练案20 第三章 3.1.2 第1课时单调性的定义与证明-【成才之路·练案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（人教B版）

3.AD设t=f代a),则f代t)=-1.若t>0,则-f=-1,解得t= 当x≥0时，g(f(x)=g(2)=2. 1或t=-1(舍去)，所以f(a)=1. .方程x)=2g(代x), 当a>0时，则-a2=1,方程无解： 当a≤0时，a2+2a+1=1,解得a=0或a=-2,满足条件. 即x2- 5,x<0, 4,x≥0， 若t≤0，则2+2t+1=-1,即2+2t+2=0,则4=2-4×2 解得x=-√5或x=2. =-4<0,方程无解. !C组创新拓展 综上，a的值为0或-2. 7([7,11]内的任何一个数均可)(x)的图像如图， 4-子当a>0时，1-a<1,1+a>1, 由f1-a)=f1+a)可得2-2a+a=-1-a-2a, 解得a=一子，不合题意： 2 当a<0时，1-a>1,1+a<1, -3-2-1012345678x 由f1-a)=f1+a)可得-1+a-2a=2+2a+a, -1 解得a=子综上a=一子 因为f(x)在区间[a,b]上的值域为[-1,2]，由图可知0≤a≤ 5(1(-,]U[分+0）(2)[0，)()利用描点 4,b=7, 法，作出x)的图像，如图所示由于升±2）=年，结合此函 所以7≤a+b≤11，所以a+b的一个可能的取值为7 练案[20] 数图像可知，使f(x)≥车的x的取值范围是 A组基础巩固 (-,[2*∞) i1.C 作出f代x)=lx+2在(-∞，+∞)上的图像，如图所示， -10 -3-2-1 01x (2)由图像知，当-1≤x≤1时， 易知(x)在[-3,0]上先减后增. fx)=x2的值域为[0,1]， :2.D由函数单调性的定义，知所取两个自变量必须是同一单调 当x>1或x<-1时，f(x)=1. 区间内的值，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的 所以f代x)的值域为[0,1]. !! 大小，而本题中的1，x2不在同一单调区间内，所以代x)与 6.(1)当1≤x<2时，x-1≥0，x-2<0, f代x2)的大小关系不能确定，故选D. g(x)=6-1-5 °2=2 3.D由f(x)是定义在(0，+)上的增函数，得 (2)当x<1时x-1<0,x-2<0g(x)=3,1=1; rx>0, 2 8(x-2)>0,解得2<x<19 当x≥2时，x-1>0,x-2≥0g(x)=6,2=2 x>8(x-2), 2 4.ABD不妨设f孔x)=x,则f(x)在R上是增函数. 1,x<1, 对于A,y=x在(-∞，0)上是减函数，故A中结论错误； 故g(x)= 5 1≤x<2,其图像如图 对于B,=在(-，0)和(0，+)上是减函数，但不能说 2,x≥2. 是减函数，放B中结论错误： y=- 对于D,y=lx在(-∞，0)上是减函数，故D中结论错误；易 知C中结论正确. 0.5 5.D要使x)=2-c-3在[1,4]上具有单调性，须使2女2 0 123x ≤1或女2≥4，解得≤4或≥16，故选D (3).g(x)>0,.fg(x))=2,xeR 当<0时g)=g)=弓： 6.（-0,1)当x≥1时，f(x)是增函数，当x<1时，f代x)是减 函数，所以f代x)的单调递减区间为(-∞，1). -214 1fd2-a+)<f3）因为d2-a+1=(a-2+ 又函数f(x)在(-o,+∞)上是减函数， 所以fa)≥f(-b)fb)≥f孔-a), 所以fa)+f(b)≥f-a)+f(-b).故选D. 又因为f代x)在(0，+)上单调递减， ,a-3<0. 2.D 所以。-a+)<合)} 依题意得实数a满足{2a>0, l(a-3)+5≥2a, 8[o,] 解得0<a≤2. ①当a=0时，fx)=-12x+5在(-0,3)上为减 3.AD由）-）>0知y=是增函数，故A正确y= 函数. X1-X2 ②当a>0时，此函数为二次函数且开口向上， 、y=-【都有增区间，但不是增函数，y=1单调减区间是 对称轴：x=3- （-0,0)和(0，+0)，故D正确.故选AD. 当3二≥3时，在(-0,3)上为减函数， 4.[-1,1]fx+1)=x2-2x+1,令t=x+1, a 所以x=t-1,所以f(t)=(t-2)2,te 即a≤子，放0<a≤子 3 [-1,1],即fx)=(x-2)2,x∈[-1,1]，作 8765 出图像如图，结合图像可知[-1,1]是函数 ③当a<0时，不可能在(-0,3)上为减函数 3 f代x)的减区间. 综上，a的取值范围足[0，引 s{<-} 由条件可得f(x)+f(-2) 9函数)=一在区间1.+)上单调选减 =f-2x), 证明如下：任取x1,x2∈(1，+0)，且x1<2, 又f3)=1,.不等式f(x)+f(-2)>1, 则x)-f)=1, 1 即为f(-2x)>f3). 好-1x好-1 f(x)是定义在R上的增函数， 号- (-1)(号-1) -2x>3,解得x<-多 =（+x)(-x (x-1)(x号-1) 故不等式)+-2)>1的解集为{<-2引 x<x2,.x2-x1>0. 6.函数g(x)在(0,3]上是减函数. 又x1,xe(1,+∞)， 证明如下： .x2+x1>0,x斤-1>0，-1>0. 任取x1,x2∈(0,3]，且x1<2,则 +)(- (x2-1)(x2-1) >0,即fx1)>fx2). &a)-)=)*-[)+n] ∴(x)在区间(1，+o)上单调递减。 10.函数f(x)的定义域为(-∞，-b)U(-b,+∞). =)--元 因为f(x)在(0，+∞)上是增函数， 任取南e(-0,-b),且<，则f）-)=中 所以fx)-f)<0. +a_（2-x)(b-a) 又fx)>0,f3)=1,所以0<f(x1)<fx2)≤f3)=1, x1+b(x2+b)(x1+b) 1 因为x1<x2<-b,a>b,所以x2-x1>0,b-a<0,2+b<0, 则0<ff)<1>1, x1+b<0, 1 所以3-4)(6-a） 即1-f)<0, (需+b)(x1+6<0,即f()-f)<0, 所以g(x1)-g(x2)>0,g(x1)>g(x2) 即f(2)<f(x), 所以f(x)在(-∞，-b)上单调递减， 故)=+在(0,3]上是该函数 同理可证f(x)在(-b,+)上单调递减。 C组创新拓展 综上可得代x)=+9在(-0，-b)和(-b,+0）上单调 f(x)=x和g(x)=2x(答案不唯一）)根据题意，“若函数f代x) x+6 和g(x)在R上都单调递增，则h(x)=fx)g(x)在R上单调 递减 递增”为假命题，即函数f(x)和g(x)在R上都单调递增，而 B组素养提升 h(x)=f代x)g(x)在R上不是增函数，可以考虑f(x),g(x)都 1.D因为a+b≤0，所以a≤-b或b≤-a, 为一次函数. -215练案[20] 第三章 函数 3.13.1.2[第1课时 单调性的定义与证明] A组基础巩固 三、解答题 一、选择题 9.判断函数fx)=2- 在区间(1，+∞)上的单调性， 1.函数f(x)=x+21在[-3,0]上 A.单调递减 B.单调递增 并用单调性定义证明 C.先减后增 D.先增后减 2.设(a,b),(c,d)都是f(x)的单调递增区间，且x∈ (a,b),x2∈(c,d),x1<x2,则f(x1)与fx2)的大小关 系为 () A.f八x,）<f(x2) B.f(x)>f(x2) C.f(x1）=f(x2) D.不能确定 3.若f(x)是定义在(0，+∞)上的增函数，则不等式 f(x)>f(8(x-2))的解集是 A.(0,+0) B.(0,2) C.(2,+∞) D(2,) 4.(多选题)(2026·绵阳高一检测)已知f(x)是定义在 R上的增函数，则下列结论中错误的有 A.y=[f(x)]是增函数 (U(x)≠0)是减函数 B.y=fx) C.y=-f(x)是减函数 D.y=f(x)I是增函数 5.已知函数f(x)=2x2-kx-3在[1,4]上具有单调性， 则实数k的取值范围为 ( A.(-∞，4] B.[16,+0) C.[4,16] D.(-∞，4]U[16,+∞) 二、填空题 「2x+1,x≥1 6.已知函数f(x)= 则f(x)的单调递减区 5-x,x<1, 间是 7.如果f(x)在(0，+∞)上单调递减，那么f(a2-a+1) 与分)的大小关系是 8.已知函数f(x)=2ax2+4(a-3)x+5在(-∞，3)上 为减函数，则a的取值范围是 —139 10(2026·黄石商一检测)设函数x)-华(a>6),话填空题 4.函数fx+1)=x2-2x+1的定义域是[-2,0]，则 求(x)的单调区间，并说明代x)在其单调区间上的f(x)的单调递减区间是 单调性. 5.设f(x)是定义在R上的增函数，f(x灯)=f(x)+f(y), f(3)=1,则不等式f(x)+f(-2)>1的解集为 三、解答题 6.已知f(x)在(0，+∞)上是增函数，且f(x)>0,f(3) =1.试判断g()=)+在(0,3】上是增函数 还是减函数，并加以证明. B组素养提升 一、选择题 1.设函数f(x)在(-o,+o)上是减函数，a,beR且a +b≤0，则下列选项正确的是 ( A.f(a)+f(b)-[f(a)+f(b)] B.f(a)+f(b)sf(-a)+f(-b) C.f(a)+f(b)-f(a)+f(b) D.f(a)+f(b)=f(-a)+f(-b) r(a-3)x+5,x≤1， 2.已知函数f(x)= 2a 是R上的减函 [x ,x>1 数，则实数a的取值范围是 A.(0,3) B.(0,3] C.(0,2) D.(0,2] 3.(多选题)下列说法中，正确的是 () A若对任意，西1，）-f>0,则)=) X1-X2 在I上是增函数 B.函数y=x2在R上是增函数 C组创新拓展 C函数y=十在定义域上是增函数 能说明“若函数f(x)和g(x)在R上都单调递增，则 h(x)=(x)g(x)在R上单调递增”为假命题的函数 D.函数y=1的单调减区间是(-，0)和(0，+∞） f(x)和g(x)的解析式分别是 140