练案16 第二章 2.2.4 第2课时均值不等式的应用-【成才之路·练案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（人教B版）

练案[16] 第二章 等式与不等式 2.22.2.4[第2课时均值不等式的应用] A组基础巩固 三、解答题 一、选择题 1.已知正数x,y满足x+2y-xy=0,则x+2y的最小值 9(I)已知x<3,求y=3+*的最大值： 为 (2)已知花，y是正实数，且x+y=4,求+3的最 y A.8 B.4 C.2 D.0 小值 2.已知a>0,b>0, +2=1,则2a+36的最小值为 b A.25 B.26 C.27 D.28 3.(多选题)王老师往返两地的速度分别为m和n(m< n),全程的平均速度为v,则下列结论正确的是() A.v=√mn B.v=2mn m +n C.√mn<u<m+n 2 D.m<v</mn 4.若0<x<分，则y=V-4r的最大值为 () A.1 R方 c D. 5.(2026·北京高一检测)关于x的不等式x2+1x1≥ alx-1对任意xeR恒成立，则实数a的取值范围 是 A.[-1,3] B.(-,3] C.(-∞，1] D.(-o,1]U[3,+0) 二、填空题 6.若点A(1,1)在直线mx+y-1=0(mn>0)上，则1 m +上的最小值为 n 7.已知一次函数y=-子+1的图像分别与x轴)轴 相交于A,B两点，若动点P(a,b)在线段AB上，则ab 的最大值是 ,取得最值时a的值为一 8.若两个正实数，y满足上+4=1，且不等式+ x y 4< m2-3m有解，则实数m的取值范围是 —131 10已知a,6为正实数，且日+}=25 二、填空题 4.已知正实数x,y满足x+y=1,①则x2+y2的最小值 (1)求a2+b2的最小值； (2)若(a-b)2=4(ab)3,求ab的值. 为 ;②若1+4≥a恒成立，则实数a的取 值范围是 5设a+b=2,b>0则2≠% +la取最小值时a的值为 三、解答题 6.为了缓解市民吃肉难的生活问题，某生猪养殖公司欲 将一批猪肉用冷藏汽车从甲地运往相距120千米的 乙地，运费为每小时60元，装卸费为1000元，猪肉 在运输途中的损耗费（单位：元）是汽车速度 (千米/小时)值的2倍.（说明：运输的总费用=运费 +装卸费+损耗费) (1)若汽车的速度为每小时50千米，试求运输的总 费用； B组素养提升 (2)为使运输的总费用不超过1260元，求汽车行驶 一、选择题 速度的范围； 1.中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设 (3)若要使运输的总费用最小，汽车应以每小时多少 在平面内有一个三角形，边长分别为a,b,c,三角形的面 千米的速度行驶？ 积S可由公式S=√p(p-a)(p-b)(p-c)求得，其中p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦一秦九： 韶公式.现有一个三角形的边长满足a+b=12,c=8, 则此三角形面积的最大值为 () A.45 B.415 c.85 D.815 2.已知正实数m,n满足m+n=1,且使上+16取得最 小值若y=三，x=4是方程y=的解，则Q m n ( A.-1 B C组创新拓展 C.2 D.3 在使-x2+2x≤M成立的所有常数M中，我们把M 3.(多选题)设a+6=2(a>0.6>0),则品+号取最小 的最小值叫做-x2+2x的上确界，若a>0,b>0,且a 值时下列结论正确的是 +6=1,则-元名的上确界为 () Aa=号 B.ab=1 A.-3 B-4n-号 ca+片- D.2a+6=4 1323+4=(3+4(分+动-号+影+费×3≥号+56-厅6由可+6=1，可得+6)= 2√5 放(x+3)2=2+6y+9y2=x(+6y)+9y2=+92≥ 当且仅当务是即=2=1时，原等号 2√月·9y=6,当且仅当=9时， 1 B组素养提升 1D由图形可知0F=之4B-,0C=“2在△0CF中， 即，=时，等号成立 此时x+3y取最小值6，x=6-3y=√6-5. 由勾般定理可得F=√【生+(2=√ 6.因为a+b+c=1,a>0,b>0,c>0,所以1-1=a+b+c-1 a cr=0Fa0b>0 -6+c≥2c>0 a a 2c(*+(*2 -1=0+h+c-1=0+c≥2@>0， b b b b 1-1=4+b+c-1=4+b≥2庙>0， (*)+(+)+(任+） 将以上三式相乘得 ≥2√+2+2=4， (日--日-小8应8 abc 当且仅当=y=号或x=y=-时取等号， 当且仅当a=6=c=了时取等号.。 2 C组创新拓展 3.BC对于A,a+b+1≥2瓜+1≥22<3，当且仅当a ab ab B因为a,6,)均为正实数，则女+≥+6，当且仅 x+y =6=马时等号同时成立； 当：=6时等号成立， y 对于B,a+6日+)=2+片+总=2+26吕 a.b= 又0<x<分，即1-2>0， 4,当且仅当a=b时取等号； 于是号+如-25，当且仅当经 (2+3)2 对于C,0+≥a+6≥a+b √ab2aba+b -=a+b,当且仅当a=b时 即=了时取等号， 取等号； 所以2+ 1 9(0<x<2） x1-2x 1)的最小值为25. 对于D当a=分6=分时， 3 2 a*6 练案[16] 6 : A组 基础巩固 √6√6>V层所以2<a 11、2 √a+b :1.A 由x+2y-=0,得2+=1 4a<2ab<2<a+b<b因为0<a<b,a+b=l,所以a< 所以42=+2)（+）-女++444=8 x y 日6， 当且仅当x=2y时等号成立. ②2.A因为a>0,6>0,2+2=1,所以2如+36=(2a+ 3 2ab<a+b2 图为48>=子 6.65=25, 30(2+)=1B++≥1B+2 a a2+62=a·a+b2<a·b+62=(1-b)b+b=b, 所以与<a+6<b6 当且仅当号-兽即a=6=5时等号成立 又2b<2(生=7,2ab>2x7a=a, 3.BD设两地路程为，则全程所需的时间为”+片，则全程的 所以a<2d<所以a<2ab<<d2+6<a 平均速度=，25。=2m,放A错误，B正确：又由n>m> ss m+n' m n -208 0,由均值不等式可得，m+n>2√m,故=2m<2mn= m+n2√mn (x+(+）-4+(任+）≥4+2 m,故C错误；因为m-m=2-m=mm-m>m-m-0, m+n m+n m+n 当且仅当-号 所以u>m,则m<v<√mm,故D正确。 即x=2(5-1),y=2(3-√5)时取“=”号. 4C因为0<<分所以1-4>0，所以-4=分x2 又x+y=4,.￥ +1+ y ×小-4绿≤号松+号-子当且仅当2=个- 2 设的最小值为1+厚 即x=票时等号成立，故述C 0(0因为e6为正实数，且片+合-2，所以片+方-22 5.B VxER,x2+lxl≥alxl-1恒成立， ①当x=0时，0≥-1成立，aeR; ≥2√低，即b≥宁（当且仅当a=6时等号成立）. ②当x≠0时，原不等式可化为a≤1xl+x+1, 因为。2+公≥2b≥2×号=1（当且仅当a=6时等号成立）。 因为1x++1≥2·高+1=3， 所以a2+6的最小值为1. 当且仅当=，即x=±1时取等号，所以a≤3。 （2)因为+名=2巨，所以a+6=2a6 因为(a-b)2=4(ab)3,所以(a+b)2-4ab=4(ab)3, 综上所述，实数a的取值范围是(-0,3]. 即(22ab)2-4ab=4(ab)3, 6.4因为A(1,1)在直线mx+ny-1=0(mn>0)上，所以m+n 即(ab)2-2ab+1=0,(ab-1)2=0. =1,而1+1=m+n+m+n=2+”+m≥2+2=4，当且 因为a,b为正实数，所以ab=1. 仅当m=n=之时取“=”，所以品+的最小值为4 B组素养提升 m n 1.C由题意，得p=10, 7号1因为A(2,0),B(0,1),所以0≤6≤1，由题意得a= S=√10(10-a)(10-b)(10-c) 2-2b,6=2-26)6=21-)6≤2(-+=分当 =V20(10-a)(10-b)≤V20.10-a+10-b 且仅当1-b=b, =85,当且仅当a=b=6时取等号. 即6=2时等号成立，此时a=1,因此当6=7，a=1时，ab 所以此三角形面积的最大值为8√5. 取最大值为 2c六+-（信+9）m*)1+0+只167+ 8（-0,-1)U(4,+的)：不等式x+￥<m-3m有解， 1+≥7+2日-25 n (x+）<㎡-3m>0,y>0,且+=1+ 当且仅当6m=卫，又m+n=1, n m y 学-(++)售云+2=2√名+2=4. 即m=行n=专时，上式取等号。 1 当且仅当衣即=2.=8时取等号(+宁)4 即+取得最小值时，m=5A=号，所以y=25,=5,25 =54. .m2-3m>4,即(m+1)(m-4)>0,解得m<-1或m>4, 得=2. 故实数m的取值范围是(-∞，-1)U(4,+∞). i3.AC因为a+b=2, 9.(1)x<3, .x-3<0, 所以吃+名-名+公-”治+公 1a2 y+4+(x-3)+3 4 品+品+云品+2√品-品1= = b a 4 =-[3+(3-+3≤-2V写3-)+3-1， 当且仅当给=号，即？=4时等号成立 当且仅当，是3-，即=1时取等分， 又因为a>0,b>0,a+b=2,所以解得a=子，6=手，所以会 2 ..y的最大值为-1. (2):x,y是正实数， +名的最小值为子 -209 47（-,9]①因为x+y=1,有≤（生=4 因此-（会+会）高≤-2-多=一号根据定义知， 1 当且仅当x=y=之时等号成立，所以？+=(x+y)2-2y 名的上确界为-号 ≥1-×2=分，即2+的最小值为分②若a≤ 4 练案[17] 恒成立，则a(什+)因为+手=（分+号）水x+) A组基础巩固 1.D根据函数的概念可知对于定义域中的任意一个自变量x =5++=5+2任·钙=9，当且仅当2x=7=号时】 2 都有唯一的函数值与之对应，故选D. 2.D要使函数f(x)有意义，需满足 等号成立，所以+4的最小值为9，即a≤9，故实数a的取值 x-1≠0. 范围是(-∞，9]. x+≥0，>-1，且x≠1， 5.-2因为a+b=2, x+1≠0. 所以a+品a+- .定义域为(-1,1)U(1,+∞). 6 lal 3.DA中的函数定义域不同；B中函数的对应关系不同：C中 a 两函数的对应关系不同，故选D 当a>0时，最小值为子，当a<0时，最小值为圣 4ABD对于A,由M={，1,2}N=f-6,-3,1) 子<子当a<0时，取得最小值 -61)=-3)=1,知M中的任-个元素，N中都有 当且仅当品=会时等号成立 唯一的元素和它相对应，所以能构成从集合M到集合V的函 数，故A正确；对于B,M=V={xlx≥-1}，f(x)=2x+1,能 又a+b=2,b>0, 构成从集合M到集合N的函数，故B正确：对于C,M=N= 所以当6=-2a,a=-2时：2+号取得最小值 1 {1,2,3},fx)=2x+1,因为f2)=5,f(3)=7,51,2,3}, 7年1,2,3}，所以不能构成从集合M到集合N的函数，故C 6.(1)当汽车的速度为每小时50千米时，运输的总费用为：50 120 错误；对于D,M=Z,N={-1,1}f(x)=-1能构成从集合M ×60+1000+2×50=1244(元). 到集合N的函数，故D正确. (2)设汽车行驶的速度为x千米/小时，由题意可得： 5.A由题知y===+1:2=1+=2 x+1x+1 x+11 120×60+1000+2x≤1260，化简得x2-130x+3600≤0，解 x≥0 得40≤x≤90， x+1≥1…0<1 故运输的总费用不超过1260元时，汽车行驶速度的范围为： +7s1, [40,90]. x+1<0,-1≤1+-2 -2≤-2 t*1下1. (3)设汽车行驶的速度为x千米/小时，则运输的总费用： 120×60+1000+2x=2x+7200+1000 函数y+的值域机-1，），放选 ≥2V2x.720+100=1240. 6.02)+-2)=2+7-2-7=0 「1-x≥0， 当2x=7200,即x=60时取得等号，故若要使运输的总费用 7.(-∞，0)U(0,1]由 [1-1-x≠0， 最小，汽车应以每小时60千米的速度行驶 解得x≤1且x≠0， C组创新拓展 用区间表示为(-∞，0)U(0,1]. D根据题童由e+6=1得太名-(-去会》a十8Q爱过配方可得丽数y5a分 )=(品+)- 8 (x-2)+1≥10<x-2+≤8， 因为a>0,b>0 故0<y≤8. 所以+2√会吾-2，当且仅当-即6=2a 2a 放隔数y=子8+5的值坡为0,8 子时，等号成立， !9.(1)根据题意知x-1≠0且x+4≥0，所以x≥-4且x≠1，即 函数f代x)的定义域为[-4,1)U(1,+o). 一210