3.1 函数的概念与性质 3.1.3 函数的奇偶性 第1课时 函数的奇偶性(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（人教B版）

**基本信息** 分层设计清晰，从概念理解到综合应用梯度递进，适配新授课知识巩固与核心素养培养 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|函数奇偶性概念、图像特征|含图像识别题（题1）、奇偶性判断（题2、7），培养几何直观与抽象能力| |综合应用|奇偶性与单调性、解析式结合|如奇偶性求参数（题3、8）、求值（题12、13），发展推理能力与模型意识| |拓展提升|抽象函数奇偶性证明、值域分析|含抽象函数性质证明（题16）、奇偶性与值域综合（题15），强化逻辑推理与创新意识|

3.1.3　函数的奇偶性 第1课时　函数的奇偶性 1.A　[解析] 因为f(x)的定义域为R,且f(-x)===f(x),所以f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,故排除选项B,D;当x>0时,f(x)>0,故排除选项C.故选A. 2.D　[解析] 对于A,f(x)=-3x在R上单调递减,故A错误;对于B,f(x)=|x|是偶函数,故B错误;对于C,f(x)=-2x2是偶函数,故C错误;对于D,f(x)=-是奇函数,且在(0,+∞)上单调递增,故D正确.故选D. 3.B　[解析] 由题可知f(-1)=-a+2026,f(1)=2026+b,因为函数f(x)为奇函数,所以f(-1)+f(1)=-a+2026+2026+b=0,所以b-a=-4052.故选B. 4.B　[解析] 由f(x)=是奇函数,得h(2)=f(2)=-f(-2)=-[(-2)3+1]=7.故选B. 5.A　[解析] 因为函数f(x)为偶函数,且f(-1)=4,所以f(1)=f(-1)=4,当x>0时,f(x)=2x2+,则f(1)=2+m=4,解得m=2,故选A. 6.B　[解析] 令F(x)=f(x)·g(x),∵函数f(x)(x∈R)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),∵函数g(x)(x∈R)为偶函数,∴g(-x)=g(x),则F(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x)=-F(x),故函数f(x)·g(x)为奇函数,故A错误,B正确;对于函数y=f(x)+g(x),取f(x)=x,g(x)=x2,则f(x)+g(x)=x+x2,此时函数f(x)+g(x)为非奇非偶函数,故C错误,D错误.故选B. 7.CD　[解析] 偶函数的图象一定关于y轴对称,但偶函数的图象不一定与y轴相交,如函数y=是偶函数,其图象与y轴不相交,故A错误,C正确;奇函数的图象一定关于原点对称,但奇函数的图象不一定过原点,如函数y=是奇函数,其图象不过原点,故B错误,D正确.故选CD. 8.-3　[解析] 易知f(x)的定义域为R,由奇函数的定义可知,f(-x)=-f(x),则=-,整理得2(a+3)x2=0恒成立,所以2(a+3)=0,解得a=-3. 9.[-3,0]∪[1,3]　[解析] 因为f(x)为R上的奇函数,且在(0,+∞)上单调递减,所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,且f(0)=0,f(-3)=-f(3)=0.由(x-1)f(x)≥0,得或作出f(x)的示意图,如图所示,由图可知x的取值范围是[-3,0]∪[1,3]. 10.解:(1)函数f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),不关于原点对称,所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (2)函数f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称,f(-1)=f(1)=0,所以f(x)既是奇函数也是偶函数. (3) 对于f(x)=其定义域为(-6,-1]∪[1,6),关于原点对称. 当x∈(-6,-1]时,-x∈[1,6),则f(-x)=(-x-5)2-4=(x+5)2-4=f(x);当x∈[1,6)时,-x∈(-6,-1],则f(-x)=(-x+5)2-4=(x-5)2-4=f(x). 综上,对于任意x∈(-6,-1]∪[1,6),都有f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数. 11.A　[解析] 若k=1,则f(x)=,所以f(-x)===-f(x),故充分性成立;若函数f(x)=为奇函数,则f(-x)=-f(x),即=-,所以=恒成立,则k=±1,故必要性不成立.故“k=1”是“函数f(x)=为奇函数”的充分不必要条件.故选A. 12.-2　[解析] 由f(2x)=2f(x),f(1)=1,得f(2)=2f(1)=2,又函数f(x)为奇函数,所以f(-2)=-f(2)=-2. 13.4049　[解析] 令g(x)=f(x)-1=,显然g(x)的定义域为R,又g(-x)+g(x)==0,所以g(x)为奇函数,所以f(-x)+f(x)=2,则f(-2024)+f(2024)=f(-2023)+f(2023)=…=f(-1)+f(1)=2,又f(0)=1,所以f(-2024)+f(-2023)+…+f(-1)+f(0)+f(1)+…+f(2023)+f(2024)=2×2024+1=4049. 14.解:(1)设x<0,则-x>0,所以f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x,又f(x)为奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-x2-2x.因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,所以f(x)= (2)作出函数f(x)的图象,如图所示,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1],[1,+∞),单调递减区间为(-1,1). 15.B　[解析] 由{y|y=f(x),x∈[0,a]}=[m,M],可知m<M,又因为f(x)为奇函数,且连续不断,所以f(0)=0,则0∈[m,M],又M≥-m,所以m≤0<M,由奇函数的性质可知当x∈[-a,0]时,-M≤f(x)≤-m,且-M<0≤-m≤M,-M≤m,所以f(x)的值域为[-M,-m]∪[m,M]=[-M,M].故选B. 16.解:(1)由题知函数f(x)的定义域为R. 由对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y), 令x=y=0,则f(0)=f(0)+f(0),所以f(0)=0. 下面证明f(x)在R上为奇函数:由f(x+y)=f(x)+f(y),令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x),即f(-x)=-f(x),所以f(x)在R上是奇函数. (2)证明:在f(xy)=f(x)+f(y)中,令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1),则f(1)=0.令x=y=-1,得f(1)=f(-1)+f(-1),则f(-1)=0,则f(-x)=f(-1·x)=f(-1)+f(x)=f(x),又f(x)的定义域为R,所以f(x)是偶函数. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.3　函数的奇偶性 第1课时　函数的奇偶性 1.函数f(x)=的图象大致为 (　 ) A B C D 2.[2026·山东临沂高一月考] 以下函数中,在(0,+∞)上单调递增且是奇函数的是 (　 ) A.f(x)=-3x B.f(x)=|x| C.f(x)=-2x2 D.f(x)=- 3.已知函数f(x)=是奇函数,则b-a= (　 ) A.-2026 B.-4052 C.2026 D.4052 4.若f(x)=是奇函数,则h(2)= (　 ) A.-7 B.7 C.-9 D.9 5.已知函数f(x)为偶函数,当x>0时,f(x)=2x2+,且f(-1)=4,则m= (　 ) A.2 B.-2 C.4 D.-6 6.若函数f(x)(x∈R)是奇函数,函数g(x)(x∈R)是偶函数,则 (　 ) A.函数f(x)·g(x)是偶函数 B.函数f(x)·g(x)是奇函数 C.函数f(x)+g(x)是偶函数 D.函数f(x)+g(x)是奇函数 7.(多选题)下列选项中结论正确的有 (　 ) A.偶函数的图象一定与y轴相交 B.奇函数的图象一定过原点 C.偶函数的图象一定关于y轴对称 D.奇函数的图象一定关于原点对称 8.已知f(x)=是奇函数,则实数a的值为　　　　.  9.已知奇函数f(x)的定义域为R且在(0,+∞)上单调递减,f(3)=0,则满足(x-1)f(x)≥0的x的取值范围为　　　　　　.  10.(13分)判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=; (2)f(x)=+; (3)f(x)= 11.“k=1”是“函数f(x)=为奇函数”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 12.[2026·云南楚雄州高一期末] 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2x)=2f(x),若f(1)=1,则f(-2)=　　　　.  13.[2025·贵州遵义高一期中] 若函数f(x)=+1,则f(-2024)+f(-2023)+…+f(-1)+f(0)+f(1)+…+f(2023)+f(2024)=　　　　.  14.(15分)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-2x. (1)求函数f(x)在R上的解析式; (2)在给出的直角坐标系中作出f(x)的图象,并写出函数f(x)的单调区间. 15.[2025·河南洛阳高一期中] 已知函数f(x)是定义在[-a,a]上的图象连续不间断的奇函数,且{y|y=f(x),x∈[0,a]}=[m,M],若M≥-m,则f(x)的值域是 (　 ) A.[m,M] B.[-M,M] C.[m,-m] D.[-M,-m] 16.(15分)(1)已知函数f(x)对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),求f(0)并证明f(x)在R上是奇函数; (2)已知f(x)的定义域为R,且对任意实数x,y,恒有f(xy)=f(x)+f(y),求证:f(x)是偶函数. 学科网（北京）股份有限公司 $