练案22 第三章 3.1.3 第1课时函数的奇偶性-【成才之路·练案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（人教B版）

练案[22] 第三章 函 数 3.13.1.3[第1课时 函数的奇偶性] A组基础巩固 一、选择题 1.如图是偶函数y=f(x)的局部图像，根据图像所给信 0 息，下列结论正确的是 7若定义在(-1,1)上的奇函数八)4则 常数m,n的值分别为 02 8.已知f(x)=x3+ax3+bx-8(a,b是常数)，且f(-3) A.f(-2)-f(6)=0 B.f(-2)-f(6)<0 =5,则f(3)= C.f(-2)+f6)<0 D.f(-2)-f(6)>0 三、解答题 2.若函数f八x)(f(x)≠0)为奇函数，则必有 ( )9.定义在[-3，-1]U[1,3]上的函数f(x)是奇函数， A.f(x)f(-x)>0 B.f(x)f(-x)<0 其部分图像如图所示. C.f(x)<f(-x) D.f(x)zf(-x) 3.若函数fx)=(2x+1)(x-a) 为奇函数，则a= : ( -3-2-10123元 B号 (1)请在坐标系中补全函数f(x)的图像； (2)比较f(1)与f(3)的大小. c D.1 「-x,x<-1, 4.函数f(x)=1,-1≤x≤1，是 x,x>1 A.奇函数 B.偶函数 C.既不是奇函数也不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 5.（多选题)(2026·天津高一检测)下列结论不正确的 是 A.fx)=(x-1)1-x 几+x是偶函数 rx2+x(x<0) B.f(x)= 是奇函数 -x2+x(x>0) C.f(x)=√3-x2+√代2-3是偶函数 1-x2 D.)=十3”3是非奇非偶函数 二、填空题 6.设奇函数f(x)的定义域为[-6,6]，当x∈[0,6]时 f(x)的图像如图所示，不等式(x)<0的解集用区间 表示为 —143 10.定义域为R的单调函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+二、填空题 f(y)(x,y∈R),且f(3)=6. 4.若函数f(x)=ax2+bx+1是定义在[-1-a,2a]上 (1)求f(0)f1); 的偶函数，则f(2a-b)= (2)判断函数f(x)的奇偶性，并证明. 5.设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x) =2-3,则f(-2)= 三、解答题 6.已知函数f(x)=m+是R上的偶函数 1+x2 (1)求实数m的值； (2)判断函数f(x)在(-0,0]上的单调性； (3)求函数f(x)在[-3,2]上的最大值与最小值. B组素养提升 一、选择题 1.(2026·合肥高一检测)已知函数f(x)=+x+1, x2+1 若a)=号，则-a） ( A号 B- c号 D.-号 2.(多选题)设函数f(x)、g(x)的定义域都为R,且f(x) 是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是 ( A.f(x)g(x)是奇函数 B.f(x)Ig(x)是奇函数 C.f(x)1g(x)1是奇函数 D.1f(x)g(x)I是奇函数 3.(多选题)已知函数f(x)=[x]([x]指不超过x的最 大整数)，下列说法正确的是 C组创新拓展 A.x-1<f(x)≤x 已知f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(1+x)= B.f(x)为增函数 f1-x)f(1)=2,则f(2)+f(3)+f(4)=() A.0 B.-2C.2D.6 C.f(x)为奇函数 D.y=x-f(x)的值域为[0,1) 1444]上是减函数，所以f(x)m=f2)=√6-2-3×2=-4 练案[22] 5.1(-0,0]当a=-1时，f(x)=x2+2x+1,其图像开口 向上，对称轴为直线x=-1, !A组 基础巩固 所以函数代x)=?+2x+1在[0,2]上单调递增，所以函数1.B由图像可知2)<6)，又~fx)为偶函数， fx)在[0,2]上的最小值为f0)=1.若f(0)是f(x)的最小f-2)=2),f-2)-f6)<0. 值，说明f(x)图像的对称轴，即直线x=a在y轴左侧或与y2.B:f(x)为奇函数 轴重合，则a≤0，所以a的取值范围为(-o,0]. ∴.f(-x)=-f(x),又fx)≠0 6(1)证明：当a=-2时x)=x+2 ∴.fx)f-x)=-[f(x)]2<0.故选B. 3.A因为fx)为奇函数， 设x1,x2∈（-0，-2)，且1≠x2, 所以f-x)=-fx), 则Ay=名+21+2 x2(x1+2)-x1(x2+2) 即-2x+1）(-x-a=-(2x+1)(x-a' △x 2-x1 (x2-x1)(x1+2)(x2+2) 化简得2x2(2a-1)=0, 1 =(x+2)(x2+2) 解得a=2 由x1,x2∈(-∞，-2)知，x1+2<0,x2+2<0, -x,x<-1, 所以(+2)(+2)>0，即哈>0， 4.B 由题意，函数f(x)= 1,-1≤x≤1， x,x>1, 所以f(x)在(-∞，-2)内单调递增. 根据一次函数的图像与性质，作出函数f(x)的图像，如图 (2)任取x1,3∈(1，+∞)，且x1≠2， 所示， X2 3X1 则A=。-a-0-(x-a)-4(2-a) △x X2-x1 (x2-x1)(x1-a)(x2-a) - (x1-a)(x2-a)i 由a>0,,(1,+0),且A<0知(x1-a)(%-a)>0 0 △x 恒成立，所以a≤1，故0<a≤1， 所以a的取值范围为(0,1]. 结合函数的图像，可得函数f(x)的图像关于y轴对称，所以函 C组创新拓展 数f代x)为偶函数. [0,4]如图所示， 5.AD对于A,f(x)的定义域为[-1,1)，定义域不关于原点对 称，所以代x)不是偶函数，所以该结论错误； 对于B,设x>0,则-x<0,f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x y=g(x) V=KX+ =-（-x2+x)=-f(x),同理x<0,也有f(-x)=-f(x)成 立，所以f代x)是奇函数，所以该结论正确； 对于C,易知f(x)的定义域-√3,3}关于原点对称， 且f(-x)=f(x)=0,所以f(x)是偶函数，所以该结论正确； y=fx) 由图可知，-x2≤x+b≤1 ，可得：+低+b≥0对任意的xE 对于D,解-≥0， 得-1≤x<0或0<x≤1， Ix+31-3≠0， R恒成立， 所以)=文。个= 则41=2-4b≤0，即2≤4b,不等式x2+bx-1≤0对任意的 x+3-3 x>0恒成立， 因为f代-x)=-f代x),所以f代x)是奇函数，所以该结论错误 ①若k>0,当x→+∞时，(kx2+bx-1)→+0，不符合题意； !6.[-6,-3)U(0,3)由f(x)在[0,6]上的图像知，满足f(x) ②若k=0,则x-1≤0对任意的x>0恒成立，则6≤L,可得 <0的不等式的解集为(0,3).又f代x)为奇函数，图像关于原点对 称，所以在[-6,0)上，不等式f代x)<0的解集为[-6，-3).综上 b≤0， 可知，不等式f(x)<0的解集为[-6，-3)U(0,3) 又6≥华对任意的xeR恒成立，则6≥0，所以b=0: 7.0,0由已知得f代0)=0，故m=0. 由f八x)是奇函数，知f(-x)=-f代x), ③若k<0,则42=62+4k≤0，所以6≤16k2≤64b, 即64-646=b(b3-64)=b(b-4)(2+46+16)≤0，解得0≤ 即，x+0 b≤4. ∴.x2-nx+1=x2+x+1, 综上所述，实数b的取值范围是[0,4]. .n=0. -217 8.-21设g(x)=x3+aa3+bx,则g(x)为奇函数.由题设可得 错误； f-3)=g(-3)-8=5,得g(-3)=13. 又g(x)为奇函数， f-)=[-]=-1f(2)=[2=0,-)} 所以g(3)=-g(-3)=-13, f(分)不互为相反数，C错误： 于是f(3)=g(3)-8=-13-8=-21. 由A项分析可知，设x=[x]+t,则0≤t<1, 9.(1)因为f(x)是奇函数，所以其图像关于原点对称，如图 故y=x-[x]=te[0,1),D正确. 所示. 故选AD. 4.5因为函数fx)是定义在[-1-a,2a]上的偶函数，所以 -1-a+2a=0,即a=1. 因为fx)=f(-x), -3-2-1 0123 所以ax2+bx+1=ax2-bx+1， 所以b=0, 所以f(x)=x+1, (2)观察图像，知f(3)<f(1). 所以f2a-b)=f2)=5. 10.(1)令x=y=0,则x+y=0,有f(0)=f(0)+f(0), 5.-1当x>0时，f(x）=2-3 所以f(0)=0. f2)=22-3=1, ; 令x=2,y=1,则f(2+1)=f3)=f2)+f1), 又：f(x)为奇函数，…f-2)=-f(2)=-1. 因为f(3)=6,f2)=f1+1)=2f1), 6(0若属数)-是R上的偶两数。 所以3f1)=6,f1)=2. (2)函数f(x)是奇函数 则f孔-x)=f(x), 证明：由(1)，得f(0)=0, 即(-)+1=mx+1 1+(-x)2 1+x .f(0)=f(x)+f代-x)=0, 解得m=0. 即f(-x)=-f(x), (2)函数f(x)在(-∞，0]上单调递增，理由如下： f代x)为奇函数 由(1)知fx)=1+ 1 B组素养提升 1.Cfx）=x+l=1+x 设任意的x1,x32∈（-0,0]，且1<3， x2+1 x2+1' 1 1 1+x号-1-x足 令g《)=本则g()的定义城为R, ! 则f()-f()=1+花1+行=(1+)(1+ 又g(-x)=2x=-g(x),所以g(x)是奇函数： =（+x)(x3-) x2+1 Γ(1+2)(1+) 又a)=1+g(a)=号，所以ga)=-号 因为x1<x2≤0， 3 所以x2+x<0,x2-无1>0， 所以-0）=1+g(-0）=1-g@)=手 (1+)(1+x好)>0， 所以fx)<f(3), 2.AC由题意可知f代-x)=-f(x),g(-x)=g(x),对于选项 所以函数f(x)在(-∞，0]上单调递增. Af(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x),所以f(x)g(x)是奇函 (3)由(2)知函数f(x)在(-∞，0]上是增函数. 数，故A项正确；对于选项B,f-x)1·g(-x)=I-f(x)1 又f代x)是R上的偶函数， ·g(x)=代x)1·g(x),所以f代x)lg(x)是偶函数，故B项 所以f(x)在(0，+∞)上为减函数 错误；对于选项C,f(-x)Ig(-x)1=-f(x)1g(x)1,所以 所以f(x)在[-3,0]上为增函数， fx)lg(x)I是奇函数，故C项正确；对于选项D,f(-x)· 在[0,2]上为减函数， g(-x)1=I-fx)g(x)1=f(x)g(x)1,所以1fx)g(x)I是 偶函数，故D项错误，选AC. 又-3)=00)=12)=5 3.AD①因为[x]指不超过x的最大整数，故[x]≤x,当且仅当 所以f代x)mx=f(0)=1, x为整数的时候取等号. ②当x为整数时f(x)=x>x-1成立，当x不为整数时，设x )=-3)=0 =[x]+t,则由[x]指不超过x的最大整数可知，0<t<1, C组创新拓展 故[x]=x-t>x-1,A正确； B因为f1+x)=f代1-x),所以f(x)的图像关于直线x=1 2)[2]=0,f(0)=[0]=0,故(x)不是增函数，B 对称， 又因为f孔x)是定义在R上的奇函数， —218 所以f1+x)=f1-x)=-fx-1),且f(0)=0,则f(x+2)7.f代-2)<f(1)<f0)当m=1时f(x)=6x+2不合题意；当 =-f代x), m≠1时，由题意可知，其图像关于y轴对称， 所以fx+4)=-fx+2)=f(x), .m=0,fx)=-x2+2, 所以f4)=f0)=0,f3)=f孔-1)=-f1)=-2, f(x)在(-0,0)上递增，在(0，+0)上递减 又因为f(x)的图像关于直线x=1对称， 又0<1<2，f0)>f1)>f2)=f(-2). 所以f2)=f0)=0, 8.-101由于函数fx)=ax2+brx+c为偶函数，则f(-x) 所以f2)+f3)+f4)=0-2+0=-2. =f(x),..ax2-bx+e=ax2+bx+c, 练案[23] ∴.2bx=0对任意的x∈R恒成立，可得b=0, 由于函数fx)=ax2+c在(0，+o)上单调递减，则a<0. A组基础巩固 因此，符合题意的一组整数a,b、c的值可以分别为a=-1,b -4x A令孔)=4则)的定义域为R,且(-x) =0,c=1. x2+1 9.:f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数， =-fx),因此，函数为奇函数，排除C,D.当x=1时f(1)= .由f1-x)+f1-2x)<0,得 子=2，排除R放选A f1-x)<-f1-2x), 2.A:f(x)是R上的偶函数， .f1-x)<f2x-1). f代-2)=f2)f-π）=fπ)， 又.·f代x)在(-1,1)上是减函数， 又f(x)在[0，+∞)上单调递增，且2<3<T, r-1<1-x<1, ∴fπ)>f3)>f2),即f-π)>f3)>f-2). . -1<1-2x<1,解得0<<号 3.Cf(x)是奇函数，当x<0时，x)=-x2+2x,作出函数 l1-x>2x-1, f代x)的大致图像如图： 六原不等式的解集为(0，号) 10.(1)因为定义域为R的函数f(x)是奇函数，所以f(0)=0. (2)因为当x<0时，-x>0, 所以-)=亏-2 又f(x)为奇函数， 所以当x<0时x)=--x)=芳+2 结合图像可知f代x)是R上的增函数， 由f2-a2)>f(a)得2-a2>a, 3-2,>0. 解得-2<a<1,故选C 综上fx)=0,x=0, 4.B由y=f(-x)和y=f(x+2)是偶函数知f代-x)=fx)且 ! f(x+2)=f-x+2),则f(x+2)=fx-2),所以F(3)=f(3) 号+2<0. +-3)=23)=2-1)=21)-2故选B, B组素养提升 1.B方法一（奇函数的图像特征）：当x<0时， 5C在(0，+0)上，）-)<0， x2一1 =e+-士 f）-fx2>0 x2-x1 所以R)有最小值-子，因为人)是奇函数。 ∴.f(x)在(0，+∞)上单调递增，又f(x)为奇函数， ∴f(x)在(-∞，0)上单调递增. 所以当x>0时，)有最大值子 又f(2)=0,则f八-2)=0，示意图如图所示 方法二（直接法）：当x>0时，-x<0, 3-）-2=-fx= 所以f-x)=-x(1-x). 5x 5x fx≤0， 又f-x)=-f(x), .fx≥0，≥2或x≤-2. 所以)=1-)=+=(2)广+子 所以x)有最大值子故选B. 6.√-x+1:fx)为偶函数，x>0时f代x)=+1, .当x<0时，-x>0,fx)=f-x)=√x+1, 2.B函数八x)是奇函数，在(0，+∞)上单调递减，且2） 即x<0时fx)=一x+1. =0,x)在(-0,0)上单调递减，叭-2）=0， 一219