3.1.1 第1课时函数的概念-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（人教B版）

●063 第三章函数 31函数的概念与性质 3.1.1函数及其表示方法 第1课时 函数的概念 素养目标定方向 学习目标 核心素养 1.进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要 数学模型.能用集合与对应的语言刻画出函数，体会 1.通过学习函数的概念，培养数学抽象素养 对应关系在刻画数学概念中的作用.（重点、难点） 2.借助函数定义域的求解，培养数学运算素养。 2.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域3.借助f(x)与f(α)的关系，培养逻辑推理素养 和值域.（重点） 必备知识 探新知 知识点1函数的概念 思考：f(x)与f(a)有 1.函数的定义：给定两个 A与B,以及对应关系∫，如果对于集合A中何区别与联系？ 的 实数x,在集合B中都有 的实数y与x对应，则称∫为定义在集合提示：f(x)与f(a)的 A上的一个函数. 区别与联系：f(a)表 2.记法：y=f(x),xeA 示当x=a时，函裁 3.三要素： 、值域和 ●[思考] f(x)的值，是一个常 量，而f(x)是自变量 ●对应练习 x的函数，一般情况 1.思考辨析（正确的打“V√”，错误的打“×”） 下，它是一个变量， (1)任何两个集合都可以建立函数关系. （）f(a)是f(x)的一个特 (2)集合A中的两个实数x可以对应集合B中的一个实数y （）殊值，如一次函戴 (3)函数的值域即为集合B. (）f(x)=3x+4,当x=8 2函数x)=E+1 -2的定义域为 ()时，8)=3×8+4= 28是一个常数. A.[0,2) B.(2,+∞) C.[0,2)U(2,+∞) D.(-0,2)U(2,+∞) 3若)=则3)= 064 知识点2同一个函数 般地，如果两个函数表达式表示的函数定义域 对应关系也 (即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等)，则称这两个函数表达 式表示的就是同一个函数。 ●对应练习 思考辨析（正确的打“V”,错误的打“×”） (1)函数y=f(x)=x2,x∈A与u=f(t)=2,t∈A表示的是同一个函数 (2)函数y=f(x)=x2,x∈[0,2]与g(x)=2x,x∈[0,2]表示的是同一个函数.() (3)函数y=f(x)=x2,x∈[0,2]与h(x)=x2,x∈(0,2)表示同一个函数.( ) 关键能力 攻重难 归纳提升：1.判断一 ●题型一 函数的判断 个对应关系是否是函 数关系的方法 例 1.(1)设M=x0≤x≤2}，N={y10≤y≤2}，给出下列四个图形： 两非空数集AB☐ 函数的 一对一或多对曰 作出 概念 判断 12 012 1 2.根据图像判断对应 ⑦ ⊙ ④ 关系是否为面数的 其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是 步骤 A.0 B.1 C.2 D.3 (1)任取一条垂直于x (2)判断下列对应关系∫是否为定义在集合A上的函数 轴的直线. (2)在定义域内平行 ①A=R,B=Rx)= 移动直线1. ②4={1,2,3}，B=R,f(1)=f(2)=3,f(3)=4; (3)若1与图像有且只 ③A={1,2,3{,B={4,5,6},对应关系如图所示. 有一个交点，则是函 数；若在定义域内没 有交点或有两个或两 个以上的交点，则不 是函数 [归纳提升] )对点训练 1.(1)下列对应关系或关系式中是A到B的函数的是 A.A=R,B=R,x2+y2=1 B.A=1,2,3,4},B={0,1},对应关系如图： C.A-R.B-R./x)=:-2 D.A=Z,B=Zf(x)=2x-T .065 (2)下列图形中可以表示以M={x0≤x≤1}为定义域，以N={y0≤y≤1}为值域的 函数的图像是 () %0 ●题型二同一个函数的判定 例之下列各组函数是同-个函数的是 () 归纳提升：定义域、对 ①f(x)=√-2x3与g(x)=x√/-2x; 应关系、值域分别相 ②f(x)=x与g(x)=√R; 同的函裁有相同的图 ③)=与)=： 像，三要素中只要有 一项不同，两个函数 ④f(x)=x2-2x-1与g(t)=t2-2t-1. 就不是同一个函数 A.①② B.①③ C.③④ D.①④ 由于值战由定义域与 ●[归纳提升]对应关系所确定，所 〉对点训练 以判断函裁是否是同 2.下列四组函数中，有相同图像的一组是 ( 一个函数，只要判断 A.y=x-1,y=√(x-1)2 定义域与对应关系是 否相同即可. B.y=R-1,y=-1 /x-1 C.y=2,y= 2x2+4 x2+2 归纳提升：求函数定 D.y=1,y=x° 义域的常用方法 (1)若f(x)是分式 ●题型三求函数的定义域 则应考虑使分母不 为零 例3.(1)求函数y=2+3-片+的定义域： (2)若f(x)是偶次根 2-x x 式，则被开方裁大于 (2)求函数)=（x+)”的定义域 或等于零 /1x|-x (3)若∫(x)是指裁 思路探究：要求函数的定义域，只需分母不为0，偶次方根中被开方数大于等于 幂，则函数的定义域 0,x°中x≠0即可. 是使幂运算有意义的 实数集合 (4)若f(x)是由几个 式子构成的，则函裁 的定义域是几个部分 定义域的交集 (5)若f(x)是实际问 题的解析式，则应符 合实际问题，使实际 问题有意义 [归纳提升] 0664 归纳提升：求函数的值域，》对点训练 应先确定定义域，树立“定3.求下列函数的定义域： 义域优先”原则，再根据具 (1)f(x)=x-I·√4-x+2; 体情况求y的取值范围. 求函数值域的方法有 2n)=+3+2 (1)逐个求法：当定义域为 有限集时，常用此法， (2)观察法：如y=x2,可观 察出y≥0. (3)配方法：对于求二次函 数值域的问题常用此法 (4)换元法：对形如y=ax +b+√cx+d(ac≠0)的函 数，求值域时常用换元法， 令t=√cx+d,将原函裁转 ●题型四求函数的值域 化为关于的二次函数 (5)分离常数法：对于形如 例 4.求下列函数的值域： (1)y=2x+1,x∈{1,2,3,4,5}； y=Cx+d(c≠0)的函数 ax +b (2)y=√+1； 常用分离常数法求值域 (3)y=3x+2 x-1 (6)图像法：对于易作图像 的函裁，可用此法，如 (4)y=81≤≤2)： y=-1 x-1 (5)y=2x-√x-1. ●[归纳提升] )对点训练 4.求下列函数的值域： (1)y=2x+3; (2)y=x2-2x+3,x∈{-2，-1,0,1,2,3}； (3)y=x-√1-2元 067 课堂检测 固双基 1.下列说法正确的是 ( )3.下列函数中，与函数y=x是同一个函数的是() A.函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数 A.y=()2 B.y= 与之对应 B.函数的定义域和值域可以是空集 C.y= D.y=V C.函数的定义域和值域一定是非空的数集 D.函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也 4函数)-气的定义设为 就确定了 5.函数y=√16-x的值域为 2.下列图像中不能表示函数的图像的是 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[17] 第2课时 函数的表示方法 素养目标定方向 学习目标 核心素养 1.掌握函数的三种表示方法：解析法、图像法、列表法. (重点) 1.通过函数表示的图像法，培养直观想象素养 2.会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，（难 2.通过函数解析式的求法，培养数学运算素养 点) 3.利用函数解决实际问题，培养数学建模素养 3.能在实际问题中选择恰当的方法表示两变量之间的 函数关系，并能解决有关问题.（重点、难点） 必备知识 探新知 知识点1 函数的表示方法 思考：函数的三种表示方法各自有 解析法 就是用 表 哪些优缺点？ 数 示两个变量之间的对应关系 提示： 就是用表示两个变量之间 方 优点 铁点 图像法 的对应关系 法 示 不需要计算就可以 就是列出 来表示两个变量 直接看出与自变量 只能表示自变量 法 列表法 之间的对应关系 到恭法 可以一一列出的 的值相对应的 最值 函效关系 ●对应练习 P[思考] 只能近似地求出 能形象直观地表示 自变量的值所对 1.已知y与x成反比，且当x=2时，y=1,则y关于x的函数关系式 法 出函囊的变化情况 应的函数值，而 且有时误差较大 为 一是简明。全而地 2.已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))= 糠括了变量间的关 系，从“数”的方 不够形象、直观 1 2 而揭示了西数关 具体，而且并不 法 系：二是可以道过 是所有的函数都 能用解折法表示 f(x) 3 解析式求出任意一 出来 个自变量的值所对 应的函数值代人第二个、第三个式子可得： c>2,解不等式得x<2或>1. r8x+6y-20=0, 两个式子作差可得y=2,x=1, l8x+y-10=0, 综上所述，当c=0时，不等式的解集为xlx<1}: 代人z=3-3x-y可得z=-2, 当c<0时，不等式的解集为{：2<x<1小 故方程组的解集为{(1,2，-2) (2)由第一个式子可得y=5-x, 当0<c<2时，不等式的解集为{：<1或x>2} 代人第二个式子可得x2-(5-x)2=-5, 当c=2时，不等式的解集为{xlx≠1}； 解得x=2, 代人y=5-x,可得y=3, 当c>2时，不等式的解集为{x<二或x>} 故方程组的解集为{(2,3) 例5：1D由a6>0,a+6=1所以片+号=（日+号）a (3)由第一个式子可得y=2x-1, 代人第二个式子可得x2+2(2x-1)2=3, +90)=w2+1g,12=62+2√0.：4m,当日 a b 即9x2-8x-1=0, 1 仅当a=6时等号成立，所以+2的最小值为400 a 解得x1=1,2=-9, (2)因为x>0,所以心+3x+6 代人y=2x-1可得y=1,2=-马 x+1 9 =x+)2+(x+1)+4=x+1+ 4 故方程组的解集为1，)(-)，号} x+1 例3：(1)4=(2m-1)2-4×1×(m2-3)=4m2-4m+1-4m2 2√+1)1=4+1=5. +12=-4m+13. 当且仅当x+1= 即=1时，等号成立。 4 因为原方程有实根，所以△=-4m+13≥0， 解得m≤号，所以实数m的取值范围为-如，] 例6：由题意，可知a≥E+正恒成立。 W√x+y (2)当m=2时，方程为x2+3x+1=0,所以x1+x2=-3, x,y∈(0，+∞)， x1x2=1, x+vy +y =+y+2=1+2/≤1++y=2, x+y x+y x+y 因为方程的根为x,x2,所以x+3x1+1=0,x号+3x2+1 =0, 当且仅当x=y时等号成立. 所以(x斤+2x)(x号+4x2+2) 在+正≤2，：a≥万a的最小值为2 =(x斤+2x1+x1-x1)(x号+3x2+x2+2) Vx+y =(-1-x1)(-1+2+2) =（-1-x1)(x2+1)=-x2-x1-1-1 第三章 函数 =-3-1-2=3-2=1. 例4：(1)不等式aax2-3x+2>0的解集为xlx<1或x>b}, 3.1函数的概念与性质 所以1和b是方程ax2-3x+2=0的解， 所以a-3+2=0,解得a=1； 3.1.1函数及其表示方法 由根与系数的关系知1×6=子解得5=2：所以。=1,6 第1课时函数的概念 =2. 必备知识探新知 (2)由(1)知，不等式cx2-(ac+b)x+ab>0为cx2-(c+ 知识点1：1.非空实数集每一个唯一确定3.定义域 2)x+2>0, 对应关系 即(x-1)(cx-2)>0 对应练习 当c=0时，不等式化为-2(x-1)>0,解得x<1: :1.(1)×(2)V(3)×(1)集合A,B应为非空数集. 当c<0时，解不等式得2<x<1; (2)符合函数的定义 (3)值域是集合B的子集 当c>0时，若子>1，即0<c<2时，解不等式得x<1或x 2C要使函数刊=+有意义，只需 。解得x x-2≠0 >名若2=1，即c=2时，解不等式得x≠1，若2<1，即 ≥0且x≠2， -177 所以函数f(x)的定义域为[0,2)U(2,+0). 2x+3≥0 3g3)=g=日 1 例3：1)要使函数有意义，需2-x>0,解得-号≤<2，且 Lx≠0. 知识点2：相同相同 x≠0 对应练习 1.(1)V(2)×(3)×(1)两个函数定义域相同，对应关系 所以函数的定义域为{x 2≤x<2,且x≠0 也相同 (2)要使函数有意义， (2)两个函数的对应关系不同. 则厂x+10, 解得x<0且x≠-1. (3)两个函数的定义域不同 1xl-x>0, 关键能力攻重难 所以函数的定义域为{xlx<0,且x≠-1}： 例1：(1)B①中，因为在集合M中当1<x≤2时，在N中无元 素与之对应，所以①不是；②中，对于集合M中的任意一个 对点训练3：(1)要使此函数有意义，应满足-1≥0， 4-x≥0. 数x,在N中都有唯一的数与之对应，所以②是；③中，x=2 解得1≤x≤4， 对应元素y=3N,所以③不是；④中，当x=1时，在N中 所以此函数的定义域是[1,4]. 有两个元素与之对应，所以④不是.因此只有②是，故选B.: (2)要使此函数有意义，则 (2)①A=R,B=R,对于集合A中的元素x=0,在对应关系 「x+3≥0，，「x≥-3， →x≥-3且x≠-2， )=的作用下，在集合B中没有元素与之对应，故所 Lx+2≠0 [x≠-2 所以f代x)的定义域为[-3，-2)U(-2,+∞) 给对应关系不是定义在A上的函数： 例4：(1)因为y=2x+1,且x∈1,2,3,4,5}， ②由f(1)=f(2)=3,f(3)=4,知集合A中的每一个元素 所以ye3,5,7,9,11}. 在对应法则f的作用下，在集合B中都有唯一的元素与之 所以函数的值域为{3,5,7,9,11}. 对应，故所给对应关系是定义在A上的函数： (2)因为√x≥0，所以x+1≥1. ③集合A中的元素3在集合B中没有与之对应的元素，且 所以函数的值域为[1，+∞). 集合A中的元素2在集合B中有两个元素(5和6)与之对 3x+2 应，故所给对应关系不是定义在A上的函数 (3)y= x-1 对点训练1：(1)B(2)C(1)A错误，2+y2=1可化为y= 3(x-1)+5 5 =3+ x-1 x-1 y=2(t2+1)-t ±√1-x,显然对任意x∈A,y值不唯一；B正确，符合函数 ≠3. 的定义；C错误，2∈A,在B中找不到与之相对应的元素；D错 所以函数的值域为yy≠3. 误，-1∈A,在B中找不到与之相对应的元素 (2)由函数的定义知选C. (4)因为1≤x≤2， 例2：C①fx)=√-2x=-x√-2x与g(x)=x√-2x的对 所以1<≤4，≤ ≤ 011 x 14 应关系和值域不同，故不是同一个函数；②g(x)=√R= Ix与f孔x)=x的对应关系和值域不同，故不是同一个函 1,2≤≤8， 所以函数的值域为[2,8] 数：③x)=”与g()=都可化为y=1且定义线是 (5)设t=x-1,则t≥0且x=2+1, {xlx≠0}，故是同一个函数；④f(x)=x2-2x-1与g(t)= t-2t-1的定义域都是R,对应关系也相同，而与用什么 所以y=2(+1)-4=2-4广+5由≥0. 再结合函数的图像（如图）， 字母表示无关，故是同一个函数.由上可知是同一个函数 的是③④.故选C 可得函数的值城为片。+） 对点训练2：CA项，y=x-1与y=√(x-1)2=x-11的对应对点训练4：(1)因为≥0，所以2+3≥3， 关系不同：B项y=√-1的定义域为[1，+)，y=-1的 故y=2√+3的值域为[3，+). x-1 (2)当x=-2,-1,0,1,2,3时，y=11,6,3,2,3,6. 定义域为(1，+∞)，两函数的定义域不同；D项，y=1的定义 故函数的值域为2,3,6,11}. 域为R,y=x°的定义域为(-o,0)U(0,+∞)，两函数定义 (3)设t=√1-2x 域不同：C项，y=2与y=2+4=2是同一个函数，所以图像 x2+2 则0，且=+分 相同，故选C. 代人原式得y=宁-1+分-宁1+1P1 1 -178 因为≥0所以y≤分 (如图③) 由图可得函数的值域是[-1,8]· 故函数的值域为-0，] 课堂检测固双基 1.C由函数的定义知，函数的定义域、值域为非空的数集 6543 2.D在选项D中，x>0时，任意一个x对应着两个y的值，因 -2-11 此选项D不是函数的图像 01 3.D函数y=x的定义域为R;y=()2的定义域为[0， 012 图① 图② 图③ +)y=F=,对应关系不同y= 对点训练2：[-3,3][-2,2]结合图像，知函数f(x)的定义 定义域为xlx≠0}；y==x,故选D. 域为[-3,3]，值域为[-2,2] 4≥0且x41要往，车有意义，需清足≥0， 对点训练3：(1)该函数的图像如图①所示，由图可知值域为 Lx-1≠0. -3,1,2,3}. 解得x≥0且x≠1， (2)作出函数y=-手e【-3,0)U(0,1]的图像，如图2 故函数f(x)的定义域为xIx≥0且x≠1}. 所示 5.[0,4]因为0≤16-x2≤16，所以16-x∈[0,4] 由图像可知值域为(-”，-4]U[手，+ 第2课时 函数的表示方法 (3)作出函数y=x2+4x+1,x∈[-3,0]的图像，如图③所 必备知识探新知 示，由图像可知值域为[-3,1] 知识点1：代数式（或解析式）图像表格 对应练习 1y=是设y=女代人(21)得=2， .3-2-1 4-3-2-101234x 0 所以y=子 -2 。-3 2.1f3)=4,ff(3)=f4)=1. -4 ② 3.0结合题图可得f0)=3,则ff代0))=f3)=0. 知识点2：任意一点函数的图像F上 例3：(1)f(x)=2x+2或f代x)=-2x-6(2)f(x)=x2+1 (1)设f代x)=ax+b(a≠0)，则f(fx))=f(ax+b)=a(ax 对应练习 B小明匀速至终点，小华开始骑得快，中途修车路程未变，后 1. +b)+b=x+a6+6=4:+6,于是有=4，解得 lab+b=6. 又快速骑至终点，此时小明已到终点，只有B符合。 关键能力攻重难 「a=2, 62或66所以)=2x+2或)=-2x-6. 例1：(1)D(2)12(1)由题干表格可得f(-2)=1, 所以ff-2)）=f1)=2,所以f(-2)+ff代-2))=3. (2)设二次函数的解析式为f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，由 c=1, (2)fg(1))=f3)=1. 当x=1时f(g(1)=1,g(f1))=g(1)=3,不满足条件； 题意得{a+b+c=2, L4a+2b+c=5. 当x=2时，f(g(2)=f(2)=3,g(f2)=g(3)=1,满足 ra=1, 条件： 当x=3时fg(3)=f1)=1,g(f(3)）=g(1)=3,不满 解得b=0,故f(x)=x2+1. c=1, 足条件.所以只有当x=2时，满足条件. 对点训练1：A因为(8)=1，(1)=，所以8)》=f)例4：(1)C(2)=-1(x≥)()方法一（换元法）：令 x+1=t,则x=t-1,teR,所以ft)=(t-1)2+2(t-1)= T. 例2：(1)当xe[0,2]时，图像是直线y=2x+1的一部分（如图 2-1,即fx)=x2-1. 方法二（配凑法）：因为x2+2x=(x2+2x+1)-1=(x+1)2 ①)，观察图像可知，其值域为[1,5]. -1,所以f(x+1)=(x+1)2-1,即f(x)=x2-1 (2)当e[2,+0)时，图像是反比例函数了=二的一部分 (2)方法一（换元法）：令t=+1,则x=(t-1)2,t≥1. (如图②)，观察图像可知其值域为(0,1]. 所以ft)=(t-1)2+2(t-1)=-1(t≥1)， (3)当-2≤x≤2时，图像是抛物线y=x2+2x的一部分 所以函数的解析式为f(x)=x2-1(x≥1). -179