3.1.2 函数的单调性-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学必修第一册学习手册（人教B版）

图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长 度，即得y=+2的图象.如图3，其值域为(-0,1)U x-1 (1,+∞). 图3 变式训练5答图 例4解：由-5e(-0,-2],-V3e(-2,2),-号e (-0,-2],知f-5)=-5+1=-4, f-V3)=(-V3)42x(-V3)=3-2V3. 3）=3+1-3,-2x32. 引-x2引-3= 变式训练6解：函数)-，。 .f1)=12+1- 1=1.fx)>f1)→fx)>1台 0 台-2<x<0或 >1,fx)>f1)的解集为(-2,0)U(1,+∞) 例5解：(1)函数f(x)图象如图1所示，由图象知， fx)的定义域是(0，+∞)，值域是[1，+). (2)函数g(x)图象如图2所示，由图象知，g)的 定义域是(-∞，+∞)，值域是(-6,6]. 2 图1 图2 例5答图 3,≤≤3， 变式训练7解：f(x)=x+1+2x-1= -+2,-1≤K 2 -3x,-3≤<-1， 故f(x)图象如图： 参考答案。 94 8 765 3 1 4321234 变式训练7答图 由图象，可知/=(x2-月)f3)f-3) 9,函数的值鼓为[3,9 数学文化 例A【解析】水壶的结构：底端与上端细、中间粗， 所以在注水恒定的情况下，开始水的高度增加得快，中 间增加得慢，最后水上升的速度又变快，由图可知选项A 符合.故选A 3.1.2函数的单调性 第1课时函数的单调性及函数的平均变化率 要点精析 例1证明：x,e[2,+0),且x<, 则+- 4 =(6)+46xx2-xr)4 X12 X比2 .2≤x1<2 t-2<0,x2>4,xx2-4>0, fx)-fx2)<0,即fx)fa), “函数f(x)=+4在[2，+0)上是增函数 V,3∈(0,2]，且x<2, 则f)-fx2)=（xr)x4) X1X2 .0Kx1<x2≤2 x-x2<0,0Kxx2<4,x2-4<0 :fx)-fx2)>0,即fx)>f). :函数f代x)=+4在(0,2]上是减函数 变式训练1解：当a>0时，函数fx)在(-1,1)上单 调递增： 当a<0时，函数f(x)在(-1,1)上单调递减. 证明如下：①当心0时，x,2∈(-1,1)，且x<2, 则-受房器2. 43 N 高中数学必修第一册人教B版 .-1<x<2<1, .-1<2<1,1-x2>0,(1+x)(1+)>0,2-x>0, :al=>0,即f)fxa）, (1+x)(1+) 故函数f(x)在(-1,1)上单调递增. ②当a<0时，Vx1,2e(-1,1),且<2， 则路“爱， .-1<x<x2<1, ∴.-1<x2<1,1-x化>0，(1+x)(1+)>0,x2-x1>0, :a=1=l<0,即f)>f）, (1+x)(1+x2) 故函数f(x)在(-1,1)上单调递减. 例2(1)A【解析】y=x和y=-6在(0，+0)上 都是减函数，a<0,b<0,f(x)=bx+a为减函数且 f(0)=a<0.故选A. (2)解：x)=-3,≤1， 的图象如图所示， 1(x-2)2+3,>1 例2答图 由图象，可知函数的单调递减区间为(-∞，1]和 (1,2],单调递增区间为[2，+∞). (3)①(-0，-4]②-4【解析】fx)=-x2-2(a+ 1)x+3=-(x+a+1)2+(a+1)2+3. 因此函数的单调递增区间为(-，--1]. ①由f(x)在(-∞，3]上是增函数，知3≤--1，即 a≤-4. ②由题意，得--1=3，a=-4. 变式训练2AD【解析】y=-3x+1在(-∞，0)上是减 函数，y=x在[0，+0)上为增函数，且(1，+∞)(0， +),故A正确：2在（←~0,0,0，+）上单调递 减，故B错误；y=2-4x+5在(-，2)上单调递减， 在(2，+0)上单调递增，故C错误；y=x-1+2= x1,2引，则yk-+2在(1，+)上为增函数，故 l3-x,x<1, D正确.综上，A,D正确 例3(1)(-∞，1)【解析】：函数y=f(x)在(-， +∞)上是增函数，且f2x-3)>f5x-6), .∴.2x-3>5x-6,解得x<1, 44 即实数x的取值范围为(-∞，1). (2)①证明：任取∈R,x2∈R,x<2, 则△=2-x>0,△y=f(xa)fx), 由已知，得f()=f(-x+x1)=f(-x)+f(x)-1, .△y=fx2)-fx1)=f(2-x)-1. x<2,x2-x>0,f2-x)>1, fx2x)-l>0,.△y>0, .fx)是R上的增函数. ②解：令a=b=2,则f4)=f2)+f2)-1=5,·f2)=3. .原不等式可化为f3m2-m-2)f2) 由(1)得3m2-m-2<2, .3m2-m-4<0,..(3m-4)(m+1)<0, 13m<号，原不等式的解集为-山，号) 变式训练3C【解析】·函数y=f(x)是定义在[-4,4] 上的减函数，且f(a+1)>f2a),.-4≤a+1<2a≤4，解得 1<a≤2.故选C. 例4解：假设存在满足要求的实数入，则由f(x)=x+1, g(x)=ff代x),得g(x)=(x2+1)241, .F(x)=g(x)-入f(x)=x+(2-入)x2+2-入. 令t=x2,则t=x2在(-0,0)上递减，且当x∈ ,7时.3：当e7,0时，0号 2 2 放要使在。，Y号上递减，在子，0 上递增，则函数)=4(2-A)+2-A在(？，+∞上递 增，在0，子)上递减，函数p(0)=+(2-入)+2-A的图 象的对称轴=号为1子，即号=分，则3。 2 故存在这样的实数A3,使F)在区间0，-V2 上是减函数且在区间-Y2,0上是增函数。 2 变式训练4解：f(x)=x2,g(x)=+a, ·f(g(x)=f(x+a)=(x+a)2. 若使f(g(x)=(x+a)2在[-1，+∞)上单调递增，则 对称轴x=-a≤-1，即a≥1. ,.a的取值范围为[1，+o). 数学文化 例ABC【解析】若[1，b]为f(x)=x2-2x+2的跟随区 间，：f(x)=x2-2x+2在区间[1，b]上为增函数，故 其值域为[1，b2-2b+2],根据题意，有b2-2b+2=b,解得 b=1或b=2..b>1,故b=2.故A正确. :函数f(x)=1+1在区间(-0,0)与(0，+)上 均为减函数，故若f代x)=1+1存在跟随区间[a,b],则 1+ b la-1上y5 有 解得 2 b=Ity5 故存在，B正确。 6=1+1 2 若函数fx)=m-Vx+I存在跟随区间[a,b],:fx)= m-V+I为减函数，故由跟随区间的定义，可知 b=m-Va+1, =ab-VatT-VbT,Kb, dn-Vb+T 即(a-b)(Va+I+Vb+I)=(a+1)-(b+1)=a-b. .a<b,..Va+T+Vb+T=1. 易得0≤Va+I<Vb+I≤1. '.a=m-Vb+1=m-(1-Va叶1).令t=Va+1,代入化 简，可得2-t-m=0,同理t=Vb+1也满足-t-m=0, 即P-+-m-0在区间[0,1]上有两个不相等的实数根. 故+0解得me子，0，故C正确， -m≥0， 若x)=乃+x存在“3倍跟随区间”，则可设定义 域为[a,b],值域为[3a,3b].当a<b≤1时，易得f(x) =了24x在定义域上单调递增，此时易得a,b为方 程-号+=3x的两根，解得=0或=-4.故存在定义域 [-4,0],使得值域为[-12,0]，故D不正确.故选 ABC. 第2课时函数的最大值、最小值 要点精析 例1解：()）函数f八x)=-c的对称轴方程为x=号， :函数f)在区间1，+o)上是增函数，号≤1，a≤2 (2)①当号≤1，即a≤2时，函数f代x)在区间[1,2] 上是增函数，f(x)=f(1)=l-a; ②当号≥2，即≥4时，函数fx)在区间[1,2]上 是减函数，.f代x)mf(2)=4-2a; ③当1k号2，即2<K4时，函数f)在区间1，号】 上是诚函数，在号，2上是增函数，x)m=f受 综上所述，当a≤2时，fx)mf1)=l-a, 当a≥4时，f(x)m=f(2)=4-2a; 参考答案。 当2c4时，x)号上子 变式训练1解：fx)=-x2+4-1=-(x-2)2+3. 当t+1≤2，即t≤1时，f(x)在区间[t,t+1]上为增 函数，·g(t)=ft+1)=-子+2i+2; 当tK2<t+1,即1<t<2时，g(t)=f(2)=3: 当t≥2时，f(x)在区间[t,t+1]上为减函数， g(t)=f(t)=-+4t-1. -t2+21+2,t≤1， 综上所述，g(t)=3,1<1<2, -t2+4t-1,t≥2. 例2解：任取x1,2e[1,+∞)，且< f(xi)-f(x2) =(x-)+212 11 Gc) o器 1≤x<x2,x-x<0,x2>l, 2xx2-1>0,∴.fx1)-f2)<0. 即fx)2),∴fx)在区间[1，+∞）上单调递增， 当l时，)有最小值子 变式训练23【解析】由x-1≥0，得x≥1，又y=Vx-I 在[1，+0)上是增函数，y=3x在[1，+0)上也是增 函数，f(x)=-3x+Vx-I在[1，+∞)上是增函数，则 f(x)mn=3. 例3解：(1)设t=x2-2,则y=44. 对t=x2-2xxeR，,te[-1,+∞)， 对y=2+4t,当te[-1,+∞)，得ye[-3,+0). y的最小值为-3. (2)x2-2x≠0，x≠0且x≠2， 定义域为≠0且≠2外 设1=2-2，则) t∈[-1，+∞)， ye(-0,-1]U(0,+∞) 注：函数无最大值也无最小位。 变式训练316【解析】点(1,0)，(-1,0)在 f(x)图象上，这两点关于直线x=-2的对称点(-5,0)， f-5)=(1-25)(25-5a+b)=0, (-3,0)必在fx)的图象上， f(-3)=(1-9)(9-3a+b)=0 a=8, b25 45 N 高中数学必修第一册人教B版 fx)=-(x+1)(x-1)(x+3)(x+5)=-(x2+4x+3)(x2+4x-5). 令t=x2+4x=(x+2)2-4≥-4，.f(t)=-(t+3)(t-5)=16 (t-1)2≤16，故f(x)的最大值为16. 例4D【解析】由x<g(x)=x2-2,得x2-x-2>0,则x<-1 或x>2. 因此x≥g(x)=x2-2的解集为-1≤x≤2. 于是fx)= x2++2,x<-1或x>2, x2-x-2,-1≤x≤2 当x<-1或>2时，fx)>2. 当-1≤≤2时，2-2， 可得-}≤fx)≤0， 因此e)的值域是-是，0]U(2,+x, 故选D. 变式训练4B【解析】由题可得y=min(2x-1,-x+5}= 2x-1,x≤2， .当x=2时，ym=3.故选B -+5,>2, 例5ACD【解析】A选项，对于f(x+1),令t=+1,则 x=t-1e[-2,2),则te[-1,3),f(t),即f(x)的定 义域为[-1,3)，A选项正确；对于B,f(x)的定义域 为{x≠O,g(x)的定义域为R,不是同一个函数，B选 3≤行，即函 项不正确；对于C,+3≥3,0<1 数y=的值拔为0，兮]，C选项正确：对于D, 由2f(x)-f(-x)=x+1,可得2f(-x)-f(x)=-x+1,由 2fx)-f-x)=x+1, 12f(-x)-f(x)=-x+1. 可得f代x)=号+1，D选项正确.故选 ACD 数学文化 例B【解析】由高斯函数的定义，可得 当0≤x<1时，[x]=0,则x-[x]=x; 当1≤<2时，[x]=1,则x-[x]=x-1； 当2≤x<3时，[x]=2,则x-[x]=x-2: 当3≤x<4时，[x]=3,则x-[x]=x-3. 易见该函数具有周期性，绘制函数图象如图所示. 例题答图 46 观察可得函数有最小值0，没有最大值.故选B. 3.1.3函数的奇偶性 第1课时函数奇偶性的概念 要点精析 例1解：(I)xeR,-xeR. 又f-x)=-x+1--x-1l =x-1-x+1l=-(Ix+1l-x-1l) =-f(x), f(x)为奇函数. (2):函数f(x)的定义域为-1,1)， 关于原点对称，且f(x)=0. .f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x), .f(x)既是奇函数又是偶函数. (3)fx)的定义域为(-0,1)U(1,+∞)，不关于原点 对称， f(x)为非奇非偶函数， (4)fx)的定义域是(-0,0)U(0,+0),关于原点对 称 当x>0时，-x<0,f孔-x)=1-(-x)=1+fx); 当x<0时，-x>0,f-x)=1+(-x)=1-=寸fx). 综上可知，对于x∈(-∞，0)U(0,+∞)，都有f(-x)= f(x),·f(x)为偶函数 变式训练1ACD【解析】对于A,定义域为(-，0)U ao)2 =-f(x),f(x)是奇函数，故A正确；由1-x2≥0，lx+ 2-2≠0，得-1≤x≤1且x≠0，定义域关于原点对称， g写平，满是8a 故g(x)是奇函数，故B错误；：F(-x)=f(-x)f(x)=F(x), 故C正确；h(x)的定义域为(-2,2}，且h(x)=0, h(x)既是奇函数，又是偶函数，故D正确.故选ACD. 例2解：(1)由题意，作出函数fx)图象如图所示. 2个2 111-1i17 例2答图 (2)据图可知，单调递增区间为(-1,0)，(1，+∞). (3)据图可知，使f(x)<0的x的取值集合为(-2,0)第三章函数。 3.1.2函数的单调性 第1课时函数的单调性及函数的平均变化率 两种情况下，都称函数在1上具有单调 学习目标 性（当I为区间时，称I为函数的单调区间， 1.理解函数单调性的概念，能够准确求 也可分别称为单调递增区间或单调递减区 出一次函数、反比例函数、二次函数的单调 间) 区间. 例1证明：函数f代x)=x+4在[2，+0) 2.能够利用单调性的定义判断简单函数 上是增函数，在(0,2]上是减函数. 的单调性 3.能够判断复合函数的单调性 要点精析 川要点1函数单调性的判定与证明 一般地，设函数y=f(x)的定义域为D, 且ICD: (1)如果对任意1，∈I,当x<x2时， 都有f(x)<f(),则称y=f(x)在I上是增函 数（也称在I上单调递增）.其充要条件是函 数yfx)在区间[x1,x2](x<x2时)或[x2, ](x>x,时)上的平均变化率Ay=2-业= △xx2-X1 fx)-f）>0在1上恒成立. 反思感悟 X2一X1 判断函数单调性的一般步骤： (2)如果对任意1,2∈I,当x1<x2时， (1)在定义域内任取两个变量1<x2, 都有f(x1)>f(),则称y=f(x)在I上是减函 则△=x2x1>0; 数（也称在I上单调递减）.其充要条件是函 (2)通过因式分解、配方、根式有理 数yfx)在区间[x1,2](x<x2时)或[x2, 化等方法，比较△y=fx2)-f(x1)与0的大小 x](x>时)上的平均变化率Ay=2= △xx2-x1 关系； fx)-fx<0在1上恒成立. (3)根据△x和△y“同号”还是“异 X2-X1 号”判断函数的单调性 学 59 N 高中数学必修第一册人教B版 (3)已知函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3. 变式训练① ①若函数f(x)在区间(-∞，3]上是增函 已知函数fx)=(a≠0).判断函数 数，则实数a的取值范围是 x2+1 ②若函数fx)的单调递增区间是(-0,3]， f(x)在(-1,1)上的单调性，并用单调性的 则实数a的值为 定义加以证明 分析以下结论可以直接使用. (1)k>0时，f(x)=kx+b在R上为增函 数；k<0时，f(x)=kx+b在R上为减函数. (2)k>0时，f(x)=k在(-0,0)， (0,+∞)上为减函数；k<0时，f(x)=k在 (-∞，0)，(0，+0)上为增函数」 (3)心0时，e)Wxe在-，品 上为减画数，在品+0上为增西数 <0时，x)ax+hx+c在-0，二与 增函数，在 ，+∞上为减函数. 要点2一次函数、反比例函数、二次 2a 函数的单调性 思考一次函数、 反比例函数、二次 函数的单调性与哪些因素有关？ 例2 (1)已知函数y=x和y=-b在 (0,+∞)上都是减函数，则函数f(x)=bx+a 在R上是() A.减函数且f(0)<0 B.增函数且f(0)<0 C.减函数且f(0)>0 D.增函数且f(0)>0 -x-3,x≤1， (2)作出函数f代x)= 的图 (x-2)2+3,x>1 象，并指出函数的单调区间： (60)学 第三章函数。 注意“函数的增区间为A”和“函 数在A上为增函数”不是同一个意思，前 者说的是完整的增区间，后者的A可能是 增区间的子集 ⑧变式训练2 (多选题)下列函数中，在区间(1，+∞) 上为增函数的是( -3x+1,x<0, A.,x≥0 B子 C.y=x2-4x+5 D.y=lx-1l+2 要点3抽象函数的单调性 例3(1)已知函数y=f(x)是(-0， +∞)上的增函数，且f(2x-3)>f(5x-6),则实 数x的取值范围为 (2)函数f(x)对任意的a,b∈R,都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1,且当x>0时，fx)>1. ①求证：f(x)是R上的增函数 ②若f(4)=5,解不等式f3m2-m-2)<3. 反思感悟 分析对于没有解析式、没有图象的 利用抽象函数的单调性解不等式， 这类抽象函数的单调性问题，一定要牢牢 定要注意函数的定义域以及自变量是否在 把握单调性的定义 同一个单调区间 B变式训练③ 已知函数y=f(x)是定义在[-4,4]上 的减函数，且f(a+1)>f(2a),则实数a的取 值范围是() A.[-4,1) B.(1,4] C.(1,2] D.[-5,2] 学 (61 N 高中数学必修第一册人教B版 要点4复合函数的单调性 B变式训练④ 例4设fx)=x2+1,g(x)=ffx),F(x) 已知fx)=x2,g(x)=x+a.若yf(g(x)）在 =g(x)-f(x).是否存在实数入，使F(x)在区 [-1,+∞)上单调递增，求a的取值范围. 间(-，-2上是减函数且在区间 2 ,0上是增函数？ 分析对于定义在区间A上的函数 f(g(x),g(x)的取值范围为B 若g(x)在A上为增函数，f(x)在B上 为增函数，则f(g(x)在A上为增函数. 若g(x)在A上为增函数，f(x)在B上 为减函数，则f(g(x)在A上为减函数 数学文化 若g(x)在A上为减函数，f(x)在B上 为增函数，则f八g(x)在A上为减函数. 例 (多选题)一般地，若函数f(x)的 若g(x)在A上为减函数，f(x)在B上 定义域为[a,b],值域为[ka,b],则称 为减函数，则f(g(x)在A上为增函数. [ka,kb]为f(x)的“k倍跟随区间”；若函数 的定义域为[a,b],值域也为[a,b],则称 [a,b]为f(x)的“跟随区间”.下列结论正 确的有( A.若[1，b]为f(x)=x2-2x+2的跟随区 间，则b=2 B.函数fx)=1+1存在跟随区间 C.若函数f(x)=m-Vx+1存在跟随区间， 则me4,0 D.二次函数x)号+x不存在“3倍 跟随区间” 分析根据“k倍跟随区间” 的定义， 分析函数在区间内的最值与取值范围逐个 判断即可 (62)学 第三章函数。 第2课时 函数的最大值、最小值 学习目标 变式训练① 能够利用函数的单调性求简单函数的 设函数f(x)=-x2+4x-1在区间[t,t+1] 最值。 (t∈R)上的最大值为g(t),求g(t)的解 要点精析 析式. 要点1利用函数的单调性求最值 例1已知函数f(x)=2-ax. (1)若函数f(x)在区间[1，+∞)上是增 函数，求实数a的取值范围. (2)求函数f(x)在区间[1,2]上的最 小值. 分析 一次函数、反比例函数以及二 次函数的单调性可以直接使用，过程中要 注意分类讨论. 学(63 N 高中数学必修第一册人教B版 例2已知函数f(x)=x+ +2,其中x∈ 2x 变式训练2 [1,+∞)，试求它的最小值. 函数y=3x+V-1的最小值是 分析对于函数f(x)=x+b (x>0,常 川要点2复合函数求最值 数a,6>0),可以证得，在0,1√合 上递 例3 (1)求函数y=(x2-2x)2+4(x2-2x) 减， 在V合，+上递增，x=V合 的最小值， =2Vab (2)求函数y=的值域， x2-24 其中自变量范围允许的时候，最小值 分析复合函数f(g(x)求值域，只需 也可以通过均值不等式说明，即此+ b乙 要换元，设g(x)=,求出t的取值范围，然 后利用单调性求f(t)的取值范围即可. 2V瓜，当且仅当做=冬，即x=V语时 取等号」 反思感悟 在求复合函数f八g(x))的最值时，应先 求出内函数t=g(x)的值域，在此基础上 再求外函数yf(t)的最值， B变式训练3 若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图象关于 直线x=-2对称，则fx)的最大值为、 (64)学 第三章函数。 川要点3分段函数求最值 数学文化 例4设函数g(x)=x2-2(x∈R),f(x)= 例高斯是德国著名的数学家，近代数 g(x)+x+4,x<g(x), 学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函 则fx)的值域是() g(x)-x,x≥g(x), 数”.设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整 A是，0Ua,+) 数，则y=[x]称为高斯函数.例如：[-3.5] =-4,[2.1]=2.已知函数f(x)=x-[x],则下列 B.[0,+∞) 选项中，正确的是（) c是+ A.f(x)的最大值为1，没有最小值 D.,0U2,+) B.fx)的最小值为0，没有最大值 C.f(x)没有最大值，没有最小值 分析 分段函数求值域，只需要把每 D.f(x)的最大值为1，最小值为0 一段的值域求出来，然后取并集 分析先分段化简函数，并画函数图 B变式训练④ 象，再结合图象判断最值情况即可 对于实数a,b,定义符号min{a,b}, 其意义为当a≥b时，min{a,b}=b;当a<b 时，min{a,b}=a.例如min(2,-l}=-1,若 关于x的函数为y=min{2x-1,-x+5},则该 函数的最大值为() A.2 B.3 C.4 D.5 例5（多选题）下列说法正确的是 ( A.函数f(x+1)的定义域为[-，2)，则 函数f(x)的定义域为[-1,3) B.x)=和g(x)=x表示同一个函数 C函数3的值城为0，号】 D.定义在R上的函数f(x)满足2f(x) f-x)=x+1,则fx)=+1 、 学(65】