练案15 第二章 2.2.4 第1课时均值不等式-【成才之路·练案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（人教B版）

练案[15] 第二章 等式与不等式 2.22.2.4[第1课时均值不等式] A组基础巩固 三、解答题 一、选择题 9.设>-1，求x+5)(x+2的最小值。 x+1 1.设t=a+2b,s=a+b2+1,则t与s的大小关系是 ( A.s≥t B.s>t C.s≤t D.s<t 2.若a,beZ,且a+b=0,则2”+2的最小值是( A.2 B.3 C.4 D.5 3.已知x>0,则？+x的最小值为 ( A.6 B.5 C.4 D.3 4.若a>0,b>0,且a+b=4,则下列不等式恒成立的是 A.1、1 1ab>2 B.11 a+6s1 C.ab≥2 1 1 D.2+B≤8 5.已知a,b都为正实数，2a+b=1,则ab的最大值是 A号 B.g c 二、填空题 1,2 6.已知正数a,b,a+6 =1,则3ab的最小值为 7.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器 生产的产品可获得的总利润y(万元)与机器运转时 间x(年数，xeN*)的关系为y=-x2+18x-25,则 当每台机器运转 年时，年平均利润最大，最 大值是万元 8.若正数x,y满足y=x+y+3,则x+y的取值范围是 —129 10.(1)已知a>0,b>0,且4a+b=1,求ab的最大值；3.（多选题）已知a,b均为正实数，则下列不等式一定 (2)若正数x,y满足x+3y=5xy,求3x+4y的最 成立的是 () 小值 A.a+b+- ≥3 ab s(a+6日+)=4 C.a+b -≥a+b ab D.- 2ab ≥√ab a+ 二、填空题 4.若0<a<6且a+b=1,则ab,2b,a+的大小 关系为 ·(用“<”连接) 5.已知正数x,y满足y2(x+6y)=1,当x= 时，x+3y取得最小值，最小值是 三、解答题 6.已知a>0,b>0,>0,且a+b+c=1. 求证a-6-(-≥8 B组素养提升 一、选择题 1.《几何原本》第二卷中的几何代数 法（以几何方法研究代数问题）成 了后世西方数学家处理问题的重 要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过 图形实现证明，并称之为无字证明.现有如图所示的 图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF1 AB.设AC=a,BC=b,则该图形可以完成的无字证明 为 Aa>0,b0) C组创新拓展 B.a2+b2≥2ab(a>0,b>0) 权方和不等式作为基本不等式的一个变式，在求二元 c≤瓜(u>0.b>0) 变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a,b,x, y均为正实数，则g+公≥a+b)°，当且仅当二=。 a2+b2 x+y x y D.1b≤2(a>0,6>0 时等号成立根据权方和不等式。2 9 +1-2x 2(2026·沈阳高一检测)若w是正数，则x+ (0<x<2)的最小值为 () (+)的最小值是 A.16 B.25 C.36 D.49 A.3 B子 C.4 130所以u<0,且-分，号是方程a+bc+2=0的两个根， 当且仅当x=号，即x=3时取得最小值6，故选A 合+写=女，分×写-名解得a=-126-24D由瓜≤"宁岁2得≤4心市故A缩： 即有-2+3 a,-2x3 则%+b、7 a=6 +1=a+6=4≥1，故B错 = a b ab 5.[-1,0)U(8,9]因为关于x的不等式x2-kx+2k<0的解 集为(x1,x2), 由a+6=4,得瓜≤生=号=2，故C错： 所以x1,x2是方程x2-kx+2k=0的两个根， 护≥（告得d+6≥2×(=8 所以△=(-k)2-8k>0,解得k<0或k>8, x1+x2=k,1x2=2k, ≤名，D正 1 由1x1-2≤3，得(x1-x2)2≤9，(x1+x2)2-4xx2≤9， 5.B因为a,b都为正实数，2a+b=1, 所以k2-8k-9≤0.(k+1)(k-9)≤0， 解得-1≤k≤9， 所拟w=岁≤2)=安 综上，-1≤k<0或8<k≤9， 即实数k的取值范围为[-1,0)U(8,9]. 当且仅当2a=6,即a=子6=时，6取最大值号 6.(1)由1-1x+11≥0，得1x+11≤1，即-1≤x+1≤1，-2≤x i6.24 ≤0，所以B=[-2,0]. 因为女+2=12√品所以b=8因此3=24，当 (2)充分不必要条件，证明如下， 且仅当=2，即a=2,b=4时，取等号. 由题意A=(3a-1,3a+2),B=[-a-1,-a+1],若A∩B= b ②.则3u+2≤-0-1或30-1≥-a+1,解得a≤-或=58年平均利润兰=+18-空-(+）+18≤8 当且仅当x=5时，等号成立()=8， a≥专是AnB=2的充分不必要条作 即机器运转5年时，年平均利润最大，为8万元 8.[6,+0)因为x>0,y>0, C组创新拓展 C关于x的不等式(x-b)2>(ax)2,即(a2-1)x2+2bx-b2 由均值不等式得x+y+3=灯≤（生）， <0 因为0<b<1+a,[(a+1)x-b]·[(a-1)x+b]<0的解集 令+y=,则1+3≤（分月 中的整数解恰有3个， 化简得2-4t-12≥0， 所以a>1, 解得t≥6或t≤-2（舍去）， 所以不等式的懈集利。。年)： 所以x+y的取值范围为[6，+∞). 9.因为x>-1,所以x+1>0, 又0<6 *11, 设x+1=t>0,则x=t-1,于是有： (x+5)(x+2)=(t+4)(t+1=+5t+4 所以解集中的整数为-2，-1,0. x+1 t t 所以-3≤a白<-2，周2<名≤3， ，4 +5≥2 +5=9 t 所以2a-2<b≤3a-3, 因为b<1+a, 当且仅当t=4,即1=2时取等号，此时x=1, t 所以2a-2<1+a,解得a<3, 所以当x=1时，x+5)x+22取得最小值是9. 综上，1<a<3. x+1 练案[15] 10.(1)1=4a+b≥2W4ab=4√ab, 1 A组基础巩固 瓜≤ab≤6 1.Ab2+1≥2b,.a+2b≤a+b2+1. 当且仅当a=日6=时，取等号， 2.A因为a,beZ,所以2">0,2>0，所以2+2≥2√2°·2 =2√2*=2，当且仅当a=b=0时，等号成立.所以2“+2 故a山的最大值为石 的最小值是2. (2):x+3y=5xy,x>0,y>0, 3A0是+2 . x6, 分+1 -207 3+4=(3+4(分+动-号+影+费×3≥号+56-厅6由可+6=1，可得+6)= 2√5 放(x+3)2=2+6y+9y2=x(+6y)+9y2=+92≥ 当且仅当务是即=2=1时，原等号 2√月·9y=6,当且仅当=9时， 1 B组素养提升 1D由图形可知0F=之4B-,0C=“2在△0CF中， 即，=时，等号成立 此时x+3y取最小值6，x=6-3y=√6-5. 由勾般定理可得F=√【生+(2=√ 6.因为a+b+c=1,a>0,b>0,c>0,所以1-1=a+b+c-1 a cr=0Fa0b>0 -6+c≥2c>0 a a 2c(*+(*2 -1=0+h+c-1=0+c≥2@>0， b b b b 1-1=4+b+c-1=4+b≥2庙>0， (*)+(+)+(任+） 将以上三式相乘得 ≥2√+2+2=4， (日--日-小8应8 abc 当且仅当=y=号或x=y=-时取等号， 当且仅当a=6=c=了时取等号.。 2 C组创新拓展 3.BC对于A,a+b+1≥2瓜+1≥22<3，当且仅当a ab ab B因为a,6,)均为正实数，则女+≥+6，当且仅 x+y =6=马时等号同时成立； 当：=6时等号成立， y 对于B,a+6日+)=2+片+总=2+26吕 a.b= 又0<x<分，即1-2>0， 4,当且仅当a=b时取等号； 于是号+如-25，当且仅当经 (2+3)2 对于C,0+≥a+6≥a+b √ab2aba+b -=a+b,当且仅当a=b时 即=了时取等号， 取等号； 所以2+ 1 9(0<x<2） x1-2x 1)的最小值为25. 对于D当a=分6=分时， 3 2 a*6 练案[16] 6 : A组 基础巩固 √6√6>V层所以2<a 11、2 √a+b :1.A 由x+2y-=0,得2+=1 4a<2ab<2<a+b<b因为0<a<b,a+b=l,所以a< 所以42=+2)（+）-女++444=8 x y 日6， 当且仅当x=2y时等号成立. ②2.A因为a>0,6>0,2+2=1,所以2如+36=(2a+ 3 2ab<a+b2 图为48>=子 6.65=25, 30(2+)=1B++≥1B+2 a a2+62=a·a+b2<a·b+62=(1-b)b+b=b, 所以与<a+6<b6 当且仅当号-兽即a=6=5时等号成立 又2b<2(生=7,2ab>2x7a=a, 3.BD设两地路程为，则全程所需的时间为”+片，则全程的 所以a<2d<所以a<2ab<<d2+6<a 平均速度=，25。=2m,放A错误，B正确：又由n>m> ss m+n' m n -208