第2章 等式与不等式章末整合-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（人教B版）

例4：1)D(2)D()由已知a>0,b>0,若不等式号+名≥ +6≥ 因为1+1+b≤（± 中6成立。 所以1+≤2+g+=1+“老， 2 所以m≤（任+公）a+b)恒成立， 所以x≤“生艺，当且仅当a=6时取等号， 转化成求y=(任+方)口+6)的最小值， 2c<00y=-[(-+-2≤-2-2 y=(+a+6)=5+兽+85+2√ 4b.4=9, =-4,当且仅当-=即=-1时取等号，枚选C 当且仅当女=名时取等号，所以m≤9， 3. 3 2 .x>0,y>0,2x+3y=6 (2)因为关于x的一元二次不等式mx2-3x+1<0的解集 1 为(a,b), m>0, 6( 所以0+6=3 3 =m'所以a+b=3ab, 当且仅当2x=3y即x= y=1时等号成立. 灯的最大值为子 所以合+古)1， 4.3 由题设，得 +日音品=3.当aa当5 因为a+46=(a+46)x写（日+名）月 9a=6时等号成立. +驰+)2巴83， 5≥5 x>0 当且仅当a=2b时等号成立，所以(a+4b)m=3, 2 由a+4b≥2+k+3恒成立得3≥k2+k+3, 当且仅当x=1时，取等号 所以2+k≤0，解得-1≤k≤0.所以实数k的取值范围是 2+3x+1 +32+3=号 1—≤1 [-1,0] 5 x 对点训练4：(1)因为关于x的不等式-x2+ax+b≥0的解集为 [-1,2], .a≥5 所以-1和2是方程-x2+ax+b=0的两个实数根，可 得-1+2=a, 章末整合 1-1×2=-b, 素养突破提技能 解得经检验 例1：(1)B(2)C(1)因为1<x<5,2<y<6,所以2<2x< 满足条件，所以a=1,b=2. b=2, b=2 10,-6<-y<-2, (2)由1)知=1 b=2 可得头+2=1， 故2x-y∈(-4,8). x y (2)对于①，由a>b,c>d,得-d>-c, 则2+y=(2+)(+）=4++≥4+ 由不等式的性质知，a-d>b-c,故命题①正确； x y 对于②，由a2x>a2y知，a2>0,由不等式的性质知，x>y,故 2√=8 命题②正确： y b 当子 时，等号成立， 对于③士6名-a0” 若a,b同号，由a-b>0得，6一 因为2x+y≥2+k+6恒成立，所以(2x+y)≥2+k+6,即 a(a-6)>0, 8≥2+k+6,可得2+k-2≤0，解得-2≤k≤1，所以k的取 若a,6异号，南a-6>0得a。万<0，故命感3错误： 值范围为[-2,1]. 课堂检测固双基 对于④，由日<行<0，得6<a<0,则6>6，放命题④ 1.B由题意得，A(1+a)(1+b) 正确. =A(1+x)2,则(1+a)(1+b)=(1+x)2, 例2：(1)由第一个式子可得z=3-3x-y, 176 代人第二个、第三个式子可得： c>2,解不等式得x<2或>1. r8x+6y-20=0, 两个式子作差可得y=2,x=1, l8x+y-10=0, 综上所述，当c=0时，不等式的解集为xlx<1}: 代人z=3-3x-y可得z=-2, 当c<0时，不等式的解集为{：2<x<1小 故方程组的解集为{(1,2，-2) (2)由第一个式子可得y=5-x, 当0<c<2时，不等式的解集为{：<1或x>2} 代人第二个式子可得x2-(5-x)2=-5, 当c=2时，不等式的解集为{xlx≠1}； 解得x=2, 代人y=5-x,可得y=3, 当c>2时，不等式的解集为{x<二或x>} 故方程组的解集为{(2,3) 例5：1D由a6>0,a+6=1所以片+号=（日+号）a (3)由第一个式子可得y=2x-1, 代人第二个式子可得x2+2(2x-1)2=3, +90)=w2+1g,12=62+2√0.：4m,当日 a b 即9x2-8x-1=0, 1 仅当a=6时等号成立，所以+2的最小值为400 a 解得x1=1,2=-9, (2)因为x>0,所以心+3x+6 代人y=2x-1可得y=1,2=-马 x+1 9 =x+)2+(x+1)+4=x+1+ 4 故方程组的解集为1，)(-)，号} x+1 例3：(1)4=(2m-1)2-4×1×(m2-3)=4m2-4m+1-4m2 2√+1)1=4+1=5. +12=-4m+13. 当且仅当x+1= 即=1时，等号成立。 4 因为原方程有实根，所以△=-4m+13≥0， 解得m≤号，所以实数m的取值范围为-如，] 例6：由题意，可知a≥E+正恒成立。 W√x+y (2)当m=2时，方程为x2+3x+1=0,所以x1+x2=-3, x,y∈(0，+∞)， x1x2=1, x+vy +y =+y+2=1+2/≤1++y=2, x+y x+y x+y 因为方程的根为x,x2,所以x+3x1+1=0,x号+3x2+1 =0, 当且仅当x=y时等号成立. 所以(x斤+2x)(x号+4x2+2) 在+正≤2，：a≥万a的最小值为2 =(x斤+2x1+x1-x1)(x号+3x2+x2+2) Vx+y =(-1-x1)(-1+2+2) =（-1-x1)(x2+1)=-x2-x1-1-1 第三章 函数 =-3-1-2=3-2=1. 例4：(1)不等式aax2-3x+2>0的解集为xlx<1或x>b}, 3.1函数的概念与性质 所以1和b是方程ax2-3x+2=0的解， 所以a-3+2=0,解得a=1； 3.1.1函数及其表示方法 由根与系数的关系知1×6=子解得5=2：所以。=1,6 第1课时函数的概念 =2. 必备知识探新知 (2)由(1)知，不等式cx2-(ac+b)x+ab>0为cx2-(c+ 知识点1：1.非空实数集每一个唯一确定3.定义域 2)x+2>0, 对应关系 即(x-1)(cx-2)>0 对应练习 当c=0时，不等式化为-2(x-1)>0,解得x<1: :1.(1)×(2)V(3)×(1)集合A,B应为非空数集. 当c<0时，解不等式得2<x<1; (2)符合函数的定义 (3)值域是集合B的子集 当c>0时，若子>1，即0<c<2时，解不等式得x<1或x 2C要使函数刊=+有意义，只需 。解得x x-2≠0 >名若2=1，即c=2时，解不等式得x≠1，若2<1，即 ≥0且x≠2， -177059 章末整合 知识结构 理脉络 等式的性质与方程的解集 求根公式：x=二b±VP-4ac 2a 元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0) 等式 根与系数的关系：，+无=-么 二元一次方程组 方程组的解集 三元一次方程组 二元二次方程组 不等式的概念 ra-b<0曰a<b 依据a-b=0a=b 不等关系与不等式{实数（代数式）大小的比较 la-b>0曰a>b 基本方法：作差法、作商法 等式与不等式 不等式的性质：对称性、传递性、可加性、可乘性 概念 因式分解法、配方法 解法 元二次不等式及其解法 1含参不等式的解法 不等式 解分式不等式—化归为整式不等式 应用{ 从实际问题中建立一元二次不等式模型 内容 ≥√ab(a>0,b>0),当且仅当a=b时，等号成立 「几何证明 证明 代数证明 均值不等式 比较大小 证明不等式 应用 求最值 积定和最小]具备条件一正、二定、三相等 和定积最大 解决实际问题 要点梳理 晰精华 1.不等式基本性质中注意问题 (2)不等式的基本性质中，对表达不等式性质的各 (1)不等式的基本性质中性质2、3要注意符号，另不等式要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说， 外还有一些常用的结论，同学们也要掌握.如：“a>b且 每条性质是否具有可逆性.运用不等式的基本性质解答 b>0,则1<”“a>b,c<,则a-e>6-”,“a>b 不等式问题时，要注意不等式成立的条件，否则将会出 现一些错误 >0,c>d>0,则%>b”.在使用这些性质时，要注意上 d>e 述各不等式成立的条件 060 2.- 元二次不等式的解法 不等式解集的交集 判别式A= (2)解简单分式不等式应等价转化为整式不等式 4>0 △=0 △<0 b2-4ac (整式不等式组)求解. (3)解绝对值不等式可根据绝对值的几何意义求 二次函数y 解，也可按零点分段法逐段脱去绝对值号求解。 =ax2+bx+ 5.均值不等式及有关结论 c(a>0)的 图像 x()x (1)均值不等式：如果a>0,b>0,那么ab≥ 2 有两相异实数根 ab,当且仅当a=b时，等号成立，即正数a与b的算 一元二次方 -b-瓜 有两相等实数 没 术平均数不小于它们的几何平均数 程ax2+br+ 2a 根1=2 实 (2)几个常用的重要结论 c=0(a>0) -b+△ X2= 6 的根 2a 2a 粮 ①。+公≥2(a与6同号，当且仅当a=b时取等 (x1<x2) 号) ax2 +bx +c x|x<x1,或x x∈R,x ②a+≥2(a>0,当且仅当a=1时取等号)，a+ >0(a>0) R >x2 1 的解集 2aS e ≤-2(a<0,当且仅当a=-1时取等号). ax?+bx +c <0(a>0) xlx <x<x, 0 0 ③≤(a6=Rk,当且仅当a=b时取等号》， 的解集 (3)利用均值不等式求最值 3.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为 已知x>0,y>0,则 ①如果积y是定值p,那么当且仅当x=y时，x+y 七2，则无+2= -合x=台，若6C=0时，关系式仍 b 有最小值2p(简记：积定和最小) 然成立 ②如果x+y是定值s,那么当且仅当x=y时，y有 4.不等式组、简单分式不等式、绝对值不等式的 解法 最大值（简记：和定积最大】 (1)不等式组的解集等于组成该不等式组的每个 素养突破 提技能 ● 专题一不等式的性质及其应用 归纳提升：不等式性质的应 用方法 例 1.(1)(2026·济南高一检测)已知1<x<5,2<y<6,则2x-y的取值范围 是 (1)作差法比较大小的关键 () A.(0,4) B.(-4,8) 是对差式进行变形，变形的 C.(0,8) D.(-4,0) 方法一般是通分、分解因 式、配方等 (2)(2026·烟台高一检测)已知下列四个命题： (2)不等式真假的判断，要 ①若a>b,c>d,则a-d>b-c; 依靠其适用范围和条件来确 ②若ax>a2y,则x>y; 定，举反例是判断命题为假 ③若a>b,则1>1， a-b>a 的一个好方法，用特例法验 证时要注意，适合的不一定 ④若日<名<0，则6< 对，不适合的一定错，故特例 其中正确命题的个数是 只能否定选择项 A.1 B.2 C.3 D.4 [归纳提升] ●061 ●专题二解方程与方程组 例2(202·雀坊高一检测)求下列方程组的解集： 3x+y+z=3, 1)2x-y+2=-4,(2+y5,.3)-y1=0, 1x2-y2=-5; x2+2y2=3. x-3y-5z=5; 归纳提升：1.一元 次方程的解法 (1)直接开平方法； (2)配方法：(3)因式 分解法；(4)公式法. 2.一元二次方程中求 参数的值 求参数的值是一元 次方程根与系数的关 例3，〔2026：沈阳商一检测)已知关于x的-元次方程2+(2m-1x+m-3=0 系的常见应用，解题 步骤是列方程组，解 有实数根。 方程组. (1)求实数m的取值范围； (2)当m=2时，方程的根为x1,2,求代数式(x2+2x1)(x2+4x2+2)的值. 归纳提升：在解答含 参数的一元二次型不 P[归纳提升] 等式时，为了做到分 提醒：一元二次方程要保证二次项系数不为零，一元二次方程有根要保证△≥0. 类不重不漏，常从以 ●专题三一元二次不等式的解法 下三个方面考虑：一 例4，(2026：沈阳高检测)已知不等式a2-3+2>0的解集为x1x<1或>6， 是二次项系裁分为正 (1)求实数a,b的值； 数，0与负数；二是 (2)解关于x的不等式cx2-(ac+b)x+ab>0(其中c为实数). 关于不等式对应的方 程的根的讨论，从判 别式大于0，等于0， 小于0进行分类；三 是关于不等式对应的 方程的根的讨论，对 两根之间的大小进行 讨论. P[归纳提升] 062。 归纳提升：利用均值 ●专题四 均值不等式及其应用 不等式求最值的关 注点 例 .()已知实数a,6>0,a+196=1,则2+9的最小值为 () (1)注意寻求已知条 A.100 B.300 C.800 D.400 件与目标函裁之间的 联系 (2)已知x>0,求+3x+6的最小值 x+1 (2)利用添项和拆项 的配凑方法，使积（或 和)产生定值.特别注 意“1”的代换 归纳提升：解决不等 式恒成立问题，往往 使用分离参数法将参 [归纳提升] 裁分离出来，将“恒 成立问题”转化为 ●专题五利用均值不等式求解不等式恒成立问题 “最值问題”求解. 即y≥m恒成立台y 例6设，ye(0,+),若不等式+5≤a:中7恒成立，求a的最小值 ≥m:y≤m恒成立 思路探究：根据条件分离出4，再求式子匠+正的范国，最后确定。的最小值 Vx+y ymx≤m. 但要注意分离参裁法 不是万能的，如果分 离参裁后，得出的式 子较为复杂，性质很 难研究，就不要使用 分离参数法 ·[归纳提升] 素养等级测评 请同学们认真完成考案（二）