1.1.3 第2课时补集及其应用-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（人教B版）

●015 第2课时 补集及其应用 素养目标定方向 学习目标 核心素养 1.了解全集的含义及其符号表示.（易混点） 1.通过补集的运算，培养数学运算素养 2.理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给 2.借助集合思想对实际生活中的对象进行判断归类， 定子集的补集.（重点、难点） 培养数学抽象素养 3.会用维恩图、数轴进行集合的运算.（重点） 必备知识 探新知 知识点1全集的概念及符号表示 在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的 ,那 思考：全集一定是实 么称这个给定的集合为全集.全集通常用U表示. [思考] 数集R吗？ 知识点2补集及其性质 提示：全集不是固定 1.定义 不变的，它是一个相 对概念，是依据具体 对于一个集合 ,由全集 中不属于 问题来选择的，如在 集合A的所有元素组成的集合称为集合 自然语言 实数范围内解不等 A相对于全集U的补集，简称为集合A的 式，全集为实数集 补集，记作 R,而在整数范围内 解不等式，则全集为 符号语言一CA={xx∈U,且x安A 整裁集Z. 图形语言 A 2.补集的常用性质 (1)CACU; (2)C0=☑，C☑=U; (3)C(CA)=A; (4)AU(CA)=U,An(CA)=0. 提醒：补集是相对于全集而存在的，当全集变化时，补集也随之玫变，所以在讨论 一个集合的补集时，女须说明是在娜个集合中的补集 ●对应练习 1.设集合U=R,M={xlx>2或x<0,则CM= A.{xI0≤x≤2 B.{x10<x<2 C.{xlx<0或x>2 D.{xlx≤0或x≥2} 2.已知全集U={xl-5<x<5,xeZ},A={0,1,2},则C4= 3.设全集为U,M={0,2,4,CM={6},则U= 016 关键能力 攻重难 题型一补集的运算 归纳提升：求集合补 1.(1)已知全集为U,集合A={1,3,5,7,C4=2,4,6},CB={1,4,6},则集合 集的两种方法 B= (1)当集合用列举法 (2)已知全集U=xlx≤5，集合A=x1-3≤x<5},则CA= 表示时，可直接用定 义或借助维恩图 [归纳提升] 求解. 对点训练 (2)当集合是用描述 1.(1)设全集U=R,集合A=x2<x≤5}，则CA= 法表示的连续数集 (2)设全集U=x-5≤x<-2,或2<x≤5，x∈Z},A=xx2-2x-15=0},B= 时，可借助数轴，利 用数轴分析求解. {-3,3,4,则CA= ,CB= ●题型二交集、并集、补集的综合运算 归纳提升：解决集合 例 2.(1)已知全集U={xlx≤4}，集合A={xl-2<x<3},B={xl-3<x≤3}，求 运算问题的方法 CA,AnB,C(AB),(CA)B. (1)解决集合的混合 (2)全集U={xlx<10,x∈N},ACU,BCU,(CB)∩A={1,9},A∩B=3}, 运算问题时，一般先 (CA)∩(CB)=4,6,7},求集合A,B. 运算括号内的部分， 思路探究：(1)可借助数轴分析求解.(2)将集合用维恩图表示出来，进行观察 如求(CA)∩B时，先 求出CA,再求交集； 易写出集合A和B中的元素；也可直接根据集合运算的含义分析求解. 求C(AUB)时，先求 出AUB,再求补集. (2)当集合用列举法 表示时（如数集），可 以通过列举集合的元 素分别得到所求的集 合；当集合用描述法 表示时（如不等式形 ●[归纳提升] 式表示的集合)，则可 对点训练 运用裁轴求解 2.已知集合A,B均为全集U=1,2,3,4}的子集，且C(AUB)={4},B={1,2},则A∩ CB等于 () 归纳提升：由集合的 补集求解参数的方法 A.{3} B.{4} C.{3,4} D.☑0 (1)有限集：由补集 ●题型三与补集相关的参数值的求解 求参数问题，若集合 中元素个数有限时， 3.设集合A={xlx+m≥0}，B={xl-2<x<4},全集U=R,且(CA)∩B=☑，求 可利用补集定义并结 实数m的取值范围。 合集合知识求解。 (2)无限集：与集合 交、并、补运算有关的 求参裁问题，若集合中 元素有无限个时，一般 借助戴轴分析求解 ·[归纳提升] ●017 对点训练 3.已知全集U=R,集合A={xl-2≤x≤5}，B={xa≤x≤a+2},若BC(CA),求实数a的取值范围. ● 易混易错警示忽视全集 例 4.已知集合A=xlx2-4mx+1=0,x∈R,B=(-∞，0)，若AnB≠⑦，求实数m的取值范围 错因探究：本题容易忽略全集的范国，误认为U=R,从而得到错误答案：实数m的取值范围是m<2 误区警示：当出现“至少”“至多”或正面直接求解情况较多时，我们可以考虑运用补集思想去解决，但必 须明确全集是谁，只有正确求出全集，才可能求出补集。 课堂检测 固双基 1.设全集U={0,1,2,4,6,8},集合M={0,4,6},N= A.A(C B) B.(CA)B {0,1,6,则MUCW= C.C(AB) D.C(AUB) A.{0,2,4,6,8 B.{0,1,4,6,8} 14.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},A=3,4,5},B= C.{1,2,4,6,8 D.0 {1,3,6{,那么集合{2,7}是 () 2.设全集U=R,区间A=(0,+0),B=(1,+0),则 A.AUB B.A∩B An(CB)= ) C.Co(AnB) D.C(AUB) A.[0,1) B.(0,1] 5.设全集U=R,集合A={xl0≤x≤2}，B={yI1≤y≤ C.(-0,0) D.(1,+0)） 3,则(CA)UB= 3.如图阴影部分表示的集合是 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[5]k+1≤2k-1, 根据数轴可得 -3<k+1, 解得2≤k≤2 .5.7 2k-1≤4， 6 综合①2可得：的取值范围为(-，引 由图可知B=2,3,5,7. (2)A∩B=A,.A≤B. (2)将全集U和集合A分别表示在数轴上，如图所示 又A={x|-3<x≤4}，B={x1k+1≤x≤2k-1},可知B≠⑦ -3 42k-1x 由补集的定义可知CA={xlx<-3或x=5}. k+1-3 对点训练1：(1){xlx≤2，或x>5}(2)-5,-4,3,4} 由数轴可知作+1≤-3， 解得ke☑， -5,-4,5}(1)用数轴表示集合A为图中阴影部分， 2k-1≥4， 即当A∩B=A时，k不存在 2 5 课堂检测固双基 1.A根据并集的定义可得4UB=0,1,2,3}U1,2,4号=10， .CA={xx≤2，或x>5}. (2)方法一：在集合U中， 1,2,3,4}. xeZ,则x的值为-5，-4，-3,3,4,5， 2.A集合B={xl-1≤x≤1}，则A∩B={-1,0,1}. .∴.=-5，-4，-3,3,4,5}. 3.B因为集合A={xx=2k-1,keZ, 又A={xlx2-2x-15=0}={-3,5}, B={xl0≤x+1<6}=xl-1≤x<5}, .CA={-5,-4,3,4},CB=1-5,-4,5. 所以A∩B=-1,1,3. 方法二：可用维恩图表示 4.{1,3}A∩B={1,2,3}∩{yly=2x-1,xeA} =1,2,3}∩{1,3,5}={1,3}. 5.Rxl-1<x≤1，或4≤x<5}借助数轴可知： AUB=R. A∩B={xl-1<x≤1或4≤x<5}. 则CA={-5,-4,3,4}, -11 45x CB=-5,-4,5}. 例2：(1)把全集U和集合A,B在数轴上表示（如图所示）， 第2课时补集及其应用 U 必备知识探新知 知识点1：子集 -3-2 34 知识点2：4UCA 由图可知CA={xlx≤-2，或3≤x≤4}，AnB={xl-2<x 对应练习 <3}, 1.A如图，在数轴上表示出集合M,可知CM={x0≤x≤2. C(AnB)={xx≤-2，或3≤x≤4}， (CA)∩B=xl-3<x≤-2，或x=3}. (2)方法一：根据题意作出维恩图如图所示 2.{-4,-3,-2,-1,3,4}易知0={-4，-3，-2，-1,0,1， 2,3,4},A={0,1,2}, 故C4={-4,-3,-2,-1,3,4}. 3.10,2,4,6}:M={0,2,4},CM={6}, 由图可知A=1,3,9},B=2,3,5,8} .0=0,2,4,6}. 方法二：(CB)nA=1,9},(CA)n(CB)={4,6,7}, 关键能力攻重难 .CB={1,4,6,7,9. 例1：(1){2,3,5,7}(2){x1x<-3或x=5}(1)方法一（定 又U=1,2,3,4,5,6,7,8,9},B={2,3,5,8}. 义法)：因为A=1,3,5,7},CA={2,4,6},所以U=1, (CB)∩A=1,9},AnB={3.∴A=1,3,9} 2,3,4,5,6,7.又CB={1,4,6},所以B={2,3,5,7} 对点训练2：AU={1,2,3,4},C(AUB)={4}, 方法二（维恩图法）：满足题意的维恩图如图所示 AUB=1,2,3.又B={1,2}, —161 .{3}二A二{1,2,3}. 5.{xlx<0,或x≥1}因为CA={xlx>2,或x<0},B={yl1≤ 又CB=3,4},AnCB={3. y≤3}， 例3：方法一（直接法）：由A={xlx+m≥0}={xlx≥-m},得 所以(CA)UB={xlx<0,或x≥1}. CuA=xlx<-m. 1.2常用逻辑用语 因为B={x-2<x<4},(C4)∩B=☑，结合数轴 B 1.2.1 命题与量词 -m-2 必备知识探新知 、 所以-m≤-2，即m≥2，所以m的取值范围是{mlm≥2}. 知识点1：真假 方法二（集合间的关系）：由(CA)∩B=O可知BCA, :对应练习 又B={xl-2<x<4},A={xlx+m≥0}={xlx≥-m}, 结合数轴： 1.①④①“牙是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是 A 命题 。B ②因为无法判断“3x≤5”的真假，所以它不是命题， m -2 ③“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题 得-m≤-2，即m≥2.所以m的取值范围是mlm≥2}. ④“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句，并且它是假 对点训练3：A=xl-2≤x≤5}， 的，所以它是命题 .CA={xlx<-2或x>5}. 2.(1)(3)(5)(2)(4)(1)是真命题，由正方形的定义知，正 如图所示： 方形既是矩形又是菱形. CoA CoA (2)是假命题，x=4不满足2x+1<0. (3)是真命题，x=3或x=7能得到(x-3)(x-7)=0. B B☒ (4)是假命题，由于整数1既不是素数，也不是合数 aa+2-2 5aa+2 (5)是真命题，因为当x∈N时，x2+4x+7>0恒成立，所以该语 又BC(CA),a+2<-2或a>5, 句是命题，且是真命题 故得a<-4或a>5, 知识点2：全称量词存在量词HxeM,r(x)3xeM,s(x) .a的取值范围为(-0，-4)U(5,+∞). 对应练习 例4：设全集U={ml4=(-4m)2-4≥0}= 1.(1)V(2)V(3)×有些命题虽然没有写出全称量词， {烟-或m} ! 但其意义具备“任意性”，这类命题也是全称量词命题，如“正 若A∩B=☑，则方程2-4mx+1=0的两根x1x2均非负， 数大于0”，即“所有正数都大于0”. 又.x1x2=1>0, !2.C①②是全称量词命题，③是存在量词命题 ·方程x2-4mx+1=0有两正根，则有 关键能力攻重难 meU, 例1：(1)是命题，而且是真命题. +=4m>0.解得m≥ (2)是命题，而且是假命题.对角线互相垂直平分的四边形 才是菱形.如图，四边形ABCD中，只满足AC⊥BD,显然不 因为{mm≥关于U的补集为{mm≤-} 是菱形. 所以实数m的取值范围为{mm≤-2} 课堂检测固双基 1.A由题意可得CN=2,4,8},则MUCN={0,2,4,6,8. 故选A. 2.B图中的阴影部分表示的是集合A与B的补集的交集，即为 An(CB),故选B. (3)不是命题.因为x是未知数，不能判断不等式的真假： (4)是感叹句，不涉及真假，不是命题 C. (5)是疑问句，不涉及真假，不是命题， 01 (6)是命题，而且是假命题.如x=2,y=-2,x+y=0是 3.A由维恩图可知，阴影部分在集合B外，同时在集合A内， 有理数，而x,y都是无理数. 应是A∩(CB). 对点训练1：(1)是假命题.例如：1既不是质数也不是合数 4.DA={3,4,5},B=1,3,6},.AUB={1,3,4,5,6},又 (2)不是命题.因为没有给定变量x的值，无法确定其真假. U={1,2,3,4,5,6,7},.C(AUB)=2,7}. (3)是假命题.因为0既不是正数也不是负数 —162