=，解集 1 故选ABD, 为引 2.B方程x-3=1的解是x=4,-2x=6的解是x=-4,3x (2)x2+4x-5=0,(x+5)(x-1)=0,x=-5,x2=1. -4=多(x-3)的解是x=-7,-了=2的解是x=-6,故 解集为-5,1}. 选B. (3)(x2-4x)2-2(x2-4x)-15=0, 3.C原式=m+n-2m+2n=-m+3n,故选C. [(x2-4x)-5][(x2-4x)+3]=0, (x2-4x-5)(x2-4x+3)=0, 4{-2.} 原方程化为3x2+4x-4=0,即(3x-2)(x+2)= 166 0,解得x=子或x=-2,所以原方程的解集为{-2，号} 六方程的解集为2，} 5.(a-b+4)(a-b+7)把a-b看作一个整体 (3)原方程可化为(x-1)2-2(x-1)=0. 14 因式分解，得(x-1)(x-1-2)=0..x-1=0或x-3= 17 0.∴.x1=1,x2=3. 因为4+7=1门 ·.方程的解集为{1,3}. 所以，原式=(a-b+4)(a-b+7). 对点训练1：(1)因式分解法：(3x-1)(x+3)=0, .∴.3x-1=0或x+3=0, 2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系 解得x=了或x=-3, 必备知识探新知 知识点1：1.常数a≠02.开平方配方直接开平方法 方程的解集为[-3，} -b±-4ac 一次因式-m-n (2)公式法：4=32-4×1×(-1)=13>0， 2a 对应练习 =-3-3 2 6=3+3 2 (1)D(2)C(1)x2-8x+5=0,x2-8x=-5,x2-8x +16=-5+16,.(x-4)2=11,故选D. 六方程的解奖为3正-可 (2)原方程可化为5x2-6x+8=0,a=5,b=-6,c=8,故 (3)因式分解法：(x+4)[(x+4)-5]=0, 选C. 即(x+4)(x-1)=0,.x+4=0或x-1=0, 知识点2：不相等相等没有 解得x=-4或x=1,∴.方程的解集为：{-4,1} 对应练习 (4)因式分解法：方程化为(x-1)2-2(x-1)-15=0, (1)A(2)(-∞，4](1)4=(-5)2-4×2×3=1>0， .[(x-1)-5][(x-1)+3]=0, .方程2x2-5x+3=0有两个不相等的实数根.故选A. .∴.(x-6)(x+2)=0,.x-6=0或x+2=0, (2)因为一元二次方程x2+4x+k=0有两个实数根，所以△= 解得x=6或x=-2, 16-4k≥0，即k≤4. ∴.方程的解集为-2,6. 知识点3：-名台 例2：(1)关于x的方程(m+1)x2+2mx+m-3=0有实数根，分 对应练习 两种情况讨论： (1)D(2)3,10(1)设所求方程为ax2+bx+c=0(a≠0)， ①当m+1=0,即m=-1时，原方程是一元一次方程，此 则由题意，可得4+(-5)=-女4x(-5)=台即合=1 时方程为-2x-4=0,必有实数根； a ②当m+1≠0，即m≠-1时，原方程是一元二次方程， 合=-20，验证四个选项，只有D项符合条件 因为已知方程有实数根， 所以△=b2-4ac=(2m)2-4×(m+1)×(m-3)=8m+ (2)由一元二次方程根与系数的关系，可得 12≥0， 2+(-5)=-b 12×(-5)=-c 解得63， c=10. 解得m≥- 关键能力攻重难 综上可知，当m≥二时，方程(m+1)t2mx+m-30 例1：(1)方法一：移项，得x2-2x=8.配方，得(x-1)2=9.由此 可得x-1=±3 有实数根 .x1=4,2=-2.方程的解集为-2,4} (2)关于x的方程(m+1)x2+2mx+m-3=0有两个相 方法二：原方程可化为(x-4)(x+2)=0, 等的实数根， x-4=0或x+2=0.x1=4,x2=-2. 「m+1≠0， ∴.方程的解集为{-2,4}. 14=b-4ac=(2m)2-4×(m+1)×(m-3)=8m+12=0, (2)方法一：原方程可化为(x-2)(2x-3)=0, 解得m=-之： 3 x-2=0或2x-3=0.离=2=子 方程为-之-3-号0， 1 方程的解集为2，引 两边同时乘以-2，得x2+6x+9=0,即(x+3)2=0, 方法二：a=2,b=-7,c=6,.4=b2-4ac=1>0. 解得x1=龙=-3. x=b±-c:-》±，即新=2= 对点训练2：D当t-2<0,即t<2时，方程的解集为☑： 2a 2×2 当t-2=0,即t=2时，方程的解集为{1}； -167032 第二章 等式与不等式 2.1等式 2.1.1等式的性质与方程的解集 素养目标定方向 学习目标 核心素养 1.能够从具体实例中探索等式的性质.（重点） 1.借助等式的性质，培养逻辑推理的素养。 2.理解恒等式的概念，会进行恒等变形.（难点） 2.通过求方程的解集，提升数据分析、数学运算的核心 3.会求方程的解集.（重点） 素养 必备知识 探新知 知识点1 等式的性质 文字语言 符号语言 等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍 性质1 如果a=b,则对任意c,都有 成立。 等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数 性质2 如果a=b,则对任意不为零的c,都有 式，等式仍成立 提醒：等式性质的延伸： 1.对称性：等式左右两边互换，所得结果仍是等式，即如果a=b,那么b=a; 2.传递性：如果a=b,b=c,那么a=c(也叫等量代换). ●对应练习 思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”） (1)若a=b,则a-c=c-b. () (2)若a2=ab,则a=b. ( 3若a=6则名 () 4若号=÷则a=b ●033 知识点2恒等式 1.恒等式的含义 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取 时等式都成立，则称其 为恒等式，也称等式两边恒等。 2.常见的代数恒等式 (1)(a+b)2= (a-b)2=a2-2ab+b2, (a+b+c)2= 思考1：十字相乘法分解 (2)a2-b2= 因式的关键是什么？ (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2),a3-b3= 提示：把二次项和常数项 3.十字相乘法 分解，交叉相乘，得到 (1)给定式子x2+Cx+D,如果能找到a和b,使得D=ab且C=a+b,则x2+Cx两个因式，再把两个因 +D= 为了方便记忆，已知C和D,寻找满足条件的α和b的过程，通常式相加，看它们的和是 L 不是正好等于一次项 用图来表示： ,其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于 系数 b 正因为如此，这种因式分解的方法称为“十字相乘法”。 代数式x2+Cx+D能进行因式分解的条件是C2-4D≥0. (2)用“十字相乘法”分解因式： ①直接利用公式x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)进行分解； ②利用公式acx2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)进行分解 [思考1] ●对应练习 思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”） (1)计算(2a+5)(2a-5)=22-25. () (2)因式分解过程为：x2-3xy-4y2=(x+y)(x-4), ( ) (3)用因式分解法解方程时部分过程为： 思考2：把方程通过适当 (x+2)(x-3)=6,所以x+2=3或x-3=2. () 变换后，求出的未知数的 知识点3方程的解集 值都是这个方程的解 1.方程的解（根）：能使方程左右两边相等的未知数的值 (根)吗？ 提示：把方程通过变换， 2.方程的解集：一个方程所有的解组成的集合 [思考2] 求出的未和裁的值不一定 ●对应练习 是这个方程的根，也可能 1.方程2(x-2)+x2=(x+1)(x-1)+3x的解集为 是这个方程的增根， 2.若m(3x-y2)=9x2-y4,则m= 关键能力攻重难 ●题型一 等式性质的应用 例 .(1)“。”“■”“▲”分别表示三种不同的物体，如图所示， 地“地地子 前两架天平保持平衡，若要使第三架天平也平衡，那么“？”处应放“■” 的个数为 A.5 B.4 C.3 D.2 034 (2)下列变形一定正确的是 () A.若ax=bx,则a=b B.若(a+1)x=a+1,则x=1 C.若x=y,则x-5=5-y D.若x=y,则。十1+1 y 归纳提升：等式的性 [归纳提升] 质是进行恒等变形的 对点训练 依据，是解题过程正 1.将等式变形，过程如下： 确性的保证，应引起 因为3a-2b=2a-2b 重视 所以3a=2a(第-一步) 所以3=2（第二步） 上述过程中，第一步的依据是 ;第二步得出错误的结论，其原因 是 归纳提升：利用十字 ●题型二用十字相乘法分解因式 相乘法对代数式ax 例 2.把下列各式因式分解. +bx+c进行因式 (1)x2+3x+2; 分解 (2)6x2-7x-5; 对于a2+bx+c,将 (3)5x2+6y-8y2. 二次项的系裁1分解 成a1xa2,常裁项c 分解成C1xc2,并且把 a1,a2,91,92排列如 图： 按斜 a2 C2 线交又相乘，再相加 ●[归纳提升] 就得到a1c92+a2c1,如 对点训练 果它正好等于ax2+bx2.把下列各式因式分解： +c的一次项系数b, (1)x2+13x+36; 那么ax2+bx+c就可 (2)x2-2x-15; 以分解成（a1x+ (3)12x2-5xy-2y2; c1)(a2x+c2) (4)(x2+x)2-8(x2+x)+12. ●035 ● 题型三方程的解集 例3求下列方程的解纸 2-=+1: (2)x2+4x-5=0: (3)(x2-4x)2-2(x2-4x)-15=0; 4+子 (5)x+/x-1=3. [归纳提升]归纳提升：解含有分 》对点训练 裁系数的一元一次方 程时应注意以下三 3.如果方程，4-8=-+2的解集与方程4x-(3a+1)=6x+2a-1的解集相同，求 3 2 点：(1)分母含有小 式子a-。的值 数的应先化小数分母 为整数分母，再去分 母：(2)分子如果是 一个多项式，去掉分 母后，要添上括号： (3)去分母时，方程 两边所有的项都乘以 各分母的最小公 ●易混易错警示忽略系数为零 倍数 例4求关于的方程(a+3)=6-1的解集 错因探究：未知数的系数含有字母，a+3与0的关系不确定，因此应对a进行讨 论，切勿直接利用等式的性质得出x= Γa+3 误区警示：在解方程时，若未知数的系数含有字母，则利用等式的性质2进行变 形时，必须考虑未知数的系数是否等于0 036 课堂检测 固双基 1.(多选题)若3a=2b,下列各式进行的变形中，正确的 是 D-了-2的解集是{-引 A.3a+1=2b+1 B.3a-1=2b-1 3.(m+n)-2(m-n)的计算结果是 C.9a=4b D.-9=- A.3n +2m B.3n+m 3 C.3n-m D.3n-2m 2.下列方程的解正确的是 )4.方程-3x2-4x+4=0的解集是 A.x-3=1的解集是{-2} 5.因式分解：(a-b)2+11(a-b)+28= B. 2x-2x=6的解集是{-4 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[9] C.3x-4=(x-3)的解集是13 2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系 素养目标定方向 学习目标 核心素养 1.理解一元二次方程的定义，并会求一元二次方程的解集.（重点） 1.通过对一元二次方程的解集及根与系数 2.掌握一元二次方程的根的判别式，并会用其判断根的个数.（重 的关系的学习，培养数学抽象、逻辑推理 点) 的数学素养 3.掌握一元二次方程的根与系数的关系，并会用其求一些关于方 2.通过求一元二次方程的解集，提升数学 程两根的代数式的值.（重点、难点） 运算素养 必备知识探新知 知识点1一元二次方程的定义及其解法 1.一元二次方程的定义：形如a2+bx+c=0的方程为一元二次方程，其中a,b,c 思考1：方程ax2+bx 是 ,且 [思考1] +c=0(a,b,c是常 2.一元二次方程的解法 数)一定是一元二次 直接开 方程吗？ 形如(x-k)2=t(t≥0)的方程，两边 转化为两个一元一次方程 平方法 提示：不一定，a≠0 时为一元二次方程，a 把一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)通过 化成(x-k)2=t(t≥0)的 配方法 =0,b≠0时为一元 形式，再用 求解 一次方程 元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足b2-4ac≥0，利用求根公式x= 公式法 求解 因式 一元二次方程的一边为0，另一边分解成两个 的乘积，即可化成 分解法 a(x+m)(x+n)=0(a≠0)的形式，即可解得两根为：x,= ,x2= 提醒：求根公式只适用于解一元二次方程，只有确定方程是一元二次方程才能使 用，其使用的限制条件是△=b2-4ac≥0.