3.1.1 第2课时函数的表示方法-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（人教B版）

067 课堂检测 固双基 1.下列说法正确的是 ( )3.下列函数中，与函数y=x是同一个函数的是() A.函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数 A.y=()2 B.y= 与之对应 B.函数的定义域和值域可以是空集 C.y= D.y=V C.函数的定义域和值域一定是非空的数集 D.函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也 4函数)-气的定义设为 就确定了 5.函数y=√16-x的值域为 2.下列图像中不能表示函数的图像的是 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[17] 第2课时 函数的表示方法 素养目标定方向 学习目标 核心素养 1.掌握函数的三种表示方法：解析法、图像法、列表法. (重点) 1.通过函数表示的图像法，培养直观想象素养 2.会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，（难 2.通过函数解析式的求法，培养数学运算素养 点) 3.利用函数解决实际问题，培养数学建模素养 3.能在实际问题中选择恰当的方法表示两变量之间的 函数关系，并能解决有关问题.（重点、难点） 必备知识 探新知 知识点1 函数的表示方法 思考：函数的三种表示方法各自有 解析法 就是用 表 哪些优缺点？ 数 示两个变量之间的对应关系 提示： 就是用表示两个变量之间 方 优点 铁点 图像法 的对应关系 法 示 不需要计算就可以 就是列出 来表示两个变量 直接看出与自变量 只能表示自变量 法 列表法 之间的对应关系 到恭法 可以一一列出的 的值相对应的 最值 函效关系 ●对应练习 P[思考] 只能近似地求出 能形象直观地表示 自变量的值所对 1.已知y与x成反比，且当x=2时，y=1,则y关于x的函数关系式 法 出函囊的变化情况 应的函数值，而 且有时误差较大 为 一是简明。全而地 2.已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))= 糠括了变量间的关 系，从“数”的方 不够形象、直观 1 2 而揭示了西数关 具体，而且并不 法 系：二是可以道过 是所有的函数都 能用解折法表示 f(x) 3 解析式求出任意一 出来 个自变量的值所对 应的函数值 068 3.已知函数f(x)的图像如图所示，其中点A,B的坐标分别为(0,3)，(3,0)，则f(f(0)) 0 知识点2用集合语言对函数的图像进行描述 (1)定义：将函数y=f(x),x∈A中的自变量x和对应的函数值y,分别看成平面直 角坐标系中点的横坐标与纵坐标，则满足条件的点(x,y)组成的集合F称为函数的图 像，即F={(x,y)Iy=f(x),x∈A. (2)F是函数y=(x)的图像，必经满足下列两条： ①图像上 的坐标(x,y)都满足函数关系y=f(x); ②满足函数关系y=f(x)的点(x,y)都在 ●对应练习 小明和小华进行自行车比赛，刚开始小华领先，但关键时刻自行车链子掉了·小明赶 超小华.小华修好车后，奋起直追，但为时已晚.小明还是先到了终点.如果用s1,52分 别表示小明和小华所行走的路程，表示时间，则图中与该事件符合的是() B 关键能力 攻重难 归纳提升：列表法表 ●题型一 列表法表示函数 示的函数的求值问题 1.(1)已知函数y=f(x)用列表法表示如表： 的解法 例 解决此类问題关键在 2 0 于弄清表格中每一个 0 2 自变量x与y的对应 关系，对于f八g(x)这 则f(-2)+f(f(-2))= 类函数值的求解，应 A.-4 B.0 C.2 D.3 从内到外逐层求解， (2)已知函数f(x),g(x)分别由下表给出： 而求自变量x时，则由 外向内逐层求解。 x 1 3 f(x) y 3 1 x 1 2 3 8(x) 3 2 1 则f(g(1))的值是 ;满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是 ·[归纳提升] ●069 对点训练 1.下列给出函数y=f(x)的部分对应值，则ff(8))等于 -1 0 4 1 8 2 0 1 -3 1 A.T B.4 C.8 D.0 ●题型二函数图像的作法及应用 例之作出下列函数的图像并求出其值纹 (1)y=2x+1,x∈[0,2]； 归纳提升：描点法作 (2y=2 函数图像的步骤 t∈[2，+∞)： (1)列表：先我出一 (3)y=x2+2x,∈[-2,2]. 些有代表性的自变量 x的值，再计算出与 这些自变量x相对应 的函裁值f(x),并用 表格的形式表示 [归纳提升] 出来 对点训练 (2)描点：把第(1)步 2.已知函数f代x)的图像如图所示，则此函数的定义域是 ,值域是 表格中的点（x, f(x)一一在平面直 角坐标系中描出来 (3)连线：用光滑的 曲线把这些点按自变 量由小到大（或由大 3.作出下列函数的图像，并根据图像求其值域； 到小)的顺序连接 (1) 起来 -4 -2 [注意](1)画函裁的 -3 图像时要注意函数的 定义域 (2)y=-4 ,x∈[-3,0)U(0,1]; (2)要作出更精确的 (3)y=x2+4x+1,x∈[-3,0]. 图像，常常需要描出 更多的点。 070 归纳提升：待定系数法求函数解析式 ●题型三函数解析式的求法 已和函数的类型求函数解析式，常采用待定系 角度一：已知函数的类型，求函数的解析式 数法，由题设条件求待定系裁。 3.(1)已知一次函数f(x)满足ff(x)=4x+6,则f(x) 待定系裁法求函裁解析式的步骤如下 的解析式为 (1)设出所求函数含有待定系裁的解析式.如一 次函裁的解析式设为f(x)=ax+b(a≠0)，反 (2)已知二次函数f(x)满足f0)=1f(1)=2,f(2)= 5,则该二次函数的解析式为 北例西袭的解折式设为)=车（k0),二次 [归纳提升] 函数的解析式设为f八x)=ax2+bx+c(a≠0). 角度二：已知f八g(x))的解析式，求f八x)的解析式 (2)把已知条件代入解析式，列出关于待定系 (1)已知函数f(x+1)=x2+2x,则f(x)的解析式为 数的方程或方程组. () (3)解方程或方程组，得到待定系裁的值， (4)将所求待定系数的值代回所设解析式， A.f(x)=x2+1 归纳提升：换元法、配凑法求函数解析式 B.f(x)=x2+2x-1 已知f八g(x)=h(x),求f(x)的两种方法 C.fx)=x2-1 (1)换元法：即令t=g(x),解出x,代入h(x) D.f(x)=x2+2x+1 中，得到一个含1的解析式，再用x替换，便得 (2)已知f(√+1)=x+2√，则f(x)的解析式为 到f(x)的解析式 利用换元法解题时，换元后要确定新元的取 值范围，即函裁f(x)的定义域 ●[归纳提升] (2)配凑法：即从f八g(x)的解析式中配凑出 "g(x)”,即用g(x)来表示h(x),然后将解析 角度三：已知中含有))或x)-)形式的函数， 式中的g(x)用x代替即可. 求f(x)的解析式 例5.(1)已知函数x)满足)+2( =x,则函数fx)的 归纳提升：消元法（或解方程组法）求函数解 析式 解析式为 在已知式子中，含有关于两个不同变量的函 (2)已知af(x)+f(-x)=bx,其中a≠±1，则函数 数，而这两个变量有着某种关系，这时就要依 f(x)的解析式为 据两个变量的关系，建立一个新的关于这两个 ·[归纳提升] 变量的式子，由两个式子建立方程组，通过解 方程组消去一个变量，得到目标变量的解析 》对点训练 式，这种方法称为消元法（或解方程组法） 4.已知函数f八x+1)=3x+2,则f(x)的解析式是 即已知f(x)与f(p(x))满足的关系式，要求 A.f(x）=3x-1 B.f八x)=3x+1 f(x)时，可用p(x)代替两边的所有的x,得到 C.fx)=3x+2 D.fx)=3x+4 关于(x)及f((x)的方程组，解之即可求出八x).5.已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)-2f(-x)=1+2x, 则f(x)= 课堂检测 固双基 1.若f(x)是一次函数，2(2)-3f(1)=5,2f(0)-3.已知函数f(x)=x-”,且此函数图像过点(5,4)，则 f(-1)=1,则f(x)= ( A.3x+2 B.3x-2 实数m的值为 C.2x+3 D.2x-3 4.如图所示，函数f(x)的图像是折线段ABC,其中A,B, 2.设f(x)=2x+3,g(x)=f(x-2),则g(x)=(） C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(3)= A.2x+1 B.2x-1 ,ff(4))= ·(用数字作答)》 C.2x-3 D.2x+7 071 2 5.已知函数f代x)是二次函数，且f(0)=1,f(x+1) f(x)=2x+2,则fx)= 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[18] B 0 123456 第3课时 分段函数 素养目标定方向 学习目标 核心素养 理解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出 通过分段函数的学习，培养直观想象素养、逻辑推理 分段函数的图像.（重点、难点） 素养 必备知识 探新知 知识点1分段函数的定义 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的 则称其为分段函数. P[思考] 知识点2几个特殊的函数 1.高斯取整函数 y=[x],定义域为R,值域为Z. 思考：分段函数是 2.狄利克雷函数 个函数还是几个 ,xe0定义域为R,值域为0,1： 函数？ D(x)= 1o,xQ, 提示：分段函数是一 3.常数函数 个函数，而不是几个 y=c,c为常数，定义域为R,值域为c,图像为垂直于y轴的直线. 函数 ●对应练习 1.下列给出的式子是分段函数的是 (填序号). 「x2+1,1≤x≤5， 「x+1,x∈R, ①f(x)= ②f(x)= 2x,x<1. lx2,x≥2. 2x+3,1≤x≤5， [x2+3,x<0. ③f(x)= ④f(x)= lx2,x≤1. x-1,x≥5. -x,x≤0 2.已知f(x)={ '则f(-2)= x2,x>0, 「x2,x>0, 3.函数y={-2x<0 定义域为 ,值域为 4.下列图形是函数y=xlx1的图像的是 (填序号)因为≥0所以y≤分 (如图③) 由图可得函数的值域是[-1,8]· 故函数的值域为-0，] 课堂检测固双基 1.C由函数的定义知，函数的定义域、值域为非空的数集 6543 2.D在选项D中，x>0时，任意一个x对应着两个y的值，因 -2-11 此选项D不是函数的图像 01 3.D函数y=x的定义域为R;y=()2的定义域为[0， 012 图① 图② 图③ +)y=F=,对应关系不同y= 对点训练2：[-3,3][-2,2]结合图像，知函数f(x)的定义 定义域为xlx≠0}；y==x,故选D. 域为[-3,3]，值域为[-2,2] 4≥0且x41要往，车有意义，需清足≥0， 对点训练3：(1)该函数的图像如图①所示，由图可知值域为 Lx-1≠0. -3,1,2,3}. 解得x≥0且x≠1， (2)作出函数y=-手e【-3,0)U(0,1]的图像，如图2 故函数f(x)的定义域为xIx≥0且x≠1}. 所示 5.[0,4]因为0≤16-x2≤16，所以16-x∈[0,4] 由图像可知值域为(-”，-4]U[手，+ 第2课时 函数的表示方法 (3)作出函数y=x2+4x+1,x∈[-3,0]的图像，如图③所 必备知识探新知 示，由图像可知值域为[-3,1] 知识点1：代数式（或解析式）图像表格 对应练习 1y=是设y=女代人(21)得=2， .3-2-1 4-3-2-101234x 0 所以y=子 -2 。-3 2.1f3)=4,ff(3)=f4)=1. -4 ② 3.0结合题图可得f0)=3,则ff代0))=f3)=0. 知识点2：任意一点函数的图像F上 例3：(1)f(x)=2x+2或f代x)=-2x-6(2)f(x)=x2+1 (1)设f代x)=ax+b(a≠0)，则f(fx))=f(ax+b)=a(ax 对应练习 B小明匀速至终点，小华开始骑得快，中途修车路程未变，后 1. +b)+b=x+a6+6=4:+6,于是有=4，解得 lab+b=6. 又快速骑至终点，此时小明已到终点，只有B符合。 关键能力攻重难 「a=2, 62或66所以)=2x+2或)=-2x-6. 例1：(1)D(2)12(1)由题干表格可得f(-2)=1, 所以ff-2)）=f1)=2,所以f(-2)+ff代-2))=3. (2)设二次函数的解析式为f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，由 c=1, (2)fg(1))=f3)=1. 当x=1时f(g(1)=1,g(f1))=g(1)=3,不满足条件； 题意得{a+b+c=2, L4a+2b+c=5. 当x=2时，f(g(2)=f(2)=3,g(f2)=g(3)=1,满足 ra=1, 条件： 当x=3时fg(3)=f1)=1,g(f(3)）=g(1)=3,不满 解得b=0,故f(x)=x2+1. c=1, 足条件.所以只有当x=2时，满足条件. 对点训练1：A因为(8)=1，(1)=，所以8)》=f)例4：(1)C(2)=-1(x≥)()方法一（换元法）：令 x+1=t,则x=t-1,teR,所以ft)=(t-1)2+2(t-1)= T. 例2：(1)当xe[0,2]时，图像是直线y=2x+1的一部分（如图 2-1,即fx)=x2-1. 方法二（配凑法）：因为x2+2x=(x2+2x+1)-1=(x+1)2 ①)，观察图像可知，其值域为[1,5]. -1,所以f(x+1)=(x+1)2-1,即f(x)=x2-1 (2)当e[2,+0)时，图像是反比例函数了=二的一部分 (2)方法一（换元法）：令t=+1,则x=(t-1)2,t≥1. (如图②)，观察图像可知其值域为(0,1]. 所以ft)=(t-1)2+2(t-1)=-1(t≥1)， (3)当-2≤x≤2时，图像是抛物线y=x2+2x的一部分 所以函数的解析式为f(x)=x2-1(x≥1). -179 方法二（配凑法）：f(√+1)=x+2=x+2R+1-1= r2a=2 ∴.a=1,b=1. (E+1)2-1. la+b=2. .fx）=x2+x+1. 因为+1≥1， 所以函数的解析式为f(x)=x2-1(x≥1). 第3课时分段函数 例5：1)=音+会(2九到=白，a≠1(1)在必备知识探新知 知识点1：对应关系 已知等式中，将x换成，得）+2)=子，与已知等知识点2： )+2）= 对应练习 式联立，得 ）+2)= 消去），得：)=-于.①④①符合函数定义，且在定义域的不同区间，有不同的对 应关系。 ②当x=2时，f(2)=3或4，故不是函数. ③当x=1时f1)=5或1，故不是函数， (2)在原式中以-x替换x,得-x)+f(x)=-bx, ④符合函数定义，且在定义域的不同区间，有不同的对应关 于是得)+-)=c, 系.故选①④. Laf(-x)+f(x)=-bx. 2.2f-2)=-(-2)=2. 消去款-)，得x)=加 3.(-∞，0)U(0,+0){-2}U(0,+0) -a-1 4.④ 故x)的解析式为fx)= a-1,a≠±1. 关键能力攻重难 例1：(1)D(2)(-1,1)(-1,1)(1)要使f(x)有意义，需 对点训练4：A令x+1=t,则x=t-1,f代t)=3(t-1)+2=3t x≠0，故定义域为(-0,0)U(0,+0). -1,.fx)=3x-1. (2)由已知定义域为xI0<x<1}U{0}U{xI-1<x<0 对点训练5：子-1由题意，在)-2-)=1+2：中，以 ={xl-1<x<1},即(-1,1). 又0<x<1时，0<-x2+1<1,-1<x<0时，-1<x2-1 -x代替x可得f(-x)-2f(x)=1-2x,联立可得 风)-2-)=1+2：消去-)可得)=号x-1 <0,x=0时f(x)=0,故值域为(-1,0)U{0}U(0,1)= 2 （-1,1). f-x)-2fx)=1-2x, 对点训练1：D当x∈[0,1]时，f(x)=2x2∈[0,2]，所以函数 课堂检测固双基 f(x)的值域为[0,2]U2,3}=[0,2]U{3} 1.B设f八x)=ax+b(a≠0)，由题设有 r2(2a+b)-3(a+b)=5, 例2：0因为)=分-1-2=- l2(0·a+b)-(-a+b)=1. 1 解得0=3， 所以选B. 训可-哥品 1b=-2. 2.Bf(x)=2x+3,fx-2)=2(x-2)+3=2x-1, (2)fa)=，若a1≤1，则a-1-2=，得a=9或a= 即g(x)=2x-1,故选B. 4 35将点(5,4)代人代)=受得4=5-号m=5 -31 因为lal≤1，所以a的值不存在； 4.10由图可知，线段BC对应的函数是一次函数， 设y=kx+b(k≠0)， 若1a>1则a专得a=,符合a>1 1 代入B(2,0),C(6,4)两点坐标得 所以若代a)=3,a的值为±2. r2k+b=0 L6k+b=4 解得1， b=-2 对点训练2：A 依题意知2)=2+2-2=4，则1) .y=x-2,.f3)=1f(4)=2,ff4)）=f2)=0. 5.x2+x+1设f(x)=aax2+bx+c(a≠0). 母)=1-(=瓷放选A f0)=1,.c=1. 对点训练3：Afa)+f(1)=0,∴.f(a)=-f1)=-2,当a>0 又.f(x+1)-f(x)=2x+2, 时，2a=-2,.a=-1,舍去，当a≤0时，a+1=-2,.a= .a(x+1)2+b(x+1)+1-(a2+bx+1)=2x+2, -3. 整理，得2ax+a+b=2x+2. 对点训练4：(-∞，-3)当a≤-2时，f(a)=a<-3,∴a∈ —180