练案21 第三章 3.1.2 第2课时函数的平均变化率-【成才之路·练案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（人教B版）

练案[21] 第三章 函数 3.1 3.1.2[第2课时 函数的平均变化率] A组基础巩固 (2)函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为 一、选择题 1.已知函数f(x)=1在[1,2]上的最大值为A,最小值 :7.为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企 业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改.设 为B,则A-B等于 企业的污水排放量W与时间t的关系为W=(t),用 A行 1 B.-2 C.1 D.- fb）二@的大小评价在[a,b]这段时间内企业 b-a 2.李华在参加一次同学聚会时，他 污水治理能力的强弱.已知整改期内，甲、乙两企业的 用如图所示的圆口杯喝饮料，李 污水排放量与时间的关系如图所示， 华认为：如果向杯子中倒饮料的 W 甲企业 速度一定（即单位时间内倒入的 饮料量相同)，那么杯子中饮料 乙企业 污水达标 乙企业 的高度h是关于时间t的函数 排放量 h(t),则函数h(t)的图像可能是 甲企业十 0 t 给出下列四个结论： ①在[1,2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙 企业强； ②在2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标； ④甲企业在[0,61]，[41,2]，[2,3]这三段时间中，在 3.已知函数f(x)为R上的减函数，则满足x [0,1]的污水治理能力最强 f1)的实数x的取值范围是 其中所有正确结论的序号是 A.(-1,1) 8.已知函数f(x)=x2-6x+8,x∈[1，a],并且f(x)的最 B.(0,1) 小值为f(a),则实数a的取值范围是 C.(-1,0)U(0,1) 三、解答题 D.(-∞，-1)U(1,+∞) 9.已知函数fx)=1-1(a>0,x>0). 4函数)=从1到a的平均变化率为4，则实数a (1)求证：f(x)在(0，+)上是增函数； 的值为 (2)若)在[32上的值域是[32斗，求a的值 A.10 B.9 C.8 D.7 5.(2026·上饶高一检测)已知对任意的0<：<x2,都有 f)-f2>0,设a=fm）,b=f2),则 X2-1 A.axb B.a=b C.a<b D.a,b的大小关系不能确定 二、填空题 6.如图是函数y=f(x)的图像. 3 2 1 -101234衣 (1)函数f(x)在区间[-1,1]上的平均变化率为 ； 141 10.已知函数f八x)=x2-2x+2. 5.(2026·菏泽高一检测)设f(x)=x2-2a+a2,x∈ (1)求)在区间[2,3]上的最大值和最小值： [0,2].当a=-1时，f(x)的最小值是 .若 (2)若g(x)=f八x)-mx在[2,4]上是单调函数，求 f(0)是f八x)的最小值，则a的取值范围为 m的取值范围. 三、解答题 6.已知f(x)=x(x≠a). x-4 (1)若a=-2,试证f(x)在(-∞，-2)内单调递增； (2)若a>0且f(x)在(1，+o)内单调递减，求a的 取值范围。 B组素养提升 一、选择题 1.若函数y=ax+1在[1,2]上的最大值与最小值的差 为2，则实数a的值是 ( A.2 B.-2 C.2或-2 D.0 2.(多选题)下列关于函数y=ax+1,x∈[0,2]的说法 正确的是 () A.当a<0时，此函数的最大值为1，最小值为2a+1 B.当a<0时，此函数的最大值为2a+1,最小值为1 C.当a>0时，此函数的最大值为1，最小值为2a+1 D.当a>0时，此函数的最大值为2a+1,最小值为1 3.(多选题)下列函数中满足“对任意x1,x2∈(0， C组创新拓展 +),都有x)-) >0”的是 ( 若存在实常数k和b,使得F(x)和G(x)对其公共定 X1-X2 义域上的任意实数x都满足：F(x)≥x+b和G(x) A八x)=-2 B.f(x)=3x-1 ≤x+b恒成立，则称此直线y=x+b为F(x)和 G(x)的“分隔直线”.已知函数f(x)=-x2(x∈R), C.f(x)=x2-4x-3 D.f()=x-1 g(x)=上(x>0),若f(x)和g(x)之间存在“分隔直 二、填空题 线”，则b的取值范围为 4.函数f(x)=6-x-3x在区间[2,4]上的最大值 为 142练案[21] 9.(1)证明：设x1,x2e(0,+∞)且x1≠x2,则 A组基础巩固 估合4 △x X2-X1 X1X2 1.A函数f代x=1在[1,2]上是减函数，所以x=1时，f(x)的 X2-3x1 由x,e(0,+0)知，2>0,1>0， 最大值为1，即A=1,=2时，)的最小值为7，即B= 1 X2 >0,故f(x)在(0，+)上是增函数 则A-B=1-子=分 △x 2.B由于圆口杯的形状是“下细上粗”，则开始阶段饮料的高度 (2)1)可知)在[号，2]上为增函数。 增加较快，往后高度增加得越来越慢，仅有B中的图像符合题意. ）日-2=2)=日 1 -2 -2,解得a号 3.C由已知得： >11<x<0或0<x<1,故选 10.(1)x)=-2x+2=(x-1)2+1,xe[23], 4Bfx)=从1到a的平均变化率为Ay=后-= 1 △xa-11+a ÷)的最小值是)=1，又因为)子3)=5， 千，解得a=9,故选B, 所以f(x)的最大值是f3)=5, 5.C因为对)->0,0<<，所以函数x在(0，+0) 即)在区问号，3]上的最大值是5，最小值是1 X2-X1 (2):g(x)=fx)-mx=x2-(m+2)x+2在[2,4]上是单 上单调递减， 因为π>2>0，所以f(m)<f2),即a<b. 调函数，m2≤2或m2≥4，即m≤2或m≥6 2 2 6(1)号(2)子(1)函数)在区间[-1,1]上的平均变化 故m的取值范围是(-∞，2]U[6,+0). B组素养提升 率4：分宁 1.C当a>0时，函数y=ax+1在[1,2]上单调递增 1-(-1) (2)由函数f(x)的图像知： ymin =a+1,yms =2a+1, r+3,-1≤x≤1， .∴.2a+1-a-1=2,∴.a=2 f(x)= 2 所以函数f(x)在区间[0,21上的平 当a<0时，函数y=a+1在[1,2]上单调递减， x+1,1<x≤3， 1 .'ymin =2a+1,Ymas=a+1, 3 .a+1-2a-1=2,.a=-2. 均变化率为2)-0) 综上可知a=±2. 2-0 22 Γ4 2.AD当a<0时，函数y=ax+1在区间[0,2]上单调递减，当 7.①②③ _b)-a@表示在[a,b]上割线斜率的相反数， x=0时，函数取得最大值为1：当x=2时，函数取得最小值为 b-a 2a+1.当a>0时，函数y=ax+1在区间[0,2]上单调递增， fb)=f孔a越大治理能力越强， b-a 当x=0时，函数取得最小值为1，当x=2时，函数取得最大值 对于①，在[t,2]这段时间内，甲企业对应图像的割线斜率的 为2a+1.故选AD. 相反数大.放甲企业的污水治理能力此乙企业强，正确：对于3.ABD因为对任意，西(0，+”)，都有)->0， ②，要比较t,时刻的污水治理能力，即看在t2时刻两曲线的 x1-2 切线斜率，切线斜率的相反数越大，污水治理能力越强，故在 所以代x)在(0，+∞)上单调递增对于A,易知f(x)=-2 2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强，正确；对于③，在 在(0，+∞)上单调递增，故A正确： 3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以 对于B,f(x)=3x-1在R上单调递增，故B正确； 下，正确；对于④，甲在[，2]这段时间内的污水治理能力最 对于C(x)=x2-4x-3的图像开口向上，对称轴方程为x= 强，错误综上，正确的序号为①②③， 2,所以f(x)在(-∞，2)上单调递减，在[2，+∞)上单调递 8.(1,3]如图可知f(x)在[1，a]内是单调递减的， 增，故C错误； 对于D,f(x)=x- ,因为y=x在(0，+0)上单调递增，y= -在(0，+0)上单调递增， 所以x)=x-上在(0，+0)上单调递增，故D正确 a:3 01 4.-4因为y=√6-x在区间[2,4]上是减函数，y=-3x在区 又.f(x)的单调递减区间为(-∞，3]，.1<a≤3 间[2,4]上是减函数，所以函数f(x)=√6-x-3x在区间[2， -216 4]上是减函数，所以f(x)m=f2)=√6-2-3×2=-4 练案[22] 5.1(-0,0]当a=-1时，f(x)=x2+2x+1,其图像开口 向上，对称轴为直线x=-1, !A组 基础巩固 所以函数代x)=?+2x+1在[0,2]上单调递增，所以函数1.B由图像可知2)<6)，又~fx)为偶函数， fx)在[0,2]上的最小值为f0)=1.若f(0)是f(x)的最小f-2)=2),f-2)-f6)<0. 值，说明f(x)图像的对称轴，即直线x=a在y轴左侧或与y2.B:f(x)为奇函数 轴重合，则a≤0，所以a的取值范围为(-o,0]. ∴.f(-x)=-f(x),又fx)≠0 6(1)证明：当a=-2时x)=x+2 ∴.fx)f-x)=-[f(x)]2<0.故选B. 3.A因为fx)为奇函数， 设x1,x2∈（-0，-2)，且1≠x2, 所以f-x)=-fx), 则Ay=名+21+2 x2(x1+2)-x1(x2+2) 即-2x+1）(-x-a=-(2x+1)(x-a' △x 2-x1 (x2-x1)(x1+2)(x2+2) 化简得2x2(2a-1)=0, 1 =(x+2)(x2+2) 解得a=2 由x1,x2∈(-∞，-2)知，x1+2<0,x2+2<0, -x,x<-1, 所以(+2)(+2)>0，即哈>0， 4.B 由题意，函数f(x)= 1,-1≤x≤1， x,x>1, 所以f(x)在(-∞，-2)内单调递增. 根据一次函数的图像与性质，作出函数f(x)的图像，如图 (2)任取x1,3∈(1，+∞)，且x1≠2， 所示， X2 3X1 则A=。-a-0-(x-a)-4(2-a) △x X2-x1 (x2-x1)(x1-a)(x2-a) - (x1-a)(x2-a)i 由a>0,,(1,+0),且A<0知(x1-a)(%-a)>0 0 △x 恒成立，所以a≤1，故0<a≤1， 所以a的取值范围为(0,1]. 结合函数的图像，可得函数f(x)的图像关于y轴对称，所以函 C组创新拓展 数f代x)为偶函数. [0,4]如图所示， 5.AD对于A,f(x)的定义域为[-1,1)，定义域不关于原点对 称，所以代x)不是偶函数，所以该结论错误； 对于B,设x>0,则-x<0,f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x y=g(x) V=KX+ =-（-x2+x)=-f(x),同理x<0,也有f(-x)=-f(x)成 立，所以f代x)是奇函数，所以该结论正确； 对于C,易知f(x)的定义域-√3,3}关于原点对称， 且f(-x)=f(x)=0,所以f(x)是偶函数，所以该结论正确； y=fx) 由图可知，-x2≤x+b≤1 ，可得：+低+b≥0对任意的xE 对于D,解-≥0， 得-1≤x<0或0<x≤1， Ix+31-3≠0， R恒成立， 所以)=文。个= 则41=2-4b≤0，即2≤4b,不等式x2+bx-1≤0对任意的 x+3-3 x>0恒成立， 因为f代-x)=-f代x),所以f代x)是奇函数，所以该结论错误 ①若k>0,当x→+∞时，(kx2+bx-1)→+0，不符合题意； !6.[-6,-3)U(0,3)由f(x)在[0,6]上的图像知，满足f(x) ②若k=0,则x-1≤0对任意的x>0恒成立，则6≤L,可得 <0的不等式的解集为(0,3).又f代x)为奇函数，图像关于原点对 称，所以在[-6,0)上，不等式f代x)<0的解集为[-6，-3).综上 b≤0， 可知，不等式f(x)<0的解集为[-6，-3)U(0,3) 又6≥华对任意的xeR恒成立，则6≥0，所以b=0: 7.0,0由已知得f代0)=0，故m=0. 由f八x)是奇函数，知f(-x)=-f代x), ③若k<0,则42=62+4k≤0，所以6≤16k2≤64b, 即64-646=b(b3-64)=b(b-4)(2+46+16)≤0，解得0≤ 即，x+0 b≤4. ∴.x2-nx+1=x2+x+1, 综上所述，实数b的取值范围是[0,4]. .n=0. -217