2.2.4 第一课时 均值不等式（课时跟踪检测）-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书word（人教B版）

**基本信息** 聚焦均值不等式新授课，分层设计从基础概念到综合应用，梯度衔接紧密，通过选择、填空、证明及情境应用题，培养抽象能力、推理能力与模型意识，实现知识巩固与能力进阶。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|均值不等式基本比较与应用条件|选择题（1-5），直接考查概念辨析，强化符号意识| |中档层|公式变形与简单证明|填空题（6-8）及证明题（9），结合实际增长率问题，发展推理意识| |提升层|综合应用与情境建模|应用题（10、13）及综合证明（12、14），融入披萨面积、平均速度等现实情境，培养模型观念与创新意识|

第一课时　均值不等式 1.设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是（　　 ） A.s≥t B.s＞t C.s≤t D.s＜t 2.设a，b∈R，且a＜b＜0，则（　　） A.＜ B.＞ C.＋＞2 D.＞ 3.下列各式中，对任何实数x都成立的一个式子是（　　 ） A.x＋1≥2 B.x2＋1＞2x C.≤1 D.x＋≥2 4.已知a＞1，b＞1且a≠b，下列各式中最大的是（　　 ） A. B. C. D. 5.〔多选〕若实数x，y满足x2＋y2＝4＋xy，则（　　） A.－4≤x＋y≤4 B.x＋y≤2 C.x2＋y2≤8 D.x2＋y2≥4 6.已知a＞b＞c，则与的大小关系是　　　　. 7.某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为　　　　. 8.已知a，b是正实数，以下不等式： ①＞；②a＞｜a－b｜－b；③a2＋b2＞4ab－3b2；④ab＋＞2.恒成立的序号为　　　　. 9.已知a＞b，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.求证：≥8. 10.甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走，若m≠n，则甲、乙两人到达指定地点的情况是（　　） A.甲先到 B.乙先到 C.甲、乙同时到 D.不能确定 11.已知a＞0，b＞0，则“ab≤1”是“≤1”的（　　 ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 12.已知a，b，c为正数，求证：＋＋≥3. 13.下列问题中，a，b是不相等的正数，比较x，y，z的表达式.下列选项正确的是（　　） 问题甲：一个直径a寸的披萨和一个直径b寸的披萨，面积和等于两个直径都是x寸的披萨； 问题乙：某人散步，第一圈的速度是a，第二圈的速度是b，这两圈的平均速度为y； 问题丙：将一物体放在两臂不等长的天平测量，放左边时右侧砝码质量为a（天平平衡），放右边时左边砝码质量为b（天平平衡），物体的实际质量为z. A.x＞y＞z B.x＞z＞y C.z＞x＞y D.z＞y＞x 14.已知a＋b＋c＝3，且a，b，c都是正数. （1）求证： ＋＋≥； （2）是否存在实数m，使得关于x的不等式－x2＋mx＋2≤a2＋b2＋c2对所有满足题设条件的正实数a，b，c恒成立？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.4　均值不等式及其应用 第一课时　均值不等式 1.A　∵b2＋1≥2b，∴a＋2b≤a＋b2＋1，即t≤s（当且仅当b＝1时等号成立）. 2.C　∵a＜b＜0，∴＞，故A错；∵a＜b＜0，∴a2＞b2，即b2－a2＜0，ab＞0，可得－＝＜0，∴＜，故B错；∵a＜b＜0，∴＞0，＞0，且≠，则＋＞2＝2，故C正确；∵a＜b＜0，∴＜0，而＞0，则＜，故D错.故选C. 3.C　对于A，当x＜0时，根式无意义，故A不恒成立； 对于B，当x＝1时，x2＋1＝2x，故B不恒成立； 对于C，x2＋1≥1，所以≤1成立，故C成立； 对于D，当时x＜0时，x＋≤－2，故D不恒成立. 即对任何实数x都成立的一个式子是≤1.故选C. 4.D　因为a＞1，b＞1，a≠b，由基本不等式得1＜＜，由不等式性质得＞， 又－＝－＝＞0， 所以＜＜＜.故选D. 5.AC　根据均值不等式得（x＋y）2＝4＋3xy≤4＋3（）2，当且仅当x＝y时等号成立，所以（x＋y）2≤16，因此－4≤x＋y≤4，故选项A正确，选项B不正确；根据重要不等式得x2＋y2＝4＋xy≤4＋，当且仅当x＝y时等号成立，所以x2＋y2≤8，故选项C正确；当x，y异号时，xy＜0，所以x2＋y2＝4＋xy＜4，选项D不正确.故选A、C. 6.≤　解析：∵a＞b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0， ∴≤＝. 7.x≤　解析：用两种方法求出第三年的产量分别为 A（1＋a）（1＋b），A（1＋x）2，则有（1＋x）2＝（1＋a）（1＋b）， ∴1＋x＝≤＝1＋， ∴x≤，当且仅当a＝b时等号成立. 8.②④　解析：①≤＝，即≥，当且仅当a＝b时等号成立，①不正确；②∵a，b是正实数，则｜a－b｜＜a＋b，∴｜a－b｜－b＜a＋b－b＝a，②正确；③a2＋b2－（4ab－3b2）＝（a－2b）2≥0，即a2＋b2≥4ab－3b2，当且仅当a＝2b时等号成立，③不正确；④ab＋≥2＝2＞2，当且仅当ab＝时等号成立，即ab＋＞2，④正确. 9.证明：因为a，b，c∈（0，＋∞），a＋b＋c＝1， 所以－1＝＝≥， 同理－1≥，－1≥. 上述三个不等式两边均为正，分别相乘， 得≥··＝8. 当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立. 10.A　设总路程为s，甲的总时间为t1，乙的总时间为t2，由m＋n＝s，得t1＝，显然t2＝＋＝，于是＝＝，而m≠n，m＞0，n＞0，m＋n＞2，因此＜1，即＜1，t1＜t2，所以甲先到达.故选A. 11.A　因为a＞0，b＞0，若ab≤1，则≤1，即1－≥0，∴a＋b－2ab≥2－2ab＝2（1－）≥0，∴a＋b≥2ab，从而≤1，充分性成立；若≤1，例如a＝，b＝2，＝1，但ab＝＞1，因此必要性不成立，故选A. 12.证明：左边＝＋－1＋＋－1＋＋－1 ＝＋＋－3. ∵a，b，c为正数， ∴＋≥2（当且仅当a＝b时取“＝”）； ＋≥2（当且仅当a＝c时取“＝”）； ＋≥2（当且仅当b＝c时取“＝”）. 从而＋＋≥6（当且仅当a＝b＝c时取“＝”）. ∴＋＋－3≥3， 即＋＋≥3. 13.B　由问题甲，结合圆的面积公式可得π（）2＋π（）2＝2π（）2，有a2＋b2＝2x2，即x＝.由问题乙，设每圈的长度为s，则＝y，整理可得＝y.由问题丙，设天平左边的臂长为m，右边的臂长为n，则可得z2＝ab，即＝z.因为a，b是不相等的正数，则有a＋b＞2，可得＜，根据重要不等式可知a2＋b2＞2ab，得＞，则有＞＞，所以x＞z＞y.故选B. 14.解：（1）证明：因为a＋b＋c＝3，且a，b，c都是正数， 所以＋＋＝[（a＋b）＋（b＋c）＋（c＋a）]＝［3＋＋＋］≥（3＋2＋2＋2）＝， 当且仅当a＝b＝c＝1时，取等号， 所以＋＋≥得证. （2）因为a＋b＋c＝3，所以（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≤3（a2＋b2＋c2）， 因此a2＋b2＋c2≥3（当且仅当a＝b＝c＝1时，取等号）， 所以（a2＋b2＋c2）min＝3， 由题意得－x2＋mx＋2≤3恒成立， 即得x2－mx＋1≥0恒成立， 因此Δ＝m2－4≤0⇒－2≤m≤2. 故存在实数m∈[－2，2]使不等式恒成立. 学科网（北京）股份有限公司 $