2.2.4 第二课时 均值不等式的应用（课时跟踪检测）-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书word（人教B版）

**基本信息** 聚焦均值不等式应用，分层设计从基础公式应用到跨情境创新，梯度衔接紧密，助力知识巩固与核心素养培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（1-5题）|单一均值不等式求最值|直接套用公式，考查基本运算能力，如第1题x>7时的最小值求解| |提升层（6-9题）|条件等式下的综合应用|结合“1”的代换、配凑法，如第9题利用2x+5y=20求最值，培养推理意识| |拓展层（10-14题）|跨情境与创新应用|融入赵爽弦图、试验田设计等实际情境，如第12题面积优化问题，发展数学建模与创新意识|

第二课时　均值不等式的应用 1.已知x＞7，则x＋的最小值为（　　） A.7 B.9 C.11 D.10 2.设m，n∈（0，＋∞），且＋＝1，则m＋2n的最小值为（　　） A.4 B.5 C.4 D.3＋2 3.已知x＞0，则2－3x－的最大值是（　　） A.2＋4 B.2－2C.2－4 D.2－6 4.若关于x的不等式－x2＋ax－2≤0在区间[－3，－1]上恒成立，则实数a的取值范围为（　　 ） A.[－2，＋∞） B.（－∞，－2] C. D.（－∞，－3] 5.〔多选〕下列求最值的运算中，运算方法错误的有（　　） A.当x＜0时，x＋＝－［（－x）＋］≤－2，当且仅当x＝时取等，解得x＝－1或1，又由x＜0，所以x＝－1，故x＜0时，x＋的最大值是－2 B.当x＞1时，x＋≥2，当且仅当x＝时取等，解得x＝－1或2，又由x＞1，所以x＝2，故x＞1时，x＋的最小值为4 C.由于x2＋＝x2＋4＋－4≥2－4＝2，当且仅当x2＋4＝时取等，故x2＋的最小值是2 D.当x，y＞0，且x＋4y＝2时，由于2＝x＋4y≥2＝4，∴≤，又＋≥2＝≥4，当且仅当x＝4y，x＝y时取等，故当x，y＞0，且x＋4y＝2时，＋的最小值为4 6.已知正实数x，y满足（x＋1）（y＋2）＝16，则x＋y的最小值为　　　　. 7.为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度c（单位：mg·L－1）随时间t（单位：h）的变化关系为c＝，则经过　　 　h后池水中该药品的浓度达到最大. 8.若两个正实数x，y满足4x＋y－xy＝0，且不等式xy≥m2－6m恒成立，则实数m的取值范围是　　　　　 . 9.已知x＞0，y＞0且2x＋5y＝20. （1）求xy的最大值； （2）求＋的最小值. 10.如图所示的“大方图”称为“赵爽弦图”，它是由中国数学家赵爽于公元3世纪在给《周髀算经》“勾股圆方图”作注时给出的一种几何平面图.他用数学符号语言将其表示为“若直角三角形两直角边为a，b，斜边为c（a，b，c均为正数），则（a＋b）2＝4ab＋（a－b）2，（a＋b）2＝2c2－（b－a）2.某同学读到此书中的“赵爽弦图”时，出于好奇，想用软钢丝制作此图，他用一段长8 cm的软钢丝作为a＋b的长度（制作其他边长的软钢丝足够用），他能制作出来的“赵爽弦图”的最小面积为（　　） A.24 cm2 B.30 cm2 C.32 cm2 D.36 cm2 11.若实数a，b满足a2＋b2＋ab＝4，则a＋b的最大值是（　　 ） A.12　　 　B. C.8　　 　D. 12.校本选修课是中学课程创新中的重要一环，某校生物组计划向学校申请面积为1 600 m2的矩形空地建造试验田，试验田为三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m，三块矩形区域的前、后与空地边沿各保留1 m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左、右边沿保留3 m宽的通道，如图.设矩形空地长为x m，三块种植植物的矩形区域（如图中阴影部分所示）的总面积为S（单位：m2）. （1）求S关于x的函数关系式； （2）求S的最大值，及此时x的值. 13.定义min{p，q，r}表示p，q，r中的最小值.已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，abc＝－1，则（　　） A.min{a，b，c}的最大值是－1 B.min{a，b，c}的最大值是－ C.min{a，b，c}的最小值是－1 D.min{a，b，c}的最小值是－ 14.对于均值不等式，即当a＞0，b＞0时有≥（当且仅当a＝b时不等式取“＝”），我们称为正数a，b的算术平均数，为它们的几何平均数，两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.这只是均值不等式的一个简化版本.均值不等式，也称为平均值不等式或平均不等式，是数学中的一个重要公式.它的基本形式包括调和平均数、几何平均数、算术平均数和平方平均数之间的关系.它表明：n个正数x1，x2，x3，…，xn的平方平均数大于等于它们的算术平均数大于等于几何平均数大于等于调和平均数，当且仅当x1，x2，x3，…，xn这些数全部相等时，等号成立. （1）请直接运用上述不等式链中某个n的情形求y＝x＋（x＞0）的最小值； （2）写出n＝3时调和平均数与几何平均数之间的关系，并证明； （3）如图，把一块长为6的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再将它的边沿虚线折叠做成一个无盖的方底盒子.问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二课时　均值不等式的应用 1.B　因为x＞7，所以x＋＝x－7＋＋7≥2＋7＝9.当且仅当x＝8时等号成立，所以x＋的最小值为9.故选B. 2.D　因为m，n∈（0，＋∞），且＋＝1，所以m＋2n＝（m＋2n）（＋）＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当＝，即n＝1＋，m＝1＋时取等号.故选D. 3.C　因为x＞0，所以3x＋≥2＝4，则2－3x－≤2－4，当且仅当3x＝，即x＝时取得等号.故选C. 4.A　由题设，ax≤x2＋2，又x∈[－3，－1]，则a≥x＋恒成立，由x＋＝－≤－2＝－2，当且仅当x＝－∈[－3，－1]时等号成立，∴a≥－2.故选A. 5.BCD　对于A，满足均值不等式的应用条件，正确；对于B，不满足均值不等式的应用条件中的定值，错误，正确的运算方法为当x＞1时，x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝2＋1，当且仅当x－1＝时取等，解得x＝1＋或x＝1－，又x＞1，所以x＝1＋，故当x＞1时，x＋的最小值为2＋1；对于C，不满足均值不等式的应用条件中的取等，错误；对于D，选项中运用两次均值不等式，且两次的取等条件不一致，所以错误，正确的运算方法为当x，y＞0，且x＋4y＝2时，＋＝（＋）·（x＋4y）＝（1＋＋＋4）＝（5＋＋）≥（5＋2）＝，当且仅当＝，即x＝，y＝时等号成立，即＋的最小值为.故选B、C、D. 6.5　解析：由（x＋1）（y＋2）＝16≤，则（x＋y＋3）2≥64，又x，y＞0， ∴x＋y＋3≥8，即x＋y≥5，当且仅当x＝3，y＝2时等号成立. ∴x＋y的最小值为5. 7.2　解析：c＝＝. 因为t＞0，所以t＋≥2＝4（当且仅当t＝，即t＝2时等号成立）. 所以c＝≤＝5，当且仅当t＝，即t＝2时，c取得最大值. 8.[－2，8]　解析：因为正实数x，y满足4x＋y－xy＝0，所以xy＝4x＋y≥2＝4，即≥4⇒xy≥16， 当且仅当y＝4x＝8时等号成立，由xy≥m2－6m恒成立，可得16≥m2－6m， 解得－2≤m≤8. 9.解：（1）∵2x＋5y＝20，x＞0，y＞0，∴2x＋5y≥2， ∴2≤20，即xy≤10， 当且仅当x＝5，y＝2时，等号成立， ∴xy的最大值为10. （2）＋＝·（2x＋5y）＝（2＋5＋＋）＝≥（7＋2）， 当且仅当x＝y时，等号成立. ∴＋的最小值为（7＋2）. 10.C　由题可知，a＋b＝8，a＞0，b＞0，则a＋b≥2，即8≥2，所以ab≤16，当且仅当a＝b＝4时，等号成立，又“赵爽弦图”的面积为c2＝a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝64－2ab≥64－2×16＝32，所以当a＝b＝4时，“赵爽弦图”的最小面积为32 cm2.故选C. 11.B　a2＋b2＋ab＝4⇒（a＋b）2＝ab＋4，而ab≤，当且仅当a＝b时取“＝”， 于是得（a＋b）2≤＋4，即（a＋b）2≤4，解得－≤a＋b≤， 当且仅当a＝b＝时，（a＋b）max＝， 所以a＋b的最大值是.故选B. 12.解：（1）由题知空地宽为，则S＝（x－8）·（－2）＝－2x＋1 616－（8＜x＜800）. （2）因为8＜x＜800，所以－2x－≤－320， 当且仅当x＝80时等号成立，所以S≤－320＋1 616＝1 296， 所以S的最大值为1 296 m2，此时x为80 m. 13.B　因为abc＝－1，所以在a，b，c中，负数的个数为1或3，又a＋b＋c＝0，所以在a，b，c中，1个为负数，2个为正数，不妨设c＜0，则min{a，b，c}＝c.因为2≤a＋b＝－c，所以ab≤，当且仅当a＝b时等号成立.因为c＜0，所以≤－1，则c≤－，故min{a，b，c}的最大值是－，无最小值.故选B. 14.解：（1）由题意得≥， 所以当x＞0时，y＝x＋＝x＋x＋≥3（）＝3， 当且仅当x＝时，即x＝2时，等号成立， 所以y＝x＋（x＞0）的最小值为3. （2）由题意可知，当n＝3时， 调和平均数与几何平均数之间的关系为≥，其中x1＞0，x2＞0，x3＞0， 当且仅当x1＝x2＝x3时，等号成立. 证明： ＋＋－3x1x2x3 ＝－3x2－3x1＋－3x1x2x3 ＝（x1＋x2＋x3）[－（x1＋x2）x3＋]－3x1x2（x1＋x2＋x3）　 ＝（x1＋x2＋x3）（＋＋－x1x2－x2x3－x1x3） ＝（x1＋x2＋x3）[＋＋]≥0， 所以＋＋≥3x1x2x3，当且仅当x1＝x2＝x3时，等号成立. 根据题意，可设x1＞0，x2＞0，x3＞0， 用，，替换x1，x2，x3可得x1＋x2＋x3≥3， 当且仅当x1＝x2＝x3时，等号成立. 所以＋＋≥3， 所以≤＝＝， 当且仅当x1＝x2＝x3时，等号成立. （3）设小正方形的边长为x，则盒子的高h＝x，底边边长为6－2x， 可得盒子的容积为V＝x（6－2x）2，其中0＜x＜3， 则V＝x（6－2x）2＝·4x·（6－2x）2≤·（）3＝16， 当且仅当4x＝6－2x时，即x＝1时，等号成立， 所以切去的正方形边长为1时，才能使盒子的容积最大，最大容积为16. 学科网（北京）股份有限公司 $