3.1 函数的概念与性质 3.1.2 函数的单调性 第2课时 函数的平均变化率(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（人教B版）

**基本信息** 高中数学“函数的平均变化率”同步练，以“基础定义—情境应用—综合探究”分层，覆盖定义理解、计算、图像分析及实际应用，适配新授课知识巩固与数学思维培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|定义辨析与简单计算|如第1-2题直接考查增函数定义、平均变化率计算，夯实概念理解| |中档|图像分析与情境应用|如第4-5题结合气温曲线、嫦娥五号着陆情境，培养数学眼光与数据意识| |提升|综合探究与参数问题|如第14-15题含单调性证明、跳水运动探究，发展逻辑推理与应用意识|

第2课时　函数的平均变化率 1.A　[解析] 由题得对任意a,b∈R,且a≠b,有=>0,所以f(x)在R上是增函数.故选A. 2.B　[解析] 由题意得,a===-2,b===-3,所以a+b=-5.故选B. 3.D　[解析] 选项A中,OP扫过的圆内面积在开始时段增加缓慢,中间增速最快,后面时段增速越来越慢,不符合题意;选项B中,OP扫过的圆内面积是匀速变化的,不符合题意;选项C中,OP扫过的正方形内面积在开始时段增加缓慢,中间增速最快,后面时段增速越来越慢,不符合题意;选项D中, OP扫过的三角形内面积在开始时段的增速和最后时段的增速比中间时段的增速快,选项D符合题意.故选D. 4.C　[解析] 对于A,由图可知,甲地的气温日较差明显小于乙地气温日较差,所以甲地的绿化比乙地好,故A中结论正确;对于B,由图可知,当日6时到12时甲、乙两地的平均变化率为正数,且乙地的变化趋势更大,所以甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率,故B中结论正确;对于C,由图可知,当日12时到18时甲、乙两地的平均变化率为负数,且乙地的变化趋势更大,所以甲地气温的平均变化率大于乙地气温的平均变化率,故C中结论错误;对于D,由图可知,D中结论正确.故选C. 5.D　[解析] 因为探测器与月球表面的距离逐渐减小,所以v==- m/s.因为探测器的速度逐渐减小,所以a==- m/s2.故选D. 6.BC　[解析] 在0到t0范围内,甲、乙的平均速度都为=,故A错误,B正确;在t0到t1范围内,甲的平均速度为,乙的平均速度为,因为s2-s0>s1-s0>0,t1-t0>0,所以>,故C正确,D错误.故选BC. 7.ABC　[解析] 由题图可知甲企业的污水排放量在t1时刻高于乙企业,而在t2时刻甲、乙两企业的污水排放量相同,故在[t1,t2]这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强,故A正确;由题图知在t2时刻,甲企业在该点的切线斜率的绝对值大于乙企业的,故B正确;在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放量都低于污水达标排放量,故都已达标,故C正确;由题意可知,甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[0,t1]时的污水治理能力明显低于[t1,t2]时的,故D错误.故选ABC. 8.5　4.1　[解析] 当Δx=1时,直线AB的斜率k1====5.当Δx=0.1时,直线AB的斜率k2===4.1. 9.4　[解析] 由题意可知函数f(x)在R上为增函数,则f(x)在[-3,-1]上的最大值是f(-1)=4. 10.解:(1)当t∈[0.5,1]时,ω的平均变化率为=44,当t∈[1,1.5]时,ω的平均变化率为=21, 因为44>21,所以当t∈[0.5,1]时,ω增加得更快. (2)当t∈[3,5]时,平均每小时ω的变化量为=-6.95,实际意义为每小时血药浓度平均减少6.95 μg/L. 11.C　[解析] 由题得Δy=f(1+Δx)-f(1)=(Δx+1)2-12=(Δx)2+2Δx,∴函数f(x)=x2由x=1至x=1+Δx的平均变化率=Δx+2.∵=Δx+2∈(2,2.025),∴Δx∈(0,0.025).故选C. 12.ABD　[解析] 因为对任意x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,都有>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.对于A,易知f(x)=-在(0,+∞)上单调递增,故A正确;对于B,f(x)=3x-1在R上单调递增,故B正确;对于C,f(x)=x2-4x-3的图象开口向上,对称轴方程为x=2,所以f(x)在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,故C错误;对于D,因为y=x在(0,+∞)上单调递增,y=-在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)=x-在(0,+∞)上单调递增,故D正确.故选ABD. 13.(-∞,1]　[解析] 因为对任意x1,x2∈[1,+∞),x1≠x2,都有>0,所以函数f(x)=x2-2ax+1在区间[1,+∞)上单调递增,所以-≤1,解得a≤1,故实数a的取值范围为(-∞,1]. 14.解:(1)f(x)为增函数.证明如下:任取x1,x2∈[3,5],且x1≠x2,则==, ∵x1,x2∈[3,5],∴x1x2>0,x1x2-1>0,∴>0,∴函数f(x)为增函数. (2)由(1)知函数f(x)为增函数, ∴f(x)max=f(5)=,f(x)min=f(3)=. 15.解:当0≤t≤0.5时,==4.05(m/s); 当1≤t≤2时,==-8.2(m/s);当0≤t≤时,==0(m/s).虽然运动员在0≤t≤这段时间里的平均速度是0 m/s,但实际情况是该运动员仍在运动.由此可以说明平均速度不能准确描述运动员的运动状态. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　函数的平均变化率 1.定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a,b,总有>0成立,则 (　 ) A.f(x)在R上是增函数 B.f(x)在R上是减函数 C.f(x)在R上先单调递增后单调递减 D.f(x)在R上先单调递减后单调递增 2.已知f(x)=-2x-5和g(x)=-3x+7在区间[m,n]上的平均变化率分别为a和b,则a+b=(　 ) A.-3 B.-5 C.0 D.1 3.若一射线OP从OA处开始,绕O点匀速逆时针旋转(到OB处为止),所扫过的图形内部的面积S是时间t的函数,S(t)的图象如图所示,则下列图形中,符合要求的是 (　 ) A B C D 4.大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖,可以调节小环境的气温,好的绿化有助于降低气温日较差(一天气温的最高值与最低值之差).甲、乙两地某一天的气温曲线图如图所示.假设除绿化外,其他可能影响甲、乙两地温度的因素均一致,则下列结论中错误的是(　 ) A.由图推测,甲地的绿化比乙地好 B.当日6时到12时,甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 C.当日12时到18时,甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 D.当日乙地的平均气温比甲地的平均气温高 5.2020年12月1日22时57分,嫦娥五号探测器从距离月球表面15 km处开始实施动力下降,7500牛变推力发动机开机,逐步将探测器相对月球纵向速度从约1700 m/s降为零.约14 min后,探测器成功在月球预选地着陆.记探测器与月球表面距离的平均变化率为v,相对月球纵向速度的平均变化率为a,则 (　 ) A.v= m/s,a= m/s2 B.v=- m/s,a= m/s2 C.v= m/s,a=- m/s2 D.v=- m/s,a=- m/s2 6.(多选题)[2025·陕西西安高一期中] 如图是物体甲、乙在时间0到t1范围内位移的变化情况,下列说法正确的是 (　 ) A.在0到t0范围内,甲的平均速度大于乙的平均速度 B.在0到t0范围内,甲的平均速度等于乙的平均速度 C.在t0到t1范围内,甲的平均速度大于乙的平均速度 D.在t0到t1范围内,甲的平均速度小于乙的平均速度 7.(多选题)为满足人们对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t),用-的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示,则下列结论中正确的有(　 ) A.在[t1,t2]这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强 B.在t2时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强 C.在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标 D.甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[0,t1]的污水治理能力最强 8.已知曲线y=x2-1上两点A(2,3),B(2+Δx,3+Δy),当Δx=1时,直线AB的斜率是　　　　;当Δx=0.1时,直线AB的斜率是　　　　.  9.定义在R上的函数f(x)对任意两个不等实数a,b,总有>0成立,且f(-3)=2,f(-1)=4,则f(x)在[-3,-1]上的最大值是　　　　.  10.(13分)已知某病人服用某种药物t h后血药浓度ω μg/L的一些对应数据如下表所示. t 0 0.5 1 1.5 2 3 5 8 ω 0 6.6 28.6 39.1 31 22.7 8.8 8.3 (1)当t∈[0.5,1]和t∈[1,1.5]时,ω都是增加的,哪个时间段的ω增加得更快? (2)当t∈[3,5]时,平均每小时ω的变化量为多少?这里的平均每小时的变化量有什么实际意义? 11.若函数f(x)=x2由x=1至x=1+Δx的平均变化率的取值范围是(2,2.025),则Δx的取值范围为 (　 ) A.(2,2.025) B.(0,2.025) C.(0,0.025) D.(0.025,2) 12.(多选题)下列函数中满足“对任意x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,都有>0”的是 (　 ) A.f(x)=- B.f(x)=3x-1 C.f(x)=x2-4x-3 D.f(x)=x- 13.[2026·辽宁辽阳高一期末] 已知f(x)=x2-2ax+1,若对任意x1,x2∈[1,+∞),x1≠x2,都有>0,则实数a的取值范围是　　　　.  14.(15分)已知函数f(x)=+x,x∈[3,5]. (1)判断函数f(x)的单调性,并利用平均变化率的方法证明; (2)求函数f(x)的最大值和最小值. 15.(15分)在一次跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10,根据上述探究,你能求该运动员在0≤t≤0.5,1≤t≤2,0≤t≤内的平均速度吗?有什么发现? 学科网（北京）股份有限公司 $